11 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán
Phân tích: Nếu bài này ta làm như bình thường là thế thì sẽ là rất khó khăn trong việc xử lý. Nên ta sẽ tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình bằng 1 phương trình trong gệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu 11 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
có VTCP và (’) đi qua M’ có VTCP .
() chéo (’)
() cắt (’) với
() // (’)
() ≡ (’)
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng () đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP và mặt phẳng (α): Ax + By
+ Cz + D = 0 có VTPT .
() cắt (α)
() // (α)
() nằm trên mp(α)
0
P Q90 n n
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
1 2 3a (a ;a ;a )
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
);;( 321 aaaa
a a '
0'.'; MMaa
0'.'; MMaa
0'; aa
'
0';
M
aa
'
0';
M
aa
1 2 3a (a ;a ;a )
n (A;B;C)
a.n 0
a.n 0
M ( )
a.n 0
M ( )
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 141
Khoảng cách:
*Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M0 có VTCP .
*Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP , (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
Góc :
*Góc giữa hai đường thẳng :
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP
(’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
*Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
() đi qua M0 có VTCP , mp(α) có VTPT .
Gọi φ là góc hợp bởi () và mp(α), khi đó:
Sau đây ta chỉ xét các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):
2x+5y-3z-1=0?
Giải
(P) song song với (Q) nên nhận làm VTPT. Suy ra phương trình mặt phẳng
(P) là: 2(x-1)+5(y-3)-3(z+2)=0 hay 2x+5y-3z-23=0.
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua H(2;1;2) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A,B,C
sao cho H là trực tâm trực tâm của tam giác ABC?
Giải
Giả sử: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
Phương trình mp(P) có dạng đoạn chắn là: ,
M thuộc (P) nên:
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:
a
a
aMM
Md
,
),(
0
a 'a
';
'.';
)',(
aa
MMaa
d
1 2 3a (a ;a ;a )
1 2 3a (a ' ;a ' ;a ' )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a ' a .a ' a .a ' a .a '
cos cos(a,a ')
a . a ' a a a . a ' a ' a '
1 2 3a (a ;a ;a ) n (A;B;C)
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin cos(a,n)
A B C . a a a
)3;5;2( Qn
1
c
z
b
y
a
x
)1(1
112
cba
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 142
Giải (1), (2) và (3) ta được: a=3; b=c=6. PTMP (P): 2x+y+z-6=0.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;1), B(0;-2;3) và mặt phẳng
(P):2x-y-z+4=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB=3
Giải
MA=MB nên M nằm trên mặt phẳng trung trực (Q) của AB, mp(Q) đi qua trung điểm I(1;-
1;2) của AB và nhận làm VTPT nên có phương trình: x+y-z+2=0.
Hay M có tọa độ: M(2b-2;b;3b).
Mặt khác MA=3 nên:
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn:
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và hai điểm A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam
giác MAB có diện tích bằng ?
Giải
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(-2;1;-5), M(-14;-35;19)
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với đường thẳng
d và cắt trục Ox.
Giải
Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với (d), có phương trình: 2x+y-2z+2=0
Gọi B là giao điểm của trục Ox và (P), suy ra là đường thẳng đi qua các điểm A,B. B nằm
trên Ox nên có tọa độ: B(b;0;0) và thỏa mãn phương trình: 2b+2=0. Suy ra: B(-1;0;0).
)2(0)1.()).(1(0).2(0. cbcbaCBAH
)3(20. acCABH
)2;2;2( BA
MM
MM
MM
MM
MMM
MMM
yz
yx
yx
zx
zyx
zyx
QM
PM
3
22
022
0623
02
042
)(
)(
7
4
1
913222
222
b
b
bbb
7
12
;
7
4
;
7
6
);3;1;0( 21 MM
2
5
3
1
1
2
:
zyx
53
tttM
tz
ty
tx
zyx
25;31;2
25
31
2
2
5
3
1
1
2
:
)27;23;1()26;3;( tttMBtttMA
12
0
53;
2
1
);6;12(;
t
t
MBMAStttMBMA MAB
2
3
12
1
:
zyx
d
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 143
Phương trình đường thẳng
Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x+y+z-3=0; (Q): x-y+z-1=0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa
độ đến (R) bằng 2.
Giải
VTPT của (P) và (Q) lần lượt là: , suy ra: là
VTPT của (R). Mp(R) có phương trình dạng: x-z+D=0
Từ đó:
Vậy có 2 phương trình mp(R) thỏa mãn yêu cầu: ,
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-2z+1=0. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) biết rằng (Q) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng
(P) và khoảng cách giữa trục Oz và (Q) bằng .
Giải
Mặt phẳng (P) có VTPT: , trục Oz có vectơ đơn vị:
Ta có: và không cùng phương.
Theo giả thuyết giá của 2 vecto và song song hoặc nằm trên mp(Q) nên mp(Q) nhận
làm VTPT, (Q): x-y+d=0
Do Oz//(Q)
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn: x-y+2=0 và x-y-2=0
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(1;1;1), B(0;2;2) đồng thời (P) cắt
các trục Ox,Oy lần lượt tại hai điểm M,N (không trùng O) sao cho OM=2ON?
Giải
M(m;0;0), N(0;n;0). Do OM=2ON nên: , suy ra: m=2n hoặc m=-2n.
*Với m=2n suy ra:
Đặt:
Từ
Chọn suy ra PT của (P): x+2y-z-2=0.
*Với m=-2n suy ra:
Đặt
Từ
tz
ty
tx
33
22
21
:
)1;1;1();1;1;1( QP nn
)2;0;2(; QP nn
222
2
))(;( D
D
ROd
022 zx 022 zx
2
)2;1;1( n
)1;0;0(k
0)0;1;1(;
kn n
k
n
k
)0;1;1(;1 knn
22
2
))(,())(,( d
d
QOdQOzd
nm 2
)0;1;2()0;;2( nnnNM
)0;1;2(1 u
BAn
un
ABP
MNP
P
P
1
)(
)(
)1;2;1(;1 BAunP
)0;1;2()0;;2( nnnNM
)0;1;2(2 u
BAn
un
ABP
MNP
P
P
2
)(
)(
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 144
Chọn suy ra PT của (P): x-2y+3z-2=0
Ví dụ 9: Cho A(2;0;0), M(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho
(P) cắt trục Oy,Oz lần lượt tại 2 điểm B,C thỏa mãn:
1) Diện tích tam giác ABC bằng .
2) Thể tích khối chóp O.ABC bằng .
Giải
Giả sử B(0;b;0), C(0;0;c), ptmp (P): .
1) Ta có:
Suy ra có 3 ptmp (P) thỏa mãn yêu cầu:
2) Ta có:
Vậy có 3 ptmp (P):
Bài tập rèn luyện.
1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: và
. Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến
bằng 1.
1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;1;0), B(2;2;2), C(-2;3;1) và đường thẳng
. Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho thể tích tứ diện MABC bằng
)3;2;1(;2 BAunP
64
3
16
1
2
c
z
b
yx
213
213
4
4
03844)(
)(2
64..
2
1
;
2
1
)(
222
222
c
b
V
c
b
cbbc
cbbc
CABAACABCABAS
PM
ABC
0122132136:)(
0122132136:)(
042:)(
3
2
1
zyxP
zyxP
zyxP
244
244
4
4
16
)(2
3
16
)(
. c
b
V
c
b
bc
cbbc
V
PM
ABCO
0412212:)(
0412212:)(
042:)(
3
2
1
zyxP
zyxP
zyxP
tz
ty
tx 3
:1
21
1
2
2
:2
zyx
1 2
2
3
1
2
2
1
:
zyx
d
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 145
1.
2)Cho điểm M(1;1;2) và đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh A trên
mp(Oxy) sao cho AM vuông góc với (d), đồng thời góc giữa AM và mặt phẳng (Oxy) bằng
.
3)Cho hai đường thẳng . Viết phương trình đường
thẳng cắt cả hai đường thẳng trên, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P): x+4y-2z+5=0.
4)Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm . Lập phương
trình mp(P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng .
5)Cho 2 đường thẳng . Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ, đồng thời cắt theo thứ tự tại A và B sao cho đường thẳng
AB đi qua E(-2;-3;-2).
6)Cho 2 đường thẳng và điểm A(3;2;3).
Chứng minh 2 đường thẳng và điểm A cùng nằm trên một mặt phẳng. Xác định tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết chứa đường cao BH và chứa trung tuyến CM của tam
giác ABC.
7)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình vuông ABCD có đỉnh A(1;2;1) và
đường chéo BD: . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông?
C- MẶT CẦU
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I) Phương trình mặt cầu:
1). Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 .
2). Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2–D>0 là phương
trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính .
II) Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng
(P): Ax+By+Cz+D=0.
Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.
Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là
đường tròn có phương trình :
1
5
2
4
1
3
:
zyx
d
045
3
4
2
1
1
1
:,
12
1
1
: 21
zyx
d
zyx
d
2
1
;0;0);1;1;5();0;1;2( MBA
36
7
11
1
2
2
:)(;
1
1
1
2
1
1
:)( 21
zyx
d
zyx
d
21; dd
1
3
2
4
1
1
:;
2
3
1
3
1
2
: 21
zyx
d
zyx
d
21, dd
1d 2d
114
3 zyx
2 2 2R A B C D
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 146
Bán kính đường tròn .
Tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu
. Chứng minh mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường
tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó?
Giải
VTPT của (P): , mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính: R=5.
Vậy (P) cắt (S) theo một đường tròn. Gọi J và r là tâm và bán kính của đường tròn đó, gọi (t)
là đường thẳng qua I và vuông góc mp(P),
Từ đó tìm được: J(3;0;2). Bán kính:
Ví dụ 2: Cho điểm A(0;0;-2) và đường thẳng . Viết phương trình
mặt cầu tâm A, cắt ( ) tại hai điểm B,C sao cho BC=8?
Giải
mp(P) đi qua A và vuông góc ( ) có VTPT:
Suy ra phương trình mp(P): 2(x-0)+3(y-0)+2(z+2)=0 hay 2x+3y+2z+4=0
Gọi I là giao điểm của ( ) và (P), dễ dàng tìm được: I(-2;2;-3)
Khoảng cách từ A đến ( ) chính là độ dài
Vì mặt cầu cắt ( ) tại 2 điểm B,C nên I là trung điểm BC.
Xét tam giác vuông ABI ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 2
điểm A(0;0;2), B(4;-2;2), có tâm nằm trên (P): x+y-z-2=0 và tiếp xúc với đường thẳng
?
Giải
Trung điểm AB là N(2;-1;0), , suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn AB: (Q): 2x-y-5=0
Gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) thì dễ dàng tìm được:
, khi đó tâm mặt cầu cần tìm là: I(t;-5+2t;-7+3t)
2 2 2 2x a x a x a R
Ax By Cz D 0
2 2r R d(I,(P))
011642:)( 222 zyxzyxS
)1;2;2( Pn
RPId
3
)1()2(2
432.21.2
))(,(
222
1
3
2
2
2
1
:)(
zyx
t
435 2222 IJRr
2
3
3
2
2
2
:
zyx
)2;3;2(Pn
3)23()02(02 222 IA
25222 BIAIAB
25)2( 222 zyx
1
2
1
1
1
3
:)(
zyx
)0;2;4( BA
tz
ty
tx
d
37
25:)(
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 147
, lấy điểm M(-2;2;3) thuộc , ta có:
, và
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ) nên khoảng cách từ I đến ( ) bằng IA.
Khi đó:
+Với , phương trình mặt cầu cần tìm là:
+Với , phương trình mặt cầu cần tìm là:
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, điểm I(0;0;3) và đường thẳng
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt (d) tại hai điểm A,B sao
cho tam giác IAB vuông tại I?
Giải
A(-1+a;2a;2+a), B(-1+b;2b;2+b),
Theo đề ta có:
Phương trình mặt cầu (S):
)33;12;2( tttIA
)63;32;4( tttIM
)7;82;1(; tttuIM
3/4
2/3
0126141814
3
114486; 22
2
t
t
tttt
tt
u
uIM
IA
2
74
,
2
7
;2;
2
7
IARI
2
37
2
7
2
2
7
:)(
2
2
2
zyxS
3
566
,5;
3
11
;
3
2
IARI
9
566
5
3
11
3
2
:)(
2
22
zyxS
1
2
21
1
:
zyx
d
)1;2;1();1;2;1( bbbBIaaaAI
3
21
3
21
9
1
3
2
3
2
01)(3
0)233)((
02)(26
141141
011411
0.
222222
b
a
ab
ba
ba
baab
baba
baab
bbbaaa
baabba
IBIA
BIAI
3
8
141
2222 aaaIA
3
8
)3( 222 zyx
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 148
CHUYÊN ĐỀ 10. SỐ PHỨC
*Một số kiến thức cơ bản:
I)Định nghĩa:
Cho a và b là hai số thực, i là đơn vị ảo, khi đó: z=a+bi được gọi là số phức.
-Phần thực: a (kí hiệu: Re(z)=a).
-Phần ảo: b (kí hiệu: Im(z)=b).
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
II) Hai số phức bằng nhau:
Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương
ứng của chúng bằng nhau:
III) Biểu diễn số phức z=a+bi trên mặt phẳng tọa độ:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.
IV) Môđun của số phức, số phức liên hợp:
*Môđun của số phức z=a+bi được kí hiệu như sau:
*Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là:
*Chú ý:
V) Các phép toán:
Cho hai số phức: z=a+bi và z'=a'+b'i
Khi đó:
*Chú ý: , , , , , ,...
VI) Phương trình bậc hai với hệ số thực:
Cho phương trình:
-Nếu (*) có thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:
-Nếu (*) có thì phương trình có 1 nghiệm:
'
'
'
bb
aa
zz
22 bazr
biaz
2222. zzbazz
''.
'.
'
)''()''()'')(('.
)'()'('
zz
zz
z
z
ibaabbbaaibabiazz
ibbaazz
10 i 12 i ii 3 14 i 14 ki ii k 14
(*)02 cbxax
0
a
b
x
2
2,1
0
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 149
-Nếu (*) có thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:
VII) Dạng lượng giác của số phức:
được gọi là dạng lượng giác của số phức z=a+bi.
Trong đó:
là môđun của số phức z.
là một acgumen của z thỏa:
*Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho 2 số phức: và thì:
*Công thức Moivre: thì:
.
VIII) Các dạng toán:
A- Thực hiện các phép tính:
Ví dụ 1: Tính:
Giải
1)
2)
3)
a
b
x
2
0
a
ib
x
2
2,1
sincos irz
022 bazr
r
b
r
a
sin
cos
sincos irz 'sin'cos'' irz
)'sin()'cos(
''
)'sin()'cos('.'.
i
r
r
z
z
irrzz
*Nn
ninrzirz nn sincos)sin(cos
21 cos isin 2cos 2 sin os 2cos os isin
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
a a i c c
sin 1
1 tan 1 cos isin
cos cos
a
i a i a a
a a
7200923 )1()3)1()2)2.()21()1 iziziiz
iiiiiiiiiz 3841)43)(211()43.()2()2(361)2.()21( 3223
)1.(2)1.(.2)1.(2
)1.(1)1(
1004251.410041004
100422009
iiiii
iiiz
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 150
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
1)
Ta có:
=
=
2)
Tương tự:
Thay vào biểu thức ban đầu:
i
iiiii
ii
ii
i
i
iz
16
1
16
1
16
1
2
)1(
2
)1.()2(
2
)1.()1(
)1)(1(
)1(
)1(
1
)1(
47
3
7
32
7
7
7
7
5
10
6
7
sin
6
7
cos2
4
3
sin
4
3
cos3
3
2
sin
3
2
cos2
i
ii
A
10
2 2
2 os isin
3 3
c
20 20
32 os isin
3 3
c
5
7 7
2 os isin
6 6
c
35 35
32 os isin
6 6
c
6
35
sin
6
35
cos32
4
3
sin
4
3
cos
3
20
sin
3
20
cos332
i
ii
A
4
26
4
26
3
6
35
4
3
3
20
sin
6
35
4
3
3
20
cos3 ii
2
2
3
8
sin
3
8
cos1
3
8
sin
3
8
cos1
i
i
B
22
3
2
sin
3
2
cos1
3
8
sin
3
8
cos1
ii
3
2
cos
3
2
sin2
3
2
sin2
3
2
cos
3
2
sin2
3
2
sin2
3
4
sin
3
4
cos1
2
2
i
ii
2
3
8
sin
3
8
cos1
i
3
2
cos
3
2
sin2
3
2
sin2 2
i
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 151
Ví dụ 3: Cho hai số phức là 2 nghiệm của phương trình: , tính giá trị
của biểu thức: .
Giải
Giải phương trình trên: , và
Suy ra:
Vậy:
Ví dụ 4 : Cho hai số phức thỏa mãn: . Tính ?
Giải
Đặt: , theo giả thuyết suy ra:
Suy ra:
B-Tìm phần thực ,phần ảo, môđun, acgumen của số phức:
Ta biến đổi đưa số phức về dạng đại số.
Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo, của số phức z biết:
a)
Vậy phần thực của z là a=-64, phần ảo b=-64
b)
Đặt z=a+bi
Vậy z có phần thực là a=-2, phần ảo b=5.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: .Tìm phần thực, phần ảo, môđun của số phức
w, biết:
i
i
i
i
i
i
i
B
2
3
2
1
3
3
3
2
cos
3
2
sin
3
2
cos
3
2
sin
3
2
cos
3
2
sin2
3
2
sin2
3
2
cos
3
2
sin2
3
2
sin2
2
2
21; zz 01142
2 zz
221
2
2
2
1
zz
zz
A
iziz
2
23
1;
2
23
1 21 221 zz
2
22
2
23
1
2
21
zz
4
11
2
21
2
2
2
1
zz
zz
A
21; zz 3;1 2121 zzzz 21 zz
ibaz
ibaz
222
111
3
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
bbaa
baba
1112 21
2
21
2
212211 zzbbaababa
13)1( iz
iiiiiiiz 6464)1(64)1.()2()1.()1()1( 66213
2)31()4()32( izizi
5
2
622
846
68)22()46(
)31())(4())(32( 2
b
a
ba
ba
iibaba
ibiaibiai
i
i
z
1
31
3
izzw
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 152
Giải
, phần thực: a=-8, phần ảo: b=-8
Môđun
Ví dụ 3: Tìm môđun và một acgumen của các số phức:
1)
Vậy modun của z bằng 2, acgumen .
2)
Vậy modun của z bằng 1, acgumen
3)
Vậy modun của z bằng , acgumen
4)
Vì nên modun của z bằng , acgumen .
**Lưu ý: môđun của số phức là số dương.
C-Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
cho trước:
Ví dụ: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
1)
M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
z=x+iy,
izi
ii
ii
i
i
z 4444
1
8
1
31.31
1
31
23
iiiiizzw 884444
2888 22 w
iz 31
3
sin
3
cos2
2
3
2
1
231
iiiz
3
iz
5
cos
5
sin
10
3
sin
10
3
cos
52
sin
52
cos
5
cos
5
sin
iiiz
10
3
3
sin
3
cos1
iz
6
sin
6
cos
6
cos2
6
cos.
6
sin21
6
cos21
3
sin
3
cos1 2
iiiz
3
6
cos2
6
5
tan1
iz
5
sin
5
cos
5
cos
1
5
cos
5
sin
1
5
tan1
iiiz
0
5
cos
5
cos
1
5
1 iz
1)1(1)1(1 22 yxiyxiz
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 153
Tập hợp các điểm M là đường tròn (C) tâm I(0;1), bán kính R=1
2) M(x;y), z=x+yi,
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
3)
M(x;y), z=x+yi
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x-8y=25.
4)
M(x;y), z=x+yi,
Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O(0;0), bán kính R=3 (không tính biên).
5)
M(x;y), z=x+yi,
Tập hợp những điểm M là hình vành khăn giới hạn bởi đường tròn không tính
biên, và đường tròn tính biên. (hs tự vẽ hình)
D-Giải phương trình trên tập C.
Ví dụ 1: Tìm số phức z thỏa: (1+2i)z=3z+8 (*)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: z=-2-2i
Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn: (*)
Phương trình có 3 nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo:
(*)
Giải
Vì (*) có 1 nghiệm thuần ảo nên giả sử:
1
iz
iz
0)1()1()1()1(1 2222
yyxyxiyxiyx
iz
iz
izz 43
2222 )4()3()4()3(43 yxyxiyxyixizz
2586 yx
3z
9333 2222 yxyxyixz
21 z
4
1
21
22
22
yx
yx
z
122 yx
422 yx
i
ii
i
i
ziz 22
)1)(1(
)1(4
1
4
8)321(
0933 23 izizz
3
3
04)(2)()3(
0)2()(
)2()(
833(*)
2
33
33
3223
z
iz
iziiziz
iiz
iiz
iiziizz
012)64()32( 23 iziziz
iaczabiczaibz
Rcbacbzzaiziziziz
)()(
),,())((12)64()32(
23
223
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 154
Cân bằng hệ số ta được: a=-3, b=-2, c=4.
Do đó, phương trình (*) tương đương với:
Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn (*)
Giải
vì a,b không đồng thời bằng 0 nên chia 2 phương trình theo vế ta
được: 3a=4b, thế vào phương trình đầu ta được: a=4, b=3
Vậy số phức cần tìm là: z=4+3i
Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn: (*)
Giải
Đặt z=a+bi
vậy có 2 số phức z thỏa mãn: z=5+3i và z=5-3i
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho là 2 nghiệm của phương trình trên tập số phức, tính giá trị của
biểu thức: ? (DS: A=20)
2) Tìm phần ảo của số phức z biết: (DS: )
3) Tìm số phức z thỏa mãn: và (DS:z=3+4i, z=5)
4) Cho số phức z thỏa mãn: , tìm môđun của số phức w biết rằng ?
(DS: )
5) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
31
3
042
3
0)42)(3(
2
2
iz
iz
zz
iz
zziz
i
z
z 68
25
)0( 22 babiazbiaz
ii
ba
b
b
ba
a
ai
ba
bia
bia
i
bia
bia
68
2525
68
)(25
68
25
(*)
222222
6
25
1
8
25
1
22
22
ba
b
ba
a
zzzz
z
5)(17
51
3
5
534
242
534
25)1(
5)2.(17
5)1(
(*)
22
22
22
22
22
b
a
baa
aba
baa
ba
baa
bia
21, zz 0102
2 zz
2
2
2
1 zzA
iiz 21.2 2 2
10)2( iz 25zz
i
i
z
1
31
3
izzw
28
ziiz )1(
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 155
6) Tính giá trị của biểu thức: (DS: -512)
7) Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết
8) Tìm phần thực, phần ảo, môđun và 1 acgumen của số phức:
9) Tìm số phức z thỏa mãn: (DS: 1+i và 1-i)
10) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
11) Cho là 2 nghiệm của phương trình trên tập số phức, tính giá trị
của biểu thức: (DS: )
12) Giải phương trình trên tập số phức:
CHUYÊN ĐỀ 11. ĐẠI SỐ TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEW-TƠN
Một số công thức cần nhớ:
*Số phép hoán vị của n phần tử:
*Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử:
*Số phép tổ hợp chập k của n phần tử:
*Khai triển nhị thức New-Tơn:
Từ đó ta sẽ suy ra các kết quả quan trọng:
Một số dạng bài tập cơ bản:
6556 31.11.31 iiiiA
2013
2013 1
z
zw 1
1
z
z
2
3
1
i
z
2
82
22
zz
zzzz
0233 23 izizz
21, zz 054
2 zz
20112
2011
1 11 zzA
10062
034241 224 zzzz
!nPn
)!(
!
kn
k
Akn
)!(!
!
knk
n
C kn
n
k
kknk
n
n
baCba
0
..
n
n
n
nnn
n
k
kknk
n
n
n
k
n
n
n
nnn
kk
n
n
CxCxCxCxCx
CxCxCxCxCx
2
2
22
2
21
2
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
22
2
21
2
0
22
2
.......1.)1()1(
.......1)1(
nn
nnnn CCCC 2...
210 nnn
nnnn CCCC 42...
22
2
2
2
1
2
0
2
12
2
3
2
1
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
1
2
0
2 ......0...
nnnn
n
nnn
n
nnnn CCCCCCCCCC
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 156
A-Quy tắc đếm:
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0;1;2;3;4, có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số đôi một
khác nhau?
Giải
Số ban đầu có dạng: abc
*c=0: , khi đó có cách chọn 2 chữ số a,b.
* : có 2 cách chọn c, 3 cách chọn a, 3 cách chọn b . Vậy trường hợp này có 2.3.3=18
cách chọn trong trường hợp này.
Vậy tóm lại có cách lập thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1;2;3;4;5, ta có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ
số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần?
Giải
Có cách xếp 3 chữ số 1 vào 7 vị trí.
Chữ số 2 có 4 cách xếp, chữ số 3 có 3 cách xếp, chữ số 4 có 2 cách xếp, chữ số 5 có 1 cách
xếp.
Vậy có: số thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 3: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4
cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách trên lên
1 kệ sách dài sao cho các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
Giải
Có tổng cộng 3 nhóm sách, có 3! cách xếp 3 nhóm này.
Trong đó: có 2! Cách xếp 2 cuốn sách Toán, 4! Cách xếp sách Văn, 6! Cách xếp cuốn sách
Anh.
Vậy có tổng cộng 3!.2!.4!.6!=207 360 cách xếp thỏa mãn.
Ví dụ 4: Từ các chữ số 1;2;3;4;5, ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau? Tính tổng của các số đó?
Giải
Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ 5 chữ số đã cho. Sẽ
có số có dạng 12345, cũng như sẽ có số có dạng 54321, tổng của chúng bằng 66666. Do đó:
nếu có số có dạng thì cũng có số và tổng của chúng bằng 66666. Sẽ có 60 cặp
như vậy. Vậy tổng của 60 cặp số đó bằng 60.66666=3 999 960.
Ví dụ 5: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chũ số khác nhau sao cho trong số đó
luôn có mặt 2 chữ số 0 và 1?
Giải
Các số có 6 chữ số khác nhau là:
Các số có 6 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 0 là:
Các số có 6 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 1 là:
Vậy có: 136080-60480-53760=21840 số thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 6: Cho 2 đường thẳng d và d' song song với nhau, trên d có 10 điểm phân biệt, trên d'
có 8 điểm phân biệt. Có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của tam giác lấy từ 18
điểm đã cho?
Giải
Ứng với 1 điểm trên đường thẳng d sẽ có điểm nằm trên d' tạo được tam giác với d. Vậy
0ab
2
4A
0c
301824 A
3
7C
840.1.2.3.4 37 C
abcde edcba
13608059
6
10 AA
6048069 A
5376058
6
9 AA
2
8C
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 157
sẽ có tam giác được tạo thành ứng với 10 điểm trên d.
Lập luận tương tự ta cũng có tam giác được tạo thành ứng với 8 điểm trên d'. Vậy tổng
cộng có + =640 tam giác được tạo thành từ 18 điểm đã cho.
Bài tập rèn luyện:
1)Từ các chữ số 0;1;2;3;4, có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số sao cho chữ số 4 có
mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? (720)
2)Một nhóm học sinh gồm có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
10 học sinh này đứng thành 1 hàng dài sao cho 7 học sinh nam luôn đứng cạnh nhau?
(120960)
3)Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau
và phải có mặt chữ số 0? (180)
4)Từ các chữ số 1;2;3;...;8;9 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số và
không lớn hơn 789? (171)
5)Một đa giác lồi có 19 cạnh, tìm số đường chéo? (152)
B-Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển:
Ví dụ 1: Tìm số hạng chứa trong khai triển:
Giải
, dễ thấy k=3. Vậy số hạng chứa trong khai triển là:
Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
Giải
Để số hạng không chứa x thì k=4. Số hạng đó là:
Ví dụ 3: Tìm hệ số của trong khai triển:
Giải
Để có thì 2k+i=8. Ta có hệ:
, ta có các cặp: (k;i)=(3;2), (k;i)=(4;0)
Vậy hệ số của là:
Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: ?
2
810C
2
108C
2
810C
2
108C
3x
11)11( x
11
0
11
11
11 .11)11(
k
kkk xCx 3x
383
1111 xC
10
3 32
x
x
10
0
6
520
10
10
10
0
10
3
10
10
3 .)3.(2.
3
.2
3
2
k
k
kkk
k
k
k
k xC
x
xC
x
x
464
10 3.2.C
8x 8321 xx
8
0 0
2
8
8
0
8
0 0
32
8
32
8
832
.)1.(
.1
k
ki
i
ikii
k
k
k k
ki
i
iiki
k
kkk
xCC
xxCCxxCxx
8x
82
80
ik
ki
8x 238)1.()1.(
00
4
4
8
22
3
3
8 CCCC
10)21( x
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 158
Giải
hệ số . Ta có:
. Để thì:
Để thì:
Từ (1) và (2) suy ra là hệ số lớn nhất.
Bài tập rèn luyện:
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
2) Tìm hệ số của trong khai triển:
(3003)
3) Tìm hệ số của trong khai triển: (3402)
4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển:
C-Chứng minh hệ thức và tính tổ hợp:
Cần phải nhớ các công thức Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp.
*Một số lưu ý:
liên quan đến:
liên quan đến:
liên quan đến đạo hàm của
liên quan đến tích phân của
Ví dụ 1: Tính:
Xét khai triển:
, cho x=2:
Ví dụ 2: Tính:
Xét khai triển:
10
0
10
10 )2()21(
k
kk xCx kkk Ca 210
)10(2
1
2
2
11
10
10
1 k
k
C
C
a
a
kk
kk
k
k
1 kk aa
)1(...
3
1
61
)10(2
1
7610 aaaak
k
k
1 kk aa
)2(
3
1
61
)10(2
1
10987 aaaak
k
k
77
107 2Ca
18
5
1
2
x
x
9x
14109 )1(...)1()1()( xxxxp
10x
10
3 11
x
x
10
3
2
3
1
x
k
n
kCa na)1(
l
m
k
n CC .
mnmn xxx )1()1.()1(
k
nkC
nx)1(
k
nC
k 1
1
nx)1(
n
n
n
nnn CCCCS )2(...222
221100
n
n
n
nnn
n CxCxxCCx )(...)1( 2210
nn
n
n
nnn
n SCCCC )1()2(...22)21( 2210
1000
1000
10002
1000
20
1000
0 3...33 CCC
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 159
Cộng theo vế:
, cho x=3:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
Xét khai triển:
, lấy đạo hàm 2 vế:
, đạo hàm thêm lần thứ 2:
Cho x=1 ta suy ra được điều phải chứng minh.
D-Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình:
Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
Đk:
Biến đổi phương trình trên ta được:
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=5.
*Lưu ý: khi ta biến đổi đưa về phương trình bậc cao thì chỉ nhận nghiệm nguyên đối với n.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Đk:
Biến đổi bât phương trình:
Kết hợp điều kiện suy ra: hay: S={0;1;2;3}
1000
1000
10002
1000
21
1000
0
1000
1000
1000
1000
10002
1000
21
1000
0
1000
1000
...)1(
...)1(
CxCxxCCx
CxCxxCCx
1000
1000
10002
1000
20
1000
10001000 2...22)1()1( CxCxCxx
2
122
23...32)2()4(
10001000
1000
1000
10002
1000
20
1000
10001000
S
SCCC
232 2.).1().1(....3.22.1 nnnnn nnnCnCC
n
n
n
nnn
n CxCxxCCx ...)1( 2210
n
n
n
nnn
n CxnCxxCCxn 132211 .....3.2.1)1.(
n
n
n
nn
n CxnnCCxnn 2322 .).1(...3.22.1)1.().1(
115
24
43
1
4 n
CA
A
n
nn
n
Znn
nn
n
n
,4
4
31
4
50)13891)(5(
069059386
115
24
)3)(2()1(!4
)3)(2(!4
2
23
nnnn
nnn
n
nnn
nn
)1(1411
3
1
xCA
x
xx
2x
)4;1(2/7;0)282)(1(
)1(28)1()1()1(2
)1(14
)!1(!2
)!1(
)!2(
)!1(
2
xxxx
xxxxxx
x
x
x
x
x
)4;1(x
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 160
*Lưu ý: khi giải bất phương trình dạng này, tập nghiệm phải liệt kê các phần tử thỏa mãn.
Ví dụ 3: Tìm hai số nguyên dương m, n thỏa mãn:
Xét 2 trường hợp rồi đưa về hệ:
Bài tập rèn luyện:
1) Giải phương trình:
2) Tìm ba số m,n,p nguyên dương biết:
3) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
Gợi ý: chú ý rằng:
4) Tìm hệ số của trong khai triển , với n là số nguyên dương thỏa mãn:
Tuyển tập Hệ phương trình hay
Trong phần này, chúng ta sẽ cùng tham khảo một số hệ phương trình hay và cách giải sáng
tạo của bạn Lê Nhất Duy (học sinh lớp 12A8) chia sẻ. Đây là những bài hệ không mẫu mực,
rất thích hợp cho những bạn đang ôn trong các kỳ thi Học sinh giỏi và Đại học, Cao đẳng.
Bài 1: Giải hệ phương trình
yxyx
yx
9432
35
22
33
Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải quan sát các
hạng tử của 2 phương trình. Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc
một, từ đó ta liên tưởng đến hằng đẳng thức (a+b)3, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào
phương trình 1 hoặc phương trình 2 để khi cộng hoặc trừ 2 vế ta sẽ ra hằng đẳng thức đó.
Giải
Ta nhân phương trình (2) cho 3. Khi đó ta có hệ mới là:
yxyx
yx
9432
35
22
33
Ta lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), ta được: 5)3()2( 33 yxyx
Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta sẽ tìm được nghiệm.
Đáp số: (x;y)=(3;-2);(2;-3)
Vậy ý tưởng giải quyết bài dạng này là tìm 1 hệ số nhân vào phương trình chứa bậc 2 và
bậc 1 để khi cộng trừ 2 vế phương trình ta sẽ thu được hằng đẳng thức:
3:5:5:: 111
1
1
m
n
m
n
m
n CCC
3
6
0683
2
m
n
mn
mn
5
5
3 .720 xxx PAP
3:3:3:1::: 11
1
11
1
1
m
n
q
n
m
n
m
n CCCC
2016.).1(....3.2.1
12
1
2
3
1
2
0
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
n
C
C
n
C
C
C
C
C
C
kn
n
knk
knk
n
k
C
C
k
k
n
k
n
!
)!!.(
.
)!1)!.(1(
!
).1().1(
1
3x nxx )31(21
72 1
2
1
n
n
n
n
n ACnC
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 161
33 )()().2()1( byax
Sau đây là một số bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:
yxyx
yx
91634
91
)1
22
33
Đáp số: (x;y)=(3;4);(4;3)
xyyxyx
xyx
1788
493
)2
22
23
Đáp số: (x;y)=(-1;-4);(-1;4)
Bài 2: Giải hệ phương trình
xyy
yxx
262
43
3
3
Phân tích: Thoạt nhìn bài này, có nhiều bạn sẽ cố gắng dùng các phương pháp thế hoặc tìm
hệ số nhân cho 1 phương trình nào đó để biến đổi, nhưng các cách đó sẽ rất phức tạp hoặc khó
khăn trong việc xoay sở và tìm kiếm. Vì thế ta liên tưởng đến việc dùng phương pháp đánh
giá để tìm nghiệm hệ phương trình.( nếu bạn nào nhanh mắt có thể đoán nghiệm của phương
trình rồi cố gắng tách để so sánh với nghiệm đó để biện luận nghiệm duy nhất)
Giải
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
)2(2)2()1(2
)1(2)2()1(
2232
223
2
2
3
3
xyy
yxx
xyy
yxx
Từ đó, ta xét:
Nếu x>2 thì từ phương trình (1) ta suy ra y<2, nhưng y<2 thì sẽ không thỏa phương trình (2)
vì thế ta loại. Tương tự nếu x<2 ta cũng loại. Vậy x=2 ,suy ra y=2. Thử lại ta thấy đó là
nghiệm của hệ.
Đáp số: (x;y)=(2;2).
Bài 3: Giải hệ phương trình:
0443
81
698
22
24
yxxyyx
yx
Phân tích: Các bạn sẽ rất khó giải nếu cứ chú ý tới phương trình 1, vì nó là một cái bậc 4 và 1
cái bậc 2 không liên quan gì nhau. Hãy quan sát phương trình 2 ta thấy đó là phương trình bậc
cao nhất là bậc 2 đối với các hạng tử.Vì thế ta sẽ phân tích tích nghiệm của phương trình 2
theo ẩn x và theo ẩn y. Một là nếu là số chính phương thì ta có thể phân tích thành nhân tử
rồi kết hợp với phương trình 1 tìm nghiệm,hai là ta có thể tìm điều kiện của x và y để biện
luận phương trình.
Giải
Từ phương trình (2) ta có: 0)2()3( 22 yxyx
Để phương trình có nghiệm thì:
3
7
10)2(4)3( 22 yyy
Tương tự ta viết phương trình (2) thành: 043)4( 22 xxyxy
Để phương trình có nghiệm thì:
3
4
00)43(4)4( 22 xxxx
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 162
Từ đó ta suy ra:
81
698
81
687
9
49
81
25624 yx
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4: Giải hệ phương trình
4644
2
2012
2
2
2224 2223
1
18
9816
yyyxx
y
y
x
xyyxyxyx
Phân tích: Ta cũng quan sát thấy phương trình (1) có cái căn bậc 2012rất cồng kềnh và phức
tạp nên ta sẽ nghĩ hướng đi sẽ là ở phương trình (2). Quan sát thấy phương trình (2) có các
hạng tử x,y liên quan nhau nên ta thử chia cho y5
Giải
Xét y=0 không là nghiệm của hệ phương trình,ta chia 2 vế của phương trình thứ hai cho y5
yy
y
x
y
x
5
5
5
(*)
Xét hàm số: 015)(';)( 45 ttftttf , hàm số đồng biến trên R.
Từ phương trình (*) suy ra: x=y2 .Thế vào phương trình thứ nhất ta được:
3189816 2012 234 34 xxxxxx
Đặt
0189
0816
2012 23
4 34
xxxb
xxa
, ta có hệ:
06)(
)3(6
3
201244
420124
bbaba
xba
xba
Suy ra x=6 hoặc x=3 (loại nghiệm x=0).
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: 6;6;3;3);( yx
Bài 5: Giải hệ phương trình
2222
22
8141
3
xyxyx
xxyyx
Giải
Ta chú ý rằng phương trình (2) biến đổi sẽ được: 224322 84 yxyxyx (*)
Phương trình (1) sau khi điều kiện ta bình phương hai vế cũng thu được:
22222 3 xyxyx
Thế (*) vào phương trình này ta được:
1
0
0
01
384
222
2222243
x
y
x
xyx
xyxyxyx
Từ các giá trị đó ta tìm được các nghiệm của hệ là:
5
1
;1);0;0();( yx
Bài 6: Giải hệ phương trình
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 163
22
33
133
28
yx
yyxx
Phân tích: Nếu bài này ta làm như bình thường là thế thì sẽ là rất khó khăn trong việc xử lý.
Nên ta sẽ tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương
trình bằng 1 phương trình trong gệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình.
Giải
Hệ đã cho tương đương với:
63
(*)3463
63
463
63
42
22
2233
22
33
22
33
yx
yxyxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
012012(*)
23
223
y
x
y
x
y
x
xyyxx (do y=0 không là nghiệm)
yx
yx
x
t
t
t
4
3
0
4
3
0
, kết hợp với một trong hai phương trình ban đầu ta giải được nghiệm
13
6
;
13
6
4;
13
6
;
13
6
4);1;3();1;3();( yx
Bài 7: Giải hệ phương trình
2
3
15
1
111
2
22
x
y
yyxx
Phân tích: Ta biến đổi bằng cách dùng biểu thức liên hợp từ phương trình đầu .
Giải
Từ phương trình đầu ta có :
11
1111
22
2222
xxyy
xxyyxxxx
Tương tự ta cũng có: yyxx 11 22
Từ hai phương trình này ta có: x+y=0 hay: x= -y
Thay vào phương trình còn lại của hệ:
2
3
15
1
2
y
y
Bình phương 2 vế:
20
10525
2/1
1
0132510121 2
y
y
y
yyyy
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm:
20
10525
;
20
10525
,
2
1
;
2
1
),1;1();( yx
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 164
MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ ................................................................................... 3
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số. ........................................................................... 3
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên
từng khoảng xác định) ............................................................................................................ 3
Vấn đề 3: Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước ... 5
Vấn đề 4: Tiệm Cận. ............................................................................................................. 11
Vấn đề 5: Các Vấn Đề Liên Quan Đến Tiếp Tuyến ............................................................. 12
Vấn đề 6: Tương Giao Đồ Thị .............................................................................................. 18
Vấn đề 7: Sử Dụng Tính Chất Đơn Điệu Của Hàm Số Để Giải Phương Trình, Bất Phương
Trình, Hệ Phương Trình. ...................................................................................................... 23
Vấn đề 8: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC
TRỊ VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .................................................................... 30
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .............................................................. 32
A-Phương trình lượng giác đưa về dạng đơn giản: .............................................................. 33
B-Phương trình lượng giác có điều kiện: ............................................................................. 36
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................. 40
*Cần nhớ lại các dạng Hệ phương trình cơ bản: .................................................................. 40
A- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ. .................................... 42
B-GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MỚI ................................................................................................... 48
C- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG . 52
D-HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ. ........................................................... 54
CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ .................................. 57
A-ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO GIẢI ĐƯỢC ................................................... 58
B-ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỚI ................. 61
C-ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............................................................. 66
D-KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP ....................................................................................... 69
E-LƯỢNG GIÁC HÓA ....................................................................................................... 73
F-PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ .............................................................................................. 74
G-BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ......................................................................................... 74
CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ,
LOGARIT ................................................................................................................................ 76
A-Phương trình, bất phương trình mũ: ................................................................................. 77
B-Phương trình ,bất phương trình Logarit: .......................................................................... 83
C-Hệ Phương Trình Mũ, Logarit: ......................................................................................... 87
CHUYÊN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN ................................................................... 91
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 165
ξ1. NGUYÊN HÀM ............................................................................................................. 91
ξ 2. TÍCH PHÂN ................................................................................................................ 101
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp : ..................................................................... 107
CHUYÊN ĐỀ 7: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ..................................................... 109
Phần 1: Những vấn đề cần nhớ khi tính toán ..................................................................... 109
Phần 2: Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp ........................................... 109
Phần 3: Các bài toán về tính thể tích .................................................................................. 110
Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian ..................................................... 113
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. .............. 118
CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG ....................................................................... 122
Phần một: Bài tập liên quan đến xác định các yếu tố trong tam giác ................................. 122
Phần hai: Một số dạng bài tập liên quan đến đường tròn. .................................................. 128
Phần 3: Một số dạng toán liên quan đến đa giác. ............................................................... 132
Phần 4: Các dạng bài tập liên quan đến Elip, Hipebol, Parabol ......................................... 134
CHUYÊN ĐỀ 9: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ............................................. 138
A-Phương trình mặt phẳng: ................................................................................................ 139
B-Phương trình đường thẳng: ............................................................................................. 140
C- MẶT CẦU ..................................................................................................................... 145
CHUYÊN ĐỀ 10. SỐ PHỨC ................................................................................................. 148
I)Định nghĩa: ...................................................................................................................... 148
II) Hai số phức bằng nhau: ................................................................................................. 148
III) Biểu diễn số phức z=a+bi trên mặt phẳng tọa độ: ....................................................... 148
IV) Môđun của số phức, số phức liên hợp: ........................................................................ 148
V) Các phép toán: ............................................................................................................... 148
VI) Phương trình bậc hai với hệ số thực: ........................................................................... 148
VII) Dạng lượng giác của số phức: .................................................................................... 149
VIII) Các dạng toán: ........................................................................................................... 149
CHUYÊN ĐỀ 11. ĐẠI SỐ TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEW-TƠN ............................................. 155
A-Quy tắc đếm: .................................................................................................................. 156
B-Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển: ............................................................................ 157
C-Chứng minh hệ thức và tính tổ hợp: ............................................................................... 158
D-Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình:.................................................. 159
Tuyển tập Hệ phương trình hay .............................................................................................. 160
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh 166
Các file đính kèm theo tài liệu này:
11_chuyen_de_on_thi_dai_hoc_lta_1__2984.pdf
