Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 3: Xoắn thuần túy - Dương Phạm Tường Minh
Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ
nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in. Xác định
ứng suất tiếp trong mỗi vách của mặt cắt nếu
(a) bề dày của vách không đổi và bằng 0.160
in. và (b) các bề dày là 0.120 in. trên AB và
CD và 0.200 in. trên CD và BD.
HƯỚNG GIẢI:
• Xác định luồng cắt trong thành ống.
• Tìm ứng suất tiếp tương ứng trên mỗi
bề dày thành.
30 trang |
Chia sẻ: linhmy2pp | Ngày: 17/03/2022 | Lượt xem: 269 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 3: Xoắn thuần túy - Dương Phạm Tường Minh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
3 Xoắn thuần túy
Nội dung
Giới thiệu Trục siêu tĩnh
Tải trọng xoắn trong các trục tròn Bài tập ví dụ 3.4
Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra Thiết kế trục truyền
Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục Tập trung ứng suất
Biến dạng của trục Biến dạng dẻo
Biến dạng trượt Vật liệu đàn dẻo
Ứng suất trong miền đàn hồi Ứng suất dư
Ứng suất pháp Ví dụ 3.08/3.09
Các dạng phá hỏng do xoắn Xoắn các trục không tròn
Bài tập ví dụ 3.1 Trục rỗng thành mỏng
Góc xoắn trong miền đàn hồi Ví dụ 3.10
3 - 2
Tải trọng xoắn trong các trục tròn
• Nghiên cứu các ứng suất và biến
dạng của trục tròn chịu các ngẫu lực
xoắn hoặc mô men xoắn.
• Động cơ tác dụng mô men xoắn T
lên trục.
• Trục truyền mô men xoắn đến tua-
bin.
• Tua-bin tạo một mô men xoắn bằng
và ngược chiều T’
3 - 3
Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra
• Hợp lực của ứng suất là mô men xoắn nội
lực, bằng và ngược chiều với mô men xoắn
ngoại lực,
T dF dA
• Mặc dù ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra có
thể xác định được nhưng sự phân bố của ứng
suất thì không.
• Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định
được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét
đến các biến dạng của trục.
• Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc
trục gây ra, sự phân bố ứng suất tiếp do mô men
xoắn gây ra không thể giả thiết là đều.
3 - 4
Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục
• Mô men xoắn tác dụng lên trục gây ra
ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang.
• Các điều kiện cân bằng đòi hỏi phải tồn tại
các ứng suất có cùng giá trị trên 2 mặt chứa
đường tâm trục.
• Sự tồn tại ứng suất tiếp theo phương dọc trục
được biểu thị bằng cách coi trục được tạo
thành từ các thanh dọc trục.
Các thanh sẽ trượt với nhau khi có mô men
xoắn cùng giá trị và ngược chiều tác dụng tại
2 đầu. Nhưng trục đồng chất thì không có
xu hướng trượt phải tồn tại ứng suất tiếp.
3 - 5
Biến dạng của trục
• Theo quan sát, góc xoắn của trục tỉ lệ với mô
men xoắn tác dụng và chiều dài của trục.
T
L
• Khi chịu xoắn, mọi mặt cắt ngang của trục tròn
vẫn phẳng và không biến dạng.
• Các mặt cắt ngang của trục tròn rỗng và đặc
vẫn phẳng và không biến dạng bởi vì trục tròn
có tính chất đối xứng trục.
• Các trục có mặt cắt ngang không tròn
(không đối xứng trục) sẽ bị biến dạng
(vênh) khi chịu xoắn.
3 - 6
Biến dạng trượt
• Xét một mặt cắt trên trục. Khi tác dụng mô
men xoắn, phân tố hình lập phương trên chu vi
sẽ biến dạng thành hình thoi.
• Vì các mặt bên của phân tố vẫn phẳng, nên
biến dạng trượt sẽ bằng góc xoắn.
• Theo đó có
L hay
L
• Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính
c
&
maxLc max
3 - 7
Ứng suất trong miền đàn hồi
• Nhân biểu thức trên với mô đun đàn hồi trượt,
G G
c max
Theo định luật Húc, G , ta có
c max
Ta thấy ứng suất tiếp biến thiên tuyến tính
J 1c4
2 với bán kính trên mặt cắt ngang.
• Nhớ rằng tổng mô men của sự phân bố ứng
suất có giá trị bằng mô men xoắn trên mặt
cắt ngang,
2
T dA max dA max J
c c
• Các kết quả này được xem như là các biểu
1 4 4 thức xoắn đàn hồi,
J c2 c1
2 Tc T
&
max JJ
3 - 8
Ứng suất pháp
• Các phân tố có các mặt song song và vuông
góc với đường tâm của trục chỉ chịu ứng suất
tiếp. Ứng suất pháp, ứng suất tiếp hoặc kết
hợp cả 2 có thể được xác định theo các định
hướng khác.
• Xét một phân tố hợp với đường tâm trục một
góc 45o,
F 2max A0 cos45 max A0 2
F A 2
max 0
45o max
A A0 2
• Phân tố a chịu cắt (trượt) thuần túy.
• Phân tố c chịu ứng suất kéo trên 2 mặt và ứng
suất nén trên 2 mặt còn lại.
• Lưu ý rằng tất cả các ứng suất cho các phân tố
a và c đều có cùng độ lớn.
3 - 9
Các dạng phá hỏng do xoắn
• Các vật liệu dẻo thường bị phá
hỏng do cắt. Vật liệu dòn chịu kéo
kém hơn cắt.
• Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo sẽ bị
phá hỏng theo mặt phẳng có ứng
suất tiếp lớn nhất, tức là mặt cắt
ngang.
• Khi chịu xoắn, vật liệu dòn sẽ bị
phá hỏng theo mặt phẳng vuông
góc với phương có ứng suất kéo
lớn nhất, tức là theo mặt hợp với
đường tâm của trục một góc 45o.
3 - 10
Bài tập ví dụ 3.1
HƯỚNG GIẢI:
• Dùng các mặt phẳng cắt qua các
đoạn trục AB, BC và CD để xác
định mô men xoắn nội lực cho
từng đoạn.
• Áp dụng các công thức cho xoắn
đàn hồi để tìm ứng suất lớn nhất
và nhỏ nhất trên trục BC
Trục truyền ABCD chịu lực như hình vẽ.
Biết đoạn BC rỗng có đường kính trong và • Từ biểu thức xoắn đàn hồi và ứng
ngoài lần lượt là 90 mm và 120 mm. Các suất tiếp cho phép, tìm đường kính
đoạn trục AB và CD đặc có đường kính d. cho phép.
Xác định (a) ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ
nhất trong trục BC, (b) đường kính cho
phép d của trục AB và CD nếu ứng suất
tiếp cho phép trong các đoạn trục là 65
MPa.
3 - 11
Bài tập ví dụ 3.1
LỜI GIẢI:
• Dùng các mặt phẳng cắt trục qua các
đoạn AB và BC và áp dụng các phương
trình cân bằng tĩnh học để tìm mô men
xoắn nội lực.
M x 0 6kN mTAB M x 0 6kN m 14kN mTBC
TAB 6kN m TCD TBC 20kN m
3 - 12
Bài tập ví dụ 3.1
• Áp dụng các biểu thức xoắn đàn • Từ giá trị ứng suất tiếp cho phép và mô
hồi để tìm ứng suất lớn nhất và men xoắn, xác định đường kính cho
nhỏ nhất trong trục BC phép của trục.
J c4 c4 0.0604 0.0454 Tc Tc 6kN m
2 1 max 65MPa
2 2 J c4 c3
2 2
13.92106 m4
c 38.9103m
TBCc2 20kN m0.060m
max 2
J 13.92106 m4 d 2c 77.8mm
86.2MPa
c 45mm
min 1 min
max c2 86.2MPa 60mm max 86.2MPa
min 64.7MPa min 64.7MPa
3 - 13
Góc xoắn trong miền đàn hồi
• Ta đã có mối quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng
trượt lớn nhất là,
c
max L
• Trong miền đàn hồi, biến dạng trượt và ứng suất
tiếp liên hệ với nhau bởi định luật Húc,
Tc
max
max G JG
• Cân bằng 2 biểu thức trên ta có,
TL
JG
• Nếu tải trọng xoắn hoặc mặt cắt ngang của trục
thay đổi theo chiều dài, thì góc xoắn được xác
định là tổng góc xoắn của từng đoạn:
T L
i i
i JiGi
3 - 14
Bài toán xoắn siêu tĩnh
• Cho trục chịu mô men xoắn và kích thước như hình
vẽ, xác định mô men xoắn phản lực tại A và B.
• Từ phương trình cân bằng tĩnh học ta có:
TA TB 90lbft
ta thấy phương trình này không đủ để tìm 2 mô men
phản lực tại 2 đầu.
Bài toán này được gọi là bài toán siêu tĩnh.
• Chia trục thành 2 phần, chúng phải có các biến
dạng thích hợp, tức là:
TAL1 TBL2 L1J2
1 2 0 TB TA
J1G J2G L2J1
• Thay vào phương trình cân bằng ở trên ta có:
L1J2
TA TA 90lbft
L2J1
3 - 15
Bài tập ví dụ 3.4
HƯỚNG GIẢI:
• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên
2 trục để tìm ra mối liên hệ giữa TCD
và T0
• Áp dụng các phân tích động học để
liên hệ các góc xoay của 2 bánh răng.
• Tìm mô men xoắn cho phép tác dụng
Hai trục thép truyền chuyển động cho lên mỗi trục – chọn giá trị nhỏ nhất.
nhau thông qua các bánh răng. Biết
• Tìm góc xoắn tương ứng cho mỗi trục
rằng mỗi trục có G = 11.2 x 106 psi và
và góc xoắn thực của đầu A
ứng suất tiếp cho phép là 8 ksi, xác
định (a) mô men xoắn lớn nhất T0 có
thể tác dụng lên trục AB, (b) góc xoắn
tại đầu A của trục AB.
3 - 16
Bài tập ví dụ 3.4
LỜI GIẢI:
• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên • Áp dụng phân tích động học để liên hệ
2 trục để tìm mối liên hệ giữa TCD và các góc xoay của bánh răng.
T0
rBB rCC
M B 0 F0.875in.T0
rC 2.45in.
B C C
MC 0 F2.45in.TCD rB 0.875in.
TCD 2.8T0 B 2.8C
3 - 17
Bài tập ví dụ 3.4
• Tìm T0 theo mô men lớn nhất cho • Tìm góc xoắn cho mỗi trục và góc xoắn
phép tác dụng lên mỗi trục – chọn thực của đầu A
giá trị nhỏ hơn
T L 561lb in.24in.
AB
A / B 4 6
J ABG 0.375in. 11.210 psi
2
0.387rad 2.22o
TcAB T0 0.375 in.
max 8000 psi 4 TCDL 2.8561lb in.24in.
J 0.375 in.
AB 2 C / D 4 6
JCDG 0.5in. 11.210 psi
2
T0 663 lb in.
o
TcCD 2.8T0 0.5 in. 0.514rad 2.95
max 8000 psi
J 0.5 in. 4
CD 2 o o
B 2.8C 2.82.95 8.26
T0 561 lb in.
o o o
T0 561lbin A B A / B 8.26 2.22 A 10.48
3 - 18
Thiết kế các trục truyền
• Xác định mô men xoắn tác dụng lên trục
• Các đặc tính kỹ thuật chủ yếu theo tốc độ và công suất danh nghĩa,
của trục truyền là: PP
P T 2 fT T
• Công suất 2 f
• Tốc độ • Thực tế hay dùng công suất truyền của
động cơ P(kW) và tốc độ vòng quay của
• Người thiết kế phải chọn vật liệu trục n(vòng/phút), nên:
chế tạo và mặt cắt ngang của trục
P kW
để thỏa mãn các đặc tính kỹ T 9550 N . m
thuật mà không vượt quá ứng n vòng phút
suất tiếp cho phép. • Tìm mặt cắt ngang của trục để ứng suất
không vượt quá ứng suất tiếp cho phép,
Tc
max J
JT
c3 trôc ®Æc
c 2 max
JT 44
cc21 trôc rçng
cc22 2 max
3 - 19
Tập trung ứng suất
• Công thức xoắn,
Tc
max J
áp dụng cho một trục tròn có mặt cắt
ngang không đổi chịu tải trọng thông qua
tấm tuyệt đối cứng đặt ở đầu trục.
• Việc sử dụng các mặt bích, bánh răng và pu-
ly để lắp lên trục thông qua then, rãnh then,
và mặt cắt ngang không liên tục có thể gây
ra tập trung ứng suất.
• Hệ số tập trung ứng suất được xác định
bằng thí nghiệm hoặc mô phỏng số.
Tc
K
max J
Hệ số tập trung ứng suất tại vị trí bo
tròn của trục tròn chịu xoắn
3 - 20
Biến dạng dẻo
• Với giả thuyết vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có:
Tc
max J
• Nếu giới hạn bền bị vượt quá hoặc vật liệu có
đường cong ứng suất-biến dạng trượt phi tuyến, thì
biểu thức này không còn đúng nữa.
• Biến dạng trượt biến thiên tuyến tính không phụ
thuộc vào các thuộc tính của vật liệu. Việc áp dụng
đường cong ứng suất-biến dạng trượt cho phép xác
định sự phân bố ứng suất.
• Tích phân các mô men từ sự phân bố ứng suất sẽ cân
bằng với mô men xoắn trên mặt cắt,
c c
2
T 2 d 2 d
0 0
3 - 21
Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic)
• Tại giá trị mô men xoắn đàn hồi lớn nhất, có
J L
T 1 c3 Y
Y c Y 2 Y Y c
• Khi mô men xoắn được tăng lên, một vùng dẻo
( Y ) sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi
( )
Y
Y
L
Y
Y
3 3
T 2c3 1 1 Y 4 T 1 1 Y
3 Y 4 3 3 Y 4 3
c c
3
T 4 T 1 1 Y
3 Y 4 3
• Khi Y 0 , mô men xoắn sẽ tiến tới một giá trị tới
hạn,
4
TPY3 T mo men xoan deo
3 - 22
Ứng suất dư
• Vùng dẻo sẽ phát triển trong trục khi nó chịu một mô
men xoắn đủ lớn.
• Khi thôi tác dụng mô men xoắn, sự giảm ứng suất và
biến dạng tại mỗi điểm sẽ xảy ra theo đường thẳng đến
một giá trị ứng suất dư khác không.
• Trên đường cong T-, trục sẽ hạ tải theo một đường
thẳng đến một góc lớn hơn 0.
• Ứng suất dư được xác định từ nguyên lý độc lập cộng
tác dụng.
Tc dA 0
m J
3 - 23
Ví dụ 3.08/3.09
LỜI GIẢI:
• Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và
xác định bán kính lõi đàn hồi.
• Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn
Một trục tròn đặc chịu mô men • Giải công thức (3.16) để tìm góc
xoắn T 4 .6 kN m tại 2 đầu. Giả thiết xoắn sau khi thôi tác dụng mô men
rằng trục được làm bằng vật liệu đàn xoắn. Biến dạng dư là sự khác nhau
dẻo với Y 150 MPa và G 77 GPa giữa các góc khi xoắn và thôi xoắn.
Xác định (a) bán kính của lõi đàn
hồi, (b) góc xoắn của trục. Khi mô
• Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự
men xoắn thôi tác dụng, hãy xác định
xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi
(c) biến dạng xoắn vĩnh cửu, (d) sự
xoắn gây ra.
phân bố ứng suất dư.
3 - 24
Ví dụ 3.08/3.09
LỜI GIẢI:
• Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn
• Giải công thức (3.32) để tìm Y/c
và xác định bán kính lõi đàn hồi. Y Y
1 c c
3 T 3 Y Y
T 4 T 1 1 Y Y 4 3
3 Y 4 3 3
c c TY T L 3.6810 N 1.2m
Y
Y -9 4
J 1 c4 1 25103m JG 61410 m 7710Pa
2 2
93.4103rad
614109 m4 Y
3
T c J 93.410 rad 3 o
Y T Y 148.310 rad 8.50
Y J Y c 0.630
o
150106 Pa614109 m4 8.50
TY
25103m
3.68kN m
1
4.6 3
Y 4 3 0.630
c 3.68
Y 15.8mm
3 - 25
Ví dụ 3.08/3.09
• Giải công thức (3.16) để tìm góc • Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự
xoắn sau khi thôi tác dụng mô xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi
men xoắn. Biến dạng dư là sự xoắn gây ra.
khác nhau giữa các góc khi xoắn
3 3
và thôi xoắn. Tc 4.610 N m2510 m
max
J 61410-9 m4
TL
187.3MPa
JG
4.6103 N m 1.2m
6.14109 m4 77109 Pa
116.8103rad
φp
116.8103 116.8103rad
1.81o
o
p 1.81
3 - 26
Xoắn thanh mặt cắt không tròn
• Các công thức xoắn đã học chỉ đúng cho
các trục tròn.
• Mặt cắt ngang phẳng của các trục không
tròn sẽ không còn phẳng và sự phân bố
ứng suất-biến dạng sẽ không còn tuyến
tính.
• Đối với các mặt cắt ngang hình chữ nhật,
T TL
max
Các hệ số cho thanh c ab2 c ab3G
chữ nhật chịu xoắn 1 2
• Với giá trị lớn của a/b, ứng suất tiếp lớn
nhất và góc xoắn của các mặt cắt hở
được tính giống như thanh mặt cắt chữ
nhật.
3 - 27
Trục rỗng thành mỏng
• Hợp lực theo phương x trên phân tố AB,
Fx0 A t A x B t B x
τAABB t = τ t = τt = q luång c¾t
ứng suất tiếp biến thiên tỉ lệ nghịch với bề
dày
• Xác định mô men xoắn từ tích phân mô
men do ứng suất tiếp gây ra.
dM0 pdF p tds q pds 2 qdA
T dM 22 qdA qA
0
TT
q
22A tA
• Góc xoắn
TL ds
4A2 G t
3 - 28
Ví dụ 3.10
Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ
nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in. Xác định
ứng suất tiếp trong mỗi vách của mặt cắt nếu
(a) bề dày của vách không đổi và bằng 0.160
in. và (b) các bề dày là 0.120 in. trên AB và
CD và 0.200 in. trên CD và BD.
HƯỚNG GIẢI:
• Xác định luồng cắt trong thành ống.
• Tìm ứng suất tiếp tương ứng trên mỗi
bề dày thành.
3 - 29
Ví dụ 3.10
LỜI GIẢI: • Xác định ứng suất tiếp trong mỗi
• Xác định luồng cắt trong thành ống. bề dày thành.
Với bề dày thành không đổi,
q 1.335kip in.
t 0.160in.
8.34ksi
Với bề dày thành thay đổi,
1.335kip in.
AB AC 0.120in.
A 3.84in.2.34in. 8.986in.2
AB BC 11.13ksi
T 24kip -in. kip
q 1.335
2 1.335kip in.
2A 28.986in. in.
BD CD 0.200in.
BC CD 6.68ksi
3 - 30
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_co_hoc_vat_lieu_chuong_3_xoan_thuan_tuy_duong_pham.pdf