Bài giảng Động lực học vật rắn quay

Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN QUAY 3.1 Phương trình cơ bản của vật rắn quay 3.1.1 Mô men lực: a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay: Lực tác dụng lên vật rắn tại điểm M làm cho vật rắn quay xung quanh trục Δ.(hình 3-1). F G Ta phân tích ra các thành phần như hình vẽ: F G tn221 FFFFFF GGGGGG ++=+= trong đó: 2F G không gây ra chuyển động quay. không gây ra chuyển động quay. nF G tF G gây ra chuyển động quay. Vậy: Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh 1 trục, chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự. F2 F b. Mô men của lực đối với trục quay: Định nghĩa: Mô men của lực tF G đối với trục quay Δ là một véc tơ xác định bởi: MG [ ]tF.rM GGG = (3-1) M G có phương trùng với trục quay Δ, có chiều thuận đối với chiều quay từ rG sang tF G , có trị số: M = r.Ft (3-2) Nhận xét: - [ ] [ ] [ ]F.rF.rF.rM 1t GGGGGGG === 1F nF tFO M Hình 3-1 31 - 0M = khi G 0Ft = G hay tF G //Δ. - M G là mô men của tF G đối với điểm O. 3.1.2 Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay: Mi là chất điểm thứ i bất kỳ của vật rắn nằm cách trục quay Δ một khoảng ri với , có khối lượng là miOM r= G G i i và chịu tác dụng của tiF G ,gọi tia G là gia tốc tiếp tuyến của Mi (hình 3-2), ta có: titii Fam GG = Nhân hữu hướng 2 vế của biểu thức trên với ir G : [ ] [ ] itiitiii MF.ra.rm GGGGG == (3-3) Ta có: [ ] [ ][ ] βr)β.r(r)r.r(βr.β.ra.r 2iiiiiiitii GGGGGGGGGGGG =−== Vậy (3-3) thành i2ii Mβrm GG = (3-4) Cộng các phương trình (3-4) vế với vế theo i, ta được: ∑∑ = i i i 2 ii Mβrm GG (3-5) MM i i GG =∑ là tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục Δ. β Irm i 2 ii =∑ gọi là mô men quán tính của vật rắn đối với trục Δ. Vậy: MβI GG = (3-6) (3-6) là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục. Từ (3-6) suy ra: I M β GG = (3-7) O M ati r Fi i ti Mi Hình 3-2 32 Kết luận: Gia tốc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ với tổng hợp mô men các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với mô men quán tính của vật rắn đối với trục. 3.1.3 Tính mô men quán tính: Theo kết quả trên, ta có công thức tính mô men quán tính: ∑= i 2 ii rmI Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục thì ta áp dụng công thức: ∫= dmrI 2 (3-8) (tích phân trên toàn bộ vật rắn) trong đó r là khoảng cách từ dm đến trục quay Δ. Ví dụ 1: Tính mô men quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G cuả thanh và vuông góc với thanh. Giải Xét một phần tử của thanh khối lượng dm, chiều dài dx, cách G một đoạn x (hình 3-3). Mô men quán tính của dm đối với trục Δ0 là: dI = x2dm (1) Vì thanh đồng chất nên: l dx M dm = o G Suy ra: dx l Mdm = (1) thành: dxx l MdI 2= Suy ra: 12 Mldxx l MI 22 l 2 l 2 == ∫ − (2) Ví dụ 2: Tính mô men quán tính I của một đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục Δ0 đi qua tâm 0 cuả đĩa và vuông góc với đĩa. Giải l x dx Hình 3-3 33 Chia đĩa thành nhiều phần tử hình vành khăn có bán kính là x, bề rộng của hình vành khăn là dx (hình 3-4). diện tích của hình vành khăn là: dS = d(πx2) = 2πxdx Áp dụng công thức (1) : dI = x2dm Vì đĩa đồng chất nên: 2 2 dm dS 2 xdx 2xdx M πR πR R 2 π= = = suy ra: xdx R M2dm 2= (1) thành dxx R 2MdI = 32 Suy ra: 2 MRdxx R 2MdII 2R 0 3 2 === ∫∫ (3) Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng: - Vành tròn bán kính R có trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng của vành: I = MR2 - Khối cầu bán kính R có trục quay đi qua tâm O: 22I = MR 5 - Mặt chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b có trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng của mặt chữ nhật: 2 21I = M(a +b ) 12 Định lý Stene-Huygens: Ở trên ta đã tìm được mô men quán tính của các vật rắn đối với trục đối xứng Δ0 (đi qua khối tâm G) của chúng. Trong nhiều trường hợp ta phải tìm mô men quán tính x xdO o Hình 3-4 34 của các vật rắn đối với một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stene- Huygens, được phát biểu như sau: Mô men quán tính của 1vật rắn đối với 1trục Δ bất kỳ bằng mô men quán tính của vật đối với trục Δ0 song song với trục Δ đi qua khối tâm G cuả vật cộng với tích của khối lượng M của vật rắn với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục. Xét trường hợp thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M, hai trục Δ0 và Δ cách nhau một khoảng d,song song với nhau và cùng vuông góc với thanh (hình 3-5). Khi đó mô men quán tính I của các vật rắn đối với trục Δ được xác định bởi công thức (3-9): I = I0 + Md2 (3-9) 3.1.4 Ứng dụng Bài toán: Hai vật có khối lượng lần lượt là m1=2kg, m2=1kg, được nối với nhau bằng 1 sợi dây vắt qua ròng rọc có khối lượng m=1kg (hình 3-6). Tìm: 1. Gia tốc của các vật. 2. Sức căng T1 và T2 của các dây treo. Coi ròng rọc là 1 đĩa tròn, các dây nối không giãn có khối lượng rất nhỏ, ma sát không đáng kể. Giải Các lực tác dụng vào m1, m2 và ròng rọc như hình (3-6): Áp dụng phương trình cơ bản của cơ học chất điểm cho 2 vật m1 và m2: (1) amTP 111 GGG =+ (2) amTP 222 GGG =+ Áp dụng phương trình cơ bản của vật rắn quay cho ròng rọc: 1 2R.(T ' T ') Iβ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ GG G G (3) Chiếu (1), (2) và (3) lên chiều dương đã chọn, ta được: P1 - T1 = m1a (1') T2 - P2 = m2a (2') (T1' - T2').R =Iβ (3') o G l x dx Δ d Hình 3-5 0Δ 35 và a = βR (4) Trong đó mô men quán tính của ròng rọc là: 2 mRI 2 = và T1 = T1' , T2 = T2'. Giải 4 phương trình (1’),(2’),(3’) và (4), ta được: 2 mmm )gm(ma 21 21 ++ −= 2 mmm )g 2 m(2mm T 21 21 1 ++ + = 2 mmm )g 2 m(2mm T 21 12 2 ++ + = Thay các giá trị vào ta được kết quả : a = 2,8m/s2 T1 = 14N T2 = 12,6N 3.2 Mô men động lượng của một hệ chất điểm 3.2.1 Định nghĩa Một hệ chất điểm M1, M2 Mi lần lượt có khối lượng m1, m2mi chuyển động với những vận tốc ...v...v,v i21 GGG đối với một hệ quy chiếu gốc O. Tại thời điểm t, vị trí 'T1 G 1T G 2P G 1P G m2 m1 R 2T G 'T2 G R + Hình 3-6 36 những chất điểm ấy được xác định bởi các véc tơ bán kính ...r...r,r i21 GGG . Mô men động lượng của hệ đối với O được định nghĩa: [ ])vm.r(LL i iii i i ∑∑ == GGGG (3-10) bằng tổng mô men động lượng của các chất điểm trong hệ đối với O. 3.2.2 Trường hợp riêng a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục Δ cố định Mô men động lượng của chất điểm thứ i ( ii r,m G ) là: iii ωIL GG = (3-11) Ii = miri2 là mô men quán tính của chất điểm mi đối với trục quay Δ, iωG là vận tốc góc của chất điểm mi trong chuyển động quay xung quanh Δ, khi đó mô men động lượng của hệ cho bởi: ∑= i iiωIL GG (3-12) b. Vật rắn quay xung quanh một trục Δ cố định Khi đó . Vậy: 1 2 i nω ω ω ω ω= =⋅⋅⋅ = = ⋅⋅⋅= =G G G G G ∑ == i i ωIω)I(L GGG (3-13) trong đó I = là mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ. ∑∑ = i 2 ii i i )r(mI 3.2.3 Định lý về mô men động lượng của một hệ chất điểm Đối với chất điểm ( ii r,m G ) của hệ, khi áp dụng định lý về mô men động lượng ta được: )F(M/ dt Ld iO i GG = Cộng các phương trình trên ta được ∑∑ = i iO i i )F(M/ dt Ld GG trong đó: ∑∑ == i i i i dt LdL dt d dt Ld GGG Ta có kết quả sau: M)F(M/L dt d iO GGG == (3-14) Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mô men động lượng của một hệ bằng tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một gốc điểm O bất kỳ). 37 Trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay xung quanh trục Δ cố định thì mô men động lượng của hệ có dạng ωIL GG = . Khi đó định lý về mô men động lượng có thể viết như sau: M dt )ωd(I dt Ld GGG == Ta có: ∫=−= 2 1 t t 12 dtMLLLΔ GGGG (3-15) ∫2 1 t t dtM G gọi là xung lượng của mô men lực M G trong khoảng thời gian Δt = t2 - t1. Nếu constM =G thì: ΔtMLΔ GG = (3-16) Chú thích: Đối với vật rắn quay xung quanh một trục Δ cố định, mô men quán tính I = const do đó: MβI dt ωdI dt )ωd(I GGGG === 3.3 Định luật bảo toàn mô men động lượng 3.3.1 Thiết lập Giả sử có một hệ chất điểm cô lập hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mô men các ngoại lực ấy đối với điểm gốc O bằng 0, khi đó ta có: theo định lý về mô men động lượng: constL0M dt Ld =⇒== GG G (3-17) Vậy: Đối với một hệ chất điểm: a. Cô lập b. Chịu tác dụng của các ngoại lực sao cho tổng mô men của ngoại lực ấy đối với điểm gốc O bằng 0 thì: Tổng mô men động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn. 3.3.2 Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định Áp dụng định lý về mô men động lượng: M...)ωI....ωIω(I dt d ii2211 GGGG =+++ Khi = 0 ta được: M G const...ωI....ωIωI ii2211 =+++ GGG (3-18) 38 3.3.3 Một vài ứng dụng của định luật bảo toàn mô men động lượng Đối với một hệ quay xung quanh một trục với vận tốc góc ω, nếu tổng hợp các mô men ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không thì mô men động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn: Iω = const Nếu vì một lí do nào đó mô men quán tính I của hệ tăng thì ω giảm, hệ quay chậm lại; ngược lại nếu I của hệ giảm thì ω tăng, hệ quay nhanh lên. Ta xét một ví dụ sau: Ví dụ: Giải thích hiện tượng một người múa xoay tròn Ngoại lực tác dụng vào người là trọng lực và phản lực của đất; nếu bỏ qua ma sát thì hai lực đó đều có phương thẳng đứng tức là song song với trục quay: mô men của các lực đối với trục quay bằng không. Nếu người giang tay ra (I tăng) thì vận tốc quay sẽ giảm; Nếu người co tay lại hay hạ hai tay xuống (I giảm) thì vận tốc quay sẽ tăng. 39 BÀI TẬP 3.1 Một đĩa tròn khối lượng m1=100 kg quay với vận tốc góc ω1=10 vòng/phút. Một người có khối lượng m2=60 kg đứng ở mép đĩa. Hỏi vận tốc của đĩa khi người đó đi vào đứng ở tâm của đĩa. Coi người như một chất điểm. Đáp số: ω = 22vòng/phút 3.2 Hai vật có khối lượng lần lượt bằng m1 và m2 (m1> m2) được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua một ròng rọc (có khối lượng là M) (hình 1). Tìm: a. Gia tốc của các vật. b. Sức căng của sợi dây. Coi ròng rọc là đĩa tròn, ma sát không đáng kể. Đáp số: a/ 2 )( 21 21 Mmm gmma ++ −= b/ m2 m1 Hình 1 2 ) 2 2( 21 21 1 Mmm gMmm ++ + =T ; 2 ) 2 2( 21 12 2 Mmm gMmm T ++ + = 3.3 Một hệ gồm một trụ đặc khối lượng M=2,54 kg và một vật nặng khối lượng m=0,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua một ròng rọc (hình 2). Bỏ qua khối lượng của dây, của ròng rọc và khung gắn với trụ. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của dây. Đáp số: a = 1,16m/s T= 4,42N m Hình 2 3.4 Một vật A khối lượng m trượt trên mặt phẳng nghiêng và làm quay một bánh xe có bán kính R (hình 3). Mô men quán tính của bánh xe đối với trục quay bằng I. Bỏ qua khối lượng của dây. Tìm gia tốc góc của bánh xe. 40 Đáp số 2 )cos(sin mRI kmgR + −= ααβ 3.5 Một ròng rọc có hai rãnh với bán kính lần lượt là R và r (R>r), mỗi rãnh có một dây không dãn quấn vào, đầu tự do của các dây được nối vào một vật có khối lượng lần lượt là m1 và m2 (m2>m1) (hình 4). Tìm: a. Gia tốc góc của ròng rọc. b. Lực căng của các dây treo. Đáp số: IRmrm grmRm ++ −= 2 2 2 1 12 )(β T1 = m1(g + rβ); T2 = m2(g - Rβ) 3.6 Một bánh xe đang quay với vận tốc góc ω0 = 20π rad/s thì bị hãm, bánh xe quay chậm dần đều rồi dừng lại sau thời gian t = 20s. a. Gia tốc góc của bánh xe. b. Số vòng mà bánh xe quay được kể từ lúc bị hãm đến lúc dừng. Đáp số: a/ )/(14,3 2srad−=β b/ 100=N (vòng) α A R Hình 3 m1 m2 Hình 4 41