Bài giảng Chuỗi lũy thừa

CHUỖI LŨY THỪAĐỊNH NGHĨAChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:là giá trị cho trướcMiền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thànhnên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.Định lý AbelHệ quả:Chứng minh định lýBán kính hội tụVậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại RTrường hợp chuỗi tổng quátKhoảng hội tụ: Cách tìm bán kính hội tụTính:hoặc(BKHT)Lưu ýCó thể tính bán kính hội tụ như sau: 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra khoảng ht. Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này để chỉ ra MHT.Ví dụ Khoảng ht: Khoảng ht:Điều kiện hội tụ: Tính chất của chuỗi lũy thừaChú ýChuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác địnhTrong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tíchphân) tương ứng.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗitích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗiNhắc lại:Điều kiện: |x| 0, R > 0 sao choKhi đóĐịnh lýNếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao choKhi đóYêu cầu của 1 bài khai triển chuỗiVận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản .Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)nvới hàm f cho trước.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được, đó chính là miền mà hàm f được khai triểnthành chuỗi Taylor.Chuỗi Maclaurin cơ bảnVí dụĐặt: vớiĐiều kiện:Điều kiện:Điều kiện:vàVới:D = RCác ví dụ về tính tổngCác ví dụ về tính tổngBài tập1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau:Hướng dẫn2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:Hướng dẫnKhoảng hội tụ:Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất vớiChuỗi đan dấu vớiChuỗi ht theo tc Leibnitz.Khoảng hội tụ:Chuỗi pk theo đk cầnChuỗi pk theo đk cầnChuỗi chỉ hội tụ tại:HTHTHTHTHTHT3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:Hướng dẫnĐKKT:4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:4. Tính tổng của các chuỗi số sau: