Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng

Môn học LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1 Chương 3 KHẢOKHẢO SÁTSÁT TÍNHTÍNH ỔNỔN ĐỊNHĐỊNH CỦACỦA HỆHỆ THỐNGTHỐNG 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2 Nội dung chương 3 ‘ Khái niệm ổn định ‘ Tiêu chuẩn ổn định đại số Ž Điều kiện cần Ž Tiêu chuẩn Routh Ž Tiêu chuẩn Hurwitz ‘ Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Ž Khái niệm về QĐNS Ž Phương pháp vẽ QĐNS Ž Xét ổn định dùng QĐNS ‘ Tiêu chuẩn ổn định tần số Ž Khái niệm về đặc tính tần số Ž Đặc tính tần số của các khâu cơ bản Ž Đặc tính tần số của hệ thống tự động Ž Tiêu chuẩn ổn định Bode Ž Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3 KháiKhái niệmniệm ổnổn địnhđịnh 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 4 Khái niệm ổn định Định nghĩa ổn định BIBO ‘ Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. r(t) c(t) Hệ thống 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5 Thí dụ minh họa khái niệm ổn định HT ổn địnhHT ở biên HT không ổn định giới ổn định 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6 Khái niệm ổn định Cực và zero ‘ Cho hệ thống tự động có hàm truyền là: m m−1 C(s) b0s + b1s +K+ bm−1s + bm G(s) = = n n−1 R(s) a0s + a1s +K+ an−1s + an n n−1 ‘ Đặt: A(s) = a0s + a1s +K+ an−1s + an mẫu số hàm truyền m m−1 B(s) = b0s + b1s +K+ bm−1s + bm tử số hàm truyền ‘ Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hiệu là pi , i =1,2,m. ‘ Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là zi, i =1,2,m. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7 Khái niệm ổn định Giản đồ cực - zero ‘ Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8 Khái niệm ổn định Điều kiện ổn định ‘ Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực. ‘ Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định. ‘ Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định. ‘ Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9 Khái niệm ổn định Phương trình đặc trưng (PTĐT) ‘ Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0 ‘ Đa thức đặc trưng: đa thức A(s) Hệ thống hồi tiếp Hệ thống mô tả bằng PTTT x&(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng 1+ G(s)H(s) = 0 det(sI − A) = 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10 TiêuTiêu chuẩnchuẩn ổnổn địnhđịnh đạiđại sốsố 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11 Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần ‘ Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu. ‘ Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 3 2 Ž s + 3s − 2s +1= 0 Không ổn định 4 2 Ž s + 2s + 5s + 3 = 0 Không ổn định Ž s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1= 0 Chưa kết luận được 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Qui tắc thành lập bảng Routh ‘ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n n−1 a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0 ‘ Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: Ž Bảng Routh có n+1 hàng. Ž Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn. Ž Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ. Ž Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo công thức: cij = ci−2, j+1 −αi.ci−1, j+1 ci−2,1 với αi = ci−1,1 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Dạng bảng Routh 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Phát biểu tiêu chuẩn ‘ Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 1 ‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1 = 0 ‘ Giải: Bảng Routh ‘ Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 2 ‘ Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối: 50 G(s) = s(s + 3)(s2 + s + 5) 1 H (s) = s + 2 ‘ Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 1+ G(s).H (s) = 0 50 1 ⇔ 1+ . = 0 s(s + 3)(s2 + s + 5) (s + 2) ⇔ s(s + 3)(s2 + s + 5)(s + 2) + 50 = 0 ⇔ s5 + 6s4 +16s3 + 31s2 + 30s + 50 = 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 2 (tt) ‘ Bảng Routh ‘ Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 3 ‘ Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định: K G(s) = s(s2 + s +1)(s + 2) ‘ Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 1+ G(s) = 0 K ⇔ 1+ = 0 s(s2 + s +1)(s + 2) ⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 3 (tt) ‘ Bảng Routh ‘ Điều kiện để hệ thống ổn định:  9 2 − K > 0 14  7 ⇔ 0 < K < 9 K > 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hợp đặc biệt 1 ‘ Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 4 ‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 3 = 0 ‘ Giải: Bảng Routh ‘ Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định . 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hợp đặc biệt 2 ‘ Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0: Ž Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s). Ž Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục. ‘ Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 5 ‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0 ‘ Giải: Bảng Routh 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 5 (tt) ‘ Đa thức phụ: dA (s) A (s) = 4s2 + 4 ⇒ 0 = 8s + 0 0 ds ‘ Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng): 2 A0 (s) = 4s + 4 = 0 ⇔ s = ± j ‘ Kết luận: Ž Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Ž Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo. Ž Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3. Hệ thống ở biên giới ổn định 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz ‘ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n n−1 a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0 ‘ Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: Ž Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n. Ž Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an . Ž Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. Ž Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Dạng ma trận Hurwitz a1 a3 a5 a7 K 0  a a a a 0   0 2 4 6 K   0 a1 a3 a5 K 0    0 a a a 0  0 2 4 K   M M M M M     0 K K K K an  Phát biểu tiêu chuẩn ‘ Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Thí dụ 1 ‘ Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0 ‘ Giải: a1 a3 0  4 2 0 a a 0  = 1 3 0 Ma trận Hurwitz  0 2     0 a1 a3  0 4 2 Các định thức: ∆1 = a1 = 1 a1 a3 4 2 ∆2 = = = 4×3−1× 2 =10 a0 a2 1 3 a1 a3 0 a1 a3 4 2 ∆3 = a0 a2 0 = a3 = 2× = 2×10 = 20 a0 a2 1 3 0 a1 a3 ‘ Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz ‘ Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: ai > 0, i = 0,2 ‘ Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: a > 0, i = 0,3  i a1a2 − a0a3 > 0 ‘ Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: ai > 0, i = 0,4  a1a2 − a0a3 > 0  2 2 a1a2a3 − a0a3 − a1 a4 > 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29 PhươngPhương pháppháp quỹquỹ đạođạo nghiệmnghiệm sốsố 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Định nghĩa ‘ Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 →∞. 2 ‘ Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT s + 4 s + K = 0 có dạng như hình vẽ dưới đây: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS ‘ Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng: N(s) 1+ K = 0 (1) D(s) N(s) Đặt: G (s) = K 0 D(s) Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s) (1) ⇔ 1+ G0 (s) = 0 G0 (s) =1 Điều kiện biên độ ⇔  ∠G0 (s) = (2l +1)π Điều kiện pha 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS ‘ Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n. ‘ Qui tắc 2: Ž Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s). Ž Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. ‘ Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. ‘ Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) ‘ Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi : (2l +1)π α = (l = 0,±1,±2,K) n − m ‘ Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi: n m ∑ pi − ∑ zi (pi và zi là các cực ∑cực − ∑zero i=1 i=1 OA = = và các zero của G0(s) ) n − m n − m ‘ Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK = 0 ds 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) ‘ Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=jω vào phương trình đặc trưng. ‘ Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: m n 0 θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi ) i=1 i=1 i≠ j Dạng hình học của công thức trên là: 0 θj = 180 + (∑góc từ các zero đến cực p j ) − (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j ) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 ‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K G(s) = s(s + 2)(s + 3) ‘ Giải: ‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s + 2)(s + 3) ‘ Các cực: p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3 ‘ Các zero: không có 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) π ‘ Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 3 − 0 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−2) + (−3)] − 0 5 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 − 0 3 ‘ Điểm tách nhập: (1) ⇔ K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s2 + 6s) dK ⇒ = −(3s2 +10s + 6) ds dK s1 = −2.549 (loại) Do đó = 0 ⇔  ds s2 = −0.785 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) ‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz (1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) Điều kiện ổn định: K > 0  K > 0 ⇔  ⇔  0 < K < 30 ⇒ K gh = 30 a1a2 − a0a3 > 0 5× 6 −1× K > 0 Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo s1 = −5 3 2  s + 5s + 6s + 30 = 0 ⇔ s2 = j 6  s3 = − j 6 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) ‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 2: (1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ()jω 3 + 5 ()jω 2 + 6( jω)+ K = 0 ⇔ − jω3 − 5ω 2 + 6 jω + K = 0 ω = 0  K = 0 − jω3 + 6 jω = 0  ⇔  ⇔ − 5ω 2 + K = 0 ω = ± 6   K = 30 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) Im s j 6 Re s −3 −2 0 − j 6 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 ‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K G(s) = s(s2 + 8s + 20) ‘ Giải: ‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s2 + 8s + 20) ‘ Các cực: p1 = 0 p2,3 = −4 ± j2 ‘ Các zero: không có 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) π ‘ Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 3 − 0 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (0) 8 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 − 0 3 ‘ Điểm tách nhập: (1) ⇔ K = −(s3 + 8s2 + 20s) dK ⇒ = −(3s2 +16s + 20) ds dK s1 = −3.33 K Do đó = 0 1+ 2 = 0 ⇔  (hais(s điểm+ 8s tách+ 20 nhập)) ds s2 = −2.00 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) ‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ( jω)3 + 8( jω)2 + 20( jω) + K = 0 ⇔ − jω 3 − 8ω 2 + 20 jω + K = 0 ω = 0 2  − 8ω + K = 0 K = 0 ⇔  ⇔ −ω3 + 20ω = 0  ω = ± 20  K K =160 1+ = 0 s(s2 + 8s + 20) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) ‘ Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 0 θ2 =180 −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)] =1800 − {}arg[(−4 + j2) − 0] + arg[(−4 + j2) − (−4 − j2)] 0  −1 2   =180 − tg   + 90   − 4   =1800 − {}153.5 + 90 0 θ2 = −63.5 m n 0 θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi ) i=1 i=1 i≠ j 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) Im s j 20 +j2 −63.50 Re s −4 −2 0 −j2 − j 20 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 ‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K(s +1) G(s) = s(s + 3)(s2 + 8s + 20) ‘ Giải: ‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống: K(s +1) 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s + 3)(s2 + 8s + 20) ‘ Các cực: p1 = 0 p2 = −3 p3,4 = −4 ± j2 ‘ Các zero: z1 = −1 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) π ‘ Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 4 −1 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−3) + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (−1) 10 OA = ∑ ∑ = = − n − m 4 −1 3 ‘ Điểm tách nhập: s(s + 3)(s2 + 8s + 20) dK 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 (1) ⇔ K = − ⇒ = − (s +1) ds (s +1)2 dK  s1,2 = −3,67 ± j1,05 (không có Do đó = 0 ⇔  K(s +1) s = −0,661+± j0.97 = 0 ds  3,4 s(s + 3)(sđiểm2 + 8 stách+ 20 nhập)) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) ‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) ⇔ s4 +11s3 + 44s2 + (60 + K)s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ω 4 −11jω3 − 44ω 2 + (60 + K) jω + K = 0 ω = 0  K = 0 ω 4 − 44ω 2 + K = 0 ⇔ ω = ±5,893  3 ⇔  −11ω + (60 + K)ω = 0 K = 322 ω = ± j1,314  K(s(loại)+1) 1+K = −61,7 = 0 s(s + 3)(s2 + 8s + 20) Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j5,893 HSKĐ giới hạn là: K gh = 322 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) ‘ Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3: θ3 =180 + β1 − (β2 + β3 + β4 ) =180 +146,3 − (153,4 +116,6 + 90) 0 θ3 = −33.7 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) Im s +j5,893 +j2 −33.70 β 1 β2 β3 Re s −4 −3 −1 0 β4 −j2 −j5,893 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 ‘ Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau: 10 G(s) = (s2 + 9s + 3) K G (s) = K + I C P s ‘ Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞, biết rằng dKP / ds=0 có 3 nghiệm là −3, − 3, 1.5. ‘ Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không? 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) ‘ Giải: ‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1+ GC (s)G(s) = 0  2.7  10  ⇔ 1+  KP +   = 0  s  s2 + 9s + 3 10K s ⇔ 1+ P = 0 (1) (s + 9)(s2 + 3) ‘ Các cực: p1 = −9 p2 = + j 3 p3 = − j 3 ‘ Các zero: z1 = 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) ‘ Tiệm cận: (2l +1)π (2l +1)π π / 2 (l = 0) α = = ⇒ n − m 3 −1 − π / 2 (l = −1) cực − zero [−9 + ( j 3) + (− j 3)] − (0) 9 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 −1 2 ‘ Điểm tách nhập: s1 = −3 dKP  = 0 ⇔ s2 = −3 ds  s3 =1.5 (loại) QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại −3 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) ‘ Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 0 θ2 =180 + arg( p2 − z1) −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)] =1800 + arg( j 3 − 0) −[arg( j 3 − (−9)) + arg( j 3 − (− j 3))] 0  −1 3   =180 + 90 − tg   + 90   − 9   0 θ2 = −169 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) ‘ Khi KI =2.7, QĐNS của hệ thống nằm hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức khi KP =0→+∞, do đó hệ thống ổn định khi KI =2.7, KP =270. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55 TiêuTiêu chuẩnchuẩn ổnổn địnhđịnh tầntần sốsố 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 56 Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số ‘ Hãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xác lập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57 Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số ‘ Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha. ‘ Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin . C( jω) Đặc tính tần số = R( jω) Người ta chứng minh được: G(s) G( j ) Đặc tính tần số = s= jω = ω 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đáp ứng biên độ – Đáp ứng pha ‘ Tổng quát G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực: G( jω) = P(ω) + jQ(ω) = M (ω).e jϕ(ω) Trong đó: M (ω) = G( jω) = P2 (ω) + Q2 (ω) Đáp ứng biên độ −1Q(ω) ϕ(ω) = ∠G( jω) = tg   Đáp ứng pha  P(ω) ‘ Ý nghĩa vật lý: Ž Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. Ž Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 59 Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode – Biểu đồ Nyquist ‘ Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần: Ž Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω L(ω) = 20lgM (ω) [dB] Ž Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω . Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành ω được chia theo thang logarith cơ số 10. ‘ Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60 Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ ‘ Hàm truyền: G(s) = K ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = K Ž Biên độ: M (ω) = K ⇒ L(ω) = 20lg K Ž Pha: ϕ(ω) = 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 1 ‘ Hàm truyền: G(s) = s 1 1 ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = = − j jω ω 1 Ž Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lgω ω Ž Pha: ϕ(ω) = −900 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng ‘ Hàm truyền: G(s) = s ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = jω Ž Biên độ: M (ω) = ω ⇒ L(ω) = 20lgω Ž Pha: ϕ(ω) = 900 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1 1 ‘ Hàm truyền: G(s) = Ts +1 1 K(1−Tjω) ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = = Tjω +1 1+ T 2ω 2 1 Ž Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lg 1+ T 2ω 2 1+ T 2ω2 Ž Pha: ϕ(ω) = −tg −1(Tω) ‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 Ž ω < : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 Ž ω > : đường thẳng có độ dốc −20dB/dec T 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1 tần số gãy 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 ‘ Hàm truyền: G(s) = Ts +1 ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = Tjω +1 2 2 Ž Biên độ: M (ω) = 1+ T ω ⇒ L(ω) = 20lg 1+ T 2ω 2 −1 Ž Pha: ϕ(ω) = tg (Tω) ‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 Ž ω < : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 Ž ω > : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec T 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 tần số gãy 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 1 ‘ Hàm truyền: G(s) = (0 < ξ < 1) T 2s2 + 2ξTs +1 1 ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = −T 2ω 2 + 2ξTjω +1 1 Ž Biên độ: M (ω) = (1−T 2ω 2 )2 + 4ξ 2T 2ω 2 ⇒ L(ω) = −20lg (1−T 2ω 2 )2 + 4ξ 2T 2ω 2 −1 2ξTω  Ž Pha: ϕ(ω) = −tg   1−T 2ω 2  ‘ Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: Žω < 1/T : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành Žω > 1/T : đường thẳng có độ dốc −40dB/dec 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 tần số gãy 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn ‘ Hàm truyền: G(s) = e−Ts ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = e−Tjω Ž Biên độ: M (ω) =1 ⇒ L(ω) = 0 Ž Pha: ϕ(ω) = −Tω 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75 Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của hệ thống ‘ Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s) có thể phân tích thành tích của các hàm truyền cơ bản như sau: l G(s) = ∏Gi (s) i=1 l ‘ Đặc tính tần số: G( jω) = ∏Gi ( jω) i=1 l l Ž Biên độ: M (ω) = ∏ Mi (ω) ⇒ L(ω) = ∑ Li (ω) i=1 i=1 l Ž Pha: ϕ(ω) = ∑ϕi (ω) i=1 ⇒ Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76 Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận ‘ Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng: α G(s) = Ks G1(s)G2 (s)G3(s)K (α>0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng α<0: hệ thống có khâu tích phân lý tưởng) ‘ Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy ωi =1/Ti , và sắp xếp theo thứ tự tăng dần ω1 <ω2 < ω3 ‘ Bước 2: Biểu đồ Bode gần đúng qua điểm A có tọa độ: ω = ω0  L(ω) = 20lg K +α × 20lgω0 ω0 là tần số thỏa mãn ω0 1 thì có thể chọn ω0 =1. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77 Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận (tt) ‘ Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: Ž (− 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu tích phân lý tưởng Ž (+ 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. ‘ Bước 4: Tại tần số gãy ωi =1/Ti , độ dốc của đường tiệm cận được cộng thêm một lượng: Ž (−20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1 Ž (+20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1 Ž (−40dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2 Ž (+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2 Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. ‘ Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78 Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode gần đúng ‘ Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(0,1s +1) G(s) = s(0,01s +1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống. ‘ Giải: ‘ Các tần số gãy: 1 1 1 1 ω1 = = = 10 (rad/sec) ω2 = = = 100 (rad/sec) T1 0,1 T2 0,01 ‘ Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ ω = 1  L(ω) = 20lg K = 20lg100 = 40 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79 Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1 (tt) L(ω), dB A 40 −20dB/dec 0dB/dec 20 −20dB/dec 0 -1 0 1 2 3 lgω 10-1 100 101 102 ωc ω ‘ Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 rad/sec 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80 Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2: Xác định hàm truyền dựa vào biểu đồ Bode ‘ Xác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gần đúng như sau: L(ω), dB 60 0dB/dec 54 D E A 40 −20dB/dec B C 26 20 0dB/dec 0 -1 0 1 1.301 2 lgω ωg1 ωg2 ωg3 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81 Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2 (tt) 54 − 26 ‘ Độ dốc đoạn CD: = +40 (dB/dec) 2 −1.301 ‘ Các tần số gãy: 40 − 26 lgω = 0 + = 0.7 ⇒ ω =100.7 = 5 (rad/sec) g1 20 g1 lgω =1.301 1.301 g 2 ⇒ ωg 2 =10 = 20 (rad/sec) lgω = 2 2 g3 ⇒ ωg3 =10 =100 (rad/sec) K(T s +1)(T s +1)2 ‘ Hàm truyền cần tìm có dạng: G(s) = 1 2 s(T s +1)2 20lg K = 40 ⇒ K =100 3 1 1 1 1 1 1 T1 = = = 0.2 T2 = = = 0.05 T3 = = = 0.01 ωg1 5 ωg 2 20 ωg3 100 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82 Tiêu chuẩn ổn định tần số Các thông số quan trọng của đặc tính tần số ‘ Tần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0 dB). M (ωc ) =1 ⇔ L(ωc ) = 0 ‘ Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số bằng −1800 (hay bằng −π radian). 0 ϕ(ω−π ) = −180 ⇔ ϕ(ω−π ) = −π rad ‘ Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): 1 GM = ⇔ GM = −L(ω−π ) [dB] M (ω−π ) ‘ Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin): 0 ΦM =180 + ϕ(ωc ) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83 Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist ‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). ‘ Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s) . 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 ‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống kín. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 (tt) ‘ Giải: Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) ‘ Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. ‘ Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định; ‘ Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 ‘ Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết K rằng hàm truyền hệ hở G(s) là: G(s) = s(T1s +1)(T2s +1)(T3s +1) ‘ Giải: ‘ Biểu đồ Nyquist: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 (tt) Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) ‘ Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. ‘ Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định; ‘ Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Không ổn định 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 ‘ Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: K G(s) = (K>0, T>0, n>2) (Ts +1)n Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định. ‘ Giải: K ‘ Đặc tính tần số của hệ thống là: G( jω) = (Tjω +1)n K Ž Biên độ: M (ω) = n 2 2 ( T ω +1) −1 Ž Pha: ϕ(ω) = −ntg (Tω) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) ‘ Biểu đồ Nyquist: ‘ Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (−1,j0). Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi: M (ω−π ) <1 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) −1 ‘ Ta có: ϕ(ω−π ) = −ntg (Tω−π ) = −π −1 π π  ⇒ tg (Tω ) = ⇒ (Tω−π ) = tg  −π n  n  1 π  ⇒ ω−π = tg  T  n  K ‘ Do đó: M (ω ) <1 −π ⇔ n <1  2  2  1 π   T tg +1      n T  n      ⇔  2π   K <  tg   +1   n   26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode ‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). ‘ Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: GM > 0  ⇔ Hệ thống ổn định ΦM > 0 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ ‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không? Theo biểu đồ Bode: ωc = 5 ω = 2 L(ω ) −π −π GM L(ω−π ) = 35dB 0 ϕ(ωc ) = −270 GM = −35dB ΦM =1800 + (−2700 ) = −900 −180 ΦM Do GM<0 và ΦM<0 ϕ(ω ) C nên hệ thống kín không ω ω −π C ổn định. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97 Tiêu chuẩn ổn định tần số Chú ý ‘ Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm truyền hở là G(s)H(s) . 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 98