Bài giảng Chương 1: Mô hình toán kinh tế

Chương 1: Mô hình toán kinh tế 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế 2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế 3. Phân tích mô hình toán kinh tế 4. Áp dụng đối với một số mô hình kinh tế phổ biến (Tài liệu tham khảo: Mô hình toán kinh tế; ĐHKTQD Hà nội-Nguyễn Quang Dong) B2 1 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh khách quan về đối tượng đó, bằng ngôn ngữ nói, viết, hình vẽ, hoặc ngôn ngữ chuyên ngành. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực kinh tế, gọi là mô hình kinh tế. Mô hình toán kinh tế, là mô hình kinh tế, được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. 2 TD1: Nghiên cứu quá trình hình thành giá của loại hàng hóa A trên thị trường. Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hóa A, nơi có người bán, người mua gặp nhau. Với mức giá p, lượng hàng người bán muốn bán gọi là lượng hàng cung S, lượng hàng người mua muốn mua gọi là lượng hàng cầu D. Khi cung lớn hơn cầu thì giá sẽ có xu hướng giảm, Khi cầu lớn hơn cung thì giá sẽ có xu hướng tăng. Quá trình tiếp diễn như vậy, cho đến khi cung băng cầu, sẽ hình thành mức giá , gọi là mức giá cân bằng. p 3 Mô hình bằng hình bằng hình vẽ Trong hệ trục tọa độ vuông góc p0q, ta vẽ đường cầu D, đường cung S, điểm hai đường cong gặp nhau là điểm cân bằng Q D S q0 o pp 4 Mô hình toán kinh tế: Với mỗi mức giá p, khối lương hàng cung là S=S(p); khối lượng hàng cầu D=D(p). Do người bán sẵn sàng bán giá cao hơn nên S’(p)>0, do người mua muốn mua giá thấp hơn nên D’(p)<0 Tình huống cân bằng thị trường sẽ có khi S=D Ta có mô hình toán kinh tế cân bằng thị trường loại hàng hóa A (MHIA): S=S(p) S’(p)>0 D=D(p) D’(p)<0 D(p)=S(p) 5 Khi muốn đề cập đến thu nhập M, và mức thuế T vào quá trình hình thành giá ta có mô hình toán kinh tế (MHIB): S=S(p,M,T) S’p= dS/dp >0 D=(p,M,T) D’p= dD/dp<0 S(p,M,T)=D(p,M,T) 6 2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế 2.1. Các biến số, tham số trong mô hình 2.2. Mối liên hệ giữa các biến số trong mô hình 7 2.1. Các biến số của mô hình Mỗi yếu tố kinh tế được lượng hóa bằng một đại lượng x,y,z.. gọi là một biến số. Biến nội sinh (biến được giải thích). Là các biến thể hiện các hiện tượng kinh tế, mà giá trị của chúng phụ thuộc vào các biến khác trong mô hình. Biến ngoại sinh (biến giải thích). Là các biến độc lập với các biến khác, và giá trị của chúng được xem là tồn tại ngoài mô hình. 8 Thí dụ: Một doanh nghiệp muốn sản xuất một khối lượng hàng hóa loại A là Q, thì cần có n yếu tố đầu vào x1,x2,..,xn. Các yếu tố kinh tế này liên hệ với nhau bởi quan hệ hàm Q = f(x1,x2,..,xn,α,β). Khi đó ta có mô hình hàm sản xuất của doanh nghiệp: Q = f(x1,x2,..,xn,α,β) xi  o i Trong mô hình này Q là biến nội sinh, xi là biến ngoại sinh α, β là các tham số Trong mô hình MHIB của loại hàng hóa A, nếu S = αpβTγ Khi đó các biến S,D,p là các biến nội sinh; T,M là biến ngoại sinh; α, β, γ là các tham số. 9 2.2. Mối liên hệ giữa các biến Để mô tả các mối quan hệ kinh tế, các quy luật kinh tế trong các mô hình toán kinh tế người ta thường dùng các phương trình hoặc bất phương trình. Phương trình định nghĩa thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến. Phương trình hành vi mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật kinh tế, hoặc do giả thiết. Phương trình điều kiện mô tả quan hệ giữa các biến trong tình huống có điều kiện. 10 Thí dụ: PT định nghĩa:  = TR-TC (lợi nhuận=doanh thu- chi phí); NX=EX-IM (Xuất khẩu ròng=xuất khẩu- nhập khẩu) PT hành vi: Trong mô hình MHIA: S = S(p); D=D(p); S=D Phương trình điều kiên: Trong mô hình hàm sản xuất bất phương trình xi0 là bất phương trình điều kiện. 11 3. Phân tích mô hình toán kinh tế 3.1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh 3.2. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) 3.3. Hệ số thay đổi (bổ sung, chuyển đổi) 12 3.1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh a) Sự thay đổi tuyệt đối Xét quan hệ kinh tế y = f(x1,x2,..xn) tại x=(x1,x2,..,xn). Cho xi thay đổi một lượng nhỏ xi, khi đó y thay đổi một lượng tương ứng là: y = f(x1,x2,..,xi+xi,..,xn) - f(x1,x2,..,xn). Lượng thay đổi trung bình của y theo xi là: Nếu f khả vi theo biến xi ta gọi xu hướng thay đổi của biến nội sinh y theo biến ngoại sinh xi tại x, là biên tế của y theo xi, kí hiệu My(xi) ix i y x     )x( x f)x(My i i i    13 Nếu tất cả các biến ngoại sinh xi đều thay đổi một lượng nhỏ xi thì độ thay đổi của y là: Nếu xi là biến nội sinh phụ thộc vào một biến khác, thì ta sử dụng công thức tính vi phân của hàm hợp. TD: Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có mô hình chi phí sản xuât của doanh nghiệp là: C(Q) = Q3-61.25Q2+1528.5Q+2000 Chi phí biên tế của theo Q (chi phí cận biên), kí hiệu MC(Q) = 3Q2-122,5Q+1528.5 n i i 1 i fy dy dx x      14 b) Sự thay đổi tương đối Ta gọi hệ số co giãn của biến y theo biến xi tại điểm x là: Hệ số này cho biết tại x khi xi thay đổi 1% thì y thay đổi %. Nếu >0 thì xi và y biến thiên cùng chiều Nếu <0 thì xi và y biến thiên ngược chiều Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi cùng một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung. i y i x i xy x y      i y x y xi i n y y x x i 1    15 y xi Nếu gọi Mfi = là hàm cận biên của y theo xi; Afi=y/xi là hàm trung bình của y theo xi. khi đó ta có: yxi = Mfi/Afi Nếu y=u(x)v(x)  yx=ux+ vx y=u/v  yx=ux-vx TD: Khi mô hình sản xuất có dạng Q = aKαLβ, với α>0 β>0, Q là mức sản lượng, K là vốn, L là khối lượng lao động.  = β; = α; q = α+β q L 16 3.2. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Khi trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian t, giả sử y = f(x1,x2,..,xn,t), khi đó ta dùng hệ số tăng trưởng để đo sự thay đổi của biến nội sinh theo thời gian t. Hệ số tăng trưởng của y là , thường ry được theo theo tỷ lệ % TD: Theo công thức tính lã gộp liên tục tại thời điểm ta có: vt=v0ert có hệ số tăng trưởng rv=r Nếu lãi suất tính theo từng kỳ thì vt=v0(1+r)t có hệ số tăng trưởng rv=ln(1+r)r y y / tr y    17 Cho: u = g(t); v = h(t) Nếu y = uv  ry = ru + rv Nếu y = u/v  ry = ru – rv Nếu y = u + v  ry = Nếu y = u - v  ry = Cho: y = f[x1(t),x2(t),..,xn(t)]  ry = u v u vr r u v u v    u v u vr r u v u v    i i n y x x i 1 r   18 3.3. Hệ số bổ sung, chuyển đổi Cho y = f(x1,x2,..,xn), nếu cho 2 biến ngoại sinh xi, xj thay đổi và cố định các biến khác sao cho y không đổi. Từ biểu thức vi phân của hàm y   Hệ số này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì phải gia giảm xi bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi. n i i 1 i ydy dx x    i ji j y y0 dx dx x x       ji j i f / xdx dx f / x       19 Nếu dxi/dxj<0 thì ta nói xi có thể thay thế được cho xj với tỷ lệ |dxi/dxj|, tỷ lệ này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì xi sẽ gia giảm bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi, và gọi hệ số thay thế cận biên của xi cho xj. Nếu dxi/dxj>0 thì ta nói xi xj có thể bổ sung được cho nhau với tỷ lệ dxi/dxj, và gọi là hệ số bổ sung cận biên của xi cho xj Nếu dxi/dxj=0 thì ta nói xi, xj không thay thế được cho nhau hoặc không bổ sung được cho nhau. 20 4. Áp dụng phân tích một số mô hình 4.1. Mô hình tối ưu 4.2. Mô hình cân bằng thị trường 4.3. Mô hình kinh tế động 21 4.1. Mô hình tối ưu 4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kỹ thuật 4.1.2. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế 4.1.3. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp 4.1.4. Mô hình thỏa dụng 22 4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về công nghệ Giả sử với công nghệ hiên có, doanh nghiệp có thể sử dụng n yếu tố đầu vào ở mức x1,x2,..,xn, và thu được Q đơn vị sản phẩm đầu ra. Ta có quan hệ hàm Q=f(x1,x2,..,xn), và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. TD1: Với số liệu Việt Nam năm 1986-1995, người ta ước lượng được hàm sản xuất: Q = 75114K0.175 L0.904 e0.0124t Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, t là biến thời gian 23 TD2: Với số liệu nước Áo năm 1951-1955 trong nông nghiệp người ta ước lượng được hàm sản xuất là: Q = 2.439X0.0635 K0.6172 L0.3193 Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, X là nguồn tài nguyên được khai thác TD3: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas là: Q = aKα Lβ a,α,β là các tham số, Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động 24 Phân tích tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng Q, trong mô hình Q=f(x1,x2,..xn) a) Xét quá trình sản xuất ngắn hạn. Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một yếu tố i, còn các yếu tố khác không thay đổi, thì việc sử dụng yếu tố thứ i ở mức có lợi nhất nếu năng suất trung bình đạt cực đại, ta có mô hình: z = f(x)/xiMax Điều kiện cần để có cực đại, khi x là nghiệm của phương trình: f(x)/xi = f/xi (1) Trong nhiều trường hợp điều kiện này cũng là điều kiện đủ. 25 b) Xét quá trình sản xuất dài hạn. Giả sử doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố đầu vào, theo cùng một tỷ lệ. Nếu f(x)>f(x) với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng có hiệu quả Nếu f(x)1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không hiệu quả Nếu f(x)= f(x) với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không thay đổi hiệu quả Để đo tính hiệu quả theo quy mô, ta dùng hệ số co giãn toàn phần của q theo các yếu tố. n Q Q xi i 1    26 TD: Xét hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=aKαLβ Khi tăng quy mô sản xuất lên >1 lần ta có: Q(K, L)= α+βQ, do vậy kết quả sản xuất tăng α+β lần. Như vậy đối với hàm này, hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất tùy thuộc vào α+β Ta cũng có thể đo tính hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất, của mô hình này qua hệ số co giãn toàn phần. Q = QK + QL = α+β, do vậy khi tăng K,L thêm cùng một tỷ lệ 1% thì Q sẽ gia giảm (α+β)% 27 4.1.2. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế Giả sử Q = f(x1,x2,..xn) là hàm sản xuất của doanh nghiệp, và giá các yếu tố đầu vào là p1, p2, .., pn a) Tình huống cực tiểu chi phí: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất, như vậy có ràng buộc f(x) = Q. Đồng thời doanh nghiệp phải chi phí một khoản: Ta có mô hình MHIC: Min{z = } Với điều kiện: f(x) = Q 28 n i i i=1 Z p x n i i i 1 p x   b) Tình huống cực đại sản lượng: Gọi K là kinh phí dự kiến đầu tư mua các yếu tố đầu vào, với mức x yếu tố đầu vào để sản xuất được Q xản lượng. Ta có mô hinh MHID: Max{Q=f(x)} Với điều kiện: =K 29 n i i i=1 p x Phân tích mô hình MHIC Lập hàm phụ Lagrange L = + [Q-f(x)] Điều kiên cần để x là điểm cực trị  Vế trái của (2) là tỷ giá của hai yếu tố i,j; vế phải là hệ số thay thế giữa hai yếu tố này. Vậy điều kiện cần của việc sử dụng tối ưu các yếu tố vốn ở mức: “tỷ lệ thay thế bằng tỷ lệ giá của chúng”. n i i i=1 p x i L 0 x L 0      i i j j p f / x i, j (2) p f / x Q f (x) (3)         30 Gọi TC là tổng chi phí tối ưu để sản xuất được lượng sản phẩm q, vậy TC=TC(Q,p1,p2,..,pn) là hàm tổng chi phí của doanh nghiệp. Với mô hình MHIC người ta tính được: MC(Q) = *; MC(pi) = x*i (4) 31 TD: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 25K0.5L0.5; biết giá vốn pK=12, pL=3 a- Tính mức sử dụng K, L tối ưu để sản xuất được mức sản lượng Q* = 1250 b- Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q* c- Nếu giá vốn và giá lao động tăng đều 10%, mức sản lượng như trước, thì mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào? d- Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí. Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán: Min{z=12K+3L} với điều kiện 25K0.5L0.5 = 1250 32 a- Giải hệ phương trình (2)(3):  K*=25; L*=100; *=12/25 b- Hệ số co giãn của TC theo Q tại Q*=1250 là: Từ câu a-  TC(Q*) = 25*12+100*3=600  AC(Q*) = 600/1250 = 0.48 Theo (4) ta có MC(Q*) = * = 12/25  c- Vì giá của K,L tăng cùng tỷ lệ, mức sản lượng không đổi, do đó hệ (2)(3) không đổi, nên K*, L* không đổi d- Vì MCpK = K* = 25>0; MCpL = L*=100>0 nên khi giá vốn và lao động tăng, thì tổng chi phí cũng tăng theo. K L K L 0.5 0.5 MQ / MQ p / p 25K L 1250    TC q MC(Q*) AC(Q*)   TC q 1  33 4.1.3. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp R(Q) là hàm tổng doanh thu của doanh nghiệp. C(Q) là hàm tổng chi phí  (Q)=R(Q)-C(Q) Mô hình tối đa lợi nhuận: Max{(Q) = R(Q)-C(Q)} Điều kiện cần là: MR(Q)=MC(Q) Khi sản phẩm của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo thì p là biến ngoại sinh, nên ta có R(Q)=pQ  MR(Q)=MC(Q)=p; MR(p)=Q (5) Hàm p=MC(Q) thể hiện mức cung của doanh nghiệp và giá bán trên thị trường. 34 Khi sản phẩm độc quyền, doanh nghiệp toàn quyền quy định giá bán, do đó mức cung tối đa hóa lợi nhuận và mức cầu thị trường, bằng mức cung của doanh nghiệp. Suy ra giá bán sản phẩm phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp. p=p(Q)  Q=Q(p) Khi đó Q=Q(p) gọi là hàm cầu xuôi p=p(Q) gọi là hàm cầu ngược Với doanh nghiệp độc quyền, hàm cầu thường được viết dạng hàm cầu ngược. Nên ta có: R=p(Q)Q  MR(Q)=p(Q)+QMp(Q) Do vậy điều kiện cần để có lợi nhuận cực đại là: p(Q)+QMp(Q) = MC(Q) (6) 35 TD: Một doanh nghiệp có hàm doanh thu TR = 58Q-0.5Q2 Hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 - 8.5Q2 + 97Q + FC trong đó Q là sản lượng, FC là chi phí cố định a) Với FC=4 hãy xác định mức sản lượng tối đa lợi nhuận b) Phân tích tác động của chi phí cố định tới mức sản lượng tối đa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa Giải: a) Điều kiện cần để có max là: 58-Q=Q2-17Q+97  Q=3, Q=13; Kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta có Q*=13 b) d/dFC = -1<0  FC tác động ngược với mức lợi nhuận tối đa. 36 TD: Một doanh cạnh tranh hoàn hảo, có hàm chi phí biên MC = 2Q2-12Q+25, chi phí cố định FC, giá bán mỗi sản phẩm là p. a) Xác định hàm tổng chi phí TC với mức FC=20. khi p=39 hãy xác định mức sản lượng Q* để có lợi nhuận tối ưu. b) Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào? Giải: a) = 2/3Q3-6Q2+25Q+20 Khi p=39 39=2Q2-12Q+25 Q*=7  *=143.3 b) Từ p = 2Q2-12Q+25   Do /p = Q*=7  Như vậy nếu p tăng 1% thì sản lượng Q tăng 3.48% và mức lợi nhuận tăng 1.9% TC MCdq FC  dQ 1 dp 4Q 12   Q p 3.48  p 1.9   37 Chú ý: Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=f(K,L), pK pL là giá vốn và lao động, p là giá bán của sản phẩm. Xác định mức sử dụng vốn và lao động đạt lợi nhuận cao nhất. Với sản phẩm cạnh tranh hoàn hảo có mô hình.  = pf(K,L)–pKK–pLL Max Với sản phẩm độc quyền có mô hình  = p(f(K,L)).f(K,L) – pKK – pLL Max Người ta chứng minh được: Với cả 2 loại sản phẩm: Với sản phẩm cạnh tranh hoàn hảo: 38 K L * *K*; L* (7) p p         * Q* (8) p    Bài tập1: Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC = Q3-Q2+1, Q1 a- Với giá thị trường là p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty b- Phân tích tác động của p tới mức cung tối đa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa của công ty HD: a- p = 3Q2-2Q b- Tính dQ/dp>0; d/dp=Q*>0  kết luận 39 Bài tập 2: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược p = 490-2Q, và hàm tổng chi phí TC=0.5Q2AD0.5 trong đó q là sản lượng, AD là phí quảng cáo a- Với AD=9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu b- Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng, và giá bán tối ưu HD: a- Q*=70, p*=350 b- Tính dQ/dAD0 suy ra KL 40 Bài tập 3: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q= K0.5+K0.5, với pK=6, pL=4, p=2 a- Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu b- Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa HD: a- K*=1/36; L*=1/16 b- d/dpK=-1/36<0; d/dpL=-1/16<0  KL 41 4.1.4. Mô hình thỏa dụng Giả sử hộ gia đình mua và tiêu thụ n loại hàng hóa với khối lượng là x1,x2,..,xn, ta gọi vectơ x=(x1,x2,..,xn) là một giỏ hàng, nhằm thỏa mãn về tâm lý, sinh lý thể chất và tinh thần... Sự thỏa mãn này được thể hiện qua hàm thỏa dụng U = f(x,α,β) trong đó α,β là các tham số. Nếu hộ gia đình có một ngân sách là M, được dùng để mua giỏ hàng nói trên. ta gọi pi là giá một đơn vị hàng loại i, với mọi i=1,2,..n Mô hinh thỏa dụng như sau: 42 Điều kiện: Tương tự như MHIC ta có điều kiện cần của nghiệm tối ưu là: Nếu cố định sở thích, thì nghiệm tối ưu x* thỏa phương trình: x*i = x*i(p1,p2,..,pn,M) với mọi i=1,2..n là hàm cầu của loại hàng thứ i, và gọi là hàm cầu Marshall 43  1 2, n n i i i=1 Max Z=U(x ,x ..,x ) M p x i i j j p U / x i j p U / x       TD: Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu thụ loại hàng hóa A, B có dạng: U = 40xA0.25xB0.5 với giá hàng pA=4, pB=10 a- Loại hàng A thay được hàng B hay không? nếu thay được thì thay theo tỷ lệ nào? b- Xác định mức cầu loại hàng A,B của hộ gia đình với M=600 Giải: a- MUB/MUA= xB/2xA>0 do đó hai loại hàng hóa này luôn thay thế được cho nhau, và thay thế theo tỷ lệ 1A cần cần xB/2xA đơn vị hàng loại B b- xB/2xA = 10/4 và 4xA+10xB=600 Suy ra x*A = 50; x*B = 40  Mức cầu DA=50; DB=40 44 4.2. Mô hình cân bằng thị trường 4.2.1. Mô hình cân bằng riêng 4.2.2. Mô hình cân bằng vĩ mô 45 4.2.1. Mô hình cân bằng riêng Thị trường gồm các tác nhân tham gia vào lực lượng cung, cầu liên hệ với nhau bởi giá trong quá trình trao đổi. Giả sử hàm cung S=S(p,a,b), hàm cung D=D(p,α,β) Ta có mô hình cân bằng thị trường riêng: S = S(p,a,b); S/p>0 D = D(p,α,β); D/p<0 S = D Với S, D, p là biến nội sinh a,b,α,β là các biến ngoại sinh. 46 TD: Giả sử hàm cung, hàn cầu có dạng: S = -a + bp; a,b>0 D = α – βp; α,β>0 Ý nghĩa của các hệ số a,b,α,β: Cho S=0 (không có cung)  p=a/b, vậy a/b là mức giá tối thiểu mà người sản xuất có thể chấp nhận. Cho D=0 (không có cầu)  p=α/β, vậy α/β là mức giá tối đa người tiêu dùng chấp nhận Giá cân bằng: ,lượng hàng cân bằng: 47 ap b     b aq b     Bài tập 4: Hàm cầu của một loại hàng D=1.5M0.3p-0.2 và hàm cung S = 1.4p0.3, M là thu nhập, p là giá a- Tính hệ số co giãn của hàm cầu theo p, theo M b- Xem xét tác động của thu nhập M tới giá p HD: a- Hàm cầu có dạng Cobb-Douglas suy ra Dp=-0.2; DM=0.3 b- Tính p/M>0 (theo công thức đạo hàm của hàm ẩn từ phương trình S = D). Suy ra thu nhập tăng thì giá cân bằng tăng và ngược lại. 48 4.2.2. Mô cân bằng vĩ mô Tổng cung: Xét thị trường hàng hóa dịch vụ, nên tổng cung của nền kinh tế được coi là ngoại sinh và ký hiệu là Y, được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hoặc tổng thu nhập quốc dân (GNP) Tổng cầu bao gồm: C- Nhu cầu tiêu dùng của dân cư I- Nhu cầu đầu tư của dân cư G- Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ EX- Nhu cầu cho xuất khẩu Phương trình hành vi mô tả quan hệ giữa các biến: 49 +Tiêu dùng dân cư C=C0+β(Y-T); trong đó T là thuế, Y-T là thu nhập khả dụng, 0<β<1 là khuynh hướng tiêu dùng biên, C0 phần chi tiêu tự định không phụ thuộc vào thu nhập. + Đầu tư của dân cư: I = I0-αr với α>0; r là lãi suất + Tổng cầu trong nước: C+I+G+EX-IM + Thuế bằng thuế thu nhập cộng với các loại thuế khác: T=+Y Mô hình cân bằng vĩ mô Y= C+I+G+EX-IM C=C0+β(Y-T) C0>0; 0<β<1 I = I0-αr α>0 T=+Y >0; 0<<1 50 Trong đó Y,C,I,T là các biến nội sinh, các biến còn lại là ngoại sinh. Giải hệ phương trình trên với các ẩn là các biến nội sinh ta được: Phân tích mô hinh: để nghiên cứu tác động của chính sách tài khóa, đối với mức sản xuất Y ta cần tính: 51 0 0C I r G EX-IMY 1- +          Y 1 1 ( * ) G 1 Y 0 ( * * ) 1 Y Y 0 ( * * * ) 1                                  Từ (*) suy ra: Nếu chính phủ tăng tiêu dùng, thì tổng cầu tăng, tức là có kích cầu, và mức tăng của tổng cầu sẽ lớn hơn mức tăng của chi tiêu. Ta gọi là nhân tử gia tăng chi tiêu của chính phủ. Từ (**) (***) suy ra: Nếu chính phủ tăng thuế thì tổng cầu sẽ giảm. Tùy thuộc vào tình huống cụ thể, mô hình cân bằng vĩ mô có thể đơn giản bớt, chẳng hạn biến đầu tư I và thuế T có thể coi là biến ngoại sinh, nhưng xuất nhập khẩu có thể coi là biến nội sinh. Ta xét thí dụ sau: 52 Y / G  TD: Các chỉ tiêu vĩ mô của nền kinh tế liên hệ bởi mô hình: Y = C+I+G+EX-IM YD = (1-t)Y 0<t<1 C = βYD 0<β<1 IM = YD 0<<1 Trong đó Y là thu nhập quốc dân, YD là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng dân cư, I là đầu tư, G là tiêu dùng chính phủ, EX là xuất khẩu, IM nhập khẩu, t là thuế suất thu nhập. Giải mô hình trên ta có: 53 I G EXY (*) 1 (1 t) (1 t)        Y 1 (**) G 1 (1 t) (1 t)        Y 1 (***) EX 1 (1 t) (1 t)        Cụ thể: Với G=400tỷ, I=250tỷ, EX=250tỷ, β=0.8, =0.2, t=0.1 a- Xác định thu nhập ngân sách, và tình trạng ngân sách nhà nước. b- Với các chỉ tiêu ở trên, khi giảm xuất khẩu 10%, thì chính phủ có thể tăng chi tiêu lên bao nhiêu % để không ảnh hưởng đến thu nhập. Giải: a- Thay các chỉ tiêu cụ thể vào (*) Thu ngân sách từ thuế bằng ,chi ngân sách G = 400t, suy ra thặng dư ngân sách 500tỷ b- Từ (**), (***)  ,do vậy khi giảm xuất khẩu 10% thì thu nhập giảm và khi tăng chi tiêu 10% thì thu nhập tăng  thu nhập tăng. 54 Y 900t tY 900t Y Y G EX   Y EX(10 )% Y G(10 )% 4.3. Mô hình kinh tế động Trong các mô đã nghiên cứu, chúng ta mới chỉ xét các hạt động kinh tế diễn ra tại cùng một thời điểm, yếu tố thời gian không có vai trò gì, nên các mô hình này gọi là mô hình tĩnh. Trong thực tế hoạt động kinh tế diễn biến theo thời gian, do đó có mối liên hệ giữa: quá khứ - hiện tại - tương lai, như vậy yếu tố thời gian sẽ xuất hiện trong mô hình. Các mô hình toán kinh tế có chứa biến thời gian, gọi là mô hình kinh tế động. 55 4.3.1. Mô hình cân bằng giá dạng tuyến tính Giả sử trên thị trường giá một loại hàng tác động đến cung - cầu như sau: Mô hình a: QD=a-bp a,b>0 QS=-c+dp c,d>0 QD=qS Mô hình b: (Mô hình Cobweb) QDt+1=a-bpt+1 a,b>0 QSt+1=-c+dpt c,d>0 QDt+1=QSt+1 56 57 Phân tích mô hình Mô hình a:  Giá cân bằng + Nếu tại t=0 ta có thì giá cân bằng ở mọi thời điểm. + Nếu tại t=0  |QD-QS|>0, và giả sử chênh lệch cung-cầu tại t quyết định sự thay đổi giá p, và quan hệ này có dạng: Phương tình vi phân này, có nghiệm với điều kiện ban đầu p0 là: Cho t ta thấy pt dần tới a cP b d    0p p 0p p D S dp dpk(Q -Q ) k(b d)p k(a c) dt dt       k(b d)t t 0p (p p)e p     p Hình a: có cân bằng giá Hình b: không có cân bằng giá Mô hình b:  đây là phương trình sai phân, phương trình này có nghiệm:  Cho t; Nếu d<b thì pt dần đến giá cân bằng. Nếu d>b thì pt  (không có giá cân bằng) 58 t 1 t d a cp p b b    t t 0 a c d a cp p b c b b d             4.3.2. Mô hình tăng trưởng Domar Giả thiết: Năng lực sản xuất tại thời điểm t chỉ phụ thuộc tuyến tính vào lượng vốn, không tính tới lao động cũng như cũng như công nghệ, ký hiệu Q(t) là năng lực sản xuất, K(t) là năng lực vốn, và Q(t)=K(t) với tham số >0 tại thời điểm t. Gọi Y(t) là tổng cầu, I(t) là đầu tư của kỳ t, khi đó ta có: Với tham số 0<s<1 gọi là khuynh hướng tiết kiệm biên. Điều kiện cân bằng: Q(t) = Y(t) “Năng lực sản xuất của nền kinh tế = Tổng cầu”. 59 dK 1I(t); Y(t) I(t) dt s   Mô hình tăng trưởng Domar: Với Y, q, K, I là các biến nội sinh, t là biến ngoại sinh. Gọi  = 1/ là hệ số gia tăng vốn-sản lượng (hệ số ICOR).  là số vốn cần thiết để gia tăng một đơn vị sản lượng đầu ra. 60 dK I(t) dt 1Y(t) I(t) s q(t) K(t) q(t) Y(t)      Phân tích mô hình: Từ mô hình Domar ta   Giải phương trình vi phân với điều kiện I0=I(0).  I(t) = I0est. Thay vào các phương trình khác trong mô hình ta có: Y(t) = Y0est; K(t) = K0est; q(t) = Q0est Từ các kết quả trên ta có các nhận xét như sau: 61 dK I(t) dt dY 1 dI dt s dt dQ dK dt dt dQ dY dt dt      dI sI(t) 0 dt   Nhịp tăng trưởng của Y,K,I,Q đều bằng s= s/, sự tăng trưởng này của nền kinh tế là tăng trưởng cân đối. Giả sử khi đầu tư tăng với nhịp độ r  s/ I(t)=I0ert; dI/dt =rI0ert; dY/dt = r/sI0ert; dq/dt = I0ert Xét dY/dt:dq/dt = r/s, từ đó suy ra kết luận sau: + Nếu đầu tư tăng nhanh hơn mức cần thiết (r>s) thì dY/dt:dQ/dt >1, do đó tác động của đầu tư tới năng lực sản xuất yếu hơn tới tổng cầu, nền kinh tế rơi vào tình trạng năng lực sản xuất không đáp ứng được nhu cầu, nghĩa là thiếu hụt năng lực sản xuất. + Nếu đầu tư tăng chậm hơn mức cần thiết (r<s) thì nền kinh tế ở trong tình trạng thừa năng lực sản xuất, đây là một nghịch lý gây ra nhiều tranh luận??? 62 Mô hình được sử dụng trng thực tế là mô hình rạc theo thời gian như sau: Ngiệm của mô hình: Nhịp tăng trưởng của các chỉ tiêu đều bằng s/(v-s) 63 K(t) K(t 1) I(t) 1Y(t) I(t) s q(t) K(t) q(t) I(t)             sY(t) 1 Y(t 1) v s sK(t) 1 K(t 1) v s sI(t) 1 I(t 1) v s                         Bài tập: 1) Cho mô hình thị trường: QD=QS QD=D(p,Y0); D/p0 QS=S(p) ; S/p>0 Trong đó QS, QD là mức cầu và mức cung, Y0 là thu nhập. a) Giải thích mô hình và các điều kiện b) Giả định tồn tại giá cân bằng p*, khi Y0 tăng thì giă cân bằng sẽ biến động như thế nào? Giải thích ý nghĩa kinh tế. 64 c) Gọi Q* là lượng cung-cầu ở trạng thái cân bằng, và cho biết khi Y0 tăng thì lượng cân bằng thay đổi như thế nào? Viết biểu thức mô tả sự thay đổi đó. 2) cho mô hình cung-cầu: QD= 10+0.1Y0-0.2p QS=-14+0.6p a) Tìm biểu thức tính giá cân bằng. Nếu điều kiện cân bằng là: a1: QS=QD ; a2: QD=0.9QS b) Tính hệ số co giãn của giá cân bằng theo Y0 khi Y0=80; Giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả. 3) Giả sử dân số tăng theo mô hình: Pt=P02bt và tiêu dùng dân cư tăng theo mô hình: Ct=C0eat a) Tính hệ số tăng trưởng của dân số và tiêu dung. 65 b) Với điều kiện nào thì hệ số tăng trưởng của tiêu dùng cao hơn, hệ số tăng trưởng của dân cư. Nêu ý nghĩa của quan hệ đó c) Giả thiết lao động được sử dụng tỷ lệ với dân số và có dạng: Lt=kpt ; sản lượng Yt là một hàm của vốn Kt và lao động Lt dạng Cobb-Douglas; Ct là hàm tuyến tính của Yt . Thiết lập mô hình thể hiện quan hệ giữa các biến. 4) Cho mô hình sản xuất Y(t)=0.2K0.4L0.8 a) Tính hệ số co giãn của Y theo K và L b) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L, và Y c) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này. 66 5) Một công ty có thể sản xuất và cung ứng cho thị trừng hai mặt hàng với hàm tổng doanh thu và tổng chi phí là: TR=p1Q1+p2Q2; TC=2Q21+Q1Q2+3Q22 a) Xác định công thức tính tổng lợi nhuận cực đại b) Áp dụng câu 5a/ tìm sản lượng cực đại lợi nhuận c) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo từng mặt hàng, và hệ số co giãn đồng thời theo cả hai mặt hàng tại điểm cực đại lợi nhuận tìm được ở câu 5b/ 6) Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc vào giá như sau: Q1=40-2p1-p2; Q2=35-p1-p2; và hàm tổng chi phí theo sản lượng là: TC=Q21+2Q22+12 a) Tìm Q1, Q2 để đặt lợi nhuận cực đại b) Tìm chi phí cận biên cho từng loại hàng tại mức tối ưu ở câu a 67 b) Tìm chi phí cận biên cho từng loại hàng tại mức tối ưu ở câu a c) Hai mặt hàng này có thể thay thế nhau trong tiêu dùng được hay không? 68