Ðại số tuyến tính (linear algebra) - Chương IX: Không gian vectơ (vector space)

1TRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘMÔN KHOA HỌC CƠ BẢN -------- TOÁN CAO CẤP Ngô Thái Hưng Năm học 2009 2ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) CHƯƠNG IX Không Gian Vectơ (Vector Space) GV: Ngô Thái Hưng 3NỘI DUNG • ðỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VECTƠ • KHÔNG GIAN CON – HỆ SINH • ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT • CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KG CON SINH BỞI MỘT HỆ VECTƠ • TỌA ðỘ CỦA MỘT VECTƠ 4§1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Cho tập hợp V ≠∅, trên V có hai phép toán : ( ) : V V V u, v u v + × → +֏ ( ) : V V k,u ku × →i ℝ ֏ Phép toán trong gọi là phép cộng Phép toán ngoài gọi là phép nhân với số thực 5§1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ V ở trên ñược gọi là một không gian vectơ trên ℜ, ký hiệu nếu hai phép toán trên V thỏa các tính chất: i. u+v = v+u ii. (u+v)+w = u+(v+w) iii. ∃! 0 ∈ V : u+0 = u iv. ∃ −u ∈ V : u+(−u) = 0 v. h(k.u) = (h.k)u vi. h(u+v) = h.u + h.v vii. (h+k)u = h.u + k.u viii. 1.u = u 0 ñược gọi là phần tử trung hòa của phép cộng. ( )V, ,+ i 6§1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Ví dụ 1 ( )2 a bV M / a,b,c,d c d    = = ∈      ℝ ℝ V có hai phép toán: Cộng hai ma trận Nhân ma trận với một số thực ⇒ V là một không gian vectơ 7§1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Ví dụ 2 Xét , với hai phép toán: ⇒ R3 là một không gian vectơ ⇒ Rn là một không gian vectơ ( ){ }= ∈ℝ ℝ3 x, y,z / x, y,z ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3x , x , x y , y , y x y , x y , x y+ = + + + ( ) ( )1 2 3 1 2 3k x , x , x kx ,kx ,kx= 8§1. Các khái niệm cơ bản 2. Tổ hợp tuyến tính Cho là một không gian vectơ. Với u1, u2, , un ∈ V và k1, k2, , kn ∈ ℜ, ta gọi k1u1 + k2u2 + + knun là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u1, u2, , un Nếu u ∈ V và u = k1u1 + k2u2 + + knun , u ñược gọi là biểu thị tuyến tính qua các vectơ u1, u2, , un Nhận xét : một tổ hợp tuyến tính các vectơ trong V thì cũng thuộc V ( )V, ,+ i 9§1. Các khái niệm cơ bản 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ Cho V = ℜ3, u1=(1,1,0), u2=(0,1,1), u3=(1,0,1) ∈ V Với k1, k2, k3 ∈ ℜ, ta có các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 là : ( )+ + + + + ∈ℝ1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3k u k u k u = k k ,k k ,k k 10 §1. Các khái niệm cơ bản 3. Không gian vectơ con Cho V là một không gian vectơ, W là một tập con khác rỗng của V. Nếu ∀ u, v ∈W, k ∈ ℜ, ta có u+v, k.u ∈W Thì ta nói W là một không gian vectơ con của V (gọi tắt là không gian con), ký hiệu W ≤ V 11 §1. Các khái niệm cơ bản 3. Không gian vectơ con Ví dụ Cho V = ℜ2 Xét W1={(x,0) | x ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W1≠∅ và W1 ≤ V. Xét W2={(m,2m) | m ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W2≠∅ và W2 ≤ V. 12 §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là một không gian vectơ, S = {u1, u2, , un} ⊂ V, W là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các vectơ trong S ⇒W ≤ V. Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W. Ký hiệu W = = hay W = SpanS. 13 §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Ví dụ Xét ℜ3 và W ≤ ℜ3, với Vậy ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } = + − ∈ = + − ∈ + − ∈ ℝ ℝ ℝ W m n,m n,n m,n m,m,0 n, n,n m,n = m 1,1,0 n 1, 1,1 m,n ( ) ( )W 1,1,0 , 1, 1,1= − 14 §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Hệ quả: Tập hợp tất cả các nghiệm của một HPT thuần nhất theo n ẩn là một không gian vectơ con của ℜn. Ví dụ (I) có nghiệm ⇒ Tập hợp nghiệm của hệ : ( ) + + − =  + + − = =  + − + =  + + − = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 2x 4x 3x 0 3x 5x 6x 4x 0 I 4x 5x 2x 3x 0 3x 8x 24x 19x 0 ( )− − + ∈ℝ8m 7n, 6m 5n,m,n , m,n ( ){ } ( ) ( )= − − + ∈ = − −ℝW 8m 7n, 6m 5n,m,n / m,n 8, 6,1,0 , 7,5,0,1 15 §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Lưu ý: Khi = V, ta nói S sinh ra V. Khi ñó với mọi vectơ v thuộc V, v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử trong S, nghĩa là: ∀ ∈ ∃ ∈ = + + +ℝ1 2 n 1 1 2 2 n nv V, k ,k ,...,k : v k u k u ... k u 16 §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Ví dụ : chứng minh = V Xét V = ℜ3, S = {e1,e2,e3} ⊂ ℜ3, với e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) Lấy v = (a,b,c) bất kỳ thuộc ℜ3, chứng minh = ℜ3 nghĩa là chứng minh v ∈ . v ∈ ⇔ ∃ k1,k2,k3∈ℜ : v = k1e1+k2e2+k3e3 ⇔ k1(1,1,0) + k2(1,0,1) + k3(0,1,1) = (a,b,c) 17 §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Cho V là một không gian vectơ, S = {e1, e2, , en} ⊂ V. S ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu Ngược lại, S không ñộc lập tuyến tính và S ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là ∈ + + + =ℝ 1 1 2 21 n n2 nk e k e ...k ,k ,...,k , k e 0 = = = =1 2 nk k ... k 0 ∃ ≠ + + + =i 1 1 2 2 n nk 0, k e k e ... k e 0 18 §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Ví dụ 1: chứng minh hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Xét V = ℜ3, S = {e1,e2,e3} ⊂ ℜ3, với e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) Xét k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0, ⇔ k1(1,1,0) + k2(1,0,1) + k3(0,1,1) = (0,0,0) Hệ là hệ Cramer thuần nhất k1 = k2 = k3 =0 19 §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Ví dụ 2: chứng minh hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Xét V = ℜ3, S = {u1,u2,u3} ⊂ ℜ3, với u1=(1,-2,1), u2=(2,1,-1), u3=(7,-4,1) Xét k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ⇔ k1(1,-2,1) + k2(2,1,-1) + k3(7,-4,1) = (0,0,0) 20 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 1. ðịnh nghĩa Cho V là một KGVT, S = {e1,e2,,en} ⊂ V. Ta nói S là một cơ sở của V nếu i. = V hay S sinh ra V ii. S ñộc lập tuyến tính Khi ñó, số chiều của V, ký hiệu dimV = n. Ta nói rằng V là KGVT hữu hạn chiều, và mọi cơ sở khác của V cũng ñều có ñúng n vectơ. 21 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Tọa ñộ của vectơ Cho V là một KGVT, S = {e1,e2,,en} ⊂ V, S là một cơ sở của V. Suy ra : ∀ v∈V, ∃k1,k2,,kn ∈ ℜ : v = k1e1+k2e2++knen Khi ñó, tọa ñộ của v ñối với cơ sở S, ký hiệu [ ] 1 2 S n k k v k       =        ⋮ 22 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Tọa ñộ của vectơ Ví dụ 1 Cho cơ sở Ta có Vậy S ở trên ñược gọi là cơ sở chính tắc trong , ñịnh nghĩa tương tự cho cơ sở chính tắc trong { } ( ) ( )= = = =   ℝ2V , S i, j , i 1,0 , j 0,1 ( )∀ = ∈ = + ℝ2v a,b , v ai bj [ ]  =     S a v b ℝ 2 ℝ n 23 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Tọa ñộ của vectơ Ví dụ 2 Cho Dễ thấy rằng S là một cơ sở của V, khi ñó { } ( ) ( )= = = = − −ℝ2 1 2 1 2V , S e ,e , e 1,1 , e 1, 1 ( )∀ = ∈ = +ℝ2 1 1 2 2v a, b , v k e k e 1 2 1 2 k k a k k b − = ⇔  + = [ ] S' a b 2v a b 2 +    =   − +      24 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 3. ðịnh lý về ma trận ñổi cơ sở Cho V là KGTV với hai cơ sở , ñặt khi ñó, ∀ v ∈ V, ta có Ma trận A ñược ký hiệu là , và ñược gọi là ma trận ñổi cơ sở từ sang { }1 2 ne ,e ,...,e=B { }= 1 2 n' f , f , ..., fB [ ] [ ] [ ]( )1 2 nA f , f , ..., f= B B B [ ] [ ]=v A. v B B' →PB B' B 'B 25 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 3. ðịnh lý về ma trận ñổi cơ sở Ví dụ: Xét , và hai cơ sở3V = ℝ { } ( ) ( ) ( )= = = =1 2 3 1 2 3e ,e ,e , e 1,0,0 , e 0,1,0 , e 0,0,1B { } ( ) ( ) ( )= = = =1 2 3 1 2 3' f , f , f , f 1,1,0 , f 1,0,1 , f 0,1,1B [ ] [ ] [ ]             = = =                  1 2 3 1 1 0 f 1 , f 0 , f 1 0 1 1 B B B Ta có Xét v có [ ] ' 0 v 1 2     =       B 26 §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 4. Tính chất của ma trận ñổi cơ sở Ví dụ : xét ví dụ ở mục ñịnh lý, tìm ( )−→ →= 1P PB' B B B' ( ) 1 1 1 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 P 1 0 1 P P 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 − → → → −        = ⇒ = = −        −    B B' B' B B B' →PB' B c.1 c.2 Tìm ?[ ] [ ] [ ]( )→ = 1 2 3P e , e , eB' B B' B' B' [ ] [ ] [ ]1 2 3e , e , eB' B' B' 27 §3. Hạng của hệ vectơ 1. ðịnh nghĩa Cho V là một KGVT, S = {v1,v2,,vn} ⊂ V số chiều của ñược gọi là hạng của S Ký hiệu rankS = dim Số phần tử của tập con ñộc lập tuyến tính lớn nhất của S ñược gọi là số vectơ tối ñại của S Tính chất: hạng của S chính là số vectơ tối ñại của S. 28 §3. Hạng của hệ vectơ 2. Tính chất Nếu ta thực hiện các phép biến ñổi sau trên S: • Hoán vị hai vectơ • Nhân một vectơ với một số khác 0 • Thay một vectơ bằng vectơ ñó cộng với một hằng số nhân vectơ khác Thì ta thu ñược hệ mới S’ và = 29 §3. Hạng của hệ vectơ 2. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ Cho V là KGVT, S={v1,,vn} ⊂ V, W= Bước 1: Lập ma trận A với Bước 2: Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên hàng ñể ñưa A về ma trận bậc thang, ta nhận ñược hệ S’ mới sinh ra W. Hạng của S chính là số các vectơ của S’       =        1 2 n v v A ... v 30 §3. Hạng của hệ vectơ 3. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ Ví dụ : Xét S={v1,,vn} ⊂ ℜ3, v1=(1,3,0), v2=(0,2,4), v3=(1,5,4), v4=(1,1,4).                         = = → →                              1 2 n v 1 3 0 1 3 0 1 3 0 v 0 2 4 0 2 4 0 2 4 A ... 1 5 4 0 2 4 0 0 0 v 1 1 4 0 2 4 0 0 0 ( ) ( )1 2W S v 1 3 0 , v 0 2 4= = = = v1 , v2 ñộc lập tuyến tính ⇒ rankS = 2 31 §3. Hạng của hệ vectơ 4. Khảo sát cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của HPTTT thuần nhất 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 2x x 3x 4x 0 2x 4x 2x 7x 5x 0 2x 4x 2x 4x 2x 0 + − + − =  + − + + =  + − + − = Xét hệ (I) − −    = −    − −  1 2 1 3 4 A 2 4 2 7 5 2 4 2 4 2 Chọn x1,x4,x5 làm ẩn cơ sở, ñặt x2=m, x3=n 32 §3. Hạng của hệ vectơ 5. Khảo sát cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do ñể HPTTT có nghiệm + − + − =  + − + + =  + − + − = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 2x x 3x 4x a 2x 4x 2x 7x 5x b 2x 4x 2x 4x 2x c Xét hệ (I) Xét W={(a,b,c) | hệ (I) có nghiệm}, ta có: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 a x 2x x 3x 4x , (a, b,c) W x , x , x , x , x , b 2x 4x 2x 7x 5x , c 2x 4x 2x 4x 2x . = + − + −  ∈ ⇔ ∃ ∈ = + − + +  = + − + − ℝ dimW=3 Hệ luôn có nghiệm duy nhất