Bài giảng Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes

Bài 5: Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN Mô hình định giá quyền chọn nhị phân hội tụ vào một giá trị cụ thể trong giới hạn. GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN Mô hình nhị phân được gọi là mô hình thời gian rời rạc. Khi thời gian trôi đi, giá cổ phiếu nhảy từ mức này sang một trong hai mức tiếp theo. Tuy nhiên, trong thực tế thì thời gian trôi đi không ngừng và giá cổ phiếu nói chung chỉ thay đổi với những gia số rất nhỏ. Đặc tính như vậy được thể hiện tốt hơn trong các mô hình thời gian liên tục. Mô hình Black-Scholes đã sử dụng khuôn khổ mô hình thời gian liên tục để định giá quyền chọn. GIẢ ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH BLACK - SCHOLES Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn. Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi theo logarit của cổ phiếu không thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn. Không có thuế và chi phí giao dịch. Cổ phiếu không trả cổ tức. Các quyền chọn là kiểu Châu Âu. CÔNG THỨC ĐOẠT GIẢI NOBEL Phân phối chuẩn Nhắc lại Phân phối dạng hình chuông Dùng bảng phân phối xác suất tích lũy tìm N(d1) and N(d2). CÔNG THỨC ĐOẠT GIẢI NOBEL Sử dụng công thức Black-Scholes để định giá một quyền chọn mua cổ phiếu AOL tháng 6: Giá thực hiện 125 Giá cổ phiếu $125,9375 Thời gian đến khi đáo hạn là 0,0959 Lãi suất phi rủi ro là 4,56% Độ lệch chuẩn = 0,83 Lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng lãi suất được ghép lãi liên tục. Rc = ln(1,0456) = 4,46. Đặc tính của công thức Diễn giải công thức Khái niệm nhà đầu tư chấp nhận rủi ro (risk neutral) Một nhà đầu tư chấp nhận với rủi ro định giá một tài sản bằng cách tìm kiếm giá trị kỳ vọng trong tương lai của tài sản và chiết khấu nó theo lãi suất phi rủi ro Chúng ta có thể định giá quyền chọn trên cơ sở các nhà đầu tư là chấp nhận với rủi ro – có nghĩa là, bằng cách tìm kiếm thu nhập kỳ vọng trong tương lai của quyền chọn Max(0,ST – X) và chiết khấu nó với lãi suất phi rủi ro. Diễn giải công thức Phần thứ nhất của biểu thức là giá trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện là giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện, nhân với xác suất giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện khi đến hạn Thành phần thứ hai trong vế phải của công thức Black-Scholes là giá trị kỳ vọng của khoản chi trả theo giá thực hiện khi đáo hạn N(d2) là xác suất ứng với nhà đầu tư chấp nhận rủi ro mà X sẽ được chi trả khi đáo hạn Công thức Black-Scholes và một số trường hợp Công thức Black-Scholes và giới hạn dưới quyền chọn kiểu Châu Âu: Xét hai trường hợp: S0 rất cao và S0 rất thấp, ta vẫn có: Khi T=0, S=0, X=0 và =0 và rc=0Công thức sẽ ra sao???? Khi T=0 CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Có 5 biến số ảnh hưởng đến giá quyền chọn: Giá cổ phiếu Giá thực hiện Lãi suất phi rủi ro Thời gian đến khi đáo hạn Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn của cổ phiếu. CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Giá cổ phiếu Giá cổ phiếu cao hơn sẽ dẫn đến giá quyền chọn mua cao hơn. Ví dụ: Giả định rằng giá cổ phiếu là $130 thay vì $125,9375. Nó sẽ tạo ra giá trị của N(d1) và N(d2) là 0,6171 và 0,5162, và giá trị của C là $15,96, cao hơn giá trị đạt được trước đây là $13,55. CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Giá cổ phiếu Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn mua thường được biểu diễn dưới dạng một giá trị đơn, gọi là Delta.  quyền chọn mua = N(d1) [0 , 1] CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Giá cổ phiếu Delta là giá trị thay đổi của giá quyền chọn mua ứng với một thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Delta bằng 0,5692 nghĩa là giá quyền chọn biến động 56,92% so với thay đổi của giá cổ phiếu. Ví dụ, nếu giá cổ phiếu là $130, tăng $4,0625, giá quyền chọn sẽ là $15,96, tăng $2,41, khoảng 59% biến động của giá cổ phiếu. Vì vậy, mặc dù delta là một thước đo rất quan trọng về độ nhạy cảm của quyền chọn với giá cổ phiếu, nó chỉ chính xác khi giá cổ phiếu thay đổi rất nhỏ. CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Giá cổ phiếu Phòng ngừa delta là xây dựng một danh mục phòng ngừa phi rủi ro bằng cách mua delta cổ phiếu và bán lại một quyền chọn mua. Ví dụ, delta là 0,5691 nên chúng ta xây dựng một danh mục phòng ngừa delta bằng cách mua 569 cổ phiếu và bán 1.000 quyền chọn. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 0,01, chúng ta sẽ lỗ 0,01(569) = 5,69 đối với cổ phiếu. Tuy nhiên, giá quyền chọn sẽ giảm khoảng 0,01(0,569) hay 0,00569. Vì chúng ta có 1.000 quyền chọn, các quyền chọn tổng cộng sẽ giảm 0,00569(1.000) = 5,69. Vì chúng ta bán các quyền chọn, chúng ta thu được 5,69, bù đắp cho khoản lỗ đối với cổ phiếu. CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Phòng ngừa delta Phòng ngừa delta/ Trung lập delta Phòng ngừa delta: sở hữu cổ phiếu và bán quyền chọn mua để duy trì danh mục phi rủi ro Số cổ phiếu được sở hữu chính là delta N(d1). Khi giá cổ phiếu tăng $1, quyền chọn tăng N(d1). Bằng cách sở hữu N(d1) cổ phiếu trên mỗi quyền chọn, chúng ta bù trừ được rủi ro. Vị thế phải được điều chỉnh khi delta thay đổi. Giá cổ phiếu Nhưng … Phòng ngừa delta chỉ áp dụng hữu hiệu cho những thay đổi nhỏ trong giá cả. Với những thay đổi lớn thì delta không phản ánh đúng thay đổi của giá cổ phiếu. Điều này gọi là rủi ro gamma: Với quyền chọn mua AOL 125 , CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S Giá cổ phiếu Gamma là phần thay đổi của delta ứng với một mức thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Công thức của gamma là: Gamma quyền chọn mua = Gamma càng lớn, delta càng nhạy cảm đối với thay đổi trong giá cổ phiếu và càng khó để duy trì một vị thế trung lập delta. Nếu cổ phiếu tăng lên 130, delta sẽ thay đổi từ 0,569 đến 0,569 + (130 – 125,9375)(0,0121) = 0,6182. Các biến số khác Giá thực hiện Lãi suất phi rủi ro: Rho Thời gian đến khi đáo hạn: Theta Độ bất ổn (Độ lệch chuẩn): Vega (Lambda) Cổ tức liên tục, đã biết trước (có thể áp dụng cho quyền chọn tiền tệ) Điều chỉnh như sau: MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI CỔ PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI CỔ PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC Cổ tức rời rạc đã biết trước Giả sử chi trả mức cổ tức rời rạc duy nhất D. Điều chỉnh giá cổ phiếu thành S¢, và đưa vào mô hình TÍNH TOÁN ĐỘ BẤT ỔN Độ bất ổn hàm ý Độ bất ổn mà giá thị trường bằng đúng giá trong mô hình. TÍNH TOÁN ĐỘ BẤT ỔN Độ bất ổn quá khứ Thu thập tỷ suất sinh lợi (ngày, tháng, quý) của cổ phiếu Chuyển đổi sang dạng ghép lãi liên tục ln(1 + r) Tính phương sai Nhân lên 250 (ngày), 52 (tuần) hay 12 (tháng) Lấy căn bậc 2. TÍNH TOÁN ĐỘ BẤT ỔN Độ bất ổn hàm ý For our AOL June 125 call, this gives This is quite close; the actual implied volatility is .83. Appendix 5.A shows a method to produce faster convergence. Độ bất ổn hàm ý và những hàm ý của nó Hầu hết các nhà đầu tư đều xem các thông tin về độ bất ổn hàm ý nằm trong số các thông tin quý giá và chính xác mà họ nhận được từ thị trường cổ phiếu hoặc quyền chọn Mối quan hệ giữa độ bất ổn hàm ý và thời gian đáo hạn quyền chọn được gọi là cấu trúc kỳ hạn của độ bất ổn hàm ý Và … Khi độ bất ổn hàm ý được biểu diễn trên đồ thị tương ứng với giá thực hiện, mối quan hệ này tạo thành một hình chữ U thường được gọi là nụ cười mỉa mai của độ bất ổn. Thông thường, hình dạng này trở nên lệch hơn, và hình dạng này được gọi là sự thiên lệch của độ bất ổn Nụ cười mỉa mai hay sự thiên lệch của độ bất ổn cho chúng ta biết rằng mô hình Black-Scholes không phải là một mô hình hoàn hảo !!!! Định giá quyền chọn bán Dùng công thức Black-Scholes ta có C