Bài giải ngân hàng câu hỏi toán kĩ thuật

LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 1: Cho hàm biến phức , tính . Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 2: Cho hàm biến phức , tính . Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 3: Cho hàm biến phức , thoả mãn và . Bài giải: Từ: mà Vậy: Câu 4: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {tsin3t}. Bài giải: Áp dụng: Ta có: Vậy: Câu 5: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e-2tcos22tsin3t}. Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 6: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e-4tsin23t}. Bài giải: Ta có: Câu 7: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L { t3e-2t}. Bài giải: Ta có: Câu 8: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {(4cos3t – 5sin2t)ch2t}. Bài giải: Ta có: Câu 9: Tính . Bài giải: Ta có: Câu 10: Tính . Bài giải: Ta có: Câu 11: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân . Bài giải: Đặt 2x = t; dx = 1/2dt. Ta có: Câu 12: Cho x(t) = 2t, 0 < t < 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm cos Bài giải: Ta có: Câu 13: Cho x(t) = 2t, 0 < t < 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm sin Bài giải: Ta có: Câu 14: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3nu(n). Bài giải: Ta có: , |z|> e-3 Vậy: , |z|> e-3 Câu 15: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3(n -1)u(n). Bài giải: Ta có: , |z|> e-3 Vậy: , |z|> e-3 Câu 16: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 5-nu(n). Bài giải: Ta có: Câu 17: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 2-n +1u(n). Bài giải: Ta có: B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 1: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực U(x,y) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y, với z = x + iy. Bài giải: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: Ta có: Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e-2ysin2x.-3x + C Þ f(z) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y +i2xy + i3e-2ysin2x-i3x +Ci Câu 2: Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo , với z = x + iy. Bài giải: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: Ta có: Từ (1) và (2) suy ra với z = x + iy. Có thể tiếp tục như câu 1… Câu 3: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z = x + iy), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực U(x,y) = e-x (xcos y + ysin y) và F(0) = i. Bài giải: Ta có: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: với z = x + iy. Có thể tiếp tục như câu 1… Câu 4: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: . Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 6: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: . Bài giải: Ta có: Vậy: Vậy: Câu 7: a) Chứng minh rằng . b) Tính . Bài giải: a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: Câu 8: a) Chứng minh rằng . b) Tính . Bài giải: a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: Câu 9: a) Chứng minh rằng . b) Tính . Bài giải: a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho -x ta được: Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: Câu 10: Tìm biến đổi Fourier của Bài giải: Ta có: Câu 11: Tìm biến đổi Fourier của các hàm số x(t) = P(t)cos 3t. Bài giải: Ta có: (1) (2) Như vậy từ (1) và (2) áp dụng vào hàm x(t) = P(t)cos 3t Ta có: (3) Đặt: Thay (4), (5) vào (3) ta được Trong đó vì: Câu 12: a) Chứng tỏ rằng là nghiệm tổng quát của phương trình , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2. b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z(x, 0) = x2, z(1, y) = cos y. Bài giải: Do G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2 nên ta có: là nghiệm tổng quát của phương trình , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2. b. Ta có: mà nên suy ra: (*) Ta có: mà nên suy ra: (1) Thay (1) vào (*) ta được: Hay Là nghiệm của phương trình Câu 13: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình , biết rằng phương trình có một nghiệm riêng dạng u = kxe2x + y, k là một hằng số. Bài giải: Từ nghiệm riêng u = kxe2x + y ta có: (1) (2) Thay (1) vào (2) vào phương trình: ta được : Vậy là nghiệm tổng quát cần tìm. Câu 14: Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(m;s2). Đặt y(t) = Xe-t, t > 0. Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t > 0. Bài giải: -Ta có hàm trung bình: . (m là tham số, có thể chọn m =0,…,n). -Ta có hàm tự tương quan: . Câu 15: Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình 4 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian. Hãy tính P{X(1) = 2} và P{X(1) = 2, X(3) = 6}. Bài giải: Ta có Vậy Ta có Vậy Câu 16: Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình 3 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian. Hãy tính P{X(1) = 2| X(3) = 6} và P{X(3) = 6| X(1) = 2}. Bài giải: -Ta có Vậy -Ta có Vậy Câu 17: Cho X(t), t ≥ 0 là quá trình Poisson với cường độ l = 3. hãy tính: P{X(1) £ 2}, P{X(1),X(2) = 3}. Bài giải: -Ta có -Ta có Vậy C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM Câu 1: Tính tích phân phức , trong hai trường hợp sau: C là đường tròn |z| = 5/12. C là đường tròn |z| = 1. Bài giải: Ta có hàm: có là 2 cực điểm đơn và là cực điểm kép. a) Khi C là đường tròn |z| = 5/12 thì trong C đã cho có cực điểm kép Áp dụng lý thuyết thặng dư: b) Khi C là đường tròn |z| = 1 thì trong C đã cho có là 2 cực điểm đơn và là cực điểm kép. Ta có: Ta có: Vậy Hay Câu 2: Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân Bài giải: Đặt z = eix thì và Ta có: Hàm số có 2 cực điểm đơn và và z = 0 thuộc đường tròn đơn vị C Ta có: Ta có: Vậy Hay Câu 3: Tính tích phân phức , trong hai trường hợp sau: C là đường tròn |z| = 1/2. C là đường tròn |z| = 3/2. Bài giải: Xét hàm: có là cực điểm đơn và là cực điểm kép. Ta có Ta có a) Khi C là đường tròn |z| = 1/2 thì trong C đã cho có cực điểm b) Khi C là đường tròn |z| = 3/2 thì trong C đã cho có 2 cực điểm z = 1và . Câu 4: Tìm biến đổi Laplace ngược Bài giải: Hàm ảnh: Có các cực điểm đơn là: -1; -3; -2-i; -2+i ; ; ; Câu 5: Tìm biến đổi Laplace ngược Bài giải: Hàm ảnh: Có các cực điểm đơn là: ; ; ; Câu 6: Tìm biến đổi Laplace ngược Bài giải: Ta có Xét: Xét: ta có hàm ảnh Có các cực điểm đơn là: ; Xét: ta có hàm ảnh Có các cực điểm đơn là: ; Vậy ta có: Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’’(t) – y(t) = et, thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0. Bài giải: Đặt Ta có Suy ra phương trình ảnh: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’(t) – 4y’(t) +5y(t) = 25(t2 + 1), thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = 0. Bài giải: Ta có : đặt Y(s)=L{y(t)}- L{y(t)}= s2Y(s) -L{y’(t)}= sY(s) Từ phương trình vi phân đã cho ta có: Như vậy hàm Y(s) có hai điểm cực đơn: s=2-i và s=2+i và điểm cực kép bậc 3 s=0 Tính: Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho : Câu 9: Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích: trong miền . Bài giải: Ta có: Câu 10: Tìm biến đổi Fourier ngược . Bài giải: Ta có: Áp dụng quy tắc từng phần ,ta đặt: Ta tiếp tục tính ,ta cũng áp dụng cách tính từng phần,ta đặt: Câu 11: Tìm biến đổi Fourier của hàm số . Bài giải: Biến đổi Fourier của hàm số x(t) là (1) Đặt Thay vào (1) ta được Vậy (Áp dụng bài tập 2.37.c) Câu 12: Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Du = 0 phía trong hình tròn tâm O bán kính bằng 2, biết rằng trên đường tròn S tâm O bán kính bằng 2 thỏa mãn: u|S = x2 – xy2 + 2. Giải : Đặt từ điều kiện u|S = x2 – xy2 + 2.ta có : So sánh hai vế của ta có : Câu 13: a) Chứng minh rằng u(x, t) = F(2x + 5t) + G(2x – 5t) là một nghiệm tổng quát của phương trình . b) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện Giải: Giả sử : F(2x+5t)=(2x+5t)2; G(2x+5t)=(2x-5t)2. Vậy u(x, t) = F(2x + 5t) + G(2x – 5t là nghiệm tổng quát của phương trình . Ta có :. gọi : Câu 14: Cho X(t),t ≥ 0 là quá trình Poisson với cường độ l = 3. Hãy tính: EX(2), EX2(1), E[X(1).X(2)]. Giải: X(t) là quá trình Poisson tham số =3.Theo công thức ta có :X(t)~P(t) thì E[X(t)]=t + X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số 6 do đó E[X(2)]=6 + X(1) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số =3 do đó : E[X(1).X(2)] = E[X(1){X(3)-X(1)}] = E[X(1).E[X(3)-X(1)] = E[X(1)].E[X(3)]-E[X(1)].E[X(1)]=3.3.3-=18 Câu 15: Khách tới một bưu cục theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ. Khách có thể yêu cầu phục vụ với xác suất p = 0,6 và không yêu cầu phục vụ với xác suất q = 0,4. Tính xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trong số đó 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ. Giải : Gọi X(t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t, theo giả thiết X(t) là quá trình Poisson tham số =10 . Gọi X1(t) là số khách hàng tới cửa hàng có nhu cầu phục vụ trong thời gian t thì là quá trình Poisson tham số 1 = p = 10x0,6 = 6 Gọi X2(t) là số khách hàng tới cửa hàng không nhu cầu phục vụ trong thời gian t thì là quá trình Poisson tham số 2 = q = 10x0,4 = 4 Vậy xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trong đó có 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ là: Câu 16: Số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson {X(t),t ≥ 0} với tham số l = 5 (trung bình có 5 cuộc gọi trong 1 phút). Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n. Hãy tính ES4 và E[X(4) – X(2)|X(1) = 3]. Giải: Áp dụng định lý và công thức đối với các biến ngẫu nhiên S(n) có phân bố mũ tham số l do đó ta có : E[S(4)]==0,2 Do X(4)-X(2) và X(1) độc lập do đó : E[X(4)-X(2)/X(1)=3]=E[X(4)-X(2)]=4l-2l=2l =2.5=10 Câu 17: Hãy tính các số đo hiệu năng: L, Lq; W, Wq của hàng M / M / 2 với l = 14, m = 10. Giải: Với k=2 ,ta có: + D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM R2 E i1 R1 i2 i C L Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R1 = 10W, R2 = 30W, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 8sin 20t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0. Câu 2: a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace của f(t) = cos10t + 2sin10t – e-10t(cos10t + 3sin10t) là F(s) = L {f(t)} = R2 E i1 R1 i2 i C L b) Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R1 = R2 = 10W, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 50sin10t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0. Câu 3: Cho mạch điện như hình vẽ: R2 E R1 L R Biết điện trở R1 = R2 = 10W, R = 30W, cuộn dây L có độ từ cảm 3,5H, suất điện động E = 203sin 2t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ i1(t), i2(t) của dòng điện tại thời điểm t >0. Câu 4: Cho hệ phương trình vi phân thoả mãn điều kiện đầu x(0) = 2, y(0) = -3, z(0) = 1. Tìm nghiệm x(t), y(t), z(t). Giải : Hệ phương trình : Từ (1) , (2) và (3) ta có : (I) Đặt X(s)=L {x(t) ; Y(s)=L {y(t) ; Z(s)=L {z(t) L {x(t) = sX-2 L {y(t) = sY+3 thay vào hệ phương trình (I) L {z(t) = sZ-1 Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm: Câu 5: Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng utt = 4(uxx + uyy + uzz ) thoả mãn điều kiện Câu 6: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau: a. b. Câu 7: Giải bài toán Cauchy utt = k2(uxx + uyy) thoả mãn điều kiện đầu Câu 8: a) Chứng minh rằng . b) Tính tích phân không xác định . c) Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Ja(x) theo công thức , là các nghiệm dương của phương trình Ja(x) = 0 và hệ số Fourier , chứng tỏ rằng ; trong đó lk là nghiệm thực dương của phương trình J1(l) = 0. Giải: a-. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: Đây là điều phải chứng minh. b-Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì : Áp dụng công thức ta tính được: c- Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Ja(x) theo công thức , biết : là các nghiệm dương của phương trình Ja(x) = 0 và hệ số Fourier , chứng tỏ rằng ; trong đó lk là nghiệm thực dương của phương trình J1(l) = 0. Ta áp dụng các công thức truy toán sau: Ta tính : (Thầy ơi không biết em làm sai ở chỗ nào mà em có kết quả không giống như đề bài cho) Câu 9: a) Chứng minh rằng . b) Tính tích phân không xác định . c) Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Ja(x) theo công thức , trong đó lk là các nghiệm dương của phương trình Ja(x) = 0 và hệ số Fourier , chứng tỏ rằng ; trong đó lk là nghiệm thực dương của phương trình J0(l) = 0. Giải: a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì : Áp dụng công thức ta tính được: c- Triển khai Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Ja(x) theo công thức , biết: lk là các nghiệm dương của phương trình Ja(x) = 0 và hệ số Fourier , chứng tỏ rằng ; trong đó lk là nghiệm thực dương của phương trình J0(l) = 0. Ta áp dụng các công thức truy toán sau: Ta tính : (Thầy ơi không biết em làm sai ở chỗ nào mà em có kết quả không giống như đề bài cho) Câu 10: a) Cho quá trình dừng có hàm tự tương quan .Tìm mật độ phổ. b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n). Giải: Tìm mật độ phổ: Ta áp dụng công thức: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n) : Ta có : Câu 11: nếu 0< r < ¥ nếu £ 0 Cho Q là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn [0, 2p], R là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ Giả sử Q và R độc lập. a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + Q)là một quá trình dừng. b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan. c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không? Giải: Theo giả thiết R và Q độc lập,do đó: Vậy {x(t)} là quá trình dừng có hàm tự tương quan Hàm trung bình : m(t)=E[x(t)]=0 (Đã tính được kết quả ở phần trên) Ta có : Vậy Quá trình x(t) là quá trình ergodic. Câu 12: a) Cho x(t) là quá trình dừng với hàm tự tương quan , . Tìm mật độ phổ. b) Cho quá trình dừng ergodic x(t) có mật độ phổ Tìm hàm tự tương quan. Giải: Mật độ phổ của hàm x(t): Áp dụng công thức : P ()= Tìm hàm tự tương quan: Áp dụng công thức : Câu 13: a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) = a-nu(n), a > 0. i) Tìm biến đổi Z của x(n) ii) Tìm biến đổi Fourier của x(n) iii) Tìm biến đổi Fourier của y(n) = nx(n) b) Tìm biến đổi Fourier ngược của Giải : Tìm biến đổi : + Biến đổi Z của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là: + Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là : + Biến đổi Fourier của tín hiệu y(n)=na-nu(n) ,a>0 là : Ta có : b-Tìm biến đổi Fourier ngược của Câu 14: Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất P{Z1 = -1} = P{Z1 = 1} = 1/2. Đặt x(t) = Z1 cos5t + Z2sin5t. a) Chứng minh x(t) là quá trình dừng. b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan. c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không? Giải: Chứng minh x(t) là quá trình dừng: Do z1,z2 độc lập theo giả thiết đã cho nên Vậy {x(t)} là quá trình dừng. Tìm hàm trung bình, hàm tự tương quan: + hàm tự tương quan : + Hàm trung bình: m(t)= Câu 15: Giả sử hệ thống sắp hàng có tốc độ đến l = 12, tốc độ phục vụ m = 14. a) Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng trong các trường hợp sau: M / M /1, M / D /1, M / E5/1. b) Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng không vượt quá 3. Giải: Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng: + hàng M/M/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến l, thời gian phục vụ có phân bố mũ tốc độ m + hàng M/D/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến l, thời gian phục vụ không đổi tốc độ m + hàng M/E5/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến l, thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang-k với tốc độ m b-Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng không vượt quá 3 Độ dài trung bình của hàng M/Ek/1 là :