Bài giảng Bài tập xác suất - Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên.Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định:; viết tắt F(X)= P(X2) =1- ( P(1)=1-0,2= 0,8 ; P( x 2 F(X) =Áp dụng tính chất của hàm phân phối xác suất ta có P ( -1 ≤ x 45)Một túi đượng có 10 thẻ đỏ 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ.X là số thẻ đỏ. Tìm phân bố xác suất của X.Giả sử rút thẻ đỏ 5 điểm, rút thẻ xanh 8 điểm. Y là tổng điểm trên 3 thẻ rút ra. Tìm phân phối xác suất của Y.Hướng dẫn : a)Miền giá trị của X là (0,1,2,3)X0123P(X)2/5615/5627/5612/56b) Theo định nghĩa biến cố Y :Y=5X+(3-X)8= 24-3X với ( X = 0,1,2,3)P(x=0)=P(y =24); P(x=1)= P(y =21); p(x=2)=P(y=18; P(x=3)= P(y=15)Phân phối xác suất của Y:Y15182125P(X)12/56 27/5615/562/56 6) Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng. X là biến cố tổng số nốt xuất hiện mặt trên của chúng. Lập bảng phân phối xác suất. Tính E(X),D(X), Mod, Med. Hướng dẫn : a)Miền giá trị của X (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12). Bằng lập bảng xác định khả năng có thể và khả năng thuận lợi cùa X tìm được :X23456789101112P(X)Phân phối xác suất của XE(X) = 7; D(X) = 5,833; Mod=7; Med=7 7) Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong có 2 bóng tốt và 3 bóng hỏng.Ta chọn từng bóng để thử ( có hoàn trả lại sau khi thử) cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì thôi. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bổ xác suất của X. Trung bình cần thử bao nhiêu.Hướng dẫn : X là số lần bốc cần thiết .Miền giá trị của X là ( 2,3,4,5). X2345P(X)Vậy trung bình phải bốc 4 lần 8) Hai xạ thủ cùng bắn tập, xác suất trúng bia của A là 0,4, của B là 0,5. Mỗi người bắn hai phát. X là biến cố phát trúng của A trừ số phát trúng của B. a)Tìm phân bổ xác suất của X b) Tìm phân bổ xác suất của Y = /X/Hướng dẫn : a) X là hiệu số viên trúng của A và B nên miền giá trị của X = ( -2,-1,0,1,2) Gọi Ai; Bi là các viên đạn bắn trúng của mỗi người ( i= 0,1,2) P(A0)= 0,36; P(A1) =0,48; P(A2)=0,16 ; P(B0)= 0,25; P(B1)=0,5; P(B2)=0,25 b) Y có miền giá trị ( 0,1,2 ) P(y=0)= P(x=0) = 0,37; P(y=1) = P(x=1)+ P(x=-1)=0,5; P(y=2) = P(x=2) +P(x=-2) = 0,13 . (Lập bảng)9) Một hộp đựng có 4 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X), D(X) , ModX, MedXHướng dẫn : X có miền giá trị ( 3,4,5,6,7) P(x=3)=1/6 ; P(x=4)=1/6 ; P(x=5)= 2 /6; P(x=6) 1/6; P(x=7)= 1/6 X34567P(X)1/61/62/61/61/6E(X) = 5 = ModX= MedX ; D(X )=1,667 10) Một hộp đựng có 10 chiếc thẻ, trong đó bốn thẻ số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ số 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X) Hướng dẫn : X có miền giá trị (2, 3,4,5,6,7) . P(x=2)= 6/45; P(x=3)=12/45 ; P(x=4)=11/45 P(x=5)= 10/45; P(x=6)= 4/45; P(x=7)= 2/45X234567P(X)6/4512/4511/4510/454/452/45E(X) = 4 11) Một người có 7 chìa khóa giống nhau trong đó có 2 chìa mở được ổ khoá. Thử từng chìa, thử xong bỏ ra đến khi tìm được chìa mở được thì thôi. X là số lần thử cần thiết. Tìm phân phối xác suất và E(X).Hướng dẫn : X có miền giá trị (1,2, 3,4,5,6) . P(x=1)= 12/42; P(x=2)=10/42 ; P(x=3)=8/42 P(x=4)= 6/42; P(x=5)= 4/42; P(x=6)= 2/42( Lập bảng ); 11) Một người đi thi lấy bằng lái xe. Nếu thi không đạt phải thi lại cho đến đạt thì thôi.Gọi X là số lần anh ta phải thi lại.Tìm phân phối xác suất. Biết xác suất đậu của anh ta và mọi người đều 1/3. Giả sử có 243 người thi cùng đợt. Có bao nhiêu người thi đạt lần đầu.lần thứ hai. Phải thi ít nhất 4 lần.Hướng dẫn : Bài toán thỏa mãn luật phân phối hình học vớ p= 1/3 X123...P(X)1/32/9 4/27...Số người thi đạt lần đầu là 243/3 =81 người. Số người phải thi 2 lần là 243.9/2= 51 . Xác suất để số người thi lại ít nhất 4 lần :P(x≥4)=1-P(x≤3)= 1-( 1/3+2/9+4/27)= 8/27, tương ứng với số người là 243.8/27= 72 người 12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(X) =0 nếu x3Tìm a; xác suất P(- 1 ≤ x≤ 2)Giải Theo tinh chất của hàm mật độ : Hàm mật độ f(x)=0 nếu x3P(- 1 ≤ x≤ 2) =13) Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối Tìm hàm mật độ. Tính P( 12); c) MedX; d)Tìm a để P{a>X)}=3/4.Hướng dẫn : Theo tính chất của hàm mật độ :b) P( x>2) =c) F(x) là hàm phân phối của f(x) thì :F(X)= x3/27 nếu 0 ≤ x≤ 31 nếu 3x>0,4 ;c) ModX; Hướng dẫn : a) Theo tính chất của hàm mật độ :b) P( 0.4 [16,8] =16. Số phát trúng khả năng xẩy ra nhất là 16 phát28) Xác suất sản ra phế phẩm 0,1. Người ta bốc ngẫu nhiên 5 sản phẩm :Tìm xác suất trong 5 sản phẩm lấy ra không quá 2 sản phẩm hỏng. Tìm số sản phẩm hỏng trung bình Số sản phẩm hỏng có khả năng nhất trong 5 sản phẩmHướng dẫn : Gọi X là số hỏng trong 5 sản phẩm lấy ra. X là ĐLNN có phân phối nhị thứ ( n=5, p= 0,1) a) Xác suất trúng 18 viên trong 20 viên b) Số sản phẩm hỏng trung bình E(X) = np = 0,1.5 = 0,5c) Số sản phẩm hỏng khả năng nhiều nhất ( 5+1).0,1 = 0,6 => [0,6]= 0. Trong 5 sản phẩm khả năng hỏng không có sản phẩm nào 29) Gieo 1000 hạt giống, xác suất không nẩy mầm của là 0,005.Tìm Tìm xác suất có 10 hạt không nẩy mầm.Trung bình số hạt không nẩy mầm.Số hạt không nẩy mầm khả năng xẩy ra nhất Hướng dẫn : Gọi X là số hạt không nẩy mầm trong 1000 hạt lấy ra. X là ĐLNN có phân phối poisson n= 1000.0,005=5=λ=a) Xác 10 hạt không nẩy mầm trong1000 hạt b) Số hạt không nẩy mầm trung bình: E(X) = λ = 5c) Số sản phẩm hỏng khả năng nhiều nhất λ-1 ≤ ModX ≤ λ. Vậy số hạt không nẩy mẩm khả năng nhất là 5 hạt