Bài giảng 5: TOÁN CỰC TRỊ VÀ ĐỘ LỆCH PHA I. CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 I. CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn..) Bổ đề : ♦ Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó a b ab a b 2 ab 2 + ≥ ⇔ + ≥ Dấu bằng xảy ra khi a = b. ♦ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 2 min b 4ac b ' x ; y 2a 4a 4a a ∆ − ∆ = − = − = = − 1. Mạch RLC có R thay đổi Bài toán tổng quát 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Tìm giá trị của R để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại. c) công suất tỏa nhiệt trên R là P0 cho trước. d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại. Hướng dẫn giải: a) Cường độ hiệu dụng ( ) max22 L C U UI I R 0. Z R Z Z = = → ⇔ = + − Vậy R = 0 thì Imax và giá trị max L C UI Z Z = − b) Ta có UL = I.ZL. Do L không đổi nên (UL)max khi Imax ⇒ R = 0. Khi đó, ( ) LL max Lmax L C U.ZU I .Z Z Z = = − Tương tự ta cũng có ( ) ( ) C max C C max Cmax L C U R 0 U.ZU I .Z Z Z  ←→ =   = = − c) Theo bài ta có ( ) ( ) 2 22 2 2 0 0 0 0 0 L C22 L C UP P I R P R P P R U R P Z Z 0 R Z Z = ⇔ = ⇔ = ←→ − + − = + − Thay các giá trị của U, ZL, ZC và P0 vào phương trình trên ta giải được R cần tìm. d) Công suất tỏa nhiệt trên R: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 L CL C L C L C U U U U UP I R= R R Z 2 Z ZR Z Z Z Z Z ZR 2 R.R R = = = ≤ = −+ − − −+ Dấu bằng xảy ra khi ( ) 2 L C L C Z Z R R Z Z R − = → = − và 2 max L C UP 2 Z Z = − Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và Pmax tương ứng là  = −   = − L C 2 max L C R Z Z UP 2 Z Z
Chú ý: Bài giảng 5: TOÁN CỰC TRỊ VÀ ĐỘ LỆCH PHA §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 ♦ Trong trường hợp Pmax thì hệ số công suất của mạch khi đó là L C2 2 R R 1 cosφ , do R Z Z Z 2R R = = = = − + ♦ Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ≠ 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch TH1: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 L CL C L C U U U UP I R r R r R r Z 2 Z ZR r Z Z Z Z R r R r = + = + = + = ≤ −+ + − − + + + Từ đó ta cũng được giá trị của R và Pmax tương ứng L C L C 2 2 max max L C L C R r Z Z R Z Z r U UP P 2 Z Z 2 Z Z  + = − = − −   ←→  = =  − −  TH2: Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 R 2 2 22 22 2 2 L C L CL C U U U UP I R R R Z R 2Rr rR r Z Z r Z ZZ Z R 2r RR R = = = = = + ++ + − + − − + ++ Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được ( ) ( ) 2 2 R 2 22 2 L C L C U UP r Z Z 2r r Z Z 2r R. R ≤ = + − + + − + Từ đó ta được giá trị của R và (PR)max tương ứng là ( ) ( ) ( )  = + −    = + + − 22 L C 2 R max 22 L C R r Z Z UP 2r r Z Z Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có ( ) −= = = 42 4.10u 150 2cos 100π V, L (H), C (F), π 5π điện trở R có thể thay đổi được. Tìm R để a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó. b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2. c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax Hướng dẫn giải: Ta có ZL = 200 Ω, ZC = 125 Ω, U = 150 V. a) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R 225ΩU 150 RP I R 90 90 R 90 90R 150 R 90.75 0 R 25ΩZ R 75 = = = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = →  =+  ♦ Với 2 2 00 U 150 2 2R 225Ω Z 225 75 75 10Ω I A. Z 75 10 5 = → = + = → = = = Độ lệch pha của u va i thỏa mãn L C u i i Z Z 75 1 1 1 tanφ φ arctan φ φ φ arctan R 225 3 3 3 −     = = = → = = − → = −        Biểu thức cường độ dòng điện là 2 1i cos 100πt arctan A. 35    = −      ♦ Với 2 2 00 U 150 2 6R 25Ω Z 25 75 25 10Ω I A. Z 25 10 5 = ⇒ = + = → = = = Độ lệch pha của u va i thỏa mãn ( ) ( )L C u i iZ Z 75tanφ 3 φ arctan 3 φ φ φ arctan 3R 25 − = = = → = = − → = − Biểu thức cường độ dòng điện là ( )( )6i cos 100πt arctan 3 A. 5 = − b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có ( ) 2 2 22 L C 1 R 1 R 1 cosφ R 25 3Ω. 2 2 R 75 4R Z Z = ⇔ = ⇔ = → = ++ − §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 c) Ta có Pmax khi L C 2 max L C R Z Z UP 2 Z Z  = −   = − Thay số ta được R = 75 Ω và 2 2 max L C U 150P 150W. 2 Z Z 2.75 = = = − Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10–4/π (F) và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là ( )=u 100 2cos 100πt V. Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là 1/2. b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó. Hướng dẫn giải: Ta có L CZ 40Ω, Z 100Ω, U 100V= = = a) Hệ số công suất của mạch là ( ) ( )2 2L C R r R r 1 cosφ Z 2R r Z Z + + = ⇔ = + + − Thay số ta được ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 R 50 1 4 R 50 R 50 60 2R 50 60 +  = ⇔ + = + +   + + Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm. b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi L CR r Z Z R 50 60 R 10Ω.+ = − ⇔ + = → = Khi đó, công suất cực đại của mạch 2 2 max L C U 100 250P W. 2 Z Z 2.60 3 = = = − c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi ( ) ( ) ( ) 22 L C 2 R max 22 L C R r Z Z UP 2r r Z Z  = + −    = + + − Thay số ta được ( ) ( ) ( ) 22 2 2 L C 2 2 R max 22 L C R r Z Z 50 60 10 61 Ω. U 100P W. 100 20 612r 2 r Z Z  = + − = + =    = = ++ + − Bài toán tổng quát 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U. Khi R = R1 và R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P1 = P2). Chứng minh rằng a) ( )21 2 L CR R Z Z= − b) 1 2 π φ φ 2 + = , với φ1, φ2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R1, R = R2. c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó = = = + 2 1 2 1 2 UP P P R R Hướng dẫn giải: a) Theo giả thiết ta có P1 = P2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 L C 2 1 L C2 22 2 1 L C 2 L C U UI R I R R R R R Z Z R R Z Z R Z Z R Z Z    ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = + −    + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 2 1 L C 2 1 2 L C 1 2 2 1 L C 2 1 1 2 L CR R R Z Z R R R Z Z R R R R Z Z R R R R Z Z⇔ + − = + − ⇔ − = − − ⇔ = − b) Ta có L C 1 1 L C 2 2 Z Z tan φ R Z Z tan φ R  − =   − =  , do ( )2 L C 21 2 L C 1 2 1 L C Z Z RR R Z Z tan φ cot φ R Z Z − = − → = ←→ = − §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Từ đó ta được 1 2 π φ φ dpcm. 2 + = → c) Ta có ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 12 22 1 1 2 1 21 L C U U UP P P I R P R R dpcm R R R R RR Z Z = = = ⇔ = = = → + ++ − Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn ( )21 2 L C 1 2 2 1 2 R R Z Z π φ φ 2 UP R R   = −   + =   = + Ví dụ 1 : (Đề thi Đại học – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2 . Các giá trị R1 và R2 là A. R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω. B. R1 = 40 Ω, R2 = 250 Ω. C. R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω. D. R1 = 25 Ω, R2 = 100 Ω. Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P1 = P2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 C 2 1 C2 2 2 2 1 C 2 C U UI R I R R R R R Z R R Z R Z R Z    ⇔ = ⇔ = ⇔ + = +   + + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 1 C 2 1 2 C 1 2 2 1 C 2 1 1 2 C 1 2R R R Z R R R Z R R R R Z R R R R Z R R 100+ = + ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = , (1) Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2 Khi đó theo bài ta được 11C 2C 1 C 2 C 2 IU 2U I Z 2I Z 2 I = ⇔ = ⇒ = Lại có 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 R IP P I R I R 4 R I   = ⇔ = ⇔ = =    , (2) Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω. Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều ( )u 120 2cos 120πt V.= . Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở R1 = 18 Ω và R2 = 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào ? Hướng dẫn giải: Theo chứng minh công thức ở trên ta được 2 2 1 2 U 120P 288W. R R 18 32 = = = + + Vậy P = 288 W. Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u 30 2cos(100πt)V,= R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. biết + =1 2 π φ φ . 2 a) Tính công suất ứng với các giá trị của R1 và R2 b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2 c) Tính L biết 310C (F). 2π − = d) Tính công suất cực đại của mạch. Hướng dẫn giải: §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi 1 2 2 2 1 2 1 21 2 R R , R R U 30P P P 36W.π R R 9 16φ φ 2 = =  → = = = = = + ++ = b) Ta có ( ) 1 2 2 L C 1 2 L C 1 2 R R , R R Z Z R R 9.16 144 Z Z 12Ω.π φ φ 2 = =  → − = = = ⇒ − = ± + = ♦ Khi R = R1 = 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là ( )22 21 L C UZ R Z Z 9 144 15Ω I 2A.Z= + − = + = → = = Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C u i i 1 Z Z 12 4 4 4 tanφ φ arctan φ φ φ artan R 9 3 3 3 − ±     = = = ± → = ± = − → = ±        m Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là 4i 2 2cos 100πt artan A. 3    = ±      m ♦ Khi R = R1 = 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là ( )22 22 L C UZ R Z Z 16 144 20Ω I 1,5A.Z= + − = + = → = = Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C u i i 2 Z Z 12 3 3 3 tanφ φ arctan φ φ φ artan R 16 4 4 4 − ±     = = = ± → = ± = − → = ±        m Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là 3i 1,5 2cos 100πt artan A. 4    = ±      m c) Khi 3 C 10C (F) Z 20Ω. 2π − = ⇒ = Mà LL C L 8L (H)Z 32Ω 25πZ Z 12Ω Z 8Ω 2L (H) 25π  == − = ± → ←→  =  =  d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi 2 2 max L C U 30P 37,5W. 2 Z Z 2.12 = = = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch =u U 2cos(ωt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 90 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. Biết rằng + =1 2 π φ φ . 2 a) Tìm L biết C = 10–4/π (F) và ω = 100π rad/s. b) Tìm ω biết − = = 43,2 10L ( H ),C ( F ). π 2π Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là =u U 2cos(100πt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 90 Ω và R = R2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P. a) Tính C biết L = 2/π (H). b) Tính U khi P = 40 W. Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là =u 200 2cos(100πt )V , L = 2/π (H), C = 10–4/π (F). Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là .3 2 b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là =RU 50 2V . c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W. Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là − = = 410 u 240 2cos(100πt )V ,C ( F ). π Khi R = R1 = 90 Ω và R = R2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P. a) Tính L, công suất P của mạch. b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết Pmax = 240 W và với 2 giá trị R3 và R4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W Tính giá trị R3 và R4. 2. Mạch RLC có L thay đổi §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được. Tìm giá trị của L để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax. c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại. Hướng dẫn giải: a) Ta có ( ) max min L C 222 L C U U 1I I Z Z Z 0 L Z CR Z Z = = → ⇔ ←→ − = ⇔ = ω+ − Vậy 2 1L C = ω thì Imax và giá trị max UI . R = b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch 2P I R= . Do R không đổi nên max max 2 1P I L . C ←→ → = ω Từ đó 2 2 max max UP I R . R = = c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là ( ) ( )L L L L L minmax2 2 22 2 2 L C L C C 2 2 L L L L U U U U UU I.Z .Z .Z U y Z yR Z Z Z Z ZR R 1 Z Z Z Z = = = = = = ⇒ ←→ + −    − + + −        Với 22 C 2 L L ZRy 1 , Z Z   = + −    đặt ( ) ( )22 2 2 2 2C C C L 1 x y R x 1 Z x R Z x 2Z x 1 Z = → = + − = + − + Do hệ số ( )2 2Ca R Z 0= + > ⇒ ymin khi ( ) ( ) 2 2 C C C L2 2 2 2 L CC C 2Z Z R Zb 1 x Z . 2a Z Z2 R Z R Z − + = − = − ⇔ = → = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 C C 2 2 min L C2 2 2 2 max 2 C C min 2 2 C Z R Z' R U U Uy U R Z 4a a R Z R Z Ry R R Z − +∆ ∆ = − = − = − = → = = = + + + + Vậy ( ) ax 2 2 2 2 C L C Lm C R ZUU R Z khi Z . R Z + = + = Chú ý: - Khi L = L1 hoặc L = L2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có + = 1 2L L C Z Z Z 2 - Khi UL cực đại thì ta có ( ) = + +2 2 2 2L R CmaxU U U U - Khi UL cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RC vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch. - Khi L = L1 hoặc L = L2 mà UL không đổi, đồng thời khi L = L0 mà UL đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là = + 0 1 2 2 1 1 . L L L Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có 410R 100 3Ω, C (F). 2π − = = Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau ? a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1. b) Hệ số công suất của mạch 3cosφ . 2 = c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại. Hướng dẫn giải: Ta có C 1Z 200Ω. ωC = = a) Từ cosφ = 1 ⇒ mạch có cộng hưởng điện. Khi đó L C 2Z Z 200Ω L (H). π = = → = §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 b) Khi ( ) ( )2 22 2 2 2L C L C3 R 3cosφ 4R 3Z 3 R Z Z R 3 Z Z2 Z 2  = ⇔ = ⇔ = = + − → = −  Thay số ta được LL C L 3L (H)Z 300ΩR πZ Z 100 Z 100Ω 13 L (H) π  == − = ± = ± → ←→  =  =  c) Theo chứng minh trên, UL đạt cực đại khi ( )2 22 2C L C 100 3 200R Z 35Z 350Ω L (H). Z 200 10π ++ = = = → = Giá trị cực đại là ( ) ( )22 2 2L Cmax U 100 2 100 42U R Z 100 3 200 V.R 3100 3= + = + = Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là ( )u 170 2cos 100πt V.= Biết rằng 410R 80Ω, C (F). 2π − = = Tìm L để a) công suất tỏa nhiệt trên R cực đại. Tính Pmax b) công suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80W c) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có R = 80 Ω, ZC = 200 Ω. a) Do 2 max L C 2P I R P Z Z 200Ω L (H). π = → ←→ = = ⇔ = Khi đó 2 2 2 2 max max 2 U U 170P I R R 361,25W. R R 80 = = = = = b) ( ) 2 2 L2 22 2 LL 3,5L (H)Z 350ΩU 170 .80 πP I R 200 R 80 80 Z 50Ω 1Z 80 Z 200 L (H) 2π  == = = ⇔ = ⇔ = → ←→  =+ −  =  c) Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi 2 2 2 2 C L C R Z 80 200 58Z 232Ω L (H). Z 200 25π + + = = = → = Giá trị cực đại của UL là ( ) 2 2 2 2L Cmax U 170U R Z 80 200 85 29 V.R 80= + = + = Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch điện là ( )u 200 2cos 100πt V.= Khi mạch có 1 3 3L L (H) π = = và 2 3L L (H) π = = thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc 2π/3 rad. a) Tính giá trị của R và C. b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong mạch. Hướng dẫn giải: Ta có 1 2L L Z 300 3Ω, Z 100 3Ω.= = a) Do ( ) ( ) 1 21 21 2 1 2 1 2 L L 2 2 L C L C2 2 1 2 1 2 L C L C L L L C C L C Z ZZ Z Z Z I I Z Z R Z Z R Z Z Z ZZ Z Z Z Z 2 = − = −  = ⇔ = ⇔ + − = + − → ←→ + − = − =  Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta được 1 2 4 L L C Z Z 10Z 200 3Ω C (F). 2 2 3π −+ = = → = Gọi φ1 là độ lệch pha của u và i khi L = L1, φ2 là độ lệch pha của u và i khi L = L2. §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Ta có 1 2 L C 1 L C 2 Z Z 300 3 200 3 100 3 tanφ R R R Z Z 100 3 200 3 100 3 tanφ R R R − − = = =   − − = = = − Do 1 2L C C L 1 2 Z Z Z Z− = − →ϕ = − ϕ Mặt khác 1 2 1 1 L L 2 2 π φφ 0 3Z Z φ 0 π φ 3  =>  > → ←→  <  = −  Từ đó ta được π 100 3tan 3 R 100Ω. 3 R = = → = Vậy các giá trị cần tìm là 410R 100Ω, C (F). 2 3π − = = b) Viết biểu thức của i: ♦ Với 1C L 0 200 2R 100Ω, Z 200 3Ω, Z 300 3Ω Z 200Ω I 2 A. 200 = = = → = → = = Độ lệch pha của u và i : 1L C u i i Z Z 100 3 π π π tanφ 3 φ φ φ φ i 2cos 100πt A. R 100 3 3 3 −   = = = ⇒ = = − ⇒ = − → = −    ♦ Với 2C L 0 200 2R 100Ω, Z 200 3Ω, Z 100 3Ω Z 200Ω I 2 A. 200 = = = → = → = = Ta có 2L C u i i Z Z 100 3 π π π tanφ 3 φ φ φ φ i 2cos 100πt A. R 100 3 3 3 − −   = = = − ⇒ = − = − ⇒ = → = +    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC có − = = 410C ( F ), R 120Ω. 0,9π Điện áp hai đầu mạch là =u 200 2cos(100πt )V ,L có thể thay đổi được. a) Tính L để ULmax. Tính giá trị ULmax b) Tính L để =LU 175 2V . Bài 2: Cho mạch điện RLC có L có thể thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là =u 100 2cos(100πt )V .Khi = =1 1L L ( H ) π và = =1 3L L ( H ) π thì mạch có cùng công suất tỏa nhiệt P = 40 W. a) Tính R và C b) Viết biểu thức của i ứng với các giá trị L1 và L2. Bài 3: Cho mạch điện RLC có − = = 410C ( F ), R 80Ω. 2π Điện áp hai đầu mạch là =u 170 2cos(100πt )V ,L có thể thay đổi được. Tìm L để a) công suất tỏa nhiệt cực đại, tính giá trị Pmax b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt P = 80 W. Bài 4: Cho mạch điện RLC có − = = 410C ( F ), R 200 3Ω. 4π Điện áp hai đầu mạch là =u 200 2cos(100πt )V ,L có thể thay đổi được. a) Khi L = 2/π (H) hãy tính P và viết biểu thức cường độ dòng điện chạy trong mạch. b) Tìm L để Pmax, tính giá trị Pmax khi đó. c) Tìm L để (UL)max, tính giá trị (UL)max. 3. Mạch RLC có C thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được. Tìm giá trị của C để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax đó. c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại. §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Hướng dẫn giải: a) Ta có ( ) max min L C 222 L C U U 1I I Z Z Z 0 C Z LR Z Z = = → ⇔ ←→ − = ⇔ = ω+ − Vậy 2 1C L = ω thì Imax và giá trị max UI . R = b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch 2P I R= . Do R không đổi nên max max 2 1P I C . L ←→ → = ω Từ đó 2 2 max max UP I R . R = = c) Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện là ( ) ( )C C C C C minmax2 2 22 2 2 L C L C L 2 2 C C L C U U U U UU I.Z .Z .Z U y Z yR Z Z Z Z ZR R 1 Z Z Z Z = = = = = = ⇒ ←→ + −    − + + −        Với 22 L 2 C C ZRy 1 Z Z   = + −    , đặt ( ) ( )22 2 2 2 2L L L C 1 x y R x 1 Z x R Z x 2Z x 1 Z = → = + − = + − + Do hệ số ( )2 2La R Z 0= + > ⇒ ymin khi ( ) ( ) 2 2 L L L C2 2 2 2 C LL L 2Z Z R Zb 1 x Z 2a Z Z2 R Z R Z − + = − = − ⇔ = → = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 L L 2 2 min C L2 2 2 2 max 2 L L min 2 2 L Z R Z' R U U Uy U R Z 4a a R Z R Z Ry R R Z − +∆ ∆ = − = − = − = → = = = + + + + Vậy ( ) ax 2 2 2 2 L C L Cm L R ZUU R Z khi Z . R Z + = + = Chú ý: - Khi C = C1 hoặc C = C2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có + = 1 2C C L Z Z Z 2 - Khi UC cực đại thì ta có ( ) = + +2 2 2 2C R LmaxU U U U - Khi UC cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RL vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch. - Khi C = C1 hoặc C = C2 mà UC không đổi, đồng thời khi C = C0 mà UC đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là += 1 20 C CC . 2 Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay đổi. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức là ( )u 100 2cos 100πt V.= Tìm giá trị của điện dung C để a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính Pmax c) UCmax Hướng dẫn giải: Ta có LR 100 , Z 100= Ω = Ω a) ( ) 2 2 C C2 22 2 C CC 100 Z 100 Z 0U 100 .100P I R 50 R 50 50 100 Z 100 Z 200ΩZ 100 100 Z − = =  = = ⇔ = ⇔ = ⇔ →  − = − =+ −   Nhận nghiệm ZC = 200 Ω ta được 410C (F). 2π − = b) Từ P = I2R ta thấy do R không đổi nên 4 max max L C C L 10P I Z Z 0 Z Z 100 C (F). − ←→ ⇔ − = ⇔ = = Ω → = pi Khi đó, 2 2 2 2 max max 2 U U 100P I R R 100W. R R 100 = = = = = c) (UC)max khi 2 2 2 2 4 L C L R Z 100 100 10Z 200Ω C (F). Z 100 2π −+ + = = = → = §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Khi đó, ( ) 2 2 2 2C Lmax U 100U R Z 100 100 100 2 V.R 100= + = + = Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là ( )u 200 2cos 100πt V.= Khi 4 1 10C C (F) 4π − = = và 4 1 10C C (F) 2π − = = thì mạch có cùng công suất P = 200 W. a) Tính R và L. b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C1, C2. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta tính được 1 2C C Z 400 Ω, Z 200 Ω.= = a) Theo giải thiết ta có 1 2 1 2 C C2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 L C C L L Z Z 3P P P 200 I R = I R Z = Z Z Z Z Z Z 300Ω L (H) 2 π + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − ⇔ = = → = Với ZL = 300 Ω, P1 = 200 W ta được ( )1 2 2 2 2 2 2 22 L C U 200 RR 200 200 R 200R 100 0 R 100R Z Z = ⇔ = ⇔ − + = ++ − Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100 Ω. Vậy 3R 100Ω, L (H). π = = b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp của C1 và C2. ♦ Khi ( ) 4 22 1 10 R 100 1C C (F) Z 100 300 400 100 2Ω cosφ 4π Z 100 2 2 − = = → = + − = → = = = ♦ Khi ( ) 4 22 1 10 R 100 1C C (F) Z 100 300 200 100 2Ω cosφ 2π Z 100 2 2 − = = → = + − = → = = = Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả ( ) ( ) 2 2 2 2 L C L Cmax L 2 2 2 2 C L C Lmax C R ZUU R Z Z R Z R ZUU R Z Z R Z  + = + ←→ =   + = + ←→ =   Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Điều chỉnh C đến các giá trị 410 (F) π − hoặc 410 (F) 5π − thì i1 và i2 đều lệch pha với u một góc π/3 rad. a) Tính R, L. b) Viết biểu thức i1 và i2 Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta tính được 1 2C C Z 100Ω,Z 50Ω.= = Gọi φ1 và φ2 tương ứng là các độ lệch pha của u và i ứng với hai trường hợp của C. Ta có 1 2L C L C1 2 Z Z Z Z tanφ ; tanφ . R R − − = = Do i1 và i2 đều lệch pha với u cùng một góc π/3 nên |φ1| = |φ2| = π/3 và trái dấu nhau (do u cố định) Do 1 2 1 1 C C 2 2 π φφ 0 3Z Z φ 0 π φ 3  = −<  > → →  >  =  Từ đó ta được 1 2 L C L L L C L Z Z 3π Z 75Ω L (H)tan 3 Z 100 R 3 4π3 R 25 3Z Z 25 3R ΩZ 50 R 3π R Ωtan 3 3 33 R −   = =− = = −     − = −     ←→ → ←→    − = − =   == =   §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 b) Viết biểu thức i1 và i2 tương ứng với các giá trị của C ♦ Khi ( ) 1 2 2 C 0 25 3 50 3 100 2Z 100Ω Z 75 100 Ω I 2 6 A. 3 3 50 3 3   = → = + − = → = =     Độ lệch pha của u và i tương ứng là 1 u i i 1 π π π φ φ φ φ i 2 6cos 100πt A. 3 3 3   = − = − ⇒ = → = +    ♦ Khi ( ) 2 2 2 C 0 25 3 50 3 100 2Z 50Ω Z 75 50 Ω I 2 6 A. 3 3 50 3 3   = → = + − = → = =     Độ lệch pha của u và i tương ứng là 1 u i i 1 π π π φ φ φ φ i 2 6cos 100πt A. 3 3 3   = = − ⇒ = − → = −    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp đầu mạch là = = = 3,2u 120 2cos(100πt )V , R 240Ω, L ( H ). π Tìm giá trị của C để a) I = Imax, P = Pmax. Tính Imax, Pmax. Tính UL khi đó. b) (UC)max. Tính giá trị (UC)max Bài 2: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = U0cos(100πt) V. Khi thay đổi C đến các giá trị − = = 4 1 10C C ( F ) 2π và − = = 4 1 10C C ( F ) π thì mạch có cùng công suất, nhưng i1 và i2 (ứng với 2 giá trị của C) đều lệch pha với nhau một góc π/3. Tính R và ω biết = 1,5L ( H ). π Bài 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu mạch có biểu thức là =u 120 2cos(100πt )V . Khi C = C0 thì UCmax = 200 V. Khi đó công suất tỏa nhiệt tương ứng là P = 38,4 W. Tính R, L, C0 4. Mạch RLC có ω (hoặc f) thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được. Tìm ω để a) cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. b) công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại. Hướng dẫn giải: a) Từ ( ) max L C22 L C 1fU U 1 1 2π LCI I Z Z 0 ωL ω Z ωC LCR Z Z T 2π LC  = = = → ⇔ − = ⇔ = → = ←→ + − = Vậy khi 1ω LC = thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị cực đại là max UI . R = b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I2R, ta thấy do R không đổi nên Pmax khi Imax. Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng điện. Ta được 2L C 1f1 1 2π LCZ Z 0 ω ω LC LC T 2π LC  = − = ⇔ = ←→ = →  = Giá trị cực đại của công suất tỏa nhiệt khi đó là 2 2 max max UP I R . R = = c) Điện áp hiệu dụng giữa các phần tử R, L, C đạt cực đại ♦ UR đạt cực đại ( )R R maxmax 1U IR U I ω LC= → ⇔ ←→ = Khi đó ( )R maxmaxU I R U.= = ♦ UL đạt cực đại §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 L L L 2 22 2 2 2 2 U U.ωL U UU IZ Z Z y1 R 1R ωL 1 ωC ω L ω LC = = = = =     + − + −        Với 22 2 2 2 R 1y 1 , ω L ω LC   = + −    đặt 22 2 2 2 2 2 2 2 1 R x 1 R 2 x y x 1 x x 1 ω L LC L C L LC    = → = + − = + − +       Do 2 2 2 2 22 min2 2 2 2 2 2 2 2 R 1 b 2LC R C 1 2LC R C 2LC La 0 y x ω2L C 2a 2 ω 2 2LC R C L C − − − = > → ⇔ = − = = ←→ = ⇔ = − Vậy UL đạt cực đại khi = − 2 2 2 ω . 2LC R C ♦ UC đạt cực đại ( )C C C 2 22 2 2 22 U U U UU IZ Z Z y1 R ω C ω LC 1ωC R ωL ωC = = = = =   + −+ −    Với ( )22 2 2 2y R ω C ω LC 1 ,= + − đặt ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2ω x y R C x LCx 1 L C x R C 2LC x 1= → = + − = + − + Do 2 2 2 2 2 2 2 2 min 2 2 2 2 2 b 2LC R C 2L R C 2L R C 2L R C a L C 0 y x ω ω . 2a 2L C 2L C 2L C 2L C − − − − = > → ⇔ = − = = → = ←→ = Vậy UC đạt cực đại khi − = 2 2 2L R C ω . 2L C Nhận xét: Do việc tính toán để tìm các giá trị (UL)max hay (UC)max là tương đối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ dừng lại ở việc tìm giá trị ω (hay f ) để cho điện áp hiệu dụng giữa các phần tử đạt cực đại. Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100 Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm = 1L (H) π , tụ điện có điện dung − = 410C (F) 2π mắc nối tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời ( )=MNu 120 2cos 2πft V có tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được. a) Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tỏa nhiệt P1 trên đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó. b) Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1. Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó. Tính hệ số công suất. Hướng dẫn giải: a) Khi f = f1 = 50 Hz L 2 2 C Z 100Ω ω 100π Z 100 100 100 2Ω. Z 200Ω = → = → → = + = = Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là U 120 1,2I (A) Z 100 2 2 = = = Công suất tiêu thu trên đoạn mạch điện là 2 2 1 1,2P I R .100 72W. 2   = = =    Độ lêch pha của u và i thỏa mãn: L C u i i Z Z 100 π π tanφ 1 φ φ φ φ R 100 4 4 − − = = = − → = − = − → = Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là πi 1,2cos 100πt A. 4   = +    b) Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W Ta có 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 U R 120 .100 1P I R 144 144 144 ω L 0 ω C1 1R ω L 100 ω L ω C ω C   = = ⇔ = ⇔ = → − =        + − + −        §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta được 2 4 1 1f 50 2 Hz. 2π LC 1 102π . π 2π − = = = Hệ số công suất khi đó là Rcosφ 1. Z = = Ví dụ 2: Một đoạn mạch điện xoay chiều RLC có − = = = 41 10R 100Ω, L (H), C (F). π 2π Đoạn mạch được mắc vào một điện áp xoay chiều có tần số f có thể thay đổi. Khi điện áp giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần số f có giá trị là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải: Ta có ( )C C C 2 22 2 2 22 U U U UU IZ Z Z y1 R ω C ω LC 1ωC R ωL ωC = = = = =   + −+ −    Với ( )22 2 2 2y R ω C ω LC 1 ,= + − đặt ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2ω x y R C x LCx 1 L C x R C 2LC x 1= → = + − = + − + Do hệ số 2 2 2 2 2 2 2 2 min 2 2 2 2 2 b 2LC R C 2L R C 2L R C 2L R C a L C 0 y x . 2a 2L C 2L C 2L C 2L C − − − − = > → ⇔ = − = = →ω = ⇔ ω = Thay số ta được 4 2 2 2 2 4 2 10100 . 3 6 ω 50 6π 2πω .100 π 100π. f 61 Hz. 2 2 2π 41 102 π 2π − − − = = ≈ → = = ≈       Vậy UC đạt cực đại khi tần số dao động f ≈ 61 Hz. Chú ý: - Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi đồng thời khi ω = ω0 mà công suất P cực đại (hoặc I cực đại, hoặc mạch có cộng hưởng điện) thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là = ←→ =2 20 1 2 0 1 2ω ω .ω f f . f II. ĐỘ LỆCH PHA 1. Mạch RLC có uRL vuông pha với uRC Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: ♦ Xét về độ lớn 1 2 1 2 π φ φ tanφ cotφ 2 + = → = Từ đó, 2 2L R R L C L C R C U U U U U R Z Z U U = ⇔ = ⇔ = ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLURC ta được ( )22 2RL RC L CU U U U+ = + ♦ Cũng trong tam giác vuông OURLURC, từ công thức tính đường cao ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 R RL RC R R L R C 1 1 1 1 1 1 U U U U U U U U = + ←→ = + + + Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở r, nếu urL vuông pha với uRC ta có R r L C L CU U U U Rr Z Z= ⇔ = 2. Mạch RLC có uRL vuông pha với u §Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Mobile: 0985074831 Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: ♦ Xét về độ lớn 1 2 1 2 π φ φ tanφ cotφ 2 + = → = ( ) ( )2 2L R R L C L L C L R C L U U U U U U R Z Z Z U U U → = ⇔ = − ⇔ = − − ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLU ta được 2 2 2 2 2 2 2 RL C C R LU U U U U U U+ = ←→ = + + ♦ Cũng trong tam giác vuông OURLU, từ công thức tính đường cao ta được 2 2 2 2 2 2 2 R RL R R L 1 1 1 1 1 1 U U U U U U U = + ←→ = + + 3. Mạch RLC có uRC vuông pha với u Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: ♦ Xét về độ lớn 1 2 1 2 π φ φ tanφ cotφ 2 + = → = ( ) ( )2 2L C R R C L C C L C R C U U U U U U U R Z Z Z U U − → = ⇔ = − ⇔ = − ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURCU ta được 2 2 2 2 2 2 2 RC C L R CU U U U U U U+ = ←→ = + + ♦ Cũng trong tam giác vuông OURCU, từ công thức tính đường cao ta được 2 2 2 2 2 2 2 R RC R R C 1 1 1 1 1 1 U U U U U U U = + ←→ = + +