Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Số phức

1Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 0: Số phức • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn 2Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việc với ma trận, bài toán giải hệ phương trình tuyến tính, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng véc tơ riêng, đưa dạng toàn phương về chính tắc. Mục tiêu của môn học Toán 2 3 Số phức Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Không gian véc tơ Phép biến đổi tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng Dạng toàn phương Không gian Euclide 4Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: tự luận (80%) 5Tài liệu tham khảo Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 2. 11. www.tanbachkhoa.edu.vn . Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH quốc gia 6Nội dung -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Dạng đại số của số phức 0.2 – Dạng lượng giác của số phức 0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0.5 – Khai căn số phức 0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 0.3 – Dạng mũ của số phức 70.1 Dạng đại số của số phức ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x2 = -1. Định nghĩa số i Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i2 = -1 Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1. Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo. 80.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa số phức Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z. Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0 thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). 90.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo. Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. 10 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép nhân hai số phức. Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đó z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i Ví dụ Tìm dạng đại số của số phức z = (2 + 5i).(3+ 2i) Giải z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 6 + 4i + 15i + 10 i2 Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i = 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i 11 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i. Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2. Định nghĩa sự bằng nhau Giải 1 2 2 3 3z z i m i=  + = + 2 2 3 3 m m =   = = 12 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức. Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 5i) + (2 - 3i). Giải z = (3 + 5i) + (2 - 3i) Re( ) 5; Im( ) 2.z z = = = (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. 13 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó: z w 1. là một số thực. z z+ 2. là một số thực. z z 3. khi và chỉ khi z là một số thực. z z= 4. z w z w+ = + 5. z w z w =  6. z z= 7. với mọi số tự nhiên n ( )n nz z= Tính chất của số phức liên hợp 14 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Cộng, trừ, nhân hai số phức: Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i2 = −1. 15 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i). Định nghĩa số phức liên hợp Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi. z a bi= - Giải. Vậy số phức liên hợp là 14 8 .= -z i z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i = 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i. 16 Lưu ý: So sánh với số phức. Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 như trong trường số thực. Biểu thức z1 < z2 hoặc z2 ≥ z1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 0.1 Dạng Đại số của số phức ------------------------------------------------------------------ 17 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Phép chia hai số phức. 1 1 1 2 2 2 z a ib z a ib + = + 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) z a ib a ib z a ib a ib + - = + - 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z a a b b b a a b i z a b a b + - = + + + Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu. (Giả sử ) 2 0z  18 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Ví dụ. Thực hiện phép toán i i - + 5 23 Giải. )5)(5( )5)(23( 5 23 ii ii i i +- ++ = - + 125 210315 2 + +++ = iii i i 2 1 2 1 26 1313 += + = Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu là 5 + i. Viết ở dạng Đại số 19 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( , )  = +M a b z a bi r b a o x y 2 2 mod( )= + =r a b z cos : sin     =   =  a r b r trục thực trục ảo 20 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2mod( ) | |= = +z z a b Định nghĩa Môdun của số phức Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Ví dụ Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i. Giải Vậy mod(z) = |z| = 2 2 2 23 ( 4) 5.+ = + - =a ba = 3; b = -4. 21 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho z = a + bi và w = c + di. Chú ý: Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì 2 2 2 2| | ( 0) ( 0)= + = - + -z a b a b là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ. là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d). 2 2| | ( ) ( )z w a c b d- = - + - 22 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa | 2 3 | 5- + =z i Giải | 2 3 | 5z i- + = | (2 3 ) | 5z i - - = đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5. 23 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa | | | | 4z i z i- + + = Giải | | | | 4- + + =z i z i Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước (0,1) và (0,-1) không thay đổi bằng 4 chính là ellipse. 24 0.2 Dạng lượng giác của số phức ---------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa argument của số phức Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là  arg( ) .=z Góc được giới hạn trong khoảng  Lưu ý. 0 2   hoặc   -   Công thức tìm argument của số phức. 2 2 2 2 cos sin    = =  +   = =  + a a r a b b b r a b hoặc tg = b a 25 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Môđun: Ví dụ Tìm dạng lượng giác của số phức 1 3.= - +z i 1; 3.= - =a b 1 1 os = 23 1  - - = = + a c r 3 3 sin = 23 1  = = + b r Suy ra 2 3   = Dạng lượng giác: 2 2| | 2.= = + =r z a b Argument: 2 2 1 3 2(cos sin ) 3 3   = - + = +z i i 26 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa | 2 | | 2 |z z- = + Giải | 2 | | 2 |- = +z z Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ đó đến hai điểm (2,0) và (-2,0) bằng nhau. Đây chính là trục tung. 27 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Ví dụ Tìm argument của số phức 3 .= +z i 3; 1= =a b . Ta tìm góc thỏa:  3 3 os = 23 1  = = + a c r 1 1 sin = 23 1  = = + b r Suy ra 6   = Vậy arg(z) = 6  28 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2; 0= + + z a bi a b (cos sin ) = +z r i Dạng lượng giác của số phức 2 2 2 2 2 2 ( )= + + + + a b z a b i a b a b (cos sin )z r i = + 29 0.2 Dạng lượng giác của số phức ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i   = + = + Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác 1 2 1 2 1 2 2 r r z z k   = =   = + Phép nhân ở dạng lượng giác 1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))z z r r i    = + + + Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. 30 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải (1 )(1 3)= + -z i i Dạng lượng giác: Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức (1 )(1 3).= + -z i i 2( os in ) 2( os in ) 4 4 3 3    - - = +  +z c is c is 2 2[ os( ) in( )] 4 3 4 3    - - = + + +z c is 2 2( os in ). 12 12  - - = +z c is 31 0.2 Dạng lượng giác của số phức ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác 1 1 1 2 1 2 2 2 (cos( ) sin( )) z r i z r    = - + - Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i   = + = + 2 20 0.  z r 32 0.2 Dạng lượng giác của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 2 2 3 3 - = - + i z i Dạng lượng giác: 7 7 2( os in ). 6 6  - - = +z c is Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức 2 12 . 3 - = - + i z i - - 4(cos sin ) 3 3 5 5 2(cos sin ) 6 6     + = + i i - 5 - 5 2[cos( - ) sin( - )] 3 6 3 6     = +z i 33 0.3 Dạng mũ của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- cos sinie i  = + Định lý Euler (1707-1783) z a bi= + (cos sin )z r i = + iz re = Dạng đại số của số phức z Dạng lượng giác của số phức z Dạng mũ của số phức z 34 0.3 Dạng mũ của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm dạng mũ của số phức sau 3= - +z i Dạng lượng giác: 5 5 2(cos sin ) 6 6 z i   = + Dạng mũ: 5 62 i z e  = 35 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5. =+= 55 )2( iz =++++++= 555 44 5 323 5 232 5 41 5 50 5 22222 iCiCiCiCiCC =++-+-++= iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532 i4138+-= 36 0.3 Dạng mũ của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 2 ; iz e R +=  Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2(cos sin )z e i = + 37 0.3 Dạng mũ của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 3 ; a iz e a R+=  (cos3 sin3)az e i= + Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2. 38 0.4 Nâng số phức lên lũy thừa ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n z a bi= + 2 2 2( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i=  = + + = - + 3 3 3 2 2 3( ) 3 3 ( ) ( ) ...= + = + + + =z a bi a a bi a bi bi 0 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n n nn n n nz a bi C a C a bi C a bi C bi - -= + = + + + + nz A iB= + 39 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa -------------------------------------------------------------- Lũy thừa bậc n của số phức i: ii =1 12 -=i iiiii -=-== )1(23 1)1()1(224 =--== iii iiiii === 145 1)1(1246 -=-== iii iiiii -=-== )(1347 111448 === iii Lũy thừa bậc n của i Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in = ir, với r là phần dư của n chia cho 4. 40 0.3 Dạng mũ của số phức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tính 1987=z i 1987 4 496 3=  + 1987z i= 4 496 3 3i i i += = = - 41 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho z = 1 + i. a) Tìm z3; b) Tìm z100. Ví dụ 3 3) (1 )a z i= + 2 31 3 3i i i= + + + 1 3 3z i i= + - - 2 2z i= - + ) Tính töông töï raát phöùc taïp. Ta söû duïng caùch khaùcb 42 [ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n   + = + Công thức De Moivre Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa ----------------------------------------------------------------------------------------------------- z a bi= + (cos sin )r i = + 2 2(cos2 sin2 )z z z r i =  = + 3 2 3(cos3 sin3 )z z z r i =  = + 1 (cos sin )n n nz z z r n i n -=  = + 43 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: a) (1 + i)25 200)31( i+-b) 20 17 )212( )3( i i + - c) Giải. a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác ) 4 sin 4 (cos21  iiz +=+= Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s: ) 4 25 sin 4 25 (cos)2()] 4 sin 4 (cos2[ 252525  iiz +=+= Bước 3. Đơn giản ) 4 sin 4 (cos221225  iz += 44 0.4 Khai căn số phức ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa căn bậc n của số phức Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên. (cos sin )z a bi r i = + = + 2 2 (cos sin ) (cos sin )n nn k k k z r i z r i n n       + + = + = = + với k = 0, 1, 2, , n – 1. Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 45 0.4 Khai căn số phức ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên trên mặt phẳng phức. 3 8a) 4 3 + ib) 8 16 1 i i+ c) 6 1 3 i i + - d) 5 12i+e) 1 2i+f) Giải câu a) Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8(cos0 sin 0)i= + Sử dụng công thức: 3 0 2 0 28(cos0 sin 0) 2(cos sin ) 3 3 k k k i z i  + + + = = + 0,1,2.k = 46 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của phương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào. Hệ quả Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây 47 0.4 Khai căn số phức ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu b) Viết số phức ở dạng lượng giác: Sử dụng công thức: 44 2 2 6 62(cos sin ) 2(cos sin ) 6 6 4 4      + + + = = +k k k i z i 0,1,2,3.=k 3 2(cos sin ) 6 6   + = +i i 0 z 1 z 2 z 3 z 48 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Định lý cơ bản của Đại số Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 49 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i Ví dụ làm nghiệm. 2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i làm nghiệm. 1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán. 2) Đa thức cần tìm là: 1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z= - - - - ( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= - + - + - - 2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + - + 50 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C. 015 =-+ iza) 0122 =-++ izzd) 0224 =++ zzc) 012 =++ zzb) Giải. Giải phương trình 02 =++ cbzaz acb 42 -=Bước 1. Tính Bước 2. Tìm 2,1 2 4 =-= acb Bước 3. 1 21 2 ; 2 2 b b z z a a - + - + = = 51 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i cũng là nghiệm. P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) = = z2 – 4z + 5 P(z) có thể ghi ở dạng P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9) z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. (sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) Tìm tất cả các nghiệm của biết 2 + i là một nghiệm. Ví dụ 45 36144 )( 2 3 4 + -+ - = zzz zz P 52 0.5 Định lý cơ bản của Đại số --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải phương trình sau trong C. 9 0z i+ = Ví dụ 9z i= - 9z i = - 9 cos sin 2 2 z i  - -  = + 2 2 2 2cos sin 9 9k k k z i     - - + +  = + 0,1,...,8.k = 53 Kết luận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dạng Lượng giác của số phức )sin(cos  irz += 3. Nâng lên lũy thừa )sin(cos)]sin(cos[  ninrirz nnn +=+= 4. Căn bậc n của số phức ) 2 sin 2 (cos)sin(cos n k i n k rzirz nk nn   + + + ==+= .1,...,3,2,1 -= nk 1. Dạng Đại số của số phức biaz += 54 Thực hiện phép toán Bài tập 1 )2( )32( 5 2 ii i z - + = Viết số phức sau ở dạng lượng giác. Bài tập 2 )3)(1( iiz ++-= 55 Viết số phức sau ở dạng đại số Bài tập 3 5)32( iz -= Tìm tất cả các số phức z thỏa Bài tập 4 1|21| +- iz 56 Cho |z| = 2. Chứng tỏ Bài tập 5 6 8 13z i+ +  Cho |z| = 1. Chứng tỏ Bài tập 6 21 | 3 | 4z -  57 Tìm số phức z thỏa Bài tập 7 2z z i- = + Tìm số phức z thỏa Bài tập 8 2 1 12 6z i z+ + = 58 Cho z là một số phức khác 0. Tìm môđun của số phức sau Bài tập 9 2008z i z  Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn Bài tập 10 z k z i = - với k là số thực dương cho trước. 59 Tìm số phức z thỏa mãn Bài tập 12 4 1 z i z i +  =  -  Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời Bài tập 11 1 1 z z i - = - và 3 1 z i z i - = + 60 Tìm phần thực và phần ảo của số phức Bài tập 13 3 2 1 i i z i i - + = - + Giải phương trình . Bài tập 14 2 | | 0z z+ = 61 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức Bài tập 15 2) sin 2sin 2 a i   + ) cos (1 sin ) b i + + Tìm số căn bậc hai của số phức z = - 8 + 6i. Bài tập 16 62 Viết số phức sau ở dạng đại số Bài tập 17 5)32( iz -= Tìm tất cả các số phức z thỏa Bài tập 18 1|21| +- iz 63 Chứng minh rằng nếu là một số ảo thì |z| = 1. Bài tập 20 1 1 z z + - Xác định phần thực của số phức Bài tập 19 1 1 z z + - biết rằng |z| = 1 và 1.z  64 Bài tập 21 Tính và 5cos 5sin Tính và ncos nsin Bài tập 22 Tính , với 31 1 i i z + - =6 z 65 Bài tập 23 Tính , với 16=z4 z Bài tập 24 Tính 3 22 i+- 66 Bài tập 25 Tính i41+ Bài tập 26 Giải phương trình 07 =+ iz 67 Bài tập 27 Giải phương trình 012 =-++ izz Bài tập 28 Chứng tỏ rằng số phức 2 + 3i là một nghiệm của phương trình 05216174 234 =+-+- zzzz và tìm tất cả các nghiệm còn lại. 68 Bài tập 29 Giải phương trình 02)22()2( 23 =-+++- iziziz biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Bài tập 30 Phân tích x3 + 27 ra thừa số bậc nhất và bậc hai. 69 Bài tập 31 Tính 0 2 4 2006 20082008 2008 2008 2008 2008A C C C C C= - + -    - + Bài tập 32 Tính  nA cos3cos2coscos ++++= Bài tập 33 Tính cos cos( ) cos( ) cos( )A b b b b n  = + + + + + +    + +2 70 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức Bài tập 34 2) sin 2sin 2 a i   + ) cos (1 sin ) b i + + Tìm số phức z sao cho |z| = |z – 2| và một argument của z – 2 bằng Bài tập 35 một argument của z + 2 cộng với . 2  71 Chứng minh rằng nếu ba số phức thỏa mãn Bài tập 36 thì một trong ba số đó phải bằng 1. 1 2 3, ,z z z 1 2 3 1 2 3 | | | | | | 1 z z z z z z = =  + + = Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số Bài tập 37 2 2 z z - + phức z sao cho có một argument bằng . 3  72