Bài giảng Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục

Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 1 - Chương 1: Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Với chương này các bạn có thể dung máy tính cầm tay để giải nhanh Câu 6. Tính các giới hạn sau 4 4.3 3 1 4 3 .4 4.3 3 1 4 3 .4 4 4 3 3 4 34.4 3 3 4 34.4 32 34 ). limlimlimlimlim 12 1                                                            n n n x n n n n n x n n nn x n n nn x nn nn x a Từ đây ta rút ra một số kết luận: 1. Khi gặp dạng vô đinh   Ta tiến hành chia tử và mẫu cho bậc cao nhất ở mẫu Rồi sử dụng giới hạn cơ bản 0,0 1 lim   k x kx 2. Ta có thể sử dụng các kết luận sau để giải nhanh dạng vô định   như sau:  Bậc tử = bậc mẫu : Kết quả =  Bậc tử < bậc mẫu : Kết quả = 0  Bậc tử >bậc mẫu : Kết quả =                1 1 2 12 ). 3 24 lim n nn n n b x   111). 333lim   nnnc x  Kiến thức về lượng lien hợp (hiệp): BA BA BA    , Ta có:   1 1 1 1 1 2 11 2 11 33 33 3333 limlimlim                          nn nn nnnn xxx 0 2 1 11 2 1 1 12 1 ). limlimlim 2 2 2 2 2 2                                           n x n x n x nn n n n nn n d Có thể giải chi tiết bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass)     0 2 sin1 ). 2 2 lim     n nn e x       ĐHNLGTTCCAtrangaVìDof n x n x n x 120112012). limlimlim     11). lim   n x ng Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 2 -  Với mọi giá trị: 1n ta có: nnn nnn 21    1lim   n x nMà trang 20 GT Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có:                   1;121.22 limlimlimlimlim n x n x n x n x n x nVàDonnMà Vậy ta có   11lim   n x nMà    2 1 12)12 1 ... 7.5 1 5.3 1 3.1 1 ). lim          nn h x                                         12 1 12 1 ... 5 1 3 1 3 1 1 12)12 1 ... 7.5 1 5.3 1 3.1 1 2 1 limlim nnnn x x 2 1 12 1 1 2 1 lim          n x   01). 3 3lim   nni x  Kiến thức về lượng liên hợp (hiệp): 22 33 BABA BA BA    , Ta có:     0 11 1 1 3 233 32 33 3 3 limlim              nnnn nn nn xx 1 1 ... 2 1 1 1 ). 222lim            nnnn j x                 nnnnx 222 1 ... 2 1 1 1 lim Với 1n , Ta có: nnnn      222 1 ... 2 1 1 1 Cho nên: 1 11 22     n n nn n  Mà 1 1 ... 2 1 1 1 1 1 11 22222 limlimlim                 nnnn nên nnn xxx Để hiểu rõ hơn ta xét cụ thể: 1 11 22    nnn 2 11 22    nnn  Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 3 - 1 11 22    nnn 1 11 22    n n nn n  Câu 8. Tính các giới hạn sau 0 ! 3 ). lim   n a n x Do: !n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n3 khi n 0 3 ). 3 lim   n x n b Do: n3 Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3n khi n 0 ! 2 ). lim   n c n x Do: !n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n2 khi n Từ đây ta rút ra một số kết luận: Với dạng Vô định   ta nên ghi nhớ danh sách ưu tiên (Sau ưu tiên hớn trước) 1:)1 0,ln:)2  n 0,:)3 n 1,:)4 bbn !:)5 n Giới hạn: 0lim   n n x B A khi và chi khi thỏa mãn:     TiênUuSáchDanhTrongAduoinamB TiênUuSáchDanhBA nn nn _______ ___, Câu 11. Tính các giới hạn sau 1 3 3 32.22 12 32 1 ). 2 2 2 2 2 lim        xx x a x Lưu ý: Nếu không có dạng vô định nào thì ta có thể thế giá trị vào trực tiếp    3 1 1 1 21 2 2 2 ). 2 2 22 2 2 24 2 2 limlimlim          xxx x xx x b xxx Do có dạng vô đinh   nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng   ta mới thế giá trị vào                4626422 2 8 26 ). 3 2 322 3 3 2 limlim xxxxx x x x c xx Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 4 -     144 1 462642 1 3 2 322 lim         xxxxx Câu 12. Tính các giới hạn sau  ba x bxax a x    , tan sinsin ). lim 0                     x bxaxbxax x bxax xx tan 2 sin. 2 cos.2 tan sinsin limlim 00 Do 2 ~ 2 sinvàx~tan limlim 00 bxaxbxax x xx            Trở thành   x bxax bax x bxaxbxax x bxaxbxax xxx                                        2 cos 2 cos. 2 .2 tan 2 sin. 2 cos.2 limlimlim 000   1 2 cos 2 cos. limlim 00                 bxax Vìba bxax ba xx   2 12cos1tansintan). 3 2 0 3 0 3 0 limlimlim        x x x x xx x xx b xxx Do   2 ~cos1vàx~tan 2x xx             2 tan1). lim 1 x xc x  Đặt 1 xt Khi 1x thì 0t Khi đó   trở thành                                                               t t ttttttt tttt 2 sin 2 cos 2 cot 2 cot1 2 tan limlimlimlim 0000    Do 0Khi 2 ~ 2 sin       ttt          2 2 0cos 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 cos limlimlim 000                                                                  t t t t t t t t ttt Vậy     2 2 tan1lim 1         x x x Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 5 -   2 0 2 0 3cos.3coscos 2 1 1 3cos.2cos.cos1 ). limlim x xxx x xxx d xx             2 0 2 0 6cos1 4 1 4cos1 4 1 2cos1 4 1 6cos1 4 1 4cos 4 1 2cos 4 1 1 limlim x xxx x xxx xx      7 7 9 2 2 1  Câu 13. Tính các giới hạn sau 32 2 1 ). lim           x x x x a    62 96 1 2 1 3232 limlim 2 1 lim eeex x x x x x xx x xx                                              ú Để t nh giới hạn dạng    x ax xf   lim (thư ng l dạng 1 trong đó     0,1  xkhixxf  ta có thể biến đổi biểu thức    x ax xf   lim như sau:                   1lim 1 1 1 11limlim             xfx xfx xf ax x ax axexfxf    đ     1lim   xfx ax  được t nh bằng các hương há đ học Nếu      Axfx ax   1lim  th    Ax ax exf    lim m tr m ta a         A xfxx ax eexf ax     1lim lim  x x x xx b          1 1 ). 2 2 lim  Áp dụng công thức như trên ta có: ee x e x xx x x x xxx x xx                                              1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 limlim 1 1 lim   2/1 0 2cos). lim x x xc   Áp dụng công thức như trên ta có: Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 6 -                                     2 2 0 2 2 0 2 0 2 sin21sin21 12cos 1 /1 0 limlimlim 2coslim x x x x x xx x xxx eeex xxxKhiDoee x x x ~sin0 lim 2 sin 2 2 2 0                2 1 2 1 2 1cos1cos1lncosln ). limlimlimlimlim 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0           xxxxx x x x x x x x x d   2 ~1cos;1cos~1cos1ln0 2x xVàxxxKhiDo   bavàba x ee e bxax x    0,,). lim 0               x e x e bxax x bxax x x ee 11 0 limlim 0 Ta có: bb bx e x e vàaa ax e x e bx x bx x ax x ax x                              1111 limlimlimlim 0000 Vậy ba x ee bxax x    lim 0                                 x x x x xx xx x xx eexxf 1cossin 1cossin 1 /1 0 limlim cossin). 00lim Mà ta có:     01. 2 2 sin 0. 2 2 sin 1cos 1 sin limlimlimlimlim 0 2 2 2 0 2 2 2 000                                            xVà x x Dox x x x x Và x x xxxxx Vậy   exx x x   /1 0 cossinlim xx x x x x g sin sin 0 sin ). lim          01 sin , 1 sin 1 sin sin limlim 00      x x Do x xxx x Xét xx Giới hạn đ cho có dạng vô định: 1 , Ta có: Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 7 - e eee x x xx x x xx xx x x x xx x x xx 1limlimsin 1sin sin sin 1 sin sin sin 0 00lim                         Câu 14. Tính các giới hạn sau 1 32 ). 2 2 1 lim    x xx a x  Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” x -3 1 x 2 +2x - 3 + 0 - + - Nhận xét: 1- giá trị của hàm số “âm” ê ta ó             2 1 3 11 31 1 32 1 32 limlimlimlim 11 2 2 1 2 2 1               x x xx xx x xx x xx xxxx 2 arctan). lim    xb x Dựa v o đồ thị của h m arctanx (Để nhanh hơn có thể kiểm tra bằng máy tính)              x x c x 4 4 tan ). lim 4  Chú ý:   4  x Có nghĩa l 4  x và 4  x . Cho nên khi   4  x thì 0 4   x Vậy ta có:              4 tan 4 tan  xx Khi đó giới hạn đ cho trở thành: 1 4 4 tan ; 4 1 4 4 tan 4 1 4 4 tan limlim 44                                     x x Do x x x x xx Câu 15. Tính các giới hạn sau                                xx e Do xx e x e x a xx xx x x x 3ln ,1 3ln 13ln 3ln 1113 ). 3ln3ln 0 3 00 limlimlim Công thức: 1 1 lim 0     e , ở bài này  3lnx Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0 Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 8 - a).          01 0 sin xKhi xKhi x x xf  Hàm số lien tục tại điểm x0=0 nếu    0lim 0 fxf x   , Mà  xf x lim 0 không tồn tại, thật vậy:                       1 sin 1 sin limlim limlim 00 00 x x xf x x xf xf xx xx Do đó f(x không tồn tại tại x0=0 b).                     0 4 1 0\ 2 ; 2sin cos1 2 xKhi xKhi x x xf   : Hàm số liên tục tại điểm x0=0 nếu    0lim 0 fxf x   , Mà ta có:   4 1 2 2/1 cos1. sin cos 1 sin cos1 2 2 2 0 2 0 limlim       x x x x x x x xx   4 1 xf     4 1 0 sin cos1 2 00 limlim     f x x xf xx Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0 Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có để hàm số sau liên tục lien tục tại x0 a).   2, 21 2. 2 tan 0         xtai xKhi xKhi x x xf Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu      10lim 0 fxf x   Ta có   axf  +     axaxf xx    limlim 00 +   xx xf xx     1 arctanlimlim 00     2 limlim 00     xfxfa xx Vậy 2  a thì hàm số liên tục tại x0=0 Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl - Trang | 9 - Nguồn: Sites.google.com/site/dethidhnl Lưu ý: Giữ nguyên nội dung và ghi rõ nguồn: Sites.google.com/site/dethidhnl khi đăng tải nội dung này ở nơi khác. Một sô kênh học tập và trao học tậ đổi dành cho Sinh viên khác: * Kênh Youtube: youtube.com/DeThiNongLam * Facebook cá nhân: facebook.com/dethinonglam * Nhóm học tập trên Facebook: facebook.com/groups/DeThiNongLam * Fanpage: facebook.com/NganHangDeThiDHNongLamHCM