Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4 Tự tương quan (Autocorrelation)

Chương 4: Tự tương quan (Autocorrelation)Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quan Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan Ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất khi có tự tương quan Hậu quả của việc sử dụng phương pháp OLS khi có tự tương quan Phát hiện tự tương quanCác biện pháp khắc phụcBản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quanTự tương quan là gì ?Trong mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển, ta giả định rằng không có tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên ui, nghĩa là: cov(ui, uj) = 0 (i  j) Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả định rằng sai số ứng với quan sát nào đó không bị ảnh hưởng bởi sai số ứng với một quan sát khác.Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quanTuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà sai số của các quan sát lại phụ thuộc nhau, nghĩa là: cov(ui, uj)  0 (i  j) Khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan.Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát “cắt ngang” đgl “tự tương quan không gian”.Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát “chuổi thời gian” đgl “tự tương quan thời gian”.t(a)t(b)t(c)t(d)t(e)ui, eiui, eiui, eiui, eiui, eiNguyên nhân của tự tương quanQuán tính: mang tính chu kỳ, VD: các chuổi số liệu thời gian về: GDP, chỉ số giá, sản lượng, thất nghiệp, Sai lệch do lập mô hình: bỏ sót biến, dạng hàm sai.Hiện tượng mạng nhện: phản ứng của cung của nông sản đối với giá thường có một khoảng trễ về thời gian: QSt = 1 + 2Pt-1 + utĐộ trễ: một hộ chi tiêu nhiều trong khoảng thời gian t có thể do chi tiêu ít trong giai đoạn t-1 Ct = 1 + 2It + 3Ct-1 + utHiệu chỉnh số liệu: do việc “làm trơn” số liệu  loại bỏ những quan sát “gai góc”.Bản chất (tt)Dạng mô hình saiqMCƯớc lượng OLS khi có tự tương quanGiả sử tất cả các giả định đối với mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển đều thoả mãn trừ giả định không tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên ut. và không còn là ước lượng hiệu quả nữa, do đó nó không còn là ước lượng không chệch tốt nhất. Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quanXét mô hình với số liệu chuổi thời gian: Yt = 1 + 2Xt + utTa giả thuyết: ut được tạo ra theo cách sau: ut = ut-1 + et (-1 một số cải biên kiểm định d: H0:  = 0; H1:  >0. Nếu d p2 tra bảng ở một mức ý nghĩa cho trước, ta bác bỏ giả thuyết H0.Kiểm định 2 về tính độc lập của các phần dưR1 = A11 + A12; R2 = A21 + A22; C1 = A11 + A21; C2 = A12 + A22; n là tổng số phần dư ở t và t – 1; n = R1 + R2 = C1 + C2. Eij là tần số lý thuyết ở ô chứa Aij (i, j = 1, 2)Số phần dư dương tại tSố phần dư âm tại tTổngSố phần dư dương tại t - 1A11(E11)A12(E12)R1Số phần dư âm tại t - 1A21(E21)A22(E22)R2TổngC1C2nKiểm định 2 về tính độc lập của các phần dưTrong đó: A11 là số phần dư dương tại t – 1 và t A12 là số phần dư dương tại t – 1 và âm tại t. A21 là số phần dư âm tại t – 1 và dương tại t A22 là số phần dư âm tại t – 1 và âm tại t. Kiểm định 2 về tính độc lập của các phần dưĐể kiểm định giả thuyết về tính độc lập của các phần dư ta có thể tiến hành kiểm định giả thuyết H0: Các hàng và cột độc lập với nhau; với giả thuyết đối: H1: Các hàng và cột không độc lập với nhau. Để kiểm định giả thuyết H0 nêu trên ta dùng tiêu chuẩn kiểm định 2: Kiểm định 2 về tính độc lập của các phần dưEij là tần số lý thuyết ở ô chứa Aij (i, j = 1, 2)Eij = (i, j =1, 2) Vậy qui tắc quyết định là: nếu giá trị của thống kê 2 tính được vượt quá giá trị tới hạn (với mức ý nghĩa ) thì ta có thể bác bỏ giả thuyết H0 về tính độc lập của các phần dư. Nếu xảy ra trường hợp trái lại thì ta chấp nhận giả thuyết H0. Các biện pháp khắc phụcNhững việc cần làm khi phát hiện sự tự tương quan:Hãy xem xét xem hiện tượng này có phải là tự tương quan thuần túy (pure autocorrelation) hay là do xác định dạng mô hình sai.Nếu là tự tương quan thuần túy, ta dùng những cách chuyển đổi mô hình thích hợp.Đối với mẫu lớn, ta có thể dùng phương pháp Newey-West để thu thập s.e. của các ước lượng OLS đã được điều chỉnh cho tự tương quan.Trong một số trường hợp, ta có thể tiếp tục dùng OLS.Các biện pháp khắc phục1. Trường hợp đã biết cấu trúc của tự tương quan: Phương pháp GLS:Trong thực hành, người ta thường giả sử rằng ut theo mô hình tự hồi qui bậc nhất, nghĩa là: ut = ut-1 + et (*)Trong đó  xấp xỉ và có thể không đúng với mẫu nhỏ. Đối với các mẫu nhỏ có thể sử dụng thống kê d cải biên của Theil – Nagar. Một khi có được giá trị của , ta có thể dùng các chuyển đổi như đã nêu ở trên 2. 3 Thủ tục lặp Cochrance – Orcutt để ước lượng  Phương pháp này sử dụng các phần dư et đã được ước lượng để thu được thông tin về  chưa biết. Ta xét phương pháp này dựa trên mô hình hai biến sau: yt = 1 + 1xt + ut (4.34)Giả sử ut được sinh ra từ phương trình AR(1): ut = ut – 1 + et (4.35) Các bước ước lượng  được tiến hành như sau:Các bước ước lượng  được tiến hành như sau:Bước 1: Ước lượng mô hình (4.34) bằng phương pháp OLS và thu được các phần dư et. Bước 2: Sử dụng các phần dư để ước lượng hồi qui: et = et – 1 + vt (4.36)Lưu ý đây là hồi quy qua gốc. Do et là ước lượng vững của ut thực nên ước lượng  có thể thay cho  thực.Bước 3: sử dụng thu được từ (4.36) để ước lượng phương trình sai phân tổng quát (4.26). Tức phương trình: yt - yt – 1 = 1 (1 - ) + 1(xt - xt –1) + (ut – ut –1)Hay yt* = 1* + 1* xt* + vt Bước 4: Vì chúng ta chưa biết trước rằng thu được từ (4.36) có phải là ước lượng tốt nhất của  hay không. Ta thế giá trị ước lượng của 1* và 1* thu được từ (4.37) vào hồi qui gốc (4.34) và thu được các phần dư mới et*: et* = yt – (1* + 1* xt) (4.38)Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (4.36). et* =  e*t – 1 + wt (4.39) là ước lượng vòng 2 của . Thủ tục này tiế tục cho đến khi các ước lượng kế tiếp nhau của  khác nhau một lượng rất nhỏ, chẳng hạn nhỏ hơn 0,05 hoặc 0, 005. 2. 4 Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng Để minh hoạ phương pháp này, chúng ta viết lại phương trình sai phân tổng quát dưới dạng sau: yt = 1(1 - ) + 1 xt – 1xt – 1 + yt – 1 + et (4.40)Durbin đã đề xuất thủ tục 2 bước như sau để ước lượng :Bước 1: Coi (4.40) như là một mô hình hồi qui bội, hồi qui yt theo xt, xt – 1 và yt – 1 và coi giá trị ước lượng được đối với hệ số hồi qui của yt – 1 (= ) là ước lượng của . Mặc dầu là ước lượng chệch nhưng ta có ước lượng vững của . 2. 4 Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng Bước 2: Sau khi thu được , hãy biến đổi yt* = yt - yt – 1 và xt* = xt - xt –1 và ước lượng hồi qui (4.27) với các biến đã được biến đổi như trên. Như vậy, theo phương pháp này thì bước 1 là để ước lượng  còn bước 2 là để thu được các tham số. Ví dụ: Cho các số liệu về thu nhập (Y) và tiêu dùng (C) trong khoảng thời gian từ 1975-2005 cho ở bảng (4.5). Hồi qui C theo Y ta được kết quả: = -161,5117 + 0,6841864Yt Durbin – Watson d – statistic (2,31) = 0,6838804. Tra bảng với n = 31; k = 1; Ta được dL = 1,363; dU = 1,496. Vì d < dL do đó có tự tương quan dương. Ví dụ: (tt)Áp dụng phương pháp Durbin –Watson 2 bước:Ước lượng : = -2,1583 + 0,361183 Yt – 0,33515 Yt - 1 + 0,97472 Ct – 1Durbin – Watson d-statistic (4,30) = 1,724628 Từ kết quả trên, ta thấy = 0,97472. Dùng để ước lượng phương trình sai phân tổng quát, ta được kết quả: = 31,53429 + 0,41511Yt*Durbin – Watson d-statistic (2,30) = 1,38332. Phương pháp Newey-West để điều chỉnh sai số chuẩn của ước lượng OLSCác phương pháp trước chủ yếu tiến hành qua 2 bước: 1) ước lượng giá trị , và 2) dùng giá trị  vừa được ước lượng để chuyển đổi mô hình hồi quy.Phương pháp Newey-West dựa trên các ước lượng OLS nhưng điều chỉnh sai số chuẩn để khắc phục sự tự tương quan. Thuật toán để điều chỉnh s.e. này không được trình bày ở đây vì rất phức tạp, các phần mềm máy tính mới đều tính được các s.e. điều chỉnh này.Sai số chuẩn đã được điều chỉnh đgl “sai số chuẩn HAC” hay “sai số chuẩn Newey West”.