Bài giảng Kỹ thuật Đại cương (PGS.TS. Lê Bá Sơn) - Chương 2 CƠ HỌC

CHƯƠNG 2 CƠ HỌC Cơ học là một trong các môn học quan trọng của các trường đại học kỹ thuật. Cơ học cung cấp những kiến thức nền tảng cho các môn kỹ thuật cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành. Với việc nghiên cứu các chuyển động có vận tốc nhỏ so với vân tốc ánh sáng, môn cơ học cổ điển rất thích hợp. Đây là môn cơ học do các nhà khoa học vĩ đại sáng lập dựa trên các quan niệm không gian và thời gian của Galilê và các định luật của Newton.Thành tựu vĩ đại của khoa học và sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật khẳng định tính đúng đắn, khoa học của môn cơ học này. Chúng ta sẽ nghiên cứu các phần động học và động lực học của môn cơ học cổ điển này. Một vấn đề vô cùng quan trọng trong nghiên cứu cơ học nói riêng và khoa học kỹ thuật nói chung đó là hệ đơn vị. Trong phần cơ học chúng ta sử dụng hệ SI. Chất điểm là vật có kích thước nhỏ so với các khoảng cách hoặc các vật khác mà ta đang khảo sát. Vật rắn là tập hợp các chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ là không đổi . Hệ quy chiếu là vật chọn làm mốc để nghiên cứu chuyển động của các vật khác. Theo quan niệm của Galile và Newton khi nghiên cứu cơ học thì khoảng không gian và thời gian là tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ quy chiếu, còn vị trí chất điểm hay vật trong không gian là tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn . 2.1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Cơ học nghiên cứu chuyển động của các vật.Trong khi khảo sát chuyển động của chất điểm, nguời ta thường sử dụng hai hệ toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự nhiên ( toạ độ cong). Trong hai hệ này các véc tơ gia tốc, vận tốc được được biểu diễn dưới dạng khác nhau . 2.1.1.Chuyển động của chất điểm trong hệ Đề các a/Phương trình chuyển động: Phương trình chuyển động là phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa tọa độ của chất điểm vào thời gian. A x z y · · M M/ (C) O Hình 2.1 (2-1) b/ Vận tốc chất điểm Vận tốc chuyển động của chất điểm là đại lượng đặc trưng cho sự nhanh chậm, phương chiều của chuyên động. Biểu thức của vận tốc (m/s2 ) (2-2) còn độ lớn vận tốc c/ Véc tơ gia tốc Véc tơ gia tốc của chất điểm là đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi của véc tơ vận tốc. Biểu thức gia tốc (2-3) O S + Hình 2-2. Hệ tọa độ tự nhiên Thành phần gia tốc trên các trục còn độ lớn gia tốc 2.1.2.Chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ tự nhiên Chất điểm chuyển động trên quỹ đạo chọn gốc tọa độ điểm 0, chiều chuyển động là chiều dương. Gọi là véc tơ đơn vị tiếp tuyến, là đơn vị pháp tuyến với đường cong tại M . Véc tơ có chiều dương hướng theo chiều dương của đường cong còn hướng vào phía lõm quỹ đạo, véc tơ vuông góc với hai véc tơ ,. Hệ tọa độ có các véc tơ đơn vị như trên,,được gọi là hệ đơn vị tự nhiên. 2.1.2.1.Phương trình chuyển động Phương trình chuyển động của chất điểm dọc theo quỹ đạo đã cho : 2.1.2.1.Vận tốc chuyển động của chất điểm Véc tơ vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo có độ lớn: (2-4) “Vận tốc tại một thời điểm nào đó có giá trị bằng đạo hàm của toạ độ cong S của chất điểm theo thời gian”. Với quy ước trên, vận tốc tại : (2-5) 2.1.2.2.Véc tơ gia tốc trong hệ toạ độ tự nhiên · M Hình 2-3 (2-6) Hay: Gia tốc tiếp tuyến : - cùng phương với vận tốc - cùng chiều với vận tốc nếu chuyển động nhanh dần , ngược chiều với vận tốc nếu chuyển động là chậm dần. Hình 2-4. Tổng hợp vận tốc và gia tốc x’ x y’ z z’ O’ O - có độ lớn at = Gia tốc pháp tuyến : - có phương vuông góc với vận tốc, hướng vào tâm - có chiều hướng vào phía lõm của quỹ đạo - có độ lớn (2-7) 2.1.3.Tổng hợp vận tốc và gia tốc Chất điểm chuyển động với vận tốc và vận tốc trong hệ quy chiếu O’, mà hệ quy chiếu O’ chuyển động tịnh tiến với vận tốc và gia tốc so với hệ quy chiếu O thì vận tốc và gia tốccủa chất điểm trong hệ quy chiếu O: O M D v dS R b w Hình 2-5. Các đại lượng đặc trưng cho chyển động tròn. (2-8) 2.2.ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 2.2.1.Các đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay Khi một vật quay quanh một trục cố định vị trí của vật có thể xác định bởi a/Phương trình chuyển động của vật : (2-9) b/Vận tốc góc của vật : là đại lượng biểu thị tốc độ và chiều quay của vật đặc trưng cho sự nhanh chậm trong chuyển động quay. ( rad/s) (2-10) nếu n là số vòng/phút thì trị số của vận tốc góc : , c/Gia tốc góc của vật ( rad/s2) (2-11) Chú ý : : vật quay nhanh dần - : vật quay chậm dần 2.2.2.Chuyển động quay đặc biệt - Quay đều suy ra - Quay biến đổi đều (2-12) khi chuyển động là nhanh dần đều khi chuyển động là chậm dần đều 2.2.3.Liên hệ giữa vận tốc gia tốc với vận tốc góc, gia tốc góc Phương trình chuyển động của một điểm trên vật : s = OM = Vận tốc chất điểm : với (2-13) Gia tốc của chất điểm ; độ lớn a Với: Gia tốc tiếp tuyến (2-14) Gia tốc pháp tuyến (2-15) O ( tăng) ( giảm) Hình 2-6. Chuyển động tròn nhanh dần và chậm dần O 2.2.4.Truyền động giữa các bánh xe Khi hai bánh xe tiếp xúc với nhau vận tốc điểm tiếp xúc giữa 2 bánh xe là như nhau : v1 = v2 tỷ số vận tốc góc giữa 2 bánh( tỷ số truyền) : (2-16) XA YA A B Y X y x O Hình 2-7. Phân tích chuyển động song phẳng r 2.3.CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 2.3.1. Cơ sở lý thuyết 2.3.1.1.Định nghĩa : Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà tất cả các điểm của vật luôn luôn chuyển động song song với mặt phẳng cố định nào đó. Ví dụ : + bánh xe ôtô, xe đạp là vật rắn chuyển động song phẳng khi chúng lăn trên doạn đường thẳng . + Cơ cấu tay quay thanh truyền + Vật chuyển động tịnh tiến hoặc vật rắn quay quanh trục cố định là trường hợp đặc biệt của chuyển động sóng phẳng. 2.3.1.2. Phương trình chuyển động song phẳng : Chuyển động song phẳng có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến cùng với điểm cực A và chuyển động quay quanh cực đó cực đó. Hệ xAy chuyển động tịnh so với XOY cố định, tọa độ A được xác định: Và vật quay quanh cực A theo phương trình : A B Hinh 2-8 (t) (2-18) Các yếu tố đặc trưng cho chuyển động song phẳng : : vận tốc,gia tốc điểm A trên vật , vận tốc góc và gia tốc góc của vật, chúng không phụ thuộc vào điểm A 2.3.2. Xác định vận tốc và gia tốc của điểm trên hình phẳng 2.3.2.1. Quan hệ vận tốc giữa 2 điểm : (2-19) Trong đó chiều phụ thuộc vào và có trị số (2-20) 2.3.2.2. Hình chiếu của các vận tốc lên phương bán kính 2.3.2.3. Tâm vận tốc tức thời P Tại mỗi điểm trên hình phẳng bao giờ cũng có một điểm P mà vP = 0 Khi vật chuyển động song phẳng bao giờ cũng có một đểm P mà vận tốc của nó VP = 0. Tâm vận tốc tức thời P có thể nằm trên vật hoặc nằm ngoài vật. 2.3.3. Gia tốc của điểm thuộc vật hay: (2-21) Trong đó: HƯỚNG DẪN BÀI TẬP Bài M-1: Chất điểm M có phương trình chuyển động : (m/s) Xác định : a/ Quỹ đạo của chất điểm và vận tốc gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5 (s). b/ Gia tốc pháp tuyến và bán kính cong của quỹ đạo tại thời điểm trên Bài giải: Phương trình trên có thể viết dưới dạng toạ độ của hệ Đề các : x = 4t (a) (x,y: m; t:s) y= 16t2 +1 (b) từ (a) rút ra t = , đặt giá trị này vào (b) ta có phương tình quỹ đạo: y= x2 + 1 Vận tốc của chất điểm : Vx = 4 (m/s) Vy = 32 t (m/s) Gia tốc của chất điểm: ax=0 ay =32(m/s2) Khi t = 0,5 (s): Bài M-2. Hệ ròng rọc như hình 2- 9. Ở thời điểm vật I được nâng với vận tốc , gia tốc vật II hạ xuống với vận tốc , gia tốc. Ròng rọc có bán kính R. Tìm vận tốc góc của ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C, gia tốc điểm B Bài giải 1.Phân tích chuyển động: Vật I và II chuyển động tịnh tiến, hai ròng rọc nhỏ quay quanh trục cố định,ròng rọc động chuyển động song phẳng. Khi không có trượt giữa dây và ròng rọc thì: V1= VA; a1=atA; V2= VB; a2=atB Như vậy trên ròng rọc động đã biết: 2. Trên ròng rọc động biết vận tốc hai điểm, do đó tìm được tâm vận tốc tức thời P ( Hình 2-12a) Vận tốc góc của ròng rọc: (a) Vận tốc tâm C: (b) Nếu V2 > V1 tâm C sẽ chuyển động lên, khi V2 < V1 tâm C hạ xuống; nếu V2=V1 thì VC = 0 A C b) Hình 2 -9 3. Gia tốc: Biểu thức (a) đúng với mọi thời điểm vì thế gia tốc góc của ròng rọc động: thuận chiều kim đồng hồ. Vì tâm C chuyển động thẳng, nên gia tốc cùng phương với vận tốc theo (b) ta có Nếu a2 > a1 thì hướng lên. Biết gia tốc điểm C, chọn C làm cực ta có thể xác định gia tốc điểm B: hướng từ B đến C: phù hợp với chiều của Hay: BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 2-1. Chất điểm chuyển động theo quy luật: Tìm: a/ Trị số vận tốc và gia tốc của chất điểm khi chất điểm cắt trục ox lần thứ nhất kể từ khi bắt đầu chuyển động. b/ Vận tốc của chất điểm tại điểm cao nhất trên quỹ đạo. Trả lời: Bài 2-2. Chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R theo quy luật: Tìm : a/ Trị số gia tốc của chất điểm; b/ Thời điểm và số vòng khi chất điểm chuyển động có gia tốc bằng b. Trả lời : a/. b/ lúc . Bài 2-3. Hai chất điểm bắt đầu chuyển động từ một điểm trên vòng tròn bán kính R=16(m) theo hai chiều ngược nhau. Điểm thứ nhất chuyển động theo quy luật với b = const; điểm thứ hai có gia tốc . Khi hai điểm gặp nhau có thì gia tốc điểm thứ hai là . Tìm b và thời điểm gặp nhau. Hướng dẫn : vận tốc điểm thứ hai vì vật thứ hai bắt đầu chuyển động nên s2= 4t2 . Khi hai chất điểm gặp nhau thì s2 + s1= Bài 2-4. Một chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R=8(m) với tâm C có tọa độ (8,0)Vị trí chất điểm trên đường tròn được xác định bởi bán kính véc tơ của chất điểm và trục ox. a/ Lập phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ tự nhiên. Xác định vận tốc, gia tốc toàn phần của chất điểm lúc đầu và lúc hướng của chuyển động thay đổi. b/Lập phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ Đề các. Trả lời : a/ Bắt đầu t = 0; khi chuyển hướng vận tốc đổi dấu v = 0; . b/ Bài 2-5. Một bánh xe bắt đầu quay nhanh dần đều. Khi t =1(s), điểm cách trục quay một khoảng r1=2(m) có gia tốc a=2(m/s2). Tìm gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng r2=4(m) lúc t=2(s). Trả lời: at=4(m/s2) ; an= 16(m/s2); a=(m/s2). Bài 2-6. Một vật quay quanh trục cố định theo phương trình: Hãy : a/Xác định tính chất chuyển động của vật ở các thời điểm t1=1(s); t2=2(s). b/ Vận tốc và gia tốc tại điểm cách trục quay một khoảng r = 0,2(m) ở các thời điểm trên. Trả lời: a/ khi chuyển động nhanh dần ; t1=1(s) chuyển động chậm dần còn t2 = 2(s) chuyển động nhanh dần. b/ Bài 2-7. Quả câu nhỏ A treo ở đầu sợi dây dài l=398(cm), dao động trong mặt phẳng theo phương trình: Tìm: D C E B A Hình 2-10 a/ Tìm thời điểm đầu tiên để gia tốc pháp tuyến bằng không và thời điểm đầu tiên để gia tốc tiếp tuyến bằng không. b/ Gia tốc toàn phần lúc t=2(s). Trả lời: t = 1(s) ; t = 2(s) ; a=282,95(cm/s2) Bài 2.8. Một đĩa phẳng bán kính R = 0,5m lăn trên một mặt phẳng nghiêng. Tại thời điểm khảo sát tâm đĩa có vận tốc VA = 1m/s và gia tốc aA= 3m/s2. Tìm: a/ Vận tốc các điểm E,D và B . b/ Gia tốc góc của đĩa và gia tốc các điểm E,C. Biết BD CE và CE song song với mặt phẳng nghiêng. Trả lời: = 2(rad/s) , = 6(rad/s2), VC = VE = m/s; VD = O, VB = 2(m/s); aB = 2(m/s2); aC= 3,16(m/s2). E D h Hình 2-12 B O H C A E C O D B r Hình 2-11.Cơ cấu hành tinh Bài 2.9. Cơ cấu hành tinh có tay quay OA quay với vận tốc góc = const . Cho bánh xe I bán kính r lăn không trượt theo vành trong của bánh cố định có bán kính OA= R = 3r. Tìm : a/ Vận tốc các điểm C, D, E trên bánh I b/ Gia tốc các điểm D và C . Cho BD CE. Trả lời : vC = v E =2r ; vD =4r ; aB = 6r2; aC= 3r ; Bài 2-9. Một đĩa phẳng được cuốn bằng sợi dây có đầu B cố định. Đĩa có bán kính R rơi xuống thẳng đứng không vận tốc đầu và mở dần dây ra (Hình 2-12). Tâm đĩa có vận tốc; h là khoảng cách của tâm đĩa từ vị trí đầu đến vị trí khảo sát. Tìm vận tốc, gia tốc của các điểm D và E , biết DE CH. Trả lời: vD = 0 ; vE = ; aD=; aE = A M Hình 2-13 O C Bài 2-10. Con lăn hai tầng, bán kính R =20cm, r = 10cm lăn không trượt trên mặt phẳng ngang (Hinh 2-12) . Tầng trong được cuốn dây và buộc vào vật M . Tìm gia tốc điểm cao nhất A lúc t = 1s khi vật M rơi xuống với vận tốc v = 3t (m/s). Hướng dẫn: Điểm O chuyển động thẳng. Tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc với đất. ;