Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 1: Các phương pháp toán nâng cao cho cơ lượng tử - Trường Đại học Cần Thơ

PhD. D.H.Đẩu1CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ Chương hai: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO CÁC NGUYÊN TỬ ĐƠN GiẢN Chương ba : NHIỄU LOẠN DỪNG – Suy Biến Chương bốn: CÁC ỨNG DỤNG CỦA NHIỄU L0ẠNPhD. D.H.Đẩu2 Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ 1. Ôn tập Đại số tuyến tính 2. Biến đổi tuyến tính và Matrix biến đổi Giải thích khái quát về tính thống kê Nguyên lý bất địnhCƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAOPhD. D.H.Đẩu3Lecturer:Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Deptduongdau@gmail.comTel: 84.71. 832061 01277 270 899Giới thiệu môn họcEPPhD. D.H.Đẩu4Trọng tâm chương 1Chương này trình bày các kiến thức toán nâng cao về đại số:Như vector – tích trong – phép biến đổi Vector, Ma trậnĐể tiếp cận với các phép tính phức tạp ở các chương sau vì thế cần Lưu ý:1- Thống nhất các ký hiệu 2- Phương pháp tính toán cụ thể.PhD. D.H.Đẩu51. Ôn tập: Đại số tuyến tính 1.1 Không gian vector: là một tập hợp các vector được ký hiệu là: kèm theo một bộ (cùng số phần tử với số vector) các giá trị vô hướng (thường là các số phức) : Thỏa hai phép toán cộng vector và nhân vô hướng vector Phép cộng: Tính giao hoán PhD. D.H.Đẩu6Tính kết hợpPhép cộng có tính kết hợp:Tồn tại một vector không (Null vector) thỏa hệ thức:Mỗi vector khác không tồn tại một vector ngược : Tính khử nhau: PhD. D.H.Đẩu7Vector liên hiệp phức Là lấy liên hợp phức của các thành phần tạo nên vector:PhD. D.H.Đẩu8Phép nhân vectorPhép nhân vector với vô hướng cho ra vector:Phép nhân của tổng vector có tính phân phối:Phép nhân tổng hai số với 1 vector có tính phân phối: Tính kết hợp: PhD. D.H.Đẩu9Bài tập Cho vector:PhD. D.H.Đẩu10Tổ hợp tuyến tínhTổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector :được ký hiệu là:số chiều không gian là số vector trong tập Z Một vector gọi là độc lập tuyến tính với hệ Z khi chúng không thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của Z:Hệ Vector cơ sở của một không gian K: là một bộ Z của các vector, sao cho bất kỳ vector đều được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong bộ Z. EX: trong hệ 3D Descartes ta có:PhD. D.H.Đẩu11Bài tập 1 WVector đơn vị theo phương z trong hệ tọa độ Descartes 3D có độc lập tuyến tính trong không gian oxy hay không?Giải thích?Không gian của tổng 2 vector (một biểu diễn trong hệ KD và một biễu diễn trong hệ 3D) sẽ có số chiều là bao nhiêu? Giải thích?Không gian ảoĐộc lập tuyến tínhK chiều (KD)PhD. D.H.Đẩu12Bài tập 2 W Cho các vector:PhD. D.H.Đẩu13Chiều của không gianChiều của không gian là số vector cấu thành, với hệ nD Vector khác không viết trong hệ nD – là ma trận một hàng và n cột:Cộng hai vector khác không trong hệ nD là cộng 2 ma trận Và vectorkhông:PhD. D.H.Đẩu14Bài tập 3 wXét một vector 3 chiềuCác thành phần an là phứca) Các vector có thành phầnaz=0 có tập hợp thành khônggian vector không? Nếu có thìchiều của nó là bao nhiêu ?b) Các vector có các thành phầnan bằng nhau có tập hợp thành Không gian vector không? Cho Ví dụCó – 1 DPhD. D.H.Đẩu15Bài tập 4 WXét tập hợp các đa thức bậc n (n< N) của x có các hệ số phức.a) Các đa thức đó có tạo nên một không gian vector không? Vector cơ sở được cấu thành như thế nào cho thuận tiện? Số chiều của không gian này là bao nhiêu?b) Điều kiện để đa thức là hàm chẳn và là hàm lẻ ?c) Điều kiện để hệ số trước xn có giá trị bằng 1.0d) Điều kiện để đa thức bằng 1 khi x=0 và bằng 0 khi x=1.PhD. D.H.Đẩu16Hương dẫnĐa thức bậc n: a0 + a1X + a2X2 ++ anXnKhông gian :.? ChiềuVector cơ sở chọn:Hàm chẳn : F(x) =F(-x)Hàm Lẻ: F(x) = -F(x)PhD. D.H.Đẩu17Bài tập 5W Cho biết PhD. D.H.Đẩu18Ôn Đại số - Tích trong 2 vectorTrong KG 3 chiều, có 2 loại tích vector là tích vô hướng vàtích có hướng. Tổng quát tích trong 2 vector trong nD:Tích trong của 2 vector là xác định mặc dù không gian của 2 vector có thể là không cùng số chiều Lưu ý: tích trong của 2 vector giống nhau là một số dương nên căn bậc 2 của nó (gọi là Norm-modune) là số thựcPhD. D.H.Đẩu19Tích trong 2 vectorTrực giao: Hai vector là trực giao khi tích trong của nó =0Trực chuẩn: là một bộ các vector đều trực giao nhau và mỗiVector có Modune =1 Nếu chọn một cơ sở vector trực chuẩn e và khai triển vector theo các thành phần e, thì tích trong 2 vector là: Và Bình phương modune là:PhD. D.H.Đẩu20Bài tập 7 wViết tường minh tích trong của 2 vector từ đó chứng minh bất đẳng thức SchwarzHintPhD. D.H.Đẩu21Bài tập 6: Tích trong 2 vectora) Tính: b) Tính: Modun của 2 vector trên PhD. D.H.Đẩu22Bài tập 8 - WCho hai vectora) Tìm các giá trị m, n để hai vector trên là trực giao ?b) Với các giá trị m, n bằng bao nhiêu thì tích trong của hai vector đó là bằng 1.0 PhD. D.H.Đẩu23Góc giữa 2 vectorCác hệ số a1 an của một vector được tính lại là:Góc hợp bởi 2 vector được tính bởi: Hệ thức Schwarz:PhD. D.H.Đẩu24Bài tập 9 w: Góc giữa 2 vectorDùng hệ thức Schwarz: xác định góc của 2 vectorb) Chứng minh bất đẳng thức của tam giácPhD. D.H.Đẩu252. Phép biến đổi tuyến tínhBiến đổi : Là thay đổi một vector thành một vector khác trong cùng một không gian vector . Sự thay đổi do tác nhân của một toán tử T được viết:Ví dụ: Thế nào là biến đổi tuyến tính: Toán tử là toán tử tuyến tính: Nếu có 2 số khác không là a và b và 2 vector thì:PhD. D.H.Đẩu26Bài tập 10Hãy cho biết các dạng toán tử sau đây có tạo ra phép biến đổi tuyến tính cho vector không?1-Nhân vector (3D) với một số phức khác không2-Quay một vector (3D) quanh trục ox hoặc oy. PhD. D.H.Đẩu272. Phép biến đổi tuyến tínhVì khi T tác dụng lên một vector nó cho ra một vector mới, nên khi T tác dụng lên các vector cơ sở  Nó cũng tạo các vector mới theo hệ thức: Ví dụ : Khi khai triển một vector bất kỳ trong cơ sở ePhD. D.H.Đẩu282. Matrix của toán tử tuyến tínhTheo công thức 1.14 ta thấy sau biến đổi T, vector mới được xem là tổ hợp của các cơ sở e với các hệ số là: Matrix của T được định nghĩa là:Vecto mới là:PhD. D.H.Đẩu29Bài tập 11 W Tính Matrix chuyển vịĐối với phép quay  quanh trục OX - 3D Phép quay  quanh đường y = x 3DPhD. D.H.Đẩu30Hướng dẫn XYKhai triển công thức A1 , A2 A3 theo ma trận chuyển vị 1.15 sau đó viết lại vector mới tạo ra.PhD. D.H.Đẩu31Các tính chất của biến đổi tuyến tínhCộng hay trừ Matrix liên hợp phức của T được định nghĩa là:Matrix là thực khi các thành phần của nó đều là thựcMatrix là ảo khi các thành phần của nó đều là ảoPhD. D.H.Đẩu32MATRIX TỰ LIÊN HỢP PHỨC (TLHP)Matrix HERMITiAN Định nghĩa TLHP: là matrix chuyển vị và sau đó lấy liên hợp phức của Matrix T:Dr. HermitteMatrix HERMITIAN VÀ SKEW HERMITIANPhD. D.H.Đẩu33Thí dụ Xét matrix:(MXã) (MXa)* PhD. D.H.Đẩu34Bài tập 12 w: Chứng minh hệ thức Xem tích trong của 2 vector:Chứng minh rằng:PhD. D.H.Đẩu35Bài tập 13 wCho biến đổi T1- Chứng minh rằng T là Hermitian 2- Phải thay đổi T như thế nào để nó là Skew - HermitianPhD. D.H.Đẩu36Ôn tập matrix nghịch đảoTính A-1 dựa vào: với Aij ma trận bỏ hàng j cột i Thí dụ tính a-1 từ Tính : detA =3PhD. D.H.Đẩu37Nói chung tích matrix là không giao hoán nên MXa.MXb # MXb.MXaTÍNH CHẤT GIAO HOÁN TỬ2. Giao hoán tử của 2 matrix: [Mxa.MXb]=Mxa.MXb – MXb.Mxa3. Tích chuyển vị của tích 2 Matrix bằngTích ngược của 2 Matrix chuyển vị: PhD. D.H.Đẩu38Bài tập 14 w : Phép tính MatrixPhD. D.H.Đẩu39Matrix nghịch đảo:(MXa)-1 chỉ tồn tại khi định thức của matrix a là khác không.Tính chất Matrix nghịch đảo: Matrix đơn vị là một bất biến với mọi vector PhD. D.H.Đẩu40Bài tập 15 tự giải1- Chứng minh các hệ thức matrix 1.252- Chứng minh các hệ thức matrix 1.26PhD. D.H.Đẩu41Track (a) = Tr(MXa)Định nghĩa Tr(MXa): là tổng các thành phần trên đường chéo của matrix aPhD. D.H.Đẩu42Bài tập 16 : Chứng minh hệ thức Tr(x) Hướng dẫn (Hint):1- Tính2- Tính3- Tính Tr()4- So sánhPhD. D.H.Đẩu43Bài tập 17 WCho vector 3D có 3 vector đơn vị là Hãy xác định các thành phần Matrix biểu diễn phép quay 45 độ cùng chiều Kim đồng hồ tại góc 0 quanh trục ozXét một phép biển đối từ x  x + x0, y  y+y0 , z= z + z0. Đây có phải phép biến đổi tuyến tính ?Nếu không thì giải thích, nếu có tính matrix biểu diễnPhD. D.H.Đẩu44Ví dụ: Phép quay vector quanh một trục trùng với chính nóDùng định nghĩa ta thấy: Lúc đó  là các vector riêng ứng với trị riêng là 1 của phép biến đổi T (lưu ý ta có vô số vector riêng khác vector không thỏa mãn PT 1.29) CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG 1. Định nghĩa:PhD. D.H.Đẩu45Phương trình dạng Matrix; Chuyển vế ta có phương trình Matrix:CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG PhD. D.H.Đẩu46Phương trình Đinh thứcTừ PT 2.22, vế phải là Matrix không  Định thức của Matrix phải bằng không nên có n nghiệm của  để phương trình bằng 0PhD. D.H.Đẩu47Bài tập 18W- trị riêng và vector riêngTìm trị riêng và vector riêng của phép biến đổi qua matrix: