Bài giảng đại số tuyền tính - Tham khảo

Cực trị hàm nhiều biến: Định nghĩa: Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở chứa . Ta nói: là điểm cực tiểu địa phương của f nếu là điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là là điểm cực đại địa phương của f nếu là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất): là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là : là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là : Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại và f đạt cực trị địa phương tại thì Các điểm thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm dừng của f. Điều kiện đủ : Dạng toàn phương: Biểu thức được gọi là một dạng toàn phương của x,y . Biểu thức được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n biến là biểu thức có dạng Với dạng toàn phương , ta có ma trận được gọi là ma trận của dạng toàn phương và được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn phương. Dạng toàn phương được gọi là xác định dương nếu Dạng toàn phương được gọi là xác định âm nếu Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là xác định dấu. Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo . Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của khi đó Nếu là dạng toàn phương xác định dương thì là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều này tương đương với : Tất cả Hk đều dương >>>>cực tiểu địa phương Nếu là dạng toàn phương xác định âm thì là điểm cực đại địa phương của f. Điều này tương đương với Các ví dụ: Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12 Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]} Ma trận Hess Tại (2,1)? Tại (-2,-1)? Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28} Điểm dừng M0(0,0) . Ma trận Hesse: Tại M0 thì , Điểm dừng: , Ma trận Hess : 4. Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma trận Hess ????? Tính vi phân cấp 2: (điểm yên ngựa) Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm với ràng buộc được gọi là cực trị có điều kiện của f. Phương pháp: Xét hàm Lagrange Ta có: được gọi là nhân tử Lagrange. Nếu là cực đại (cực tiểu ) của L thì là cực đại (cực tiểu ) của f với điều kiện Điểm dừng : giải hệ Tính và xét dấu . Điều này dẫn đến xét ma trận Hesse biên tại điểm dừng: Tính các nhân tử Hesse biên. Nếu thì f đạt cực tiểu tại với điều kiện Nếu thì f đạt cực đại tại với điều kiện Trường hợp : Trường hợp : Các ví dụ: VD1: Tìm cực trị có điều kiện của với điều kiện Hàm Lagrange: Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]} Ma trận Hesse biên : Tính Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)]…..???? Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]…..??? VD2: Tìm cực trị có điều kiện của với điều kiện Hàm Lagrange: Điểm dừng [x=-1,y=1,z=1,λ=-1], [x=1,y=-1,z=1,λ=-1], [x=1,y=1,z=-1,λ=-1], [x=3,y=3,z=3,λ=-9] Ma trận Hesse: Cực trị toàn cục: Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho là hàm số xác định trên D là một tập lồi. Ta nói là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu Định lý: Nếu thì f lồi ngặt toàn cục trên D. Nếu thì f lõm ngặt toàn cục trên D. Trường hợp hàm 1 biến: f lồi ngặt toàn cục . f lõm ngặt toàn cục Trường hợp hàm n biến: Xét ma trận Hesse tại điểm M bất kỳ trong D. f lồi ngặt toàn cục trên D f lõm ngặt toàn cục trên D. Điều kiện đạt cực trị toàn cục: Nếu là điểm dừng của f (nghĩa là ) . Khi đó: Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại Tóm tắt: Hàm một biến Hàm nhiều biến Đk cấp 1: Điều kiện cấp 2: Xét đạo hàm cấp hai: f đạt cực tiểu toàn cục tại f đạt cực đại toàn cục tại Điểu kiện cấp 2: Xét ma trận Hesse tổng quát (tại điểm M bất kỳ trong D) f đạt cực tiểu toàn cục tại f đạt cực đại toàn cục tại là cực đại toàn cục của f với đk là cực tiểu toàn cục của f với đk Trường hợp cực trị có điều kiện: Xét hàm Lagrange Tìm điểm dừng Xét ma trận Hesse biên tại điểm bất kỳ