Toán học - Bài 5: Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 2 2 3 7 1 3 9 2 3 4 5 0 x y z x y z x y z            Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 3 4 0 3 8 5 3 2 4 2 7 9 x x x x x x x x x x x x x x x                     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 3 5 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 8 5 3 2 3 8 5 3 0 4 2 74 2 7 9 x x x x x x x x A x x x x x x x                                     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 2 3 4 0 0 3 8 5 3 2 2 94 2 7 9 x x x x x x x x B x x x x x x x                                Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 2 3 4 0 3 8 5 3 2 4 2 7 9 2 3 5 1 2 1 2 3 4 0 3 8 5 3 2 0 4 2 7 9 bs x x x x x x x x x x x x x x x A                                     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: 2 7 1 9 3 1 4 0 5 9 2 5 x y z                              2 7 9 3 4 0 5 9 2 5 x y z x y z x y z             Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame  Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame  Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 5 3 2 1 x x x x x x x x x            1 1 2 2 1 3 3 2 1 D     1 1 1 2 5 1 3 1 2 1 D     2 1 1 2 2 5 3 3 1 1 D   3 1 1 1 2 1 5 3 2 1 D    = -19 = -29 = -9 = -8 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ Grame 1 1 2 2 3 3 19 8 29 8 9 8 D x D D x D D x D          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss  Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. Đổi chỗ hai PT của hệ. Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ. 0  0  1 2 3 2 2 5 x y z x y z x y z            1 2 3 2 2 4 2 10 x y z x y z x y z             2 4 2 10 1 2 3 2 x y z x y z x y z             Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss  Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Xét hệ phương trình tổng quát sau: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta có ma trận bổ sung tương ứng Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 11 12 1 1 1 22 2 2 2 ' ' ... ' ... ' ' 0 ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... ... ... ' 0 0 ... ' ... ' ' 0 0 ... 0 ... 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 ... 0 ... 0 0 r n r n r r r n r a a a a b a a a b A a a b k                        Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT 11 1 12 2 1 1 1 22 2 2 2 2 1 2 ' ' ... ' ... ' ' ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... ' ... ' ' 0 0 ... 0 ... 0 r r n n r r n n rr r rn n r r n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b x x x x k                            Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có:  1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy ra hệ PT vô nghiệm.  2. Nếu thì hệ có nghiệm:  a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất.  b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số. 0k  0k  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng: 11 1 12 2 1 1 1 22 2 2 2 2 ' ' ... ' ... ' ' ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... ' ... ' ' ... ... ... ' ' r r n n r r n n rr r rn n r nn n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b                     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau: Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó. 11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1 22 2 2 2( 1) 1 2 2 ( 1) 1 ' ' ... ' ' ... ' ' ' ... ' ' ... ' ' ... ... ... ... ... ' ' ... ' ' r r r r n n r r r r n n rr r r r r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b                            Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 3 5 2 5 3 5 3 3 5 5 3 2(5 3) 7 1 5 3 5 3 7 1 6 5 3, 1 2 1 13 2 7 2 x y z x y z y z y z x z z x z y z y z x m x y m m y z m z x m y z                                                       Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 3 5 2 5 3 5 4 3 3 5 4 x y z t x y z t y z t y z t                     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 1 4 1 5 1 2 4 h h h h h h     .  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Vậy hệ phương trình Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: ...bsA   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss  Bài Tập: Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 3 2 2 3 4 5 1 2 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x                                1 0 2 1 4 3 2 1 x x x x Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 1 4 1 2 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 3 4 5 1 0 0 4 2 2 h h h h                  3 2 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 0 11 1 1 0 0 4 2 2 h h               1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 0 3 4 5 1 1 1 2 3 0                4 311 4 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 0 11 1 1 0 0 0 18 18 h h               Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss  Bài Tập: Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 1 3 4 3 1 4 7 1 2 5 5 8 2 x x x x x x x x x x x x x x x x                       1 2 3 4 2 3 4 2 5 1 3 2 0 x x x x x x x          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 11 12 1 1 1 22 2 2 2 ' ' ... ' ... ' ' 0 ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ' ... ' ' 0 0 ... 0 ... 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 ... 0 ... 0 0 r n r n bs r r r n r a a a a b a a a b A a a b k                        Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có:  1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy ra hệ PT vô nghiệm.  2. Nếu thì hệ có nghiệm:  a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất.  b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số. 0k  0k  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 1 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A        2 1 2 1 1 1 0 1 3 2 2 0 0 1 2 3 0 0 0 1 1 bsA m m               1 ( ) ( ) 3bsm r A r A n       Biện luận theo m số nghiệm của hệ: 2 2 1 3 2 2 2 3 ( 1) 1 x y z t y z t z t m t m                 Hệ vô nghiệm Hệ có VSN Hệ có Ng duy nhất 1 ( ) ( ) bsm r A r A n       Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 2 1 2 5 3 0 2 3 3 1 x y z t x y z t y z t x y z mt                   Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 1 2 1 2 1 0 1 5 3 2 0 0 7 0 5 0 0 0 7 77 43 bsA m             Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp 11 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A      hệ vô nghiệm 11 ( ) ( ) 4bsm r A r A     hệ có nghiệm duy nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 2 3 0 2 5 2 1 2 3 1 x y z t x y z t y z at b x z t                  Bài tập: Biện luận theo a, b số nghiệm của hệ phương trình Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 1 2 1 3 0 0 1 0 7 1 0 0 1 20 3 0 0 0 13 2 bsA a b              13 ( ) 4,a r A    2 ( ) 4bsb r A      Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp 13 ( ) 3a r A    hệ có vô số nghiệm 2 ( ) 3bsb r A      hệ vô nghiệm ( ) 4bsb r A   hệ có nghiệm duy nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 3 2 1 2 3 2 3 4 2 1 x y z x y mz x y z             Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất 11 12 1 21 22 2 1 2 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. 0 n nbs m m mn a a a a a a A a a a              Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất  Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:  Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình  Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất  Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,,0).  Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường.  Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa.  Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất  Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất 1 2 1 0 3 1 0 0 2 A m         2 ( ) 3m r A    Ta có: Biến đổi sơ cấp Do đó với Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường 2m   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất  Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §5: Hệ PTTT thuần nhất  Ta có 1 2 1 det( ) 2 1 3 1 1 A m      (3 6) 0m   2m  