Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Lê Xuân Trường

MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 1 / 10 Khái niệm ma trận Ma trận cấp m× n: A = (aij ) A =  a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn  m là số dòng, n là số cột aij là phần tử nằm ở dòng thứ i và cột thứ j Ví dụ: [ 2 −1 3 1 4 −5 ]  −2 3 0 4 1 15 3 −6 2 1 −5 9  ma trận cấp 2× 3 ma trận cấp 3× 4 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 2 / 10 Hai ma trận bằng nhau Definition Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau Cho hai ma trận cùng cấp: A = (aij ) và B = (bij ) A = B ⇔ aij = bij , ∀i , j Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 3 / 10 Một số dạng ma trận đặc biệt Ma trận không: aij = 0 với mọi i , j Ma trận cột: ma trận chỉ có một cột (1× n) Ma trận dòng: ma trận chỉ có một dòng (m× 1) Ma trận vuông: số dòng và số cột bằng nhau (n× n) a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann  Ma trận tam giác Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i > j Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i < j Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 4 / 10 Một số dạng ma trận đặc biệt Ma trận chéo là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i 6= j Ma trận đơn vị là ma trận chéo với aii = 1 với mọi i In =  1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1  (ma trận đơn vị cấp n) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 5 / 10 Các phép toán ma trận Phép cộng:[ 1 −2 3 2 1 −4 ] + [−3 1 −2 2 0 3 ] = [−2 −1 1 4 1 −1 ] Hai ma trận phải cùng cấp Cộng các phần tử tương ứng Phép trừ: tương tự như phép cộng trong đó thay vì cộng ta sẽ trừ các phần tử tương ứng Nhân một số với ma trận: 2. [ 2 −3 1 4 1 −5 ] = [ 4 −6 2 8 2 −10 ] Nhân số với các phần tử của ma trận Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 6 / 10 Các phép toán ma trận Nhân hai ma trận: [−2 1 3]×  32 −1  = (−2).3+ 1.2+ 3.(−1) = −7 ma trận dòng ma trận cột số thực Nếu D = (aij )1×n và C = (bij )n×1 thì DC = n ∑ k=1 a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 7 / 10 Các phép toán ma trận Nhân hai ma trận: A B C [−1 0 2 1 3 0 ] × 1 −2 0 02 3 1 4 0 −1 0 1  = [−1 0 0 2 7 7 3 12 ] cấp 2× 3 cấp 3× 4 cấp 2× 4 số cột của A phải bằng với số dòng của B cij = dòng i của A× cột j của B Nếu A = (aij )m×n và B = (bij )n×p thì AB = (cij )m×p, với cij = n ∑ k=1 aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 8 / 10 Các phép toán ma trận Chuyển vị: A = −1 2 3 14 1 −2 0 2 −1 0 3  =⇒ AT =  −1 4 2 2 1 −1 3 −2 0 1 0 3  Chuyển vị của ma trận cấp m× n là ma trận cấp n×m đổi dòng thành cột Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 9 / 10 Những tính chất cơ bản A+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C ) A+O = A A+ (−A) = O (λ+ µ)A = λA+ µA λ(A+ B) = λA+ λB (λµ)A = λ(µA) 1.A = A (A+ B)T = AT + BT (AB)T = BTAT (nói chung phép nhân không có tính chất giao hoán) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN 10 / 10