Bài giảng Cơ ứng dụng - Phần 2

o, nén đề tìm hiểu tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc phá hỏng của các loại vật liệu khác nhau. Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau người ta phân vật liệu thành hai loại cơ bản: 210 Vật liệu dẻo: vật liệu bị phá hoại khi biến dạng khá lớn (ví dụ: thép, đồng, nhôm,...). Vật liệu dòn: vật liệu bị phá hoại khi biến dạng còn khá bé (ví dụ: gang, đá, bê tông,). Như vậy có bốn thí nghiệm cơ bản. 11.1.4.2. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Mẫu thí nghiệm: theo tiêu chuẩn 197 – 85, chiều dài Lo, đường kính do, diện tích Fo (Hình 11.6) Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài ΔL của mẫu như hình 11.7. Sau khi mẫu bị đứt ta chắp mẫu lại, có chiều dài L1 ,đường kính d1, diện tích F1 mẫu sẽ có hình dáng như hình 11.8. - Phân tích kết quả: quá trình chịu lực của vật liệu có thể chia làm 3 giai đoạn. + Giai đoạn đàn hồi OA: quan hệ giữa P là ΔL là bậc nhất. Lực lớn nhất trong giai đoạn này là lực tỉ lệ Ptl, ứng suất tương ứng trong mẫu là giới hạn tỉ lệ. tl tl o P F  = (11.9) + Giai đoạn chảy AD: lực kéo không tăng nhưng biến dạng tăng liên tục. Lực kéo tương ứng là lực chảy và ta có giới hạn chảy L0 d0 Hình11.6 C Ptl O A D PB P Pch L B Hình 11.7 L1 d1, A1 Hình11.8 211 ch ch o P F  = (11.10) + Giai đoạn củng cố (tái bền) DB: quan hệ giữa lực P và biến dạng ΔL là đường cong. Lực lớn nhất là lực bền Pb và ta có giới hạn bền b b o P F  = (11.11) Biểu đồ quy ước (σ - ε): từ biểu đồ P – ΔL ta dễ dàng suy ra biểu đồ quan hệ giữa ứng suất σz = P/F và biến dạng dài tương đói εz = ΔL/Lo Biểu đồ này có hình dạng giống biểu đồ P – ΔL (hình 11.9). Trên biểu đồ chỉ rõ σtl , σch, σb và cả mô đun đàn hồi tanE  = = 11.1.4.3. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo Mẫu thí nghiệm có dạng hình trụ tròn hay hình lập phương (hình 11.10a) Biểu đồ nén vật liệu dẻo như hình 11.11; ta chỉ xác định được giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy mà không xác định được giới hạn bền do sự phình ngang của mẫu làm cho diện tích mặt cắt ngang mẫu liên tục tăng lên. Sau thí nghiệm mẫu có dạng hình trống (hình 11.10b) σb σch σtl σ ε O D B C α A Hình 11.9 Pch Ptl P LO Hình 11.12Hình 11.11 d h a) b) 212 11.1.4.4. Thí nghiệm kéo vật liệu dòn Biểu đồ kéo vật liệu dòn có dạng đường cong (hình 11.12). Vật liệu không có giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy mà chỉ có giới hạn bền. bb o P F  = Tuy vậy, người ta cũng quy ước một giới hạn đàn hồi nào đó và xem đồ thị quan hệ lực kéo và biến dạng là đường thẳng (đường quy ước) Pb Ptl P O Hình 11.12 11.1.4.5. Thí nghiệm nén vật liệu dòn Biểu đồ quan hệ P – ΔL khi nén vật liệu dòn cũng là đường cong tương tự biểu đồ kéo vật liệu dòn. *Kết luận: Nghiên cứu các thí nghiệm kéo và nén các vật liệu dẻo và dòn, người ta thấy rằng: + Đối với vật liệu dẻo: giới hạn chảy khi kéo và nén là như nhau. + Đối với vật liệu dòn: giới hạn bền của khi kéo bé hơn nhiều so với giới hạn bền khi nén. 11.1.5. Điều kiện bền – Ba bài toán cơ bản 11.1.5.1. Khái niệm về ứng suất cho phép, hệ số an toàn Độ bền của toàn bộ kết cấu hoặc chi tiết máy được đảm bảo chỉ khi, tại mọi điểm thuộc kết cấu, trị số lớn nhất của ứng suất tính toán |σ|max không vượt qua một giá trị giới hạn gọi là ứng suất cho phép [σ] Trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm thì ứng suất trên mặt cắt ngang đã được xác định theo công thức: σz= Nz/F. 213 Để cấu kiện làm việc được an toàn thì ứng suất lớn nhất phát sinh trong cấu kiện không được vượt quá trị số ứng suất giới hạn nào đó, tức là: |σ|max ≤ [σ] Với [σ] gọi là ứng suất cho phép, phụ thuộc từng loại vật liệu, được xác định từ các nghiên cứu thực nghiệm và tính theo công thức: [σ]= σ0/n. Trong đó: σ0 là ứng suất nguy hiểm và n là hệ số an toàn. Ứng suất nguy hiểm σ0 là ứng suất mà ứng với nó vật liệu sẽ bị phá hoại, được xác định như sau: - Với vật liệu dẻo: Ứng suất nguy hiểm được chọn là giới hạn chảy vì trong giai đoạn chảy biến dạng của vật liệu lớn mặc dù không tăng lực thí nghiệm nữa, làm cho vật liệu không có khả năng tiếp nhận thêm tải trọng, gây nguy hiểm cho sự làm việc của vật liệu. Thực nghiệm đã chứng minh khả năng chịu nén và chịu kéo của vật liệu dẻo là như nhau: k n o ch ch  = = Suy ra: [ ] k n ch ch n n   = = - Với vật liệu dòn: Ứng suất nguy hiểm được chọn là giới hạn bền vì cấu kiện bị phá hoại khi ứng suất trong nó đạt đến giới hạn bền mặc dù biến dạng còn bé. Thực nghiệm cho thấy vật liệu dòn chịu nén tốt hơn chịu kéo: 01 02 k n b b   = << = ▪ Ứng suất cho phép khi kéo: [ ] k b k n  = ; ▪ Ứng suất cho phép khi nén: [ ] n b n n  = - Hệ số an toàn n phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: + Loại vật liệu: Vật liệu dẻo hay dòn; vật liệu đồng chất hay không đồng chất, + Tính chất của tải trọng tác dụng: Tải tĩnh, tải động, tải do va chạm, + Thời gian tác dụng của tải trọng; sự sai lệch giữa tải trọng thực tế và tải trọng đưa vào tính toán; + Phương pháp và công cụ tính toán; sự gần đúng trong tính toán do đưa vào các giả thiết; + Điều kiện làm việc thực tế của cấu kiện; chức năng và yêu cầu sử dụng của công trình 214 - Để an toàn trong tính toán, thiết kế người ta lấy hệ số an toàn n > 1. Giá trị của ứng suất cho phép [σ] hay hệ số an toàn n được quy định trong các tiêu chuẩn hay quy phạm tính toán. Cần lưu ý rằng, cách đánh giá độ bền kết cấu theo quan điểm ứng suất cho phép là thông qua đánh giá độ bền tại từng điểm của kết cấu mà chưa xét đến khả năng chịu lực chung của cả hệ. Đối với vật liệu dẻo thì phương pháp tính theo ứng suất cho phép là phương pháp tính trong giới hạn đàn hồi, không cho phép biến dạng dẻo dù chỉ tại một điểm trong kết cấu. 11.1.5.2. Điều kiện bền - Ba bài toán cơ bản a. Điều kiện bền Một thanh có tiết diện không đổi chịu kéo (nén) đúng tâm, để đảm bảo điều kiện bền thì ứng suất pháp lớn nhất trong thanh phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất pháp cho phép khi kéo (nén): [ ]max max z z N F  = ≤ (11.12) b. Ba bài toán cơ bản * Bài toán 1: Kiểm tra bền - Cho biết: Tải trọng tác dụng, kích thước tiết diện, loại vật liệu. - Yêu cầu: Kiểm tra bền cho thanh. Trình tự giải: + Xác định lực dọc trong thanh; + Tính diện tích tiết diện của thanh; + Tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh; + So sánh với ứng suất cho phép (theo (11.12)) *Chú ý: 1. Nếu thanh có tiết diện A thay đổi thì điều kiện bền sẽ là: [ ] max max ziz i N F   = ≤   (11.13) 2. Đối với vật liệu dòn thì: [ ] [ ] z max max k k n z n      ≤ ≤ (11.14) 215 3. Trong kỹ thuật, sai số cho phép khoảng ±5% nên ứng suất pháp lớn nhất σmax vượt ứng suất cho phép [σ] không quá 5% thì thanh vẫn đủ bền [ ] [ ] max(%) 100% 5%   − ∆ = × ≤ (11.15) * Bài toán 2: Chọn kích thước tiết diện - Cho biết: Tải trọng tác dụng, loại vật liệu. - Yêu cầu: Chọn kích thước tiết diện cho cấu kiện thỏa điều kiện bền. Trình tự giải: + Xác định lực dọc trong thanh; + Từ điều kiện bền của thanh, suy ra F ≥ |Nz|/[σ] * Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép - Cho biết: Kích thước tiết diện, loại vật liệu. - Yêu cầu: Xác định tải trọng cho phép cấu kiện chịu được mà không bị phá hoại. Trình tự giải: + Xác định lực dọc trong thanh theo tải trọng; + Từ điều kiện bền của thanh, suy ra |Nz| ≤ F[σ]. Ví dụ 11.2: Cho hệ gồm 2 thanh AB & AC có sơ đồ liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.13, biết P= 60kN, bỏ qua trọng lượng bản thân các thanh, thanh AB có mặt cắt ngang là 2L40×40×4 (F= 2x3,08=6,16 cm2), thanh AC là một thanh thép tròn có đường kính d. a) Hãy kiểm tra bền cho thanh AB. b) Chọn đường kính cho thanh AC theo điều kiện bền. Cho biết: 2 thanh AB & AC làm cùng một loại vật liệu có [σ]= 16kN/cm2. Hình 11.13 P d B A C 1, 5m 2m α α 216 Giải: Tách và xét cân bằng nút A như hình vẽ 11.14: + ∑Y= 0 ⇔ - NAC.sinα - P.cosα= 0 ⇔ NAC= - P.cotgα + ∑X= 0 ⇔ - NAB - NAC.cosα + P.sinα= 0 ⇔ NAB= P.sinα - NAC.cosα Theo hình vẽ ta có: AC= 2,5m; sinα= 3/5; cosα= 4/5 Suy ra: + NAC= - 4P/3= - 80kN: Thanh AC chịu nén + NAB= 5P/3= 100kN: Thanh AB chịu kéo a) Kiểm tra bền cho thanh AB Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh: σAB= AB AB N F = 100 6,16 = 16,234kN/cm2 So sánh thấy: σAB= 16,234kN/cm2 > [σ]= 16kN/cm2 Vậy thanh AB không thỏa điều kiện bền. b) Chọn đường kính cho thanh AC Từ điều kiện bền của thanh AC có: σAC= AC AC N F ≤ [σ] ⇒ FAC ≥ [ ] ACN  = 80 16 = 5cm2 Do đó: 2 4 ACd ≥ 5 ⇒ dAC ≥ 4,53,14 = 2,5cm Để tiết kiệm vật liệu chọn dAC= 2,5cm. 11.1.6. Bài toán kéo – nén siêu tĩnh 11.1.6.1. Khái niệm Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ không đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ. 11.1.6.2. Cách giải Để giải các bài toán siêu tĩnh ta cần tìm them các phương trình diễn tả điều kiện biến dạng của hệ sao cho cộng số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng số ẩn phản lực, nội lực cần tìm. Ví dụ 11.4: Vẽ biểu đồ ứng suất, chuyển vị của thanh thẳng có tiết diện thay đổi, bị ngàm chặt hai đầu và chịu lực như hình vẽ 11.15a. Cho biết mô đun đàn hồi E của vật liệu. Giải: A αNAB NAC P α Hình 4.15bHình 1.14 217 Để cố định vị trí thanh, ta chỉ cần một liên kết ngàm tại một đầu thanh, chẳng hạn tại phía đầu trên B. Liên kết ngàm thứ hai là thừa, bài toán trở thành siêu tĩnh bậc một. Tưởng tượng bỏ ngàm C và thay bằng phản lực VC có chiều giả định như hình vẽ 11.15b, sau đó xác định lực dọc trong từng đoạn tương tự như đối với hệ tĩnh định: P P F 2F B C a a a a P P B C a a a a VC D G 7P 6 P 6 5P 6 7P 12F P 12F P 6F 5P 6F N a) b) d)c) Hình 11.15 ; ; 2CD C DG C GB CN V N P V N P V= − = − = − Để hệ mới này làm việc tương đương với hệ cũ thì dưới tác động của ngoại lực và phản lực VC , độ dãn dài dọc trục ∆L của thanh phải bằng không, tức là: ( ) ( ) ( )2 0 2 2 C C CC i i P V a P V a P V aV aNLL EF EF EF EF EF − − − − ∆ = = + + + =  ∑ Phương trình này có nghiệm: 5 6C PV = Dấu dương của kết quả chứng tỏ chiều phản lực VC đúng giả thiết. Từ đó, ta vẽ được biểu đồ lực dọc như hình vẽ 11.15c, biểu đồ ứng suất như hình vẽ 11.15d tương tự như hệ tĩnh định. 11.2. THANH CHỊU UỐN PHẲNG 11.2.1. Khái niệm Một thanh được gọi là chịu uốn nếu trục thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Biến dạng uốn là biến dạng chủ yếu trong kết cấu công trình. q M pi P1 P2  P4 P5 01 02 Hình 11.16 218 Ví dụ: Dầm cầu, dầm trong kết cấu nhà, trục bánh xe ô tô Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung, lực phân bố có đường tác dụng vuông góc với trục dầm hay là những mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm. Nếu ngoại lực cùng đặt trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng này gọi là mặt phẳng tải trọng như hình vẽ 11.16. Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và tiết diện dầm được gọi là đường tải trọng. Khi bị uốn, trục dầm bị cong, các thớ vật liệu của một phía bị co lại, còn ở phía khác bị giãn ra. Càng xa trục dầm thì các thớ càng bị co và dãn nhiều. Như vậy, từ miền thớ co sang miền thớ dãn phải có một lớp gồm các thớ không bị co hoặc bị dãn gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với tiết diện gọi là đường trung hòa. Dưới tác dụng của các tải trọng, trên các mặt cắt ngang của dầm xuất hiện các nội lực mà hợp lực của chúng là lực cắt hoặc mô men uốn. Ta phân biệt hai loại uốn phẳng: uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng. Uốn thuần túy phẳng dùng để chỉ sự uốn của các dầm với mômen uốn là hằng số, nghĩa là lực cắt bằng không (vì Q=dM/dz). Uốn ngang phẳng được đề cập đến trong trường hợp uốn với sự hiện diện của lực cắt, nghĩa là mômen uốn thay đổi dọc theo trục dầm. Để minh họa các khái niệm trên ta hãy xét một đoạn dầm tựa đơn chịu tác dụng của hai lực tập trung P cách đều hai gối tựa như trên hình 11.17a. Biểu đồ lực cắt và mômen uốn được biểu diễn trên hình 11.17b và hình 11.17c. Ta nhận thấy vùng trong khoảng giữa hai lực tập trung có biểu đồ mô men là hằng số trong khi lực cắt trong vùng này không có. Vùng này chịu uốn thuần túy. Còn hai vùng có chiều dài a ở hai đầu có mômen uốn thay đổi trong khi lực cắt khác không. Hai vùng này chịu uốn ngang phẳng. Hình 11.17 a L-2a a P P Qy Mx a) b) c) Pa Pa P P 219 11.2.2. Uốn thuần túy phẳng 11.2.2.1. Định nghĩa Thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một nội lực là mômen Mx. 11.2.2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang a. Thí nghiệm và quan sát Kẻ lên mặt ngoài một thanh thẳng chịu uốn, những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang; các đường này tạo thành các lưới ô vuông. Sau khi biến dạng trục thanh bị cong, các đường thẳng song song với trục thanh thành các đường cong song song với trục thanh; những đường vuông góc với trục thanh vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghĩa là các góc vuông được bảo toàn trong quá trình biến dạng. Ngoài ra, nếu quan sát thanh thì thấy các thớ bên dưới dãn ra (bị kéo) và các thớ bên trên co lại (bị nén). Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co sẽ tồn tại các thớ mà chiều dài không thay đổi trong quá trình biến dạng, gọi là thớ trung hòa. Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa. Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem như thẳng (Hình 11.18c) Hình 11.18 a) Thanh trước khi biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng 220 Hình 11.19 Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn vi phân dz sẽ cắt nhau tại tâm cong O’ và hợp thành một góc dz. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa. Độ dãn dài tương đối của một thớ ab ở cách thớ trung hòa một khoảng cách y cho bởi: ( ) ( )1 2 1 2 z y d dz y d dab O O y y O O dz d          + − + − − = = = = = (11.16) Trong đó κ là độ cong của dầm Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa. b. Các giả thiết Từ những quan sát này, ta có thể đưa ra hai giả thiết sau đây về biến dạng: + Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng (giả thiết Bernoulli): Tiết diện thanh vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh sau biến dạng; z Phần bị nén x y Phần bị kéo Lớp trung hòa Mặt phẳng tải trọng Đường tải trọng Đường trung hòa z z Mx Mx Hình 11.20 1 1 a O1 O2 b dz 2 2 y O ρdθ M a O1 O 2 bâ M y σσ a) Trước biến dạng b) Sau biến dạng 221 + Giả thiết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các lớp vật liệu dọc trục không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau. c. Thiết lập công thức tính ứng suất Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chịu kéo hoặc nén (các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ở trạng thái ứng suất đơn) Định luật Hooke ở trạng thái ứng suất đơn cho ta : z zE E y  = = (11.17) Ứng suất pháp tác dụng trên mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất với khoảng cách y từ thớ trung hòa. Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang. + Liên hệ giữa σz và Nz 0=== ∫∫ AA zz ydAEdAN  Vì độ cong ρ và môđun đàn hồi E là hằng số nên có thể đem ra ngoài dấu tích phân, khi đó: 0 A ydA =∫ (11.18) Biểu thức (11.18) cho thấy mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x bằng không hay trục trung hòa x đi qua trọng tâm mặt cắt ngang. Tính chất này cho phép xác định trục trung hoà của bất kỳ mặt cắt ngang nào. Nếu trục y là trục đối xứng, thì hệ trục (x,y) chính là hệ trục quán tính chính trung tâm. + Liên hệ giữa σz và Mx 2 EJx z xA AM ydA E y dA  = = =∫ ∫ (11.19) Trong đó: 2 x A J y dA= ∫ (11.20) Jx là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x. Biểu thức (11.19) được viết lại như sau: 1 x x M EI  = = (11.21) EJx gọi là độ cứng uốn của dầm. Thế (11.21) vào (11.19) ⇒ Công thức tính ứng suất pháp tại một điểm trên mặt cắt ngang dầm: Đường trung hòa x y z σz dA Mx 0 y Hình 11.21 222 x z x M y J  = (11.22) Ứng suất biến thiên bậc nhất theo tung độ y và tung độ y là khoảng cách của điểm tính ứng suất đến trục trung hòa x (Chú ý Mx và y mang dấu đại số) * Công thức kỹ thuật: Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng (bị kéo) thớ dưới, các thớ trên bị nén . Kết quả ngược lại nếu mômen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất, | |xz x M y J  = ± (11.23) Trong đó: Lấy dấu (+) nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ chịu kéo, lấy dấu trừ (-) nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ chịu nén. c. Biểu đồ ứng suất pháp + Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trị số ứng suất càng lớn. + Những điểm cùng khoảng cách tới thớ trung hòa sẽ có cùng trị số ứng suất pháp. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diễn giá trị các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang. * Quy ước dấu: + Dấu (+) chỉ ứng suất kéo. + Dấu (-) chỉ ứng suất nén. d. Ứng suất pháp cực trị Tính ứng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm ở những điểm xa đường trung hòa nhất. x z y O min max max ny max ky Hình 11.22 z y x O MX MX max ny max ky maxmin max Hình 11.23 223 Gọi max max,k ny y lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chịu kéo lớn nhất max và ứng suất chịu nén lớn nhất sẽ tính bởi các công thức: max max x xk k x x M M y J W  = = (11.24) min max x xn n x x M M y J W  = = (11.25) Đặt: max max ; ' k nx x x xk n J JW W y y = = (11.26) Các đại lượng Wkx và Wnx gọi là các mômen chống uốn của mặt cắt ngang.(cũng là đặc trưng hình học) Chú ý: Nếu trục x (trục trung hòa) cũng là trục đối xứng (như mặt cắt chữ nhật, tròn, chữ I,) thì max maxk ny y= . Khi đó ứng suất ứng suất kéo và nén cực trị có trị số bằng nhau: max min x x M W  = = (11.27) 11.2.2.3. Mômen chống uốn của một số mặt cắt ngang đơn giản a. Mặt cắt ngang hình chữ nhật 2k n x x x x JW W W h = = = , 3 2 ; 12 6x x bh bhJ W= = (11.28) Trong đó : b, h lần lượt là bề rộng và chiều cao của mặt cắt ngang b. Mặt cắt ngang hình tròn 4 40,05 ; 64x dJ d= ≈ 3 30,1 32x dW d= ≈ (11.29) c. Mặt cắt ngang hình vành khăn 4 4(1 ) ; 64x DJ  = − 3 4(1 ) 32x DW  = − Trong đó: D là đường kính ngoài, d là đường kính trong, η=d/D d. Mặt cắt ngang định hình sẵn Mômen chống uốn của một số thép hình (mặt cắt chữ I, C, L,) được cho sẵn trong các bảng tra ở các sổ tay kỹ thuật. 224 11.2.2.4. Điều kiện bền – Ba bài toán cơ bản a. Điều kiện bền + Đối với vật liệu dòn n[ ] [ ]k ≠ min ax [ ] [ ] n m k      ≤ ≤ (11.30) + Đối với vật liệu dẻo n[ ] =[ ] [ ]k  = max [ ]z ≤ (11.31) b. Ba bài toán cơ bản + Bài toán kiểm tra bền. + Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang. + Bài toán chọn tải trọng cho phép. Bài toán 1: Kiểm tra bền Kiểm tra thanh chịu lực có đảm bảo độ bền hay không. Dùng (11.29) hay (11.30) để kiểm tra. Ví dụ 11.6: Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (Hình 11.24), có mômen uốn Mx=1,25 kNm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo và nén khác nhau: [σ]k = 2 kN/cm2; [σ]n = 3 kN/cm2 Giải: Ta có: max max7.5 ; 12.5 k ny cm y cm= = (Ox là trục trung hòa) 3 max 5312,5 708,3 7,5 k x x k JW cm y = = = 3 max 5312,5 425 12,5 n x x n JW cm y = = = [ ]2max 1250 1,76 N/cm708,3 x k K x M k W  = = = < [ ]2min 1250 2,94 N/cm425 x n N x M k W  = = = < z 12,5cm 7,5cm Hình 11.24 daàm Mx y xO 225 Vậy dầm thỏa điều kiện bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang. Từ điều kiện bền tổng quát (11.30), (11.31) ta tìm được mô men chống uốn và kích thước của mặt cắt ngang. Ví dụ 11.7: Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Dầm làm bằng thép hình chữ I. Chọn số hiệu của thép chữ I để dầm thỏa điều kiện bền. Biết [σ] =16 kN/cm2. Giải: Dầm chịu uốn thuần túy; trên mọi mặt cắt ngang của dầm có Mx = 9,5 kNm. Áp dụng công thức (11.23) và (11.24) ta được: 3max 950 59,4 cm[ ] 16x MW ≥ = = Tra bảng thép hình ta chọn . 10 có Wx = 58,4 cm3. Kiểm tra lại điều kiện bền với số hiệu thép vừa chọn ta có: 2max max 950 16,3 kN/cm 58, 4x M W  = = = Tính sai số tương đối: 16,3 16 100% 1,9% 5% 16 − × = < ;vậy dầm đủ bền. Chọn .10 Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép [P] Ví dụ 11.8: Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như Hình 11.28. Xác định trị số mômen uốn cho phép [M] (mômen có chiều như hình vẽ). Biết: [σ]k =1,5kN/cm2, [σ]n =3 kN/cm2. Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho biết Jx = 25470 cm4 Giải: Từ điều kiện bền max max [ ]x xk kk x x M M y J W  = = ≤ M0 = 9,5 kNm I x Hình 11.25 Hình 11.26 z 192 mm 108 mm Mx y x 226 ⇒ [ ] [ ] max 254701,5 3537,5 Ncm 10,8 x x k k JM k y = = × = Từ Mx vừa tìm ta tính ứng suất nén : [ ] [ ]2min max 3537,5 19,2 2,67 N/cm25470 x n n x M y k J  = = × = < Vậy chọn Mx vừa tìm. 11.2.2.5. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang Hình dáng hợp lý là thiết kế sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời ít tốn vật liệu nhất. Điều kiện: max max [ ]kx k x M y J  = = , min max [ ] nx n x M y J  = = Lập tỉ số các ứng suất : [ ] max max [ ] k k n n y y  = = - Nếu vật liệu dòn: α < 1 vì : [ ] <[ ]k n  nên max maxk ny y< Ta chọn mặt căt ngang không đối xứng qua trục trung hoà. - Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên max max k ny y= Ta chọn mặt căt ngang đối xứng qua trục trung hoà. Theo biểu đồ ứng suất ta thấy càng gần trục trung hoà ứng suất càng nhỏ, nên tại đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hòa, vì vậy thường cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu xa trục trung hòa.Ví dụ hình chữ I,U,vành khăn, hình rỗng 11.2.3. Uốn ngang phẳng 11.2.3.1. Định nghĩa Dầm gọi là chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang có 2 thành phần nội lực là: mômen uốn Mx và lực cắt Qy Ví dụ như hình 11.29 11.2.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang a. Thí nghiệm và quan sát biến dạng P L 1 1 P PL + Mx Qy Hình 11.27 227 Kẻ những đường song song và vuông góc với trục thanh (Hình 11.30a).Sau biến dạng các góc vuông không còn vuông (Hình 11.28b) b. Trạng thái ứng suất Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp σz do mômen Mx gây ra còn có ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra. Trạng thái ứng suất của một phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diển như hình bên. c. Ứng suất pháp Chấp nhận với sai số không lớn dùng công thức (11.31) để tính ứng suất pháp trong thanh chịu uốn ngang phẳng.(Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh) x z x M y J  = (11.31) d. Ứng suất tiếp a) dzP Pb) τ yz c) τ zy Hình 5.12. a) Thanh trước khi biến dạng b) Thanh sau biến dạng c) Trạng thái ứng suất phẳng σz σz a) dzP Pb) τ yz c) τ zy Hình 5.12. a) Thanh trước khi biến dạng b) Thanh sau biến dạng c) Trạng thái ứng suất phẳng σz σz a) dzP Pb) τ yz c) τ zy Hình 11.28 σz σz x yz Q 1y M x dz 0 y y G F E D C B A zy1z 2zMx dz Q y1 Q y2 Mx + dMx y Hình 11.29 228 Giả thiết: Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao. Ứng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt và cùng chiều với lực cắt Qy (nghĩa là mọi điểm nằm cách đều đường trung hòa thì có cùng trị số ứng suất tiếp). Xác định quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang. Xét đoạn dầm giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau dz Để khảo sát ứng suất tiếp tại điểm K cách đường trung hòa x một khoảng y, ta dùng mặt cắt đi qua K vuông góc với lực cắt. Xét cân bằng của phần dưới ABCDEFGH Theo các giả thiết đã nêu, các ứng suất tiếp τzy thẳng đứng có phương song song với lực cắt thì phân bố đều trên mặt thẳng đứng ABCD. Ngoài ra theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp , trên mặt vuông góc với mặt cắt ngang ABFG cũng có ứng suất tiếp τyz có giá trị bằng với τzy Như vậy, tồn tại ứng suất tiếp theo phương ngang giữa các lớp song song với trục dầm cũng như các ứng suất tiếp thẳng đứng trên các mặt cắt ngang của dầm. Tại mọi điểm, các ứng suất này có giá trị bằng nhau. Gọi AC là diện tích ABCD và bc là bề rộng tiết diện cắt. Phương trình cân bằng theo phương z (xét phần bị cắt) dọc trục thanh cho: 021 =+− TNN (11.32) trong đó: N1 : là hợp của các lực tác dụng trên mặt 1-1 được tính bởi: 1 1zFc Fc x MN dA ydA J = =∫ ∫ (11.33) N2 - là hợp của các lực tác dụng trên mặt 2-2 được tính bởi: 2 2 x x zFc Fc x M dMN dA ydA J  += =∫ ∫ (11.34) T - là hợp của các lực tác dụng trên mặt trên ABEG của phần tử: dzbT cyz= (11.35) Thay (11.33), (11.34), (11.35) vào (11.32) suy ra: c 0 c cx x x yzF F x x M M dMydA ydA b dz J J +− + =∫ ∫ ⇒ 1 c x zy yz c F x dM ydA dz J b    = =    ∫ thay Qy = dMx/dz ta được: 229 c y zy yz c F x Q ydA J b  = = ∫ Đặt: c c x F S ydA= ∫ ⇒ c y x zy yz c x Q S J b  = = (11.36) Công thức (11.36) gọi là công thức D.I. Zhuravski C xS : momen tĩnh của phần diện tích bị cắt (Fc) đối với trục trung hòa. bc : bề rộng tiết diện cắt. Jx: Momen quán tính của tiết diện. Qy: Lực cắt tại tiết diện đang tính. e. Ứng suất tiếp trên một số mặt cắt ngang thường gặp + Mặt cắt ngang hình chữ nhật Biểu đồ ứng suất tiếp được vẽ như hình vẽ 11.30 x y b AC y Cy h/ 2 hz Qy maxτ + Ta có: FC= b h - y 2     ; yC= 1 2 h - y 2     + y= 1 2 h + y 2     ⇒ CxS = yC.FC = b 2 2 2h - y 4     + Suy ra: τyz= y 3 Q bhb 12 b 2 2 2h - y 4     hay τyz= y 3 6Q bh 2 2h - y 4     Biểu đồ ứng suất tiếp là đường parabol bậc hai. Trên đường trung hòa, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất: + Tại 2 mép tiết diện: y= ± h 2 suy ra τyz= 0; + Tại trục trung hòa (x): y= 0 suy ra τyz= τmax= 32 yQ F ; + Mặt cắt ngang hình chữ I Hình 11.30 Fc 230 Biểu đồ ứng suất tiếp được vẽ như hình vẽ 11.31: Để đơn giản, ta xét hai cánh của tiết diện là hai hình chữ nhật hẹp nằm ngang và phần bụng là hình chữ nhật hẹp thẳng đứng. Ký hiệu Sx là mômen tĩnh của một nửa tiết diện, giá trị Sx được cho sẵn trong bảng thép định hình. Khi đó, mômen tĩnh của phần diện tích cắt FC thuộc bản bụng bằng mômen tĩnh của một nửa diện tích tiết diện Sx trừ đi mômen tĩnh của diện tích chữ nhật (d×y): x y y h t t h/ 2 h/ 2 b AC d maxτ 1τ 2τ + Ta có: CxS = Sx - * xS = Sx - (d.y) y 2 + Suy ra: τyz= y x Q d.J 2 x d.yS - 2     Biểu đồ ứng suất tiếp là đường parabol bậc hai. Trên đường trung hòa, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất: + Tại trục trung hòa: y= 0 suy ra τyz= τmax= y x x Q .S d.J ; + Tại nơi tiếp giáp giữa cánh với bụng, điểm tiếp giáp thuộc phần bụng: y= h 2 - t suy ra τyz= τ1= y x Q d.J 2 x d hS - - t 2 2         ; + Tại nơi tiếp giáp giữa cánh với bụng, điểm tiếp giáp thuộc phần cánh: y= h 2 - t suy ra τyz= τ2= y x Q b.J 2 x d hS - - t 2 2         ; + Tại 2 mép tiết diện: y= ± h 2 suy ra τyz= 0. Như vậy, biểu đồ ứng suất tiếp có bước nhảy tại điểm tiếp giáp phần bụng và phần cánh. Tại mép tiết diện y= ± h/2, ứng suất tiếp bằng không nên trong khoảng bề dầy t khá nhỏ của phần đế, có thể coi biểu đồ là đường thẳng. Hình 11.31 Fc 231 + Tiết diện hình tròn Biểu đồ ứng suất tiếp được vẽ như hình vẽ 11.32 + Công thức tính ứng suất tiếp: τyz= y x Q 3J (R2 - y2)= 2 y 4 Q R πR3 4 2 2 y1- R     Hay τyz= 4 3 yQ F 2 2 y1- R     Biểu đồ ứng suất tiếp là đường parabol bậc hai. Trên đường trung hòa, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất: + Tại tâm đường tròn: y= 0 suy ra τyz= τmax= 4 3 yQ F ; + Tại 2 mép tiết diện: y= ± R suy ra τyz= 0. 11.2.3.3. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng Đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất ở mỗi điểm có thể là trạng thái ứng suất đơn, trạng thái ứng suất trượt thuần túy hay trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Điều kiện bền của ba trạng thái ứng suất này không giống nhau nên ta phải thiết lập điều kiện bền cho từng loại trạng thái ứng suất này: a. Trạng thái ứng suất đơn Hình 11.32 y x R y maxτ Hình 11.33 232 Điểm cần kiểm tra là điểm thuộc mép trên và mép dưới (ví dụ điểm D1 và D5 trên hình vẽ 11.33) của các tiết diện có trị số mômen dương và mômen âm lớn nhất khi thanh có tiết diện không đổi. Điều kiện bền có dạng như đối với dầm uốn thuần túy: [ ]max x k k x M y J  = ≤ ; [ ]min x k n x M y J  = ≤ (11.37) Nếu trục trung hòa chia đôi chiều cao tiết diện thì: [ ]max W= ≤ x k x M  ; [ ]min W= ≤ x n x M  (11.38) Đối với vật liệu dẻo, điều kiện bền có dạng: [ ]max , W = ≤x k x k M  ; [ ]min , W = ≤x n x n M  (11.39) b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy Điểm cần kiểm tra là điểm nằm trên trục trung hòa (ví dụ điểm D3) của tiết diện có trị số lực cắt lớn nhất khi thanh có tiết diện không đổi. Ký hiệu Sx là mômen tĩnh của một nửa tiết diện đối với trục x, điều kiện bền có dạng: [ ]y xy C x Q S b J  = ≤ (11.40) Trị số của ứng suất tiếp cho phép[ ] được lấy theo từng thuyết bền: + [ ] [ ] / 2 = theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất; + [ ] [ ] / 3 = theo thuyết bền thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng lớn nhất. c. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Điểm cần kiểm tra là điểm có trị số ứng suất pháp σz và trị số ứng suất tiếp τy đều khá lớn (ví dụ điểm D2 và D4) của các tiết diện có trị số mômen uốn Mx và trị số lực cắt Qy đều khá lớn khi thanh có tiết diện không đổi. Điều kiện bền có dạng: - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: [ ]2 24+ ≤z y   (11.41) - Theo thuyết bền thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng lớn nhất: [ ]2 23+ ≤z y   (11.42) - Theo thuyết bền Morh cho vật liệu dòn: [ ]2 21 1 4 2 2 − + + + ≤z z y k      với [ ][ ]= k n   (11.43) 233 Từ đây cũng có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền - Chọn kích thước mặt cắt ngang - Định tải trọng cho phép. * Bài toán 1: Kiểm tra bền - Cho biết: Sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, tải trọng tác dụng, kích thước tiết diện, loại vật liệu. - Yêu cầu: Kiểm tra bền cho dầm. - Trình tự giải: + Từ sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, tải trọng tác dụng vẽ được biểu đồ nội lực (Qy) & (Mx); + Xác định được vị trí tiết diện có |Mx|max, |Qy|max, |Mx| & |Qy| tương đối lớn; + Kiểm tra bền cho dầm theo các công thức phân tố ở 3 trạng thái ứng suất. Ví dụ 11.9: Cho dầm AB có sơ đồ liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.34a, biết P=14kN, q= 8kN/m, M= 12kNm; mặt cắt ngang của dầm là thép hình chữ IN027 như hình vẽ 11.34b. Hãy kiểm tra bền cho dầm tại các tiết diện nguy hiểm; biết vật liệu dầm có [σ]=16kN/cm2, [τ]= 8kN/cm2. Giải Xác định các phản lực liên kết: + ∑X= 0 ⇒ HA= 0 + ∑mB= 0 ⇒ VA= P.6 - M + (q.4)4 8 = 25kN + ∑mA= 0 ⇒ VB= P.2 + M + (q.4)4 8 = 21kN Biểu đồ nội lực của dầm được vẽ bằng phương pháp nhận xét như hình 11.34d, e. Tra bảng thép hình với IN027 có: Wx= 371cm3; Sx= 210cm3; Jx= 5010cm3; d=0,6cm; t= 0,98cm. qP 2m D 4m2m CA B a) M IN 270 x y d t b) Hình 11.34 234 qP 2m D 4m2m C B c) M (Q ) kNy (M ) kNmx 25 VA HA A VB 21 11 E 423050 57,5625 d) e) + _ Kiểm tra phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: Mặt cắt kiểm tra tại E có mômen uốn cực đại |Mx|max= 57,5625kNm= 5756,25kNcm σmax= x max x M W = 5756,25 371 = 15,515kN/cm2 ≤ [σ]= 16kN/cm2 Kiểm tra phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy: Mặt cắt kiểm tra tại A có lực cắt cực đại |Qy|max= 25kN τmax= y xmax x Q .S b.J = 25.210 0,6.5010 = 1,747kN/cm2 ≤ [τ]= 8kN/cm2 Kiểm tra phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Mặt cắt kiểm tra tại bên trái điểm C có mômen uốn và lực cắt tương đối lớn: |Mx|= 50kNm= 5000kNcm; |Qy|= 25kN + Điểm kiểm tra tại nơi tiếp giáp giữa cánh với bụng, và thuộc phần bụng; + Ứng suất pháp: σz= x x M J |y|= 5000 5010 27 - 0,98 2 = 12,495kN/cm2; + Ứng suất tiếp: τyz= C y x x Q .S b.J = y x Q b.J 2 x d hS - - t 2 2         = 25 0,6.5010 20,6 27210 - - 0,98 2 2         = 1,355kN/cm 2 Suy ra: σtđ= 2 2y+ 4σ τz z = 2 2(12,495) + 4(1,355) = 12,786kN/cm2 ≤ [σ] Vậy dầm thỏa điều kiện bền. * Bài toán 2: Chọn kích thước tiết diện Hình 11.34 235 - Cho biết: Sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, tải trọng tác dụng, hình dạng tiết diện, loại vật liệu. - Yêu cầu: Chọn kích thước tiết diện cho dầm theo điều kiện bền. - Trình tự giải: + Từ sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, tải trọng tác dụng vẽ được biểu đồ nội lực (Qy) & (Mx); + Xác định được vị trí tiết diện có |Mx|max, |Qy|max; + Từ điều kiện bền ứng suất pháp, suy ra: ycxW ≥ |Mx|max/[σ]; + Sơ bộ chọn được kích thước tiết diện; + Kiểm tra lại kích thước tiết diện đã chọn theo điều kiện bền các phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy và điều kiện bền các phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. Ví dụ 11.10: Cho dầm AD có sơ đồ liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.35a, biết P1= 31kN, P2= 10kN, q= 6kN/m. Biết vật liệu dầm có [σ]= 16kN/cm2, [τ]= 8kN/cm2. q 1,5m D 2m3m BA a) IN ...0 x y c)P1 C P2 x y b h b) x y 0[ N ... d) Hình 11.35 a) Hãy chọn kích thước tiết diện cho dầm khi tiết diện của dầm là hình chữ nhật (bxh) với h= 1,5b như hình vẽ 11.35b. b) Hãy chọn số hiệu thép cho dầm khi tiết diện của dầm là 1 thép hình chữ I như hình vẽ 11.35c. Giải: Xác định các phản lực liên kết: Giải phóng liên kết cho dầm như hình vẽ 11.35e + ∑X= 0 ⇒ HA= 0 + ∑mC= 0 ⇒ VA= 1 2 (q.3)3,5 + P .2 - P .1,5 5 = 22kN + ∑mA= 0 ⇒ VB= 1 2 (q.3)1,5 + P .3 + P .6,5 5 = 37kN Biểu đồ nội lực của dầm được vẽ bằng phương pháp nhận xét như hình 11.35f, g. Từ biểu đồ nội lực, ta có: |Mx|max= 39kNm= 3900kNcm; |Qy|max= 27kN. 236 q 1,5m D 2m3m B P1 C P2 (Q ) kNy (M ) kNmx 22 27 4 10 15 39 e) VA HA A VC f) g) + + _ Theo điều kiện bền phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, suy ra: yc xW ≥ [ ] x max M σ = 3900 16 = 243,75cm3 a) Khi tiết diện dầm là hình chữ nhật (bxh) với h= 1,5b Ta có: ycxW = 2bh 6 ≥ 243,75 ⇔ b(1,5b)2 ≥ 1462,5 ⇒ b ≥ 8,662cm Và h ≥ 1,5b= 12,993cm Sơ bộ chọn (bxh)= (9x13)cm2. Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy: Với tiết diện hình chữ nhật thì: τmax= 3 2 y max Q F = 3 2 27 9.13 = 0,346kN/cm2 ≤ [τ]= 8kN/cm2 Vậy chọn (bxh)= (9x13)cm2 là hợp lý. b) Khi tiết diện dầm là 1 thép hình chữ I Tra bảng thép hình, sơ bộ chọn IN022a có các đặc trưng hình học sau: + Wx= 251cm3 > ycxW = 243,75cm 3; + Jx= 2760cm4; Sx= 141cm3; d= 0,53cm; t= 0,88cm. Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy: Với tiết diện hình chữ I thì: Hình 11.35 237 τmax= y xmax x Q .S d.J = 27.141 0,53.2760 = 2,603kN/cm2 ≤ [τ]= 8kN/cm2 Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Mặt cắt kiểm tra tại bên phải điểm B có mômen uốn và lực cắt tương đối lớn: |Mx|= 39kNm= 3900kNcm; |Qy|= 27kN + Điểm kiểm tra tại nơi tiếp giáp giữa cánh với bụng, thuộc phần bụng: ykt= h 2 - t + Ứng suất pháp: σz= x x M J |ykt|= 39002760 22 - 0,88 2 = 14,3kN/cm2 + Ứng suất tiếp: τyz= C y x x Q .S d.J = y x Q d.J 2 x d hS - - t 2 2         = 27 0,53.2760 20,53 22141- - 0,88 2 2         = 2,102kN/cm 2 Suy ra: σtđ= 2 2y+ 4σ τz z = 2 2(14,3) + 4(2,102) = 14,905kN/cm2 ≤ [σ] Vậy chọn thép IN022a là hợp lý. * Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép - Cho biết: Sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, kích thước tiết diện, loại vật liệu. - Yêu cầu: Xác định tải trọng cho phép dầm chịu được mà không bị phá hoại. - Trình tự giải: + Từ sơ đồ liên kết và chịu lực của dầm, tải trọng tác dụng vẽ được biểu đồ nội lực (Qy) & (Mx); (trong đó các giá trị nội lực là biểu thức theo tải trọng) + Xác định được vị trí tiết diện có |Mx|max, |Qy|max; + Từ điều kiện bền ứng suất pháp, suy ra: |Mx|max ≤ Wx.[σ]; + Từ điều kiện bền ứng suất tiếp, suy ra: |Qy|max ≤ b.Jx.[τ]/Sx. Ví dụ 11.11: Cho dầm có sơ đồ liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.36a; biết [σ]k= 3kN/cm2; [σ]n= 6kN/cm2; a= 0,5m;bxh = 6x12cm2. Hãy xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp. Giải: 238 Mx 1,5Pa Paa) b) 2a 2a a 2P PA B C D b h Hình 11.36 Biểu đồ mômen uốn Mx được thể hiện trên hình vẽ 11.36b. Mô men chống uốn của tiết diện: 2 2 31 1 6 12 144 6 6 k n x xW W bh cm= = = × × = Mômen tại B làm căng thớ dưới nên tại tiết diện này có: [ ] 2max 1,5 .0,5.100 3 / 5,76144 x k k x M P kN cm P kN W  = = ≤ = ⇒ ≤ [ ] 2min 1,5 .0,5.100 6 / 11,52144 x n n x M P kN cm P kN W  = = ≤ = ⇒ ≤ Mômen tại C làm căng thớ trên nên tại tiết diện này có: [ ] 2max .0,5.100 3 / 8,64144 x k k x M P kN cm P kN W  = = ≤ = ⇒ ≤ [ ] 2min .0,5.100 6 / 17,28144 x n n x M P kN cm P kN W  = = ≤ = ⇒ ≤ Tải trọng cho phép P = 5,76 kN 11.3. THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TÚY 11.3.1. Các khái niệm 11.3.1.1. Định nghĩa Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (Hình 13.37) Ví dụ: Các cấu kiện chịu xoắn như: trục động cơ, kết cấu chịu lực không gian zMz Mz Hình 13.37 239 Ngoại lực gây xoắn là các mômen tập trung hay phân bố tác dụng trong các mặt phẳng thẳng góc với trục thanh. Quy ước dấu: Mz > 0 khi nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ. (Hình 13.37) Mz < 0 khi nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay ngược chiều kim đồng hồ. 11.3.1.2. Biểu đồ nội lực Biểu đồ nội lực là biểu đồ mômen xoắn nội lực, ở đó biểu diễn trị số Mz của các mặt cắt dọc theo trục thanh. Biểu đồ nội lực của thanh chịu xoắn được vẽ bằng cách xác định nội lực theo phương pháp mặt cắt và điều kiện cân bằng / 0M z∑ = . Ví dụ 11.12: Vẽ biểu đồ Mz của một trục chịu xoắn như hình 11.38 Cho M1 = 10 kNm, M2 = 7 kNm, M3 = 3 kNm. Giải: Trong đoạn AB dùng mặt cắt (1-1), xét cân bằng phần bên trái (hình 11.38b): 1/ 0 0 10z zM z M M M kNmΣ = ⇒ − = ⇒ = Trong đoạn BC dùng mặt cắt (2-2), xét cân bằng phần bên trái (hình 11.38c): 1 2/ 0 0 3z zM z M M M M kNmΣ = ⇒ − + = ⇒ = Biểu đồ nội lực như hình 11.38d 11.3.1.3. Quan hệ giữa mômen xoắn ngoại lực M với công suất W và số vòng quay n của trục Giả sử có một ngẫu lực xoắn M (đơn vị là N.m) tác dụng làm trục quay một góc α (radian) trong thời gian t, công sinh ra là: A M= (11.44a) A B y x R y maxτ C A Mz A B qP 2m D 4m2m CA B a) M IN 270 x y d t b) Mz + A + M1 M2 M3 M1 M1 M2 10kNm 3kNm a) b) c) d) Hình 11.38 1 1 2 2 240 Công suất là: W A M M M t t t   = = = = (11.44b) trong đó ω là vận tốc góc (đơn vị rad/s), đơn vị công suất là Nm/s. Gọi n là số vòng quay của trục trong một phút (vòng/phút), ta có: 2 60 30 n n  = = (11.44c) Từ (11.44b) và (11.44c) suy ra: + Nếu W tính bằng mã lực (CV, HP), 1 mã lực = 750 Nm/s = 0.736 kW: 30 30(750)W W7162 ( )WM Nm n n n = = = (11.45a) + Nếu W tính bằng kilowatt (kW), 1 kW = 1020 Nm/s: 30 30(1020)W W9740 ( )WM Nm n n n = = = (11.45b) 11.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 11.3.2.1. Thí nghiệm và quan sát Lấy một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài có vạch những đường song song và những đường tròn thẳng góc với trục thanh, tạo thành lưới ô vuông (Hình 11.39a). Tác dụng lên hai đầu thanh hai ngẫu lực xoắn ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn thẳng góc với trục vẫn phẳng và thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành (Hình 11.39b) 11.3.2.2. Các giả thiết a) Giả thiết về mặt cắt ngang: Trong quá trình biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không đổi. b) Giả thiết về bán kính: Trong quá trình biến dạng, mọi bán kính vẫn thẳng và chiều dài không đổi. Hình 11.39 Mz z Mz zMz Mz a) b) 241 c) Giả thiết về thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy xa nhau. 11.3.2.3. Công thức ứng suất tiếp Theo các giả thiết trên, biến dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z. Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ bán kính ρ trong thanh, ta tách phân tố (Hình 11.40a) bằng ba cặp mặt cắt như sau: Hai mặt cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục thanh cách nhau đoạn dz. Hai mặt cắt chứa trục hợp với nhau một góc dα. Hai mặt cắt trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ và ρ+dρ. Theo các giả thiết, trong quá trình biến dạng, so với các điểm E,F,G,H thuộc mặt cắt (1-1), các điểm A,B,C,D của phân tố trên mặt cắt (2-2) dịch chuyển đến A’,B’,C’,D’ phải nằm trên cung tròn bán kính ρ và ρ+dρ, đồng thời OA’B’ và OC’D’ phải thẳng hang (Hình 11.40b). 2 2 1 1 dz A B C D E F G H C' D' A' B' dz Mz z z Hình 11.40 Gọi dφ là góc giữa hai đường thẳng OAB và OA’B’, đó là góc xoay của mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, gọi là góc xoắn tương đối giữa hai tiết diện lân cận cách nhau dz. Góc B’FB là biến dạng trượt (góc trượt) γ của phân tố, ta có: ' tan BB d FB dz   ≈ = = (11.46a) 242 Theo giả thiết (a) về mặt cắt ngang, không có biến dạng dài theo phương dọc trục; theo giả thiết c), các thớ dọc không chèn ép lên nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. Theo giả thiết a), các góc vuông của mặt CDHG và mặt BAEF không thay đổi nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt (ABCD). Do giả thiết b), mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt (ABEF). Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính, gọi là τρ và phân tố đang xét ở trạng thái trượt thuần túy. (Hình 11.41) Áp dụng định luật Hooke về trượt, ta có: G = (11.46b) Thay (11.46a) vào (11.46b), ta được: dG dz  = (11.46c) Gọi dF là một diện tích vô cùng nhỏ bao quanh điểm đang xét, thì τρdF là lực tiếp tuyến tác dụng trên diện tích đó và τρdFρ là mômen của lực τρdF đối với tâm O. Tổng các mômen này phải bằng Mz, cho nên ta có thể viết: z A M dF = ∫ (11.46d) Thay (11.46 c) vào (11.46d): z A dM G dF dz  = ∫ (11.46 e) Vì Gdφ/dz là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, nên ta có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, khi đó tích phân 2 F dF∫ chính là mômen quán tính cực Jp của mặt cắt ngang đối với tâm O, ta được: 2 z o A d dM G dF G J dz dz  = =∫ (11.46 f) Từ (f) ta có: z o d M dz GJ  = (11.46 g) dφ/dz chính là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài gọi là góc xoắn tỉ đối (rad/m). Đặt θ=dφ/dz, ta có: τρ τρ E A D C B H G F Hình 11.41 243 z o M GJ  = (11.47a) Thay (g) vào (c) ta được công thức tính ứng suất tiếp: z o M J  = (11.47b) Ứng suất tiếp biến đổi theo quy luật bậc nhất, bằng không tại tâm O và cực đại tại những điểm trên chu vi. Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang thể hiện trên hình 11.42a. Trên hình 11.42b, thể hiện ứng suất tiếp đối ứng trên các mặt cắt chứa trục. Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi (ρ=R): max W z z o o M MR J  = = (11.48) Với: W oo J R = mômen chống xoắn của mặt cắt ngang. Với tiết diện tròn đặc: 3 3 3W 0.2 2 16 o o J R D D R   = = = ≈ Với tiết diện tròn rỗng: 3 3 4 4 3 4W (1 ) (1 ) 0.2 (1 ) 2 16 o o I R D D R    = = − = − ≈ − Trong đó /d D = , với d là đường kính trong và D là đường kính ngoài của tiết diện. Hình 11.42 244 11.3.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn Từ (g) ta có: z o Md dz GJ  = dφ là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz. Suy ra góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là: 0 0 L L z o Md dz GJ  = =∫ ∫ (11.49) Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GJp là hằng số, công thức (11.49) trở thành: 1 n z i o i M L GJ  =   =   ∑ (11.50) Góc xoắn φ có đơn vị là radian, được quy ước dương theo chiều dương của mômen nội lực và ngược lại. 11.3.4. Điều kiện bền và điều kiện cứng – Ba bài toán cơ bản 11.3.4.1. Điều kiện bền Để thanh chịu xoắn không bị phá hoại do bền phải đảm bảo điều kiện bền: [ ] 0axm n  ≤ = (11.51) Với: τ0 là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm; n là hệ số an toàn. Thí nghiệm xác định τ0 khó đạt yêu cầu chính xác, do vậy ta có thể dùng các thuyết bền. a) Thuyết bền ứng suất tiếp (thuyết bền thứ ba): ax [ ] 2m  ≤ (11.52) b) Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền thứ tư): ax [ ] 3m  ≤ (11.53) 11.3.4.2. Điều kiện cứng Ngoài yêu cầu thỏa điều kiện bền, thanh chịu xoắn còn phải đảm bảo điều kiện cứng: 245 [ ]max ≤ (11.54) [θ] là góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật, thường [θ] = 0.15 – 2 độ/m. Chú ý: θ = Mz/GJo có đơn vị là rad/m. Do đó, nếu [θ] được cho bằng độ/m (o/m) thì phải đổi ra rad/m theo hệ thức: 0( / ) ( / ) 2 360 rad m m   = 11.3.4.3. Điều kiện cứng a) Kiểm tra bền và cứng. b) Xác định tải trọng cho phép. c) Xác định đường kính mặt cắt ngang. 11.3.5. Ứng suất trên mặt cắt ngang Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh tương tự như cách giải bài toán kéo (nén) siêu tĩnh. Để giải bài toán này ta lập them phương trình biến dạng (góc xoắn). Ví dụ 11.13: Vẽ biểu đồ mômen Mz của một trục chịu xoắn như hình 11.43a. Cho biết: m = 5 kNm/m, M1 = 10 kNm, M2 = 5 kNm. 1m1m 0.5m 1 1 2 2 3 3 m M1 M2 A B C D m A Mz m Mz A B m M1 A B Mz z z z Mz a) b) c) d) e) Hình 11.43 Giải: Trong đoạn AB, ngoại lực là mômen phân bố đều, tưởng tượng dùng mặt cắt (1- 1) cắt qua thanh tại vị trí cách A một đoạn z, xét cân bằng phần bên trái (Hình 11.43b), ta có: / 0 5 0 5z zM z M z M zΣ = ⇒ − = ⇒ = 246 1kNm 2.5 kNm b) c) M Mz1 z2 Mz e) 1kNm 1.5 kNm 2 kNm 3.5 kNm d) Mz3 A B C D E Trong đoạn BC, dùng mặt cắt (2-2) cắt qua thanh tại vị trí cách A một khoảng z, xét cân bằng phần bên trái, ta có: / 0 5 1 0 5z zM z M M kNmΣ = ⇒ − × = ⇒ = Tương tự trong đoạn CD, dùng mặt cắt (3-3), ta được: / 0 5 1 10 0 5z zM z M M kNmΣ = ⇒ − × + = ⇒ = − Biểu đồ nội lực vẽ ở hình 11.43e) Ví dụ 11.14: Một trục có liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.44a. Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm tra bền cho trục theo các thuyết bền thứ ba và thuyết bền thứ tư. Xác định góc xoay của mặt cắt qua A. Cho biết: G = 8.103 kN/cm2, [σ] = 10 kN/cm2, tiết diện đoạn AC có đường kính d1 = 5 cm, tiết diện đoạn CE có đường kính d2 = 6cm. 0.15m0.1m0.2m0.2m M = 2.5kNm2M = 1kNm1 M = 3.5kNm3 A B C D E a) Hình 11.44 247 Giải: Biểu đồ nội lực như hình vẽ 11.44b) Kiểm tra bền cho trục. 2 2 max max 3 3 1 1.5 10 6 / W 0.2 0.2 5 BC BC AD BC z z BC o M M kN cm d   ×= = = = = × 2 2 max 3 3 2 2 10 4.63 / W 0.2 0.2 6 DE DE DE z z DE o M M kN cm d  ×= = = = × Do đó: 2ax max 6 /BCm kN cm = = Theo thuyết bền thứ ba: 2 max [ ] 11 5.5 / 2 2 kN cm = = < nên trục không thỏa điều kiện bền. Theo thuyết bền thứ tư: 2 max [ ] 11 6.35 / 3 3 kN cm = = > nên trục thỏa mãn điều kiện bền. Góc xoay của mặt cắt qua A: 4 1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 1 1 0,2 10 1,5 0,2 10 1,5 0,1 10 2 0,15 10 5,53 10 8 10 0,1 5 0,1 5 0,1 6 0,1 6 zi i A AE i oi M L GJ rad   = − = =  × × × × × × × × = − − + = − ×  × × × × ×  ∑ Mặt cắt qua A xoay một góc 5,53× 10-4 rad ngược chiều kim đồng hồ. C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Các bài toán kiểm tra bền, tính toán chuyển vị của thanh chịu kéo nén đúng tâm? 2. Các bài toán kiểm tra bền, tính toán chuyển vị của thanh chịu uốn phẳng? 3. Điều kiện bền của thanh tròn khi chịu xoắn, các bài toán áp dụng? D. BÀI TẬP BỔ TRỢ Bài tập 11.1. Một trục bậc chịu tải trọng (như hình 11.45). Biết P1 = 50 kN, P2 = 80 kN, P3 = 40 kN; L1=L2=40 cm, L3=L4=50 cm; diện tích tiết diện trục lần lượt là: F1 = 6 cm2, F2= 4 cm2. Vật liệu có: [σ] = 16 kN/cm2, E = 2.104 kN/cm2 a) Vẽ biểu đồ lực dọc Nz. b) Kiểm tra độ bền của trục. c) Tính độ biến dạng dài của trục. 248 A C E P1 P2 P3 B D F1 F2 L1 L2 L3 L4 Hình 11.45 Bài tập 11.2. Một dầm mặt cắt hình chữ nhật (h = 2b) có sơ đồ liên kết và chịu lực như hình vẽ 11.46, với: P = qa. a) Vẽ biểu đồ nội lực Qy, Mx theo q,a. b) Xác định kích thước bxh của mặt cắt dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp. Biết: a = 1m, q = 5kN/m, [σ] = 12 kN/cm2. b hB C q P a A 2a Hình 11.46 Bài tập 11.3. Cho trục tiết diện thay đổi có đường kính d1 = 2,8 cm, d2 = 4 cm chịu tải trọng như hình 11.47. Biết: L1 = L3 = 0,6 m, L2 = 0,4 m; M1 = 1,22 kNm, M2 = 0,36 kN.m, M3 = 0,57 kNm; G = 8.103 kN/cm2; [τ] = 8 kN/cm2. Yêu cầu: a) Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz. b) Kiểm tra độ bền của trục. c) Tính góc xoắn giữa hai đầu trục. L1 L2 L3 M1 M2 M3d2d1 A B C D Hình 11.47 249 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ]1 Phan Văn Cúc, Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (2003). [2] Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Thị Hiền Lương, Bùi Công Thành, Lê Hoàng Tuấn, Trần Tấn Quốc, Sức bền vật liệu, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2007; [ ]2 Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng, Hà Nội (1999). [ ]3 Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2010). [ ]4 Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2003). [5] Lê Thanh Phong, Sức bền vật liệu, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM, 2005; [6] Phan Kì Phùng, Thái Hoàng Phong, Sức bền vật liệu tập 1, trường Đại học Bách khoa Đà Nẵng, 2007; [7] Thái Thế Hùng, Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2006; [8] Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai, Sức bền vật liệu tập 1, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2003; [9] Lê Ngọc Hồng, Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2000. [10] X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH & THCN, Hà Nội (1979). [11] Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng), Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2016). [12] Nguyễn Quốc Bảo, Sức bền vật liệu 1,2, Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2016).