Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 1: Hint

PhD. D.H.Đẩu1HintSử dụng phương trình 1.32 ta tìm các trị riêngPhD. D.H.Đẩu2Các vector riêngSử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêngPhD. D.H.Đẩu3Các vector riêngSử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêng với trị riêng bằng i (còn lại tự giải)PhD. D.H.Đẩu4BÀI TẬP 19 phép quayXét matrix 2x2x biểu diễn phép quay của mp oxy (quay quanh oz) có dạng:Chứng tỏ rằng matrix này có trị riêng là ảo trừ một số góc đặc biệt. Tìm các góc này?Xây dựng matrix phép quay trong không gian 3 chiềuPhD. D.H.Đẩu5Bài tập 20Tìm trị riêng và vector riêng của matrix biểu diễn phép biến đổi:Matrix này có thể chuẩn hóa đơn vị theo đường chéo không?PhD. D.H.Đẩu6 Phép biến đổi này tác động lên phần tử đầu của một tích trong thì nó bằng với khi tác dụng nó lên phần tử sau của tích trongPhép biến đổi Hermitian TBiến đổi tuyến tínhLưu ý: trong cách xác định này ta có tích trong của 2 vector Vế trái 1.35 là tích trong của vector tạo bởi MXT nhân vector anpha tích trong với vector betaVế phải 1.35 là tích trong của vector tạo bởi anpha nhân với MXT và vector anpha PhD. D.H.Đẩu7Các tính chất trị riêng hàm riêng của T Trị riêng là thực (Chứng minh) giả sửKhi đó ta có: Nhưng vì T là Hermitian nên: Vì vector anpha khác không: từ 2 pT trên cho ta: PhD. D.H.Đẩu8Các vector riêng của biến đổi Hermitian ứng trị riêng khác nhau là trực giaoChứng minh: Giả sử Khi đó ta có:Vì T là Hermitian:Theo tính chất trị riêng(tích trong 2 vector =0)PhD. D.H.Đẩu9Các vector riêng của biến đổi Hermitiantạo ra không gian vector cơ sởNếu biến đổi Hermitian có n vector riêng ứng với n các trị riêng khác nhau, theo hệ thức 2: các vector riêng đó là trực giao nhau vì thếChúng tạo thành hệ vector cơ sở Giả sử có suy biến: tức là một trị riêng , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: khi đó bất kỳ một tổ hợp tuyến tính của m vector riêng nói trên đều là các vector riêng với cùng trị riêng là Kết luận: PhD. D.H.Đẩu10Bài tập 21 WCho biến đổi T1- Chứng minh rằng T là hermitian 2- Tìm các trị riêng thực của T3- Tìm các vector riêng và chứng minh các vector riêng ứng với các trị riêng trên là trực giao Kiểm tra định thức của T và của tr(T) là như nhau.PhD. D.H.Đẩu11Không gian Hàm số Là không gian vector trong đó vector được xem là hàm phức theo biến (thông thường) là xTích trong của 2 vector là tích chập (tích phân vô cùng của 2 hàm)Đạo hàm của vector là phép biến đổi tuyến tính Hàm số tương tự vector vì :A-Tổng của 2 hàm số là một hàmB- Các hàm cũng thỏa các tính chất giao hoán và kết hợp.Tồn tại một hàm bằng không “null” để hàm đó trừ hàm ngược của nó bằng hàm null PhD. D.H.Đẩu12Nhân hàm với số phức ta được hàm phứcTổ hợp tuyến tính của các hàm là một hàm (như tổ hợp tuyến tính của các vector là vector) Các hàm có tính chất như vectorTích trong của hai hàm là tích phân của tích hai hàm theo CT:Cận của tích phân có thể thu hẹp lại tùy vào điều kiện xác định của các hàm để cho tích trong là xác định.Để tích trong là xác định:PhD. D.H.Đẩu1323- Bài tập – W Tìm các hàm cơ sở của một đa thức bậc n <N: Giả sử ta có đa thức:Xác định các hàm cơ sởTính các tích của hàm cơ sở:PhD. D.H.Đẩu14Bài tập 24 : hàm cơ sở lượng giácCho biết hàm f(x) được khai triển ở dạng:Chứng tỏ rằng các hàm cơ bản:Là trực chuẩn Tìm số chiều của không gian này? PhD. D.H.Đẩu15Toán tử xem như một biến đổi tuyến tính1. Toán tử thực hiện phép biến đổi lên các hàm cho ra các hàm mới nên giống như một phép biến đổi tác dụng lên vector cho ra vector mới nhưng phải thỏa là phép biến đổi tuyến tính (không gian của vector sau thỏa ĐK tuyến tính). Thí dụ : Biến đổi theo cách đạo hàm theo x là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N.Biến đổi bằng phép nhân cho x thì không phải là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N vì nó chuyển thành đa thức bậc N+1.PhD. D.H.Đẩu16Bài tập 25-wChứng minh là hàm exp(-x2/2 ) là hàm riêng của toán tử: Tìm trị riêng tương ứng?PhD. D.H.Đẩu17HintPhD. D.H.Đẩu18Toán tử HermitianĐịnh nghĩa: Toán tử tuân theo hệ thức:PhD. D.H.Đẩu193. Các lý giải về thống kêVi hạt là tương đương với sóng, biểu diễn bằng hàm sóng (r,t) mà bình phương là mật độ xác suất Nên phải có sự chuẩn hóa hàm sóng (để xs=1)Cơ cổ điển biểu diễn các đại lượng đặc trưng của hạt là các vector (tọa độ, vận tốc, xung lượng, lực ) được xem là các hàm của tọa độ x và xung lượng p (p=mvx=m(dx/dt)), Cơ Lượng tử: Mỗi quan sát (đo đạc) đại lượng vật lý a được biểu diễn qua tác dụng của toán tử tương ứng A lên hàm (r,t) PhD. D.H.Đẩu203. Các lý giải về thống kêĐây là giá trị kỳ vọng và khi đo đại lượng vật lý ANó phải có trị thực (nghĩa là A là toán tử Hermitian)Công thức trị trung bình  Tính qua tích trong của hàm trạng tháiPhD. D.H.Đẩu21Bài tập 26 WPhD. D.H.Đẩu22Về mặt tính toán, ta có thể dùng biểu thức trị kỳ vọng để tìm ra giá trị trung bình khi đo của một ĐLVL a qua toán tử A tương ứng.Tuy nhiên thực tế khi đo A, ta không thể biết giá trị có được là trị riêng nào Vì vậy, khi có nhiều trị riêng ta phải xác định xác suất ứng với các trị riêng đóTrị quan sát (đo được) là trị riêng của toán tử ưng với hàm riêng của nóGiải bài toán hàm riêng và trị riêng, kết quả: trị riêng là giá trị đo của đại lượng vật lý ứng với toán tử ở trạng thái của hàm riêng: PhD. D.H.Đẩu23Bài tập 27 PhD. D.H.Đẩu24PhD. D.H.Đẩu25Luận điểm thống kêNếu đo một đại lượng vật lý a của một vi hạt ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng , ta luôn được một trị riêng của toán tử A.Xác suất để đo, nhận một trị riêng  bằng với trị số tuyệt đối của bình phương hàm sóng nếu các hàm riêng của toán tử A là hệ hàm trực chuẩnVới phổ hàm riêng rời rạc có n hàm riêng (n chỉ số nguyên):Xác suất để đo cho một giá trị JPhD. D.H.Đẩu26Bài tập 28: chuẩn hóa xác suất Chứng minh rằng:PhD. D.H.Đẩu27Phổ hàm riêng liên tụcGọi các hàm riêng liên tục k (k chỉ số):Không có xác suất tại một điểm, chỉ có xác suất trong khoảng dk xác định là:PhD. D.H.Đẩu28Bài tập 29 : Hàm riêng của toán tử tọa độ Hàm riêng là hệ hàm chuẩn hóa có dạng:Các trị riêng x’có hệ số Cx tính bởi: Tính xác suất tìm hạt trong khoảng dx’ quanh x’?PhD. D.H.Đẩu29Bài toán 30: Xung lượngHàm riêng của toán tử xung lượng là hệ hàm trực giao có dạng:Các giá trị xung lượng p có các hệ số là cp Tính các hệ số cP chúng tạo ra hàm sóng trong không gian xung lượng.PhD. D.H.Đẩu304. Nguyên lý bất địnhBất kỳ đại lượng a ứng toán tử A, có độ lệch chuẩn là:Tương tự đại lượng b ứng toán tử B, độ lệch chuẩn là:PhD. D.H.Đẩu31Sử dụng bất đẳng thức SchwarzPhD. D.H.Đẩu32Bài tập 31 : Hệ thức vectorChứng minh hệ thức cho số phức:PhD. D.H.Đẩu33Nguyên lý bất định - UncertaityĐưa 1.54 vào 1.52Bạn thử xem vế phải có âm không ?Nếu A là toán tử tọa độ x và B là toán tử xung lương thì hệ thức trên thế nào?PhD. D.H.Đẩu34Phát biểu: Nguyên lý HeisenbergTổng quát : Nếu một cập hai toán tử không gian hoán nhau  Tích 2 sai số của hai đại lượng vật lý ứng với 2 toán tử đó không thể nhỏ hơn một giá trị giới hạn xác định  không xác định chính xác đồng thời. Như vậy: 2 Đại lượng quan sát trên không thể đo chính xác đồng thời (incompatible Observables)Hệ quả: một cập hai toán tử gian hoán nhau thì hai lượng quan sát tương ứng có thể đo chính xác đồng thời  chúng có cùng hệ hàm riêng PhD. D.H.Đẩu35Bài tập 32 - Nguyên lý bất định của bạnChứng minh hệ thức bất định tọa độ X và năng lượng H thỏa :Với trạng thái dừng biểu thức có ý nghĩa thế nào?PhD. D.H.Đẩu36Bài tập 33 – Hệ thức giao hoánChứng minh hệ thức sau:PhD. D.H.Đẩu37Nguyên lý bất định năng lượngLiên quan đến bất định năng lượng và thời gian trong bài toán không tương đối tính: Nếu nghiên cứu bài toán đo sự thay đổi của một hệ, ta cần xác định đạo hàm theo thời gian của giá trị kỳ vọng của một số biến động học quan sát là Q (x,p,t) PhD. D.H.Đẩu38Giải với H là HermitianỞ vế phải : nếu toán tử không phụ thuộc tường minh vào t khi đó sự thay đổi phụ thuộc vào giao hoán tử Q và H:PhD. D.H.Đẩu39Bài tập 34 – Sử dụng CT 1.55 cho HChúng ta thay ký hiệu độ lệch năng lượng H là E 1.66PhD. D.H.Đẩu40Ý nghĩa của độ bất định tĐây là một thời gian cần thiết mà trị trung bình của của đại lượng Q thay đổi một độ lệch chuẩn, thực sự t phụ thuộc vào đại lượng cần đo Q thay đổi nhanh hay chậm.Tuy nhiên biểu thức 1.63 cho thấy nếu E là nhỏ thì t là rất lớn hay nói khác đi đại lượng quan sát có giá trị đo như nhau (không đổi) Ngược lại: Nếu đại lượng quan sát có trị đo thay đổi liên tục (tốc độ thay đổi rất nhanh)  năng lượng đang có sự dao động lớn.PhD. D.H.Đẩu41Bài tập 35 Nguyên lý bất địnhTrường hợp đặc biệt của trạng thái dừng là năng lượng được xác định duy nhất. Tất cả giá trị kỳ vọng khi đo các đại lượng vật lý là không đổi (t là rất lớn vô cùng). Hàm sóng tổng quát là tổ hợp tuyến tính của 2 trạng thái có năng lượng khác nhau:Cho biết a, b, 1 2 là các giá trị thực. Tính Chu kỳ dao động của giá trị năng lượng :PhD. D.H.Đẩu42Bài tập 36 – tổng hợpDùng công thức 1.61 chứng minh rằng:Ở trạng thái dừng: vế trái là bằng không nên ta có: PhD. D.H.Đẩu43DiscussionMisunderstand:Questions:Problems:Calculations: