Toán học - Chuỗi số dương

  1n nu nun  ,0 1.Định nghĩa: với II. CHUỖI SỐ DƯƠNG )(xf  Nkk ),,[ 2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên a) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số   1 )( n nf    k dxxf )( Khi đó hội tụ hội tụ Chuỗi số dương là chuỗi Chuỗi   1 1 n n VD1: Xét chuỗi 0  n u Nếu thì nên chuỗi phân kỳ. 0 1 n u thì nên chuỗi phân kỳ.  Nếu 0 x xf 1)(  Nếu khi đó xét hàm a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) phân kỳ nếu        1 1 n n Vậy chuỗi 1 1 hội tụ nếu VD 1(tt) phân kỳ nếu Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên Mà        dx x1 1  1 1 hội tụ nếu ),1[  Vậy tích phân   2 ln xx dx phân kỳ. Theo tiêu chuẩn tích phân   2 ln 1 n nn phân kỳ.   2 ln 1 n nn xx xf ln. 1)(  VD2: Xét chuỗi Xét hàm Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên Mà      222 |lnln ln )(ln ln x x xd xx dx ),2[    1n nv   1n nu   1n nu   1n nv Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi Hoặc nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi phân kỳ. Khi đó: hội tụ   1n nu   1n nv b) Tiêu chuẩn so sánh 1: và thoả điều kiện N: 0< un  vn, n  N Cho hai chuỗi số dương    15 2 n n n n n n n n        5 2 5 20         1 5 2 n n )1 5 2 ( q VD1: Cho chuỗi số Ta có: Mà chuỗi hội tụ    1 5 2 n n n n Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi hội tụ b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)   2 ln n n n 3;01ln  n nn nun   2 2 1 1 n n VD2: Cho chuỗi số Ta có: Mà chuỗi phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi   2 ln n n n phân kỳ. tích phân) b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)      11 , n n n n vu k v u n n n   lim   1n nv   1n nu   1n nu   1n nv   1n nu   1n nv c) Tiêu chuẩn so sánh 2: Giả sử tồn tại hội tụ thì chuỗi  k = + nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.  k = 0 nếu chuỗi  0 < k < + hai chuỗi hội tụ. hội tụ. Cho hai chuỗi số dương      1 4 2 1 1 n n nn 24 2 1~ 1 1 nn nn   n   1 2 1 n n      1 4 2 1 1 n n nn VD1: Xét chuỗi số Ta có: khi Mà chuỗi Nên chuỗi có cùng tính chất là hội tụ. hội tụ. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)     1 4 3 11 n n nn 4 5 4 3 4 3 2~ )11( 211 nnnnn nn un     n   1 4 5 1 n n     1 4 3 11 n n nn VD2: Ta có khi Mà chuỗi Nên chuỗi có cùng tính chất hội tụ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) Xét chuỗi số hội tụ.   1 1 n n nn nn nn u 1 n vn 1 11limlim   nnn n n nv u   1 1 n n   1 1 n n nn VD3: Xét chuỗi số Ta có . Xét Lúc này Mà chuỗi Nên chuỗi cũng phân kỳ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) phân kỳ ) 1 1ln(1 1     n n nn 1 21~) 1 21ln(1     nnnn un n 2 3 1 n vn 2lim   n n n v u   1 2 3 1 n n ) 1 1ln(1 1     n n nn VD4: Xét chuỗi số Ta có khi Xét Lúc này mà chuỗi Nên chuỗi cũng hội tụ. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) hội tụ 2 1 3 2 1arctg. n n n    3 4 11~1arctg. 2 3 2 2 3 2 nn n n nun  n   1 3 4 1 n n 2 1 3 2 1arctg. n n n    VD5: Xét chuỗi số Ta có khi Mà chuỗi Nên chuỗi cũng hội tụ. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) hội tụ   1n nu D u u n n n   1lim   1n nu   1n nu d) Tiêu chuẩn D’Alembert: Giả sử tồn tại giới hạn  Nếu D>1 thì Cho chuỗi số dương  Nếu D<1 thì phân kỳ.  Nếu D=1 thì chưa có kết luận. hội tụ. Nn u u n n  11   1n nu Tuy nhiên nếu ta chứng minh được thì lúc này ta kết luận phân kỳ. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)   1 !.3 n n n n n  nnn n u u 1 1 1 3   VD1: Xét chuỗi số Ta có 13 e   1 !.3 n n n n n Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi phân kỳ.      1 2 ln! 52 n n nn n nn n u n n ln! 52 2      1n nv   1n nu VD2: Xét chuỗi số Ta có Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi cũng hội tụ. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) chuỗi Mà 021  nV V n n ! 2 n v n n ~ hội tụ nên khi n   1 !. n n n n ne   1 1 1 1    n n n n e u u   enn  11 11 n n u u   1 !. n n n n ne VD3: Xét chuỗi số Ta có Tuy nhiên ta có nên Vậy chuỗi phân kỳ. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)   1n nu cun nn   lim   1n nu   1n nu e) Tiêu chuẩn Cauchy: giả sử tồn tại Nếu c < 1 thì Nếu c = 1 thì chưa có kết luận. Cho chuỗi số dương hội tụ. Nếu c > 1 thì phân kỳ.   2 )(ln 3 n n n n 0 ln 3  n un n   2 )(ln 3 n n n n VD1: Xét chuỗi số Ta có: Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ. e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) Tuy nhiên nếu ta chứng minh được Nnun n  ,1 thì ta kết luận chuỗi phân kỳ.    1 2 2 )1( 2. n n nn n n 12 )1( 2 1    e u n n n n   1n nu VD2: Xét chuỗi số Ta có: Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ. e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) nn n n            1 12 32 1 12 32     n n un n 1 12 32    n n   1n nu VD3: Xét chuỗi số Ta có: Tuy nhiên Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy phân kỳ. e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)