Bài giảng Chuỗi số

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪAChương 5:Phần 1: CHUỖI SỐĐỊNH NGHĨACho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: ( Nếu {an} bắt đầu từ a0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) Sn : tổng riêng thứ n an : số hạng tổng quátĐỊNH NGHĨA{Sn} có giới hạn hữu hạn khi n hội tụNgược lại ta nói chuỗi phân kỳ.Đặt: : tổng chuỗiVÍ DỤKhảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có:Tổng riêng:Vậy chuỗi hội tụ vàVậy chuỗi phân kỳ.Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3.TÍNH CHẤT, 0, vàcó cùng bản chấtvàcó cùng bản chất (ht/pk)TÍNH CHẤT Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳĐiều kiện cần của sự hội tụNếu chuỗihội tụ thìÁp dụng:Nếu ( hoặc không tồn tại ) thìkhông hội tụ.phân kỳ vì chuỗi phân kỳVí dụVí dụ3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: khi x = 1:  chuỗi pk khi x = – 1: chuỗi pkkhông tồn tại khi |x| > 1:hoặc không tồn tại chuỗi pk khi |x| 0 : xét hàm số f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, +)cùng bản chất với chuỗi hội tụ khi và chỉ khi  > 1.dương, ltục và giảm nên cùng bản chất vớiChọn:, khi đóhội tụ.Đồng thời:Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ.Tiêu chuẩn so sánhDạng 1: an, bn  0, an  Kbn, n  N0hội tụ hội tụ phân kỳ phân kỳ Dạng 2: an, bn > 0, hội tụ hội tụ phân kỳ phân kỳ 0 1Ví dụlà chuỗi CSN hội tụ.Theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi đã cho ht.Ví dụChuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa nên phân kỳ.hayhayChuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa nên hội tụcùng bản chất với nên phân kỳ.Theo tiêu chuẩn ss 1, chuỗi đã cho phân kỳ. chuỗi đã cho cùng bản chất vớiVậy hội tụ  3 –  > 1   1 : phân kỳ D = 1 : không có kết luận(Thường dùng)Tiêu chuẩn CauchyXét chuỗi số không âm:  q 1 : phân kỳ C = 1 : không có kết luận(Thường dùng)Tiêu chuẩn Rapb(sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ R < 1 : phân kỳ R = 1 : không có kết luậnVí dụ-Khảo sát sự hội tụVậy chuỗi ht theo tc D’A.Không KLpk chuỗi htkhông dùng tc D’A đượcchuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb chuỗi pkNên dùng điều kiện cần để có kết quả nhanh hơn(đối với VD này)(không dùng được tiêu chuẩn C, D’A)Biến đổiChuỗi đã cho là chuỗi điều hòa Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn LeibnitzChuỗi đan dấu có dạngvới Tiêu chuẩn Leibnitz:Nếu thì hội tụĐặt: Chuỗi hội tụ theo tc trên gọi là chuỗi LeibnitzVí dụ: Khảo sát sự hội tụ đơn điệu giảm về 0 là chuỗi Leibnitz (hội tụ)Xét hàm số:  Chuỗi ht theo tc Leibnitzđồng thờiXét hàm số:Vậy {an} đơn điệu giảm và Chuỗi ht theo tc LeibnitzMẫu số thay đổi dấu  không phải chuỗi đan dấu là chuỗi dương pk vì cùngbản chất với là chuỗi đan dấu ht theo tc L. phân kỳ (ht + pk = pk)CHUỖI CÓ DẤU TÙY ÝSự hội tụ tuyệt đốiChiều ngược lại không đúng:Tiêu chuẩn Cauchy và D’AlembertNếu hội tụ hay phân kỳ theo tcCauchy hoặc D’Alembert thì cũng vậyGhi nhớ: Nếuphân kỳ theo tc so sánhthì không có kết luận gì choVí dụ: Khảo sát sự hội tụthay đổi dấuchuỗi ht tuyệt đốithay đổi dấuÁp dụng tc D’A chohội tụhội tụ tuyệt đốiBài tậpKhảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: