Bài giảng giải tích 4

x, y x, y : c y d,x y x x y= £ £ £ £ thì từ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 x y z x,yd c x y z x,y I dy dx f x,y,z dzÞ = ò ò ò . Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể xét đến hình chiếu của T lên các mặt phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau. Đặc biệt nếu T là hình hộp chữ nhật ( ){ }T x, y,z : a x b,c y d,e z f= £ £ £ £ £ £ thì I = ( ) b d f a c e dx dy f x, y,z dzò ò ò (2) 12 và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý. Nếu ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3f x,y,z f x .f y .f z= và T là hình hộp chữ nhật thì ( ) ( ) ( ) b d f 1 2 3 a c e I f x dx. f y dy. f z dz= ò ò ò . Ví dụ. Tính các tích phân a) T xydxdydz,T : x 0, y 0,z 0,x y z 1³ ³ ³ + + £òòò , b) 2 2 2 T zdxdydz,T : 0 z R x y£ £ - -òòò . 3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp. 1. Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp. Xét tích phân I = ( ) T f x, y,z dxdydzòòò , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T. Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w); ( ) *u,v,w TÎ (3) thỏa mãn các điều kiện sau: a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được *T O'uvwÌ . b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền *T lên miền T. c) Định thức hàm Jacobi ( ) ( ) ( ) u u u * v v v w w w x ' y ' z ' D x,y,z J x ' y ' z ' 0, u,v,w T D u,v,w x ' y ' z ' = = ¹ " Î (có thể trừ một số điểm). Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp ( ) ( ) ( ) ( ) *T T f x, y,z dxdydz f x u,v,w , y u,v,w ,z u,v,w J dudvdw= é ùë ûòòò òòò . (4) 2. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ. Tọa độ trụ của điểm ( )M x, y,z OxyzÎ là bộ ba số ( )r, ,zj , trong đó( )r,j là tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ x rcos ,y rsin ,z z ;r 0,0 2 , zj j j p= = = ³ £ £ -¥ < < +¥ . Nếu r 0, 0 2 , z> £ < - ¥ < < +¥j p thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có ( ) ( ) ( ) * cos sin 0 D x, y,z J rsin rcos 0 r 0, r, ,z T D r, ,z 0 0 1 j j j j j j = = - = ¹ " Î (trừ các điểm thuộc trục Oz). Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ 13 ( ) ( ) *T T f x, y,z dxdydz f r cos ,r sin ,z rdrd dzj j j=òòò òòò . (5) Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. - Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn. Ví dụ. Tính các tích phân a) 2 2 2 2 T z x y dxdydz,T : x y 2y,0 z a+ + £ £ £òòò . b) ( )2 2 2 2 2 T x y z dxdydz,T : x z y a+ + + £ £òòò . 3. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu. Tọa độ cầu của điểm ( )M x, y,z OxyzÎ là bộ ba số( )r, ,q j , trong đó r OM,= ( )Oz,OM ,q = uur uuuur ( )Ox,OM'j = uuur uuuur , M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ x rsin cos , y rsin sin , z r cos ; r 0, 0 2 , 0= = = ³ £ £ £ £q j q j q j p q p . Nếu r 0, 0 2 , 0> £ < £ <j p q p thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có ( ) ( ) ( ) 2 *D x, y,zJ r sin 0, r, , T D r, , q q j q j = = ¹ " Î (trừ các điểm thuộc trục Oz). Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu ( ) ( ) * 2 T T f x, y,z dxdydz f rsin cos , rsin sin , rcos r sin drd d=òòò òòò q j q j q q q j . (6) Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. - Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 0 2 p q£ £ . - Biểu thức 2 2 2x y z+ + trong hệ tọa độ cầu chính là 2r . - Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phần của hình cầu, vành cầu. Ví dụ : Tính các tích phân a) ( )2 2 2 2 2 2 T x y dxdydz,T : x y z R ,x 0, y 0,z 0;R 0+ + + £ ³ ³ ³ >òòò , b) 2 2 2 2 2 2 T x y z dxdydz,T : x y z z+ + + + £òòò . $4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP 4.1 Ứng dụng trong hình học. 4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo được D được tính theo công thức ( ) D S D dxdy= òò . 14 Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường a) 2 2 2 2y 2px, y 2qx,x 2ry,x 2sy;0 p q,0 r s= = = = < < < < . b) ( )2 2 2 2 3, 2 0 , , 2 x y ax x y ax a y x y x+ = + = > = = . 4.1.2 Tính diện tích của mặt. Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z = f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công thức 2 2 D S 1 p q dxdy= + +òò , trong đó 2 2x yp z ' ,q z ' ,dS 1 p q dxdy= = = + + . Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = nằm trong mặt trụ 2 2x y 2x+ = . 4.1.3 Tính thể tích của vật thể. 1. Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được T 3Ì R được tính theo công thức ( ) T V T dxdydz= òòò . 2. Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt ( )1z z x,y= , phía trên bởi mặt ( )2z z x, y= , trong đó các hàm ( ) ( )1 2z x, y và z x, y liên tục trong miền D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo công thức ( ) ( ) ( )2 1 T D V T dxdydz z x, y z x, y dxdy= = -é ùë ûòòò òò . Ví dụ. Tính thể tích của phần hình trụ 2 2 2x y ax+ = , 0a > nằm giữa paraboloid 2 2 2x y az+ = và mặt phẳng Oxy . 4.1 Ứng dụng trong vật lý. 4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý. Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm M(x,y) DÎ là ( )x,yr , giả thiết hàm ( )x,yr liên tục trong miền D. Ta có 1. Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức D m (x, y)dxdyr= òò . 2. Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức G G D D 1 1x x (x, y)dxdy ; y y (x, y)dxdy m m r r= =òò òò . Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì G G D D 1 1x xdxdy ; y ydxdy S(D) S(D) = =òò òò , trong đó S(D) là diện tích của miền D. 15 Ví dụ. Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a, OB = b. Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến cạnh OA. Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng. 4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý. Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) TÎ là ( )x, y,zr , giả thiết hàm ( )x, y,zr liên tục trong miền T. Ta có 1. Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức ( ) T m x, y,z dxdydzr= òòò . 2. Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức ( ) ( )G G T T 1 1x x x,y,z dxdydz ; y y x,y,z dxdydz ; m m r r= =òòò òòò ( )G T 1z z x, y,z dxdydz m r= òòò Đặc biệt. Nếu T là vật thể đồng chất thì ( ) ( ) ( )G G GT T T 1 1 1x xdxdydz ; y ydxdydz ; z zdxdydz V T V T V T = = =òòò òòò òòò , trong đó V(T) là thể tích của miền T. Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T: 2 2 2 2 2a x y z b ,0 a b£ + + £ < < . Biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) TÎ bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón 2 2z x y= + và mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = . 16 Chương II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT $1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1.1 Một số khái niệm về đường cong: Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t) ; [ ]t a;bÎ (1) Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là: 1. Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2x t ,y t x t , y t ; t , t a;b , t t¹ " Î ¹ . Ngoài ra nếu ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x a ,y a x b ,y bº thì (C) là đường cong đóng (kín). Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín). 2. Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) [ ]2 2x ' t y ' t 0, t a;b+ ¹ " Î . 3. Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn. Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm ( ) ( )( )1 1M x t ,y t đứng trước điểm ( ) ( )( ) [ ]2 2 1 2 1 2N x t , y t t t , t , t a;bÛ < " Î . Khi đó điểm ( ) ( )( )A x a ,y a= gọi là điểm đầu, điểm ( ) ( )( )B x b , y b= gọi là điểm cuối. Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có hướng. Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B). Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng, Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miền khác nhau với biên chung (C), một miền bị chặn (phần trong), một miền không bị chặn (phần ngoài). Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan. Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại gọi là hướng âm. Chú ý: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các ( ) [ ]y y x ,x a;b= Î , có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt ( ) [ ]x t,y y t ; t a;b= = Î . 2. Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;bÎ cũng được định nghĩa tương tự. 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): 1.2.1 Bài toán tính khối lượng của đường cong: 1.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn. Trên ( )C cho hàm f(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch p chia ( )C thành n cung nhỏ tùy ý 17 bởi các điểm chia: 0 1 nA A ,A ,...,A Bº º . Đặt isD là độ dài của cung nhỏ thứ i, i 1,n= ; ( ) i1 i nd max sp £ £= D là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ ¼ i 1 iA A- lấy điểm ( )i i iM ,x h bất kỳ. Lập tổng tích phân: ( ) ( ) n n i i i i i i 1 i 1 f M s f , sps x h = = = D = Då å . Ta thấy ps phụ thuộc vàop và các điểm chọn ( )i i iM ,x h . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( )d 0 lim Ipp s® = mà giới hạn đó không phụ thuộc vào p và các điểm chọn ( )i i iM ,x h thì I được gọi là tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên ( )C . Ký hiệu ( ) ( )C f x,y dsò (2) Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên ( )C . Nhận xét: 1. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của ( )C . 2. Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z) lấy trên đường cong không gian ( )C và ký hiệu ( ) ( )C f x, y,z dsò . 3. Nếu ( )C trơn hoặc trơn từng khúc và f(x,y) liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại một ( ) ( )C f x, y dsò . 4. Độ dài của đường cong ( )C được tính theo công thức ( )C l ds= ò . 5. Khối lượng của đường cong phẳng ( )C được tính theo công thức ( ) ( )C m x,y dsr= ò , trong đó ( )x,yr là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc ( )C , ( )x,yr liên tục trên ( )C . Khối lượng của đường cong không gian ( )C được tính theo công thức ( ) ( )C m x, y,z dsr= ò , trong đó ( )x, y,zr là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) thuộc ( )C , ( )x, y,zr liên tục trên ( )C . 6. Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 1.3 Cách tính tích phân đường loại một: 1.3.1 Định lý: Giả sử ( )C là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu f(x,y) liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại 18 một ( ) ( )C f x,y dsò và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 2 2 C a f x, y ds f x t , y t x ' t y ' t dt= +é ùë ûò ò . (3) Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử p là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con[ ]i 1 it ; t ,i 1,n- = . Lập tổng tích phân: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 tn n 2 2 i i i i i i 1 i 1 t f , s f x , y x ' t y ' t dt - = = ì üï ï= D = +é ùí ýë û ï ïî þ å å òps x h t t (4) trong đó [ ] ( ) ( ) ( )( )i i 1 i i i i i i it ; t ,i 1,n và M ; M x ;yt x h t t-Î = = . Mặt khác tích phân I ở vế phải của (3) có thể biểu diễn dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 tn 2 2 i 1 t I f x t , y t x ' t y ' t dt - = = +é ùë ûå ò (5) Từ (4) và (5) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) i i 1 tn 2 2 i i i 1 t I f x , y f x t , y t x ' t y ' t dtps t t - = - = - +é ù é ùë û ë ûå ò (6) vì f(x,y) và x(t), y(t) liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó liên tục đều trên đoạn đó. Ngoài ra khi ( )d 0p ® thì i i i 1t t t 0, i 1,n-D = - ® " = . Do đó 0e" > bé tùy ý, ( )0 : mà dd p p d$ > " < thì ( ) ( ) ( ) ( )i if x ,y f x t , y t l e t t - <é ù é ùë û ë û (7) trong đó l là độ dài của đường cong (C). Giả sử ( ) d p d< khi đó từ (7) ta được ( ) ( ) i i 1 tn 2 2 i 1 t I x ' t y ' t dt l - = - < + =å òp e s e Vậy ( )d 0 lim Ipp s® = . W Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các ( ) [ ]y y x ,x a;b= Î thì: ( ) ( ) ( ) ( ) b 2 C a f x, y ds f x, y x 1 y' x dx= +é ùë ûò ò 2. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực ( ) [ ]r r , ;j j a b= Î thì: 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 C f x, y ds f r cos ,r sin r r ' d b a j j j j j j j= +é ùë ûò ò . 3. Nếu ( )C đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;bÎ và f(x,y,z) liên tục trên ( )C thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 2 2 2 C a f x, y,z ds f x t , y t ,z t x ' t y ' t z ' t dt= + +é ùë ûò ò . Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia ( )C thành hữu hạn cung trơn. 1.3.2 Các ví dụ: 1. Tính các tích phân: a) ( ) ( ) ( ) C I x y ds, C= +ò là biên của tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0), B(0;1). b) ( ) ( ) C I xyzds, C= ò là một đoạn của đường đinh ốc: [ ]x a cos t, y asin t,z b t; t 0;2 ,a,b 0= = = Î >p . 2. Tính khối lượng của đường tròn ( )C : 2 2x y ax,a >0+ = , biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x;y) thuộc ( )C bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ. $2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ): Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng. Trên ( )C cho các hàm hai biến ( ) ( )P P x,y ,Q Q x, y= = liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch p chia ( )C thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia 0 1 nA A ,A ,...,A Bº º . Đặt isD là độ dài của cung ¼i 1 iA A- ; ixD , iyD , i 1,n= lần lượt là hình chiếu của cung ¼i 1 iA A- lên trục hoành và trục tung, ( ) i1 i nd max sp £ £= D là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ ¼i 1 iA A- lấy điểm ( )i i iM ,x h bất kỳ. Lập các tổng tích phân ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i i i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 P M x P , x và Q M y Q , yx h x h = = = = D = D D = Då å å å . Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i id 0 d 0i 1 i 1 lim P , x và lim Q , y p p x h x h ® ® = = D Då å mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào p và các điểm chọn ( )i i iM ,x h thì chúng được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = lấy trên đường cong ( )C . Ký hiệu 20 ( ) ( ) ( ) ( )C C P x, y dx và Q x,y dyò ò . Tổng của chúng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát. Ký hiệu ( )C Pdx Qdy+ò . Nhận xét: 1. Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của( )C : ( ) ( )C A,B C B,A Pdx Qdy Pdx Qdy+ = - +ò ò 2. Đối với đường cong đóng, có hướng dương tích phân đường loại hai được định nghĩa: ( ) ( ) ( )C AmB BnA Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy+ = + + +ò ò òi , trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc( )C . Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa: ( )C Pdx Qdy Pdx Qdy+ = - +ò òj i . 3. Nếu ( )C trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại hai ( )C Pdx Qdy+ò . 4. Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến ( ) ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z ,R R x, y,z= = = lấy trên đường cong không gian ( )C . Ký hiệu là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C P x, y,z dx , Q x, y,z dy và R x, y,z dzò ò ò . Tổng của chúng cũng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát và ký hiệu là ( )C Pdx Qdy Rdz+ +ò . 5. Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 2.2 Cách tính tích phân đường loại hai: 2.2.1 Định lý: Giả sử( )C là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại hai ( )C Pdx Qdy+ò và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } b C a Pdx Qdy P x t ,y t x ' t Q x t ,y t y ' t dt+ = +é ù é ùë û ë ûò ò . Chứng minh: Chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b C a P x, y dx P x t ,y t x ' t dt= é ùë ûò ò (1) Dễ thấy tích phân I ở vế phải của (1) tồn tại. 21 Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử p là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [ ]i 1 it ; t ,i 1,n- = ; [ ] ( ) ( ) ( )( )i i 1 i i i i i i it ; t ,i 1,n và M ; M x ;yt x h t t-Î = = . Lập tổng tích phân ( ) n i i i i 1 P , xps x h = = Då . Vì ( ) ( ) ( ) i i 1 t i i i 1 i i 1 t x x x x t x t x ' t dt - - -D = - = - = ò nên ( ) ( ) ( ) i i 1 tn i 1 t I P x t , y t x ' t dt - = = é ùë ûå ò ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) i i i 1 i 1 t tn i i i 1 t t I P x , y P x t , y t x ' t dt x ' t dt M b ap e s t t - - = Þ - = - <é ù é ùë û ë û -å ò ò , trong đó ( ) a t b M max x ' t £ £ = (do P(x,y) liên tục đều). Giả sử ( ) d p d< khi đó ( ) ( ) ( ) i i 1 tn n i i 1 i 1t I x ' t dt M t M b a M b ap e e s e - = = - < < D = - -å åò hay ( )d 0 lim Ipp s® = . W Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các ( ) [ ]y y x ,x a;b= Î thì ( ) ( ) ( ) ( ){ } b C a Pdx Qdy P x, y x Q x, y x y' x dx+ = +é ù é ùë û ë ûò ò . 2. Nếu ( )C đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;bÎ và ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z= = ( )R R x, y,z= liên tục trên ( )C thì: ( )C Pdx Qdy Rdz+ + =ò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } b a P x t ,y t ,z t x ' t Q x t , y t ,z t y ' t R x t , y t ,z t z ' t dt= + +é ù é ù é ùë û ë û ë ûò Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia ( )C thành hữu hạn cung trơn. 2.2.2 Ví dụ: Tính các tích phân: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) C x y dx x y dy, C- + +ò là đường nối điểm O(0;0) với điểm A(1;1) nếu ( )C là a) y = x. b) 2y x= . c) đường gấp khúc OBA, với B(1;0). 2. ( ) ( ) 2 2 C ydx z dy x dz , C+ +òi là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = với mặt phẳng z 3= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0 . 22 2.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai: Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số x = x(s), y = y(s) ; [ ]s 0;SÎ trong đó x(s), y(s) có đạo hàm liên tục, độ dài cung s được chọn làm tham số. Gọi a là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox. Ta có ( ) ( )cos x ' s ,sin y ' sa a= = . Nếu dọc theo ( )C cho các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục thì ( ) ( ) ( )C C Pdx Qdy Pcos Qsin dsa a+ = +ò ò . Tương tự nếu ( )C là đường cong không gian thì ( ) ( ) ( )C C Pdx Qdy Rdz Pcos +Qcos +Rcos dsa b g+ + =ò ò , trong đó , ,a b g lần lượt là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox, Oy, Oz. 2.4 Công thức Green: Định lý 1: Giả sử 2D Ì R là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là đường cong đóng (C) có hướng dương, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trong D cho các hàm ( )P P x,y ,= ( )Q Q x,y= liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì ( )C D Q PPdx Qdy dxdy x y æ ö¶ ¶ + = -ç ÷¶ ¶è ø ò òòi . (1) Chứng minh: Để chứng minh (1) chỉ cần chứng minh: ( ) ( )C D C D P QPdx dxdy và Qdy dxdy y x ¶ ¶ = - = ¶ ¶ò òò ò òòi i . Xét ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : a x b,y x y y x= £ £ £ £ trong đó ( ) ( )1 2y x , y x liên tục trên [a;b]. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 y xb b y y x y y x D a y x a P Pdxdy dx dy P x,y dx y y = = ¶ ¶ é ù- = - = - ê úë û¶ ¶òò ò ò ò = ( )( ) ( )( ) b b 2 1 a a P x,y x dx + P x, y x dx -ò ò ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AmB BnA C P x,y dx P x, y dx Pdx= + =ò ò òi . Tương tự ta cũng có ( )C D QQdy dxdy x ¶ = ¶ò òòi . W Hệ quả: Diện tích của miền D được tính theo công thức: ( ) ( )C 1S D xdy ydx 2 = -òi , trong đó( )C là biên có hướng dương của D. 23 Các ví dụ: 1. Cho ( ) 2 2 C ydx xdyI x y - = +òi , ( )C là đường cong đóng có hướng dương không đi qua gốc tọa độ. Tính I nếu: a) ( )C là đường tròn tâm O(0:0) bán kính R. b) ( )C là biên của tam giác với các đỉnh A(1;1). B(4;2), C(2;6). 2. Tính tích phân: ( ) ( ) ( ) ( )x x AmO e sin y ay dx e cosy a dy, AmO- + +ò là nửa đường tròn 2 2x y 2x, y 0+ = > có hướng từ điểm A(2;0) đến điểm O(0;0). 2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân: Định lý 2: (Định lý về 4 mệnh đề tương đương): Giả sử 2D Ì R là miền mở, đơn liên và trong D cho các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng. Khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương: 1. Trong miền D xảy ra hệ thức: ( )P Q , x, y D y x ¶ ¶ = " Î ¶ ¶ . 2. Tích phân ( ) ( ) C Pdx Qdy 0, C+ =òi là đường cong đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 3. Tích phân ( )C A,B Pdx Qdy+ò không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 4. Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trong D. Chứng minh: ( )1 2Þ hiển nhiên (theo công thức Green). ( )2 3Þ nối A và B bởi hai đường trơn (AmB) và (AnB) bất kỳ nằm hoàn toàn trong D. Ta chứng minh ( ) ( )AmB AnB Pdx Qdy Pdx Qdy+ = +ò ò . ( )3 4Þ Ta chứng minh tồn tại hàm ( )u x, y DÎ sao cho ( )u P x, y , x ¶ = ¶ ( )u Q x, y y ¶ = ¶ . Giả sử ( )0 0A x ;y DÎ cố định , M(x ; y) thay đổi trong D. Xét hàm số u (M) = ( ) ( )AM u x, y Pdx Qdy C, C const= + + =ò . Hàm u hoàn toàn xác định vì tích phân ở vế phải không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Xét điểm ( )1M x h;y D, h+ Î khá bé. Nối A và M bởi một đường trơn tuỳ ý trong D, M và 1M bởi đường thẳng song song với trục hoành. Ta có 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1AM AM MM u x h, y u x, y 1 1Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy h h h æ ö+ - ç ÷= + - + = + = ç ÷ è ø ò ò ò ( ) ( ) x h x 1 P t, y dt P x h, y ,0 1 h + = = + q < q <ò (theo định lý giá trị trung bình). ( ) ( ) ( ) ( ) h 0 h 0 u x h, y u x, y ulim limP x h,y P x, y h x® ® + - ¶ Þ = + q = = ¶ . Tương tự ( )u Q x, y y ¶ = ¶ . ( )4 1Þ hiển nhiên. W Hệ quả: 1. Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì ( ) ( ) ( ) C A,B Pdx Qdy u B u A+ = -ò , trong đó ( )C A,B là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 2. Nếu 2D = R và Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì ( ) ( ) ( ) 0 0 yx 0 x y u x, y P x,y dx Q x, y dy C= + +ò ò hoặc ( ) ( ) ( ) 0 0 y x 0 y x u x, y Q x , y dy P x,y dx C= + +ò ò , trong đó C = const, ( )0 0x , y là một điểm bất kỳ thuộc D. Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức ( )y 2 y6xe dx 3x y 1 e dy+ + + là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y). $3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 3.1 Một số khái niệm về mặt trong không gian: Mặt (S) trong không gian thường được cho bởi phương trình F(x,y,z) = 0. (1) Nếu giải ra được đối với các biến x, y, z thì (S) được cho dưới dạng hiện ( ) ( )z z x,y , x,y D= Î (2) trong đó z (x, y) liên tục trong D. Nếu không thể giải được đối với bất cứ biến nào thì (S) được cho dưới dạng ẩn. Mặt (S) trong không gian cũng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: ( ) ( ) ( ) ( )x x u,v ,y y u,v ,z z u,v ; u,v D= = = Î (3) trong đó ( ) ( ) ( )x u,v , y u,v ,z u,v là các hàm số liên tục trong D. Chú ý: Nếu chọn x = u, y = v, z = z (u , v) ; ( )u,v DÎ thì (2) là trường hợp riêng của (3). 25 Định nghĩa 1: Mặt (S) được gọi là - Mặt đơn nếu với hai giá trị khác nhau của tham số đều tương ứng với hai điểm khác nhau thuộc ( )S . - Mặt được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ nếu mỗi đường thẳng song song với các trục tọa độ chỉ cắt( )S tại không quá một điểm. - Mặt trơn nếu tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc và khi dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác vị trí của mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên tục. Nếu ( )S được cho bởi (2) thì ( )S trơn khi z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong D. - Mặt trơn từng mảnh nếu ( )S gồm hữu hạn các mảnh trơn. Định nghĩa 2: Nếu từ mỗi điểm M của mặt trơn (S) đều có thể kẻ được một pháp tuyến đơn vị ( )n M r sao cho hàm véc tơ ( )n M r liên tục trên (S) thì (S) được gọi là mặt định hướng (mặt hai phía). Mặt hai phía được đặc trưng bởi tính chất phép vòng quanh trọn một lần theo chu tuyến đóng bất kỳ thuộc (S) và không cắt biên của (S) không làm thay đổi hướng của pháp tuyến thành hướng ngược lại. Mặt không phải là mặt hai phía được gọi là mặt một phía. Mặt hai phía còn gọi là mặt có hướng và việc chọn một phía xác định bằng cách chọn hướng của pháp tuyến được gọi là phép định hướng mặt. Nếu ( )S là mặt hai phía thì nó có phía trên và phía dưới (mặt không kín), phía ngoài và phía trong (mặt kín). Ví dụ: - Mặt phẳng là mặt hai phía. - Mặt trơn bất kỳ xác định bởi phương trình z = z (x,y) là mặt hai phía. - Mọi mặt kín không có điểm tự cắt đều là mặt hai phía (mặt cầu, mặt elipxoid). - Lá Mebius là mặt một phía. Trong chương này ta chỉ xét đến mặt hai phía. Chú ý: Nếu ( )S là mặt trơn, hai phía được xác định bởi phương trình z = z (x,y) thì phía trên (phía ngoài) của ( )S các véc tơ pháp tuyến có cosin chỉ phương là ( ) 2 2 pcos cos n,Ox pcos 1 p q a g= = - = - + + r uuur . ( ) 2 2 qcos cos n,Oy qcos 1 p q b g= = - = - + + r uuur . ( ) 2 2 1cos cos n,Oz 1 p q g = = + + r uur , trong đó x yp z ' ,q z '= = . Đối với phía dưới (trong) được lấy dấu ngược lại. 26 Định nghĩa 3: Giả sử (S) là mặt hai phía được giới hạn bởi chu tuyến đóng (C). Hướng vòng quanh (C) của mặt (S) được gọi là hướng dương tương ứng với phía của mặt nếu một người quan sát đứng trên phía ấy và chuyển động trên (C) theo hướng đó thì mặt (S) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại được gọi là hướng âm. 3.2 Tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích): Cho ( )S là mặt trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ. Giả sử trên ( )S cho hàm ba biến f(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch p chia ( )S thành n mảnh nhỏ tùy ý ( ) ( )1 2S , S , ... , ( )nS bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt iSD là diện tích của mảnh con ( )iS , d( )iS là đường kính của ( )iS , i 1,n= ( ) ( )i1 i nd max d Sp £ £= là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh con ( )iS lấy điểm ( )i i i iM x ,y ,z bất kỳ. Lập tổng tích phân ( ) ( ) n n i i i i i i i 1 i 1 f M S f x , y ,z Sps = = = D = Då å . Ta thấy ps phụ thuộc vào p và các điểm chọn iM . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( )d 0 lim Ipp s® = mà giới hạn đó không phụ thuộc vàop và các điểm chọn iM thì I được gọi là tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích ) của hàm f(x,y,z) lấy trên ( )S . Ký hiệu là: ( ) ( )S f x, y,z dSòò (1) Nếu tích phân (1) tồn tại thì ta nói hàm f(x,y,z) là khả tích trên( )S . Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc vào phía của( )S . 2. Nếu ( )S là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và f(x, y, z) liên tục trên ( )S thì tồn tại tích phân mặt loại một. 3. Diện tích của mặt ( )S được tính theo công thức ( )S S dS= òò . 4. Khối lượng của mặt ( )S được tính theo công thức ( ) ( )S m x,y,z dSr= òò , trong đó ( )x, y,zr là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)Î ( )S , hàm ( )x, y,zr liên tục trên ( )S . 5. Tích phân mặt loại một có các tính chất tương tự như tích phân hai l 3.3 Cách tính tích phân mặt loại một: Xét ( ) ( )S f x, y,z dSòò , trong đó f(x,y,z) liên tục trên ( )S . Giả sử ( )S là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy và được cho bởi phương trình z = z (x,y). Khi đó z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên 27 tục trong D là hình chiếu đơn trị của ( )S lên mặt phẳng Oxy. Ta có 2 2dS= 1 p q dxdy+ + và: ( ) ( ) ( ) 2 2 S D f x,y,z dS f x, y,z x, y 1 p q dxdy= + +é ùë ûòò òò . Tổng quát nếu ( )S trơn, hai phía, được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: ( ) ( ) ( ) ( )x x u,v ,y y u,v ,z z u,v ; u,v D= = = Î thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 D x, y D y,z D z,xdS= EG F dudv dudv D u,v D u,v D u,v æ ö æ ö æ ö - = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø và: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 S D f x,y,z dS f x u,v , y u,v ,z u,v EG F dudv= -é ùë ûòò òò . Ví dụ 1: Tính các tích phân a) ( ) ( ) ( ) S 2x y z dS, S+ +òò là phần mặt phẳng x + y + z = 1 thuộc góc phần tám thứ nhất. b) ( ) ( ) ( )2 2 2 S z x y dS, S+òò là phần mặt cầu ( )2 2 2 2x y z a ,x 0, y 0 a 0+ + = ³ ³ > . Ví dụ 2: Tính diện tích mặt ( )S được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x r cos ,y rsin ,z b ;0 r a,0 2j j j j p= = = £ £ £ £ . $4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 4.1 Tích phân mặt loại hai (tích phân mặt theo tọa độ): Cho ( )S là mặt có hướng trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ. Giả sử trên ( )S cho các hàm ba biến P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch p chia ( )S thành n mảnh nhỏ tùy ý ( ) ( ) ( )1 2 nS , S ,..., S bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt iSD là diện tích của mảnh con ( )iS , d( )iS là đường kính của ( )iS , i 1,n= ; ( ) ( )i1 i nd max d Sp £ £= là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh con ( )iS lấy điểm ( )i i i iM x ,y ,z bất kỳ, gọi in uur là pháp tuyến với ( )S tại iM . Lập các tổng tích phân ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 i i i 2 i i i i 1 i 1 P M S cos n ,Ox , Q M S cos n ,Oy ,s s = = = D = Då å uur uuur uur uuur ( ) ( ) n 3 i i i i 1 R M S cos n ,Ozs = = Då uur uur . Ta thấy các tổng tích phân phụ thuộc vàop và các điểm chọn ( )i i i iM x , y ,z . Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn 28 ( ) ( )id 0lim i 1,2,3® =p s mà các giới hạn đó không phụ thuộc vàop và các điểm chọn ( )i i i iM x , y ,z thì các giới hạn đó được gọi là các tích phân mặt loại hai ( tích phân mặt theo tọa độ ). Ký hiệu là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 S S S I P x, y,z cos dS, I Q x, y,z cos dS, I R x,y,z cos dSa b g= = =òò òò òò (1) và tổng của chúng được gọi là tích phân mặt loại hai tổng quát, ký hiệu là ( ) ( )S Pcos Qcos R cos dSa b g+ +òò . (2) Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại hai đổi dấu khi đổi phía của ( )S . 2. Nếu ( )S là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và các hàm P = P(x, y, z) , Q = Q(x, y, z) , R = R(x, y, z) liên tục trên ( )S thì tồn tại tích phân (2). 3. Ta có cos dS=dydz, cos dS=dzdx, cos dS=dxdya b g (3) chính là hình chiếu của vi phân diện tích mặt ( )S lên các mặt phẳng tọa độ. Do (3) nên các tích phân mặt loại hai thường được ký hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 S S S I P x, y,z dydz, I Q x, y,z dzdx, I R x,y,z dxdy= = =òò òò òò . và tích phân mặt loại hai tổng quát chính là: ( ) ( ) ( )S S Pcos Qcos R cos dS Pdydz Qdzdx Rdxdya b g+ + = + +òò òò (4) (4) chính là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai. 4.2 Cách tính tích phân mặt loại hai: Từ định nghĩa có thể tính tích phân mặt loại hai theo công thức của tích phân mặt loại một. Xét ( ) ( ) ( ) ( )S S R x, y,z dxdy R x,y,z cos dSg=òò òò , trong đó R(x,y,z) liên tục trên ( )S . Giả sử ( )S là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy. Gọi D là hình chiếu đơn trị của ( )S lên mặt phẳng Oxy, giả sử ( )S được cho bởi phương trình z = z (x,y), z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D. Ta có: 2 2 x y2 2 1dS= 1 p q dxdy, cos ; p z ' ,q z ' ; cos 1 p q g g+ + = ± = = + + lấy dấu dương nếu ( )S là mặt trên (ngoài), dấu âm nếu ( )S là mặt dưới (trong) và ( ) ( ) ( ) ( ) D S D R x, y,z x, y dxdy, khi cos 0 R x, y,z dxdy R x, y,z x, y dxdy, khi cos 0 ì + >é ùë ûï = í - <é ùï ë û î òò òò òò g g 29 Ví dụ: Tính các tích phân 1. ( ) ( ) S I xdydz dzdx xzdxdy, S= + +òò là phía trên của 1 8 mặt cầu 2 2 2x y z 1+ + = nằm trong góc phần tám thứ nhất. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S I y z dydz+ z x dzdx x y dxdy, S= - - + -òò là phía ngoài của phần mặt nón ( )2 2z x y 0 z h= + £ £ . 4.3 Công thức Gauss-Ostrogradxki: Định lý 3: Giả sử 3T Ì R là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là mặt kín ( )S trơn hoặc trơn từng mảnh. Nếu trong T cho các hàm ba biến ( ) ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z ,R R x, y,z= = = liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì: ( )S T P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z æ ö¶ ¶ ¶ + + = + +ç ÷¶ ¶ ¶è ø òò òòò trong đó tích phân mặt ở vế trái được lấy theo phía ngoài. Chứng minh: tương tự như định lý1, 2.4 Hệ quả: Thể tích của miền T đóng, bị chặn được tính theo công thức: ( ) ( )S 1V T xdydz ydzdx zdxdy 3 = + +òò trong đó ( )S là biên của T và tích phân mặt được lấy theo phía ngoài. Ví dụ: Tính tích phân ( ) ( )2 2 S I xzdydz x ydzdx y zdxdy, S= + +òò là phía ngoài của biên của vật thể T được giới hạn bởi các mặt 2 2 2 2z x y ,x y 1,x 0, y 0,z 0= + + = ³ ³ ³ . 4.4 Công thức Stokes: Định lý 4: Giả sử ( )S là mặt có hướng, trơn có biên (C) là đường đóng, Jordan, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trên ( )S cho các hàm ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z= = , ( )R R x, y,z= liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì: ( )( )C S R Q P R Q PPdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö+ + = - + - + -ç ÷ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø è ø ò òòi = ( )S R Q P R Q Pcos cos cos dS y z z x x y a b g é ùæ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö- + - + -ê úç ÷ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø è øë û òò trong đó tích phân đường được lấy theo hướng dương tương ứng với phía của ( )S . 30 Chứng minh: chỉ cần chứng minh ( ) ( )S C P Pdzdx dxdy Pdx z y æ ö¶ ¶ - =ç ÷¶ ¶è ø òò òi . Công thức Stokes còn được viết dưới dạng “hình thức” ( )( ) ( )C S S dydz dzdx dxdy cos cos cos Pdx Qdy Rdz dS x y z x y z P Q R P Q R a b g ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + + = = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò òò òòi . Nhận xét: 1. Nếu( )S OxyÌ thì công thức Stokes trở thành công thức Green. 2. Giả sử miền 3T Ì ¡ có tính chất mọi đường kín ( )C trơn từng khúc trong T đều là biên của một mặt trơn từng mảnh nằm hoàn toàn trong T. Nếu các hàm ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z= = , ( )R R x,y,z= liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong T thì điều kiện cần và đủ để tích phân lấy theo đường cong không gian ( )C A,B Pdx Qdy Rdz+ +ò không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong T là ( )R Q P R Q P, , , x,y,z T y z z x x y ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = = = " Î ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (4). (4) cũng là điều kiện cần và đủ để biểu thức Pdx + Qdy + Rdz là vi phân toàn phần của hàm u(x,y,z) nào đó trong miền T và nếu ( )0 0 0 0M x , y ,z là một điểm bất kỳ thuộc T thì ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 yx z 0 0 0 x y z u x, y,z P x, y ,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz C= + + +ò ò ò , trong đó C = const. Ví dụ: Tính tích phân ( ) ( )C I ydx zdy xdz, C= + +òi là giao tuyến của các mặt ( )2 2 2 2x y z 0,x y z a a 0+ + = + + = > , chiều trên (C) ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z > 0. 4.5 Dạng vectơ của các công thức Gauss-Ostrogradxki và Stokes: Ta nói trong miền 3T Ρ xác định một trường vectơ nếu ứng với mỗi điểm ( )M x, y,z TÎ có một vectơ ( )F M r gốc tại M, với các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M là những hàm số của M. Nói một cách khác, cho một trường vectơ có nghĩa là cho một hàm vectơ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3F F M F x,y,z P x, y,z e Q x,y,z e R x, y,z e= = = + + r r r ur uur uur trong đó 1 2 3, ,e e e ur ur ur là cơ sở chính tắc của 3¡ . 31 Trong phần này ta giả thiết thêm các hàm P, Q, R liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong T. Ví dụ về trường vectơ là trường vận tốc của chất lỏng chuyển động, trường lực hấp dẫn, Giả sử trong miền T cho mặt định hướng ( )S mà vectơ pháp tuyến đơn vị là n r ( 1 2 3n e cos e cos e cosa b g= + + r ur uur uur với các cosin chỉ phương là hàm liên tục trên ( )S ). Định nghĩa: Đại lượng ( )S F,n dSF = òò r r (1) được gọi là thông lượng của trường vectơ ( )F M r qua mặt ( )S . Nhận xét: Vì tích vô hướng F,n Pcos Qcos Rcos= a + b + g r r nên (1) có dạng ( ) ( ) ( )S S F,n dS Pcos Qcos R cos dS= a + b + gòò òò r r (2) 4.5.1 Công thức Gauss-Ostrogradxki dưới dạng vectơ: Nếu vectơ ( )F M r có các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M thì tổng P Q R x y z ¶ ¶ ¶ + + ¶ ¶ ¶ được gọi là dive của vectơ F r và ký hiệu là div F r , đó là đại lượng vô hướng. Công thức Gauss-Ostrogradxki được phát biểu dưới dạng Thông lượng F của trường vectơ ( )F M r qua mặt kín ( )S hướng ra phía ngoài được tính theo công thức T divFdxdydzF = òòò r , trong đó T là miền được giới hạn bởi ( )S . Giả sử div ( )F M r liên tục và div ( )0F M 0> r . Khi đó có thể tìm được lân cận khá bé của 0M sao cho div ( )F M 0> r trên ( )S là một mặt kín trong lân cận ấy. Từ công thức Ostrogradxki suy ra thông lượng của trường vectơ ( )F M r qua mặt kín ( )S từ trong ra ngoài là dương. Theo ý nghĩa ấy ta gọi điểm 0M là một điểm nguồn. Nếu div ( )0F M 0< r ta gọi điểm 0M là một điểm rò. Nếu div ( )F M 0, M= " r thì thông lượng của trường vectơ ( )F M r qua mọi mặt kín ( )S đều bằng không. Khi đó ta nói trường vectơ ( )F M r có thông lượng bảo toàn. Ví dụ: Dùng Công thức Gauss-Ostrogradxki để tính thông lượng của vectơ 1 2 3F 3xe 2ye 4ze= + - r ur uur uur qua phía ngoài của mặt tứ diện T : x 0, y 0, z 0, x y z 1³ ³ ³ + + £ . 32 4.5.2 Công thức Stokes dưới dạng vectơ: Cho trường vectơ ( )F M r có các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M . Ta gọi tích phân đường dọc theo đường kín ( )C là lưu số của F r dọc theo ( )C . Vectơ xoáy hay rôta của F r là vectơ có các tọa độ R Q P R Q P, , y z z x x y ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - - - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ và ký hiệu là rot F uur r . Với các định nghĩa trên, ta có thể phát biểu công thức Stokes như sau Lưu số của trường vectơ F r dọc theo một đường kín ( )C bằng thông lượng của rot F uur r qua một mặt định hướng ( )S nào đó có biên ( )C . Ví dụ: Dùng Công thức Stokes để tính lưu số của vectơ 2 2 21 2 3F y e z e x e= + - r ur uur uur theo biên đóng có hướng dương của tam giác với đỉnh ( ) ( ) ( )A 1,0,0 , B 0,1,0 , C 0,0,1 . BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI 1. Hãy đưa các tích phân 2-lớp ( , ) D f x y dxdyòò về tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau: a) D là tam giác với các đỉnh A(2,1), B(5,2), C(3,7). b) D là hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2 2, 4y x y x= = - . . c) D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= , 3, 2 1, 2 5y x y x y x= + = - + = - + . d) D là hình tròn 2 2( 2) ( 3) 4.x y- + - £ 2. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp: a) 2 2 2 16 0 8 ( , ) x x x dx f x y dy - - ò ò b) ( ) 2 21 0 2 , y y y dy f x y dx - - ò ò c) 3 21 0 ( , ) y y dy f x y dx - ò ò d) 2 2 1 1 1 1 ( , ) x x dx f x y dy - - - - ò ò e) ( ) 2 22 0 2 , y y y dy f x y dx - ò ò f) 2 2 2 6 1 4 ( , ) x x dx f x y dy - - - ò ò 3. Tính các tích phân 2- lớp sau trong tọa độ Đề các: a) D xydxdyòò , 2 2: 4 4D x y+ £ b) ( ){ }( ) , , : 1 D x y dxdy D x y x y+ = + £òò c) 2 2 , : 2, , 1 D x dxdy D x y x xy y £ £ ³òò d) ln 2 , D x dxdy D y æ ö +ç ÷ç ÷ è ø òò : 1y = và 2y x= . e) ( ){ }, , : 1, 1 D x y dxdy D x y x y+ = £ £òò 4. Chuyển sang tọa độ cực và tính các tích phân sau: a) , : D yarctg dxdy D xòò 1 £ 2 2 9x y+ £ , 3 3 x y x£ £ , 0, 0.x y³ ³ 33 b) 2 2 2 2 1 , : 1 - - + +òòD x y dxdy D x y 2 2 1, 0, 0x y x y+ £ ³ ³ . c) 2 2(1 ) , : D x y dxdy D- -òò 2 2 2 , 3x x y x x y x£ + £ £ £ . d) (1 2 ) , D x y dxdy D+ +òò là giao của hai hình tròn 2 2 2 22 , 2x y x x y y+ £ + £ . e) 2 2 42 2 2 0 2 . y y y dy x y dx - - +ò ò f) ( ) 2 2 2 0 0 1 , 0. ay ya dy x y dx a - - - >ò ò 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a) 2 , : D xy dxdy Dòò 2 3 ,1 2y x y xy£ £ £ £ b) ( ) 2 2 , :x xy y D e dxdy D- + +òò 2 2 1x xy y+ + £ c) , : D xdxdy Dòò 1, 2 1 2 5x y x x y x£ £ + - + £ £ - + d) , : D xdxdy Dòò 2 2 4 2 4x y x y+ £ - + e) 2 2 2 24 , : D x y dxdy D a b - -òò 2 2 2 21 4, 0, 0 x y x y a b £ + £ ³ ³ f) ( ) ( )2 sin , : D x y x y dxdy Dp+ +òò 1, 0, 0x y x y+ £ ³ ³ . 6. Tính các tích phân 3- lớp sau trong tọa độ Đề các: a) òòò T xydxdydz , : 1( , , 0), 0, 0, 0.x y zT a b c x y z a b c + + £ > ³ ³ ³ b) (2 3 ) T x y z dxdydz+ -òòò , T: 0, 0, 0 3 , 2.x y z x y³ ³ £ £ + £ c) ( ) T x y z dxdydz+ +òòò , T:0 1 , 0 1 , 0 1.x y z£ £ £ £ £ £ d) , T zdxdydz Tòòò là phần giao của hai hình cầu 2 2 2 2 2 21, 2x y z x y z z+ + £ + + £ e) 2 , T x dxdydz Tòòò là hình elipxôit 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + £ . 7. Chuyển sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu tính các tích phân: a) ( )2 21 T x y dxdydz+ +òòò T: 2 2 2 20 , 1 , .z x y z x y³ + £ £ + b) 2 2( ) T x y dxdydz+òòò , T : 2 2 2 2 2 , 0, (0 ).a x y z b z a b£ + + £ ³ < < c) 2 2( ) T x y dxdydz+òòò , T : 2 2 2 21x y z x y+ £ £ - - 34 d) 2 2 T x y dxdydz+òòò , T : 2 2 2 26x y z x y     f) 2 2 1 1 2 2 2 0 01 ( ) x a x dx dy x y z dz - - - + +ò ò ò g) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 x x x y dx dy x y z dz - - - - + + +ò ò ò h) 2 2 22 2 2 2 2 2 0 ( ) R x yR R x R R x dx dy x y dz - -- - - - +ò ò ò , 0R > 8. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường: a) cosr a j= , cosr b j= (0 )a b 0) 9. Tính thể tích của vật thể T : a) 2 21z x y= - - , y x= , 3y x= , 0z = thuộc góc 1/8 thứ nhất. b) 2 2z x y= + , z x y= + c) 2 22 , 4= + + =z x y y z d) 2 2 2 21 1x y z x y+ £ £ + - - 10. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường: a) 2 24 4, 2 4y x y x= + = - + b) 2 2 1, 1 25 9 5 3 x y x y + = + = . 11. Tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt parabôlôit 2 2 2x y az+ = và bởi mặt cầu ( )2 2 2 23 0x y z a a+ + = > , biết khối lượng riêng tại mỗi điểm bằng tổng các tọa độ. 12. Khối lượng riêng của hình cầu T ( )2 2 2 2 0x y z Rz R+ + £ > tại mỗi điểm thuộc T bằng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Tính tọa độ trọng tâm của hình cầu. BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 1) Tính các tích phân đường theo độ dài sau: a) ( ) ( ), C xyds Cò là biên của hình vuông , 0x y a a+ = > . b) ( ) 2 2 ( ) ,x y C e ds C+ò là biên của hình quạt tròn ( ){ }, :0 , 0 4r r a p j j£ £ £ £ . c) ( ) ( ), C xyds Cò là 1/4 elip 2 2 2 2 x y 1 a b + = nằm trong góc phần tư thứ nhất. d) ( ) ( )2 2 2( ) , C x y z ds C+ +ò là cung của đuờng cong: ( )cos , sin , 0 2 , 0, 0x a t y a t z bt t a bp= = = £ £ > > e) ( ) ( )2 , C x ds Cò là đường tròn 2 2 2 2 , 0 0 x y z a a x y z ì + + = >í + + =î 35 f) ( ) ( ) ( ), C x y ds C+ò là 1/4 đường tròn 2 2 2 2x y z R y x ì + + = í =î nằm trong góc phần tám thứ nhất. 2) Cho đường cong (C) có phương trình ( )cos , sin , 0 2 ,x t y t z t t p= = = £ £ tính khối lượng của (C) biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (C) bằng khoảng cách từ (C) đến gốc tọa độ. 3) Tính các tích phân đường theo tọa độ sau: a) ( ) ( ), C xdy ydx C-ò là đường gấp khúc nối các điểm (0,0),(1,0), (1,2) . b) ( ) ( ) ( )2 , C a y dx xdy C- +ò : ( ) ( )sin , 1 cos 0 2x a t t y a t t p= - = - £ £ . c) ( ) ( ), C dx dy C x y + +òi là biên của hình vuông với các đỉnh A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1). d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , C x y dx x y dy C- + +òi là elip có hướng dương 2 2 2 2 1 x y a b + = . e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 C y z dx z x dy x y dz, C- + - + -òi là đường cong đóng, biên của phần mặt cầu 2 2 2x y z 1+ + = thuộc góc phần tám thứ nhất, có hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z dương. f) ( ) ( ) , C xydx yzdy zxdz C+ +ò là 1/4 đường tròn x cos t , y sin t ,z 1= = = chạy theo chiều tăng của tham số từ A(1;0;1) đến B(0;1;1). g) ( ) ( ) , C ydx zdy xdz C+ +ò là một vòng của đường xoắn ốc cos sin , ,0 2 , 0, 0x a t y a t z bt t a bp= = = £ £ > > . 4) Áp dụng công thức Green tính các tích phân sau: a) ( ) ( ) 2 2 , C xy dy x dx C-òi là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = . b) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin ,x y C xy e x x y dx xy e x y dy C-+ + + + - + -òi : 2 2 2x y x+ = . c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , C x y dx x y dy C+ + -òi là biên của tam giác OAB với O(0;0) , A(1;0) ,B(0;1). d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 4 3 , C x y dx x y dy C+ + +ò là đường nối các điểm O(0;0) , A(1;1),B(0;2). 5) Tích phân đường : ( ) 2 2 2 2 2 2 AB x y 3x y 3y xI dx dy xy x y æ ö+ - - = +ç ÷ è ø ò 36 trong đó (AB) là đường không cắt các trục Ox, Oy có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không. Tính I trên cung (AB) xác định bởi 2 2x t cos t , y 1 sin t , 0 t 2 p = + = + £ £ . 6) Tìm m để biểu thức ( ) ( ) ( )m2 2 x y dx x y dy x y - + + + là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó . Với m đã tìm được tìm hàm u(x,y). 7) Cho tích phân ( ) ( ) ( ) ( )2 2 C x y dx x y dy I , C x y - + + = +òi , trong đó (C) là đường cong đóng có hướng dương, không đi qua gốc tọa độ. Hãy tính tích phân I nếu: a) (C) là đường tròn 2 2 2 , 0.x y R R+ = > b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1,1) , B(5,0) , C(3,4). 8) Cho tích phân đường: ( ) ( )2 2 , C y dx x dy C-òi là đường elip 2 2 2 2 1 x y a b + = có hướng dương. a) Tính trực tiếp tích phân I. b) Tính I theo công thức Green. 9) Tính các tích phân mặt loại 1 sau: a) ( ) ( )S x y z dS+ +òò ,( )S là biên của hình lập phương ( ){ }x, y,z : 0 x 1,0 y 1,0 z 1£ £ £ £ £ £ . b) ( )S 4yz 2x dS 3 æ ö+ +ç ÷ è øòò , ( )S là phần mặt phẳng x y z 1 2 3 4 + + = thuộc góc 1/8 thứ nhất. c) ( ) ( ) 2 2 S y z a x dS+ + -òò , ( )S là phần mặt trụ 2 2 2x y a+ = nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = h. d) ( ) ( ) ( ) S yz zx xy dS , S+ +òò là phần mặt nón 2 2z x y= + nằm trong mặt trụ ( )2 2x y 2ax 0 a 0+ - = > . đ) ( ) ( ) ( )2 2 S y z dS , S+òò là phần mặt paraboloid 2 2x 4 y z= - - nằm ở trên mặt phẳng x = 0. e) ( ) ( )2 2 S x y dS , S+òò là mặt cầu ( )2 2 2 2x y z a a 0+ + = > . f) ( ) ( ) S dS , S 1 x y+ +òò là biên của hình tứ diện xác định bởi x 0, y 0,z 0,x y z 1³ ³ ³ + + £ . 37 10) Hãy tính diện tích của phần mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = nằm trong mặt trụ 2 2x y x+ = . 11) Cho (S) có phương trình: ( )2 21 , 12z x y z= + £ . Tính khối lượng của (S) nếu khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (S) bằng khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng Oxy. 12) Tính các tích phân mặt loại 2 sau: a) ( ) ( )2 2 S x y zdxdy , Sòò là phía trên của ½ mặt cầu 2 2 2 2x y z R z 0 ì + + = í £î b) ( ) ( )2 2 S x dydz z dxdy , S+òò là phía trong của phần mặt nón 2 2 2x y z ,0 z 1+ = £ £ . c) ( ) ( ) S xdydz ydzdx zdxdy, S+ +òò là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = , ( )R 0> d) ( ) ( ) S xdydz ydzdx zdxdy , S+ -òò là phía ngoài của ½ mặt cầu 2 2 2x y z 1 ,z 0+ + = ³ . e) ( ) ( )S yzdydz xzdxdz xydxdy , S+ +òò là phía trên của tam giác tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng ( )x y z a a 0+ + = > với các mặt phẳng toạ độ. 13) Dùng công thức Gauss-Ostrogradxki , tính các tích phân mặt sau: 1. ( ) ( )S xzdydz yx dzdx zydxdy, S+ +òò là phía ngoài của biên của hình chóp x 0,y 0,z 0,x y z 1³ ³ ³ + + £ . 2. ( ) ( )2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy , S+ +òò là phía ngoài của biên của hình lập phương ( ){ }T x, y,z :0 x a ,0 y a ,0 z a ,a 0= £ £ £ £ £ £ ³ 3. ( ) ( ) 2 S xdydz dzdx xz dxdy , S+ +òò là phía ngoài của biên của 1/8 hình cầu 2 2 2x y z 1,x 0, y 0,z 0+ + £ ³ ³ ³ . 4. ( ) ( )2 2 2 S x dydz y dzdy z dxdy , S+ +òò là phía ngoài của mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R R 0- + - + - = > 5. ( ) ( ) 2 2 2 , S x dydz y dzdx z dxdy S+ +òò là phía ngoài của phần mặt nón 2 2 2x y z ,0 z h+ = £ £ 12) Dùng công thức Stokes tính các tích phân sau: a) ( ) ( )C zdx xdy ydz , C+ +òi là đường tròn 2 2 2 2x y z R x y z R ì + + = í + + =î 38 b) ( ) ( ) 2 2 C ydx z dy x dz , C+ +òi là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = với mặt phẳng z 3= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0 với mặt có hướng (S) có biên (C) là : i) Phía trên của phần mặt cầu 2 2z 4 x y= - - với 3 z 2£ £ . ii) Phía trên của phần mặt phẳng z 3= với 2 2x y 1+ £ .