Bài giảng Chương 3: Phương sai sai số thay đổi

5/13/2015 3:39 PM 1 Chƣơng 3: PHƢƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 1. Bản chất hiện tượng phương sai sai số thay đổi 2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi 3. Cách phát hiện phương sai sai số thay đổi 4. Cách khắc phục phương sai sai số thay đổi 5/13/2015 3:39 PM 2 3.1. BẢN CHẤT Xét ví dụ mô hình hồi quy 2 biến trong đó biến phụ thuộc Y là chi tiêu của hộ gia đình và biến giải thích X là thu nhập khả dụng của hộ gia đình 5/13/2015 3:39 PM 3 3.1. BẢN CHẤT X1 X2 Xn X Y 0 (a) X1 X2 Xn X Y 0 (b) Hình 3.1: (a) Phƣơng sai của sai số không đổi (b) Phƣơng sai của sai số thay đổi 5/13/2015 3:39 PM 4 3.1. BẢN CHẤT Hình 3.1a chỉ ra rằng khi thu nhập khả dụng tăng lên, giá trị trung bình của chi tiêu cũng tăng lên nhưng phương sai của sai số quanh giá trị trung bình của nó không thay đổi tại mọi mức thu nhập khả dụng. Đây là trường hợp của phương sai sai số không đổi, hay phương sai bằng nhau. E(ui 2) = 2 5/13/2015 3:39 PM 5 3.1. BẢN CHẤT Trong hình 3.1b, mặc dù giá trị trung bình của chi tiêu cũng tăng lên nhưng phương sai của sai số không bằng nhau tại mỗi mức thu nhập khả dụng – phương sai tăng lên với thu nhập khả dụng. E(ui 2) = i 2 5/13/2015 3:39 PM 6 Giải thích Những người có thu nhập cao, nhìn chung, sẽ chi tiêu nhiều hơn so với người có thu nhập thấp nhưng sự biến động của chi tiêu sẽ cao hơn. Đối với người có thu nhập thấp, họ chỉ có một ít thu nhập để chi tiêu. Phương sai sai số của những hộ gia đình có thu nhập cao có thể lớn hơn của những hộ có thu nhập thấp. 5/13/2015 3:39 PM 7 Ví dụ về phƣơng sai sai số thay đổi Khi thu nhập tăng, mọi người có nhiều sự lựa chọn cho việc sử dụng tiền của mình hơn, nên i 2 có thể tăng cùng với thu nhập. Những công ty có lợi nhuận lớn hơn có thể có thể có sự biến động của mức chia cổ tức lớn hơn. Do quá trình “học hỏi từ công việc”, số lỗi đánh máy của một thư ký có thể giảm dần theo thời gian làm việc. Đồng thời, sự biến động của số lỗi so với số lỗi trung bình cũng giảm dần. 5/13/2015 3:39 PM 8 3.2. HẬU QUẢ CỦA PHƢƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 1. Ước lượng OLS vẫn tuyến tính. Chúng vẫn là ước lượng không chệch. Tuy nhiên, chúng sẽ không còn có phương sai nhỏ nhất nữa; nghĩa là, chúng sẽ không còn hiệu quả nữa. 2. Công thức thông thường để ước lượng phương sai của ước lượng OLS, nhìn chung, sẽ chệch. Theo đó, các khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết thông thường dựa trên phân phối t và F sẽ không còn đáng tin cậy nữa. Do vậy, nếu chúng ta áp dụng các kỹ thuật kiểm định giả thuyết thông thường sẽ cho ra kết quả sai. 5/13/2015 3:39 PM 9 3.3. PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN PHƢƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI 1. Xem xét đồ thị của phần dư 2. Kiểm định Park 3. Kiểm định Glejser 4. Kiểm định tương quan hạng của Spearman 5. Kiểm định Goldfeld – Quandt 6. Kiểm định White 5/13/2015 3:39 PM 10 1. Xem xét đồ thị của phần dƣ Biến phụ thuộc Biến độc lập                                              Đường hồi quy ước lượng 5/13/2015 3:39 PM 11 2. Kiểm định Park Park cho rằng i 2 là một hàm số nào đó của biến giải thích X. Park đã đưa ra dạng hàm số giữa i 2 và X như sau: trong đó vi là phần sai số. Park đã đề nghị chúng ta có thể sử dụng ei thay cho i và chạy mô hình hồi quy sau: lnei 2 = B1 + B2 ln|Xi|+ vi (*) 5/13/2015 3:39 PM 12 2. Kiểm định Park ei 2 có thể được thu thập từ mô hình hồi quy gốc. Kiểm định Park được tiến hành theo các bước sau đây: 1) Chạy hàm hồi quy gốc bất chấp vấn đề phương sai của sai số thay đổi, nếu có. 2 Từ hàm hồi quy này, tính phần dư ei, sau đó, bình phương chúng và lấy log chúng: lnei 2. 3) Chạy hàm hồi quy (*), sử dụng biến giải thích của hàm hồi quy ban đầu. Nếu có nhiều biến giải thích, chúng ta sẽ chạy hồi quy cho từng biến giải thích đó. Hay cách khác, chúng ta có thể chạy hồi quy mô hình với biến giải thích là , ước lượng của Y. iYˆ  iY 5/13/2015 3:39 PM 13 2. Kiểm định Park 4) Kiểm định giả thuyết H0: B2 = 0, nghĩa là, không có phương sai của sai số thay đổi. Nếu giả thuyết H0 bị bác bỏ, mối quan hệ giữa lnei 2 và lnX có ý nghĩa thống kê, có phương sai của sai số thay đổi. 5) Nếu giả thuyết H0 được chấp nhận, B1 trong mô hình (*) có thể được xem là giá trị chung của phương sai của sai số không đổi, 2. 5/13/2015 3:39 PM 14 3. Kiểm định Glejser Tương tự như kiểm định Park: Sau khi thu thập được phần dư từ mô hình hồi quy gốc, Glejser đề nghị chạy hồi quy giá trị tuyệt đối của ei, | ei |, theo biến X nào mà có quan hệ chặt chẽ với i 2. Glejser đề xuất một số dạng hàm hồi quy sau: |ei| = B1 + B2Xi + vi iii vXBBe ++= 21 i i i vX BBe + 1 += 21 5/13/2015 3:39 PM 15 3. Kiểm định Glejser Giả thuyết H0 trong mỗi hàm số trên là phương sai của sai số không đổi, nghĩa là, H0: B2 = 0. Nếu giả thuyết này bị bác bỏ thì có thể có hiện tượng phương sai sai số không đồng đều. i i i v X BBe + 1 += 21 iii vXBBe ++= 21 iii vXBBe ++= 2 21 5/13/2015 3:39 PM 16 3. Kiểm định Glejser Goldfeld và Quandt đã chỉ ra rằng sai số vi trong các mô hình hồi quy của Glejser có một số vấn đề, như giá trị kỳ vọng của nó khác không, nó có tương quan chuỗi. 4 mô hình đầu cho kết quả tốt khi sử dụng OLS 2 mô hình sau (phi tuyến tính tham số) không sử dụng OLS được Do vậy, kiểm định Glejser có thể được dùng để chẩn đoán đối với những mẫu lớn. 5/13/2015 3:39 PM 17 4. Kiểm định tƣơng quan hạng của Spearman Hệ số tương quan hạng của Spearman, rS, được xác định như sau: Trong đó di là hiệu của các hạng được gán cho 2 đặc trưng khác nhau của cùng một phần tử thứ i và n là số các phần tử được xếp hạng.            )n(n d r i S 1 61 2 2 5/13/2015 3:39 PM 18 4. Kiểm định tƣơng quan hạng của Spearman Xét mô hình hồi quy sau: Yi = 1 + 2Xi + ui Các bước thực hiện kiểm định tương quan hạng như sau: 1. Ước lượng mô hình hồi quy trên dựa trên bộ mẫu cho trước, thu thập phần dư ei. 2. Xếp hạng | ei| và Xi theo thứ tự tăng dần hay giảm dần, tính d = hạng | ei| - hạng Xi, sau đó tính hệ số tương quan hạng Spearman. 5/13/2015 3:39 PM 19 4. Kiểm định tƣơng quan hạng của Spearman 3. Giả sử hệ số tương quan hạng của tổng thể là  = 0 và n > 8 thì ý nghĩa của hệ số tương quan hạng mẫu rS có thể được kiểm định bằng tiêu chuẩn t sau: 2 S S r1 2nr t    Nếu giá trị t tính được lớn hơn giá trị tra bảng t với mức ý nghĩa đã cho thì chúng ta có thể chấp nhận giả thuyết phương sai sai số thay đổi; ngược lại chúng ta bác bỏ giả thuyết này. với bậc tự do df = n – 2. 5/13/2015 3:39 PM 20 5. Kiểm định Goldfeld - Quandt Xét mô hình hồi quy sau: Yi = 1 + 2Xi + ui Giả sử i 2 có quan hệ dương với biến X theo cách sau: i 2 = 2Xi 2 trong đó 2 là hằng số. Các bước thực hiện kiểm định Goldfeld - Quandt như sau: 1. Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của biến X. 2. Bỏ qua quan sát ở giữa theo cách sau: 5/13/2015 3:39 PM 21 5. Kiểm định Goldfeld - Quandt 2. Bỏ qua quan sát ở giữa theo cách sau: Đối với mô hình 2 biến: c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30; c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60. và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có (n – c)/2 quan sát. 5/13/2015 3:39 PM 22 5. Kiểm định Goldfeld - Quandt 3. Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất để ước lượng tham số của các hàm hồi quy đối với (n – c)/2 quan sát đầu và cuối; Thu thập tổng bình phương của các phần dư RSS1 và RSS2 tương ứng. Trong đó RSS1 đại diện cho RSS từ hồi quy ứng với các giá trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 ứng với các giá trị Xi lớn hơn. Bậc tự do tương ứng là hoặc (n – c – 2k)/2. Trong đó, k là các tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn (trường hợp 2 biến: k = 2). k 2 cn   5/13/2015 3:39 PM 23 5. Kiểm định Goldfeld - Quandt 4. Tính tỷ số Nếu ui theo phân phối chuẩn và nếu giả định về phương sai có điều kiện không đổi được thỏa mãn thì  tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là dfRSS dfRSS λ / / = 1 2 2 2kcn  Nếu  tính được lớn hơn giá trị tra bảng F ở mức ý nghĩa mong muốn, thì chúng ta có thể bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là chúng ta có thể nói phương sai của sai số thay đổi. --------------------------------- 5/13/2015 3:39 PM 24 6. Kiểm định White Xét mô hình : Yi = 1+ 2X2i + 3X3i +Ui Bước 1 : Ước lượng mô hình gốc, thu Bước 2 : Hồi quy mô hình phụ sau, thu hệ số xác định của hồi quy phụ: Bước 3 : Kiểm định H0 : Phương sai sai số không đổi. Nếu nR2 không lớn hơn giá trị tra bảng 2(df), chúng ta chấp nhận giả thuyết H0. Ngược lại, chúng ta bác bỏ H0 và như vậy, có hiện tượng phương sai sai số thay đổi. ii3i2 2 i3 2 i2i3i2 2 i VXXXXXXe  654321 αααααα 5/13/2015 3:39 PM 25 3.4. Biện pháp khắc phục phƣơng sai sai số thay đổi Trƣờng hợp đã biết i 2  Dùng PP bình phƣơng tối thiểu có trọng số (WLS) Trƣờng hợp chƣa biết i 2 Phƣơng sai sai số tỷ lệ với biến giải thích: 5/13/2015 3:39 PM 26 Trƣờng hợp chƣa biết i 2 Phƣơng sai sai số tỷ lệ với biến giải thích  Biến đổi mô hình gốc PSSS tỷ lệ với bình phƣơng của biến giải thích 5/13/2015 3:39 PM 27 Trƣờng hợp chƣa biết i 2 PSSS tỷ lệ với bình phƣơng của biến giải thích Trong trƣờng hợp này, sự chuyển đổi phù hợp của mô hình là chia hai vế của mô hình cho Xi, mà không cho căn bậc hai của Xi. 5/13/2015 3:39 PM 28 Trƣờng hợp chƣa biết i 2 Phƣơng sai của sai số tỷ lệ với bình phƣơng của giá trị kỳ vọng của Y:  Biến đổi mô hình gốc 5/13/2015 3:39 PM 29 Trƣờng hợp chƣa biết i 2 Định lại dạng mô hình