Toán rời rạc - Chương 5: Lý thuyết chuỗi

10/3/2014 1 Chương 5. Chuỗi 5.1. Định nghĩa. 5.2. Chuỗi số không âm. 5.3. Chuỗi đan dấu. 5.4. Chuỗi lũy thừa. Chương 5. LÝ THUYẾT CHUỖI I. Khái niệm về chuỗi số 1. Định nghĩa, ví dụ Định nghĩa 1 Cho dãy số thực Biểu thức đgl một chuỗi số, un đgl số hạng tổng quát thứ n. , 1, 2,...nu n = 1 2 1 ... ... (1)n n n u u u u +∞ = + + + + = ∑ Tổng đgl tổng riêng thứ n của chuỗi. - Nếu (hữu hạn) thì chuỗi (1) được gọi là chuỗi hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi Sn và ta viết: - Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ. 1 2 ...n nS u u u= + + + lim n n S S →∞ = 1 .n n S u +∞ = = ∑ Ví dụ 1 Chuỗi cấp số nhân * Nếu thì chuỗi hội tụ và có tổng bằng * Nếu thì chuỗi phân kỳ. 0 n n q +∞ = ∑ 1q < 0 n n q +∞ = ∑ 1 1 q− 0 1 . 1 n n q q +∞ = = − ∑ 1q ≥ 0 n n q +∞ = ∑ Ví dụ 2 Tính tổng của chuỗi 1 1 ( 1)n n n +∞ = + ∑ Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi 1 1ln 1 n n +∞ =   +    ∑ 10/3/2014 2 2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Định lý 1 Nếu chuỗi hội tụ thì Hệ quả 1 Nếu (hoặc không tồn tại) thì chuỗi phân kỳ. 1 n n u +∞ = ∑ .lim 0n n u →∞ = lim 0n n u →∞ ≠ 1 n n u +∞ = ∑ Ví dụ 4 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 1 2 1 1 1) 3 2 ) ( 1); ) sin n n n n a n b n c n +∞ = +∞ = +∞ = − + + ∑ ∑ ∑ 3. Các tính chất của chuỗi Định lý 2 Cho các chuỗi hội tụ. Khi ấy, các chuỗi hội tụ và 1 1 ,n n n n u v +∞ +∞ = = ∑ ∑ 1 1 ,n n n n n cu u v +∞ +∞ = = +∑ ∑ 1 1 1 1 1 . . ,n n n n n n n n n n n cu c u u v u v +∞ +∞ = = +∞ +∞ +∞ = = = = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Chuỗi đgl chuỗi dư của chuỗi (1). Định lý 3 Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ. Hệ quả 2 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không đổi khi ta bớt đi hoặc thêm vào chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. 1 2 ... ... (2)n n mu u u+ ++ + + + II.Chuỗi số không âm (chuỗi số dương) Định nghĩa 2 Chuỗi được gọi là chuỗi số không âm nếu Nếu thì được gọi là chuỗi số dương (thực sự). 1 n n u +∞ = ∑ 0, .nu n≥ ∀ ∈ℕ 0, ,nu n> ∀ ∈ℕ 1 n n u +∞ = ∑ Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 1. Tiêu chuẩn so sánh 1. Cho hai chuỗi số dương thỏa mãn Khi đó: i) Nếu hội tụ thì hội tụ. ii) Nếu phân kỳ thì phân kỳ. 1 1 ,n n n n u v +∞ +∞ = = ∑ ∑ 0 , .n nu v n< ≤ ∀ ∈ℕ 1 n n v +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n v +∞ = ∑ 10/3/2014 3 Ví dụ 5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số 2 1 1 3 1 11. 32. 5 2 6 2( 1)3. 2 n n n n n n n n n n +∞ = +∞ = +∞ + = + + + − ∑ ∑ ∑ 2. Tiêu chuẩn so sánh 2 Cho hai chuỗi số dương và Khi đó: i) hội tụ thì hội tụ. ii) cùng bản chất. iii) hội tụ thì hội tụ. 1 1 ,n n n n u v +∞ +∞ = = ∑ ∑ lim .n n n u k v→∞ = 0 :k< < +∞ 0 :k = 1 n n v +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ 1 1 ,n n n n u v +∞ +∞ = = ∑ ∑ :k = +∞ 1 n n v +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ Ví dụ 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau 2 1 5 1 11. 2 3 12. 2 3 n n n n n n +∞ = +∞ = + + + + ∑ ∑ 3. Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert Cho chuỗi số dương Đặt: i) Nếu thì hội tụ. ii) Nếu thì phân kỳ. iii) Nếu thì chưa thể kết luận. 1 .n n u +∞ = ∑ 1lim .n n n uD u + →∞ = 1,D < 1 n n u +∞ = ∑ 1,D > 1 n n u +∞ = ∑ 1,D = Ví dụ 7 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 3 1 2 1 1. ( !)2. (2 )! n n n n e n n +∞ = +∞ = ∑ ∑ 4. Tiêu chuẩn căn số Cauchy Cho chuỗi số dương Đặt: i) Nếu thì hội tụ. ii) Nếu thì phân kỳ. iii) Nếu thì chưa thể kết luận 1 .n n u +∞ = ∑ lim .n n n C u →∞ = 1,C < 1 n n u +∞ = ∑ 1,C > 1 n n u +∞ = ∑ 1,C = 10/3/2014 4 Ví dụ 8 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1 1 1 1 11. 1 3 2. . 3 4 33. 3 4 n n n n n n n n n n n n +∞ = +∞ = +∞ =   +    +   +  ∑ ∑ ∑ 5. Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm f là hàm liên tục, dương, giảm trên Khi đó chuỗi số dương và tích phân suy rộng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. [ , ).k +∞ ( )n n k n k u f n +∞ +∞ = = =∑ ∑ ( ) k f x dx+∞∫ Ví dụ 9 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 3 2 1 11. ln 12. , . n n n n n α α +∞ = +∞ = ∈ ∑ ∑ ℝ 04/11/2012 22Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ • Chuỗi với được gọi là chuỗi có dấu tùy ý. 1 n n u +∞ = ∑ ℝnu ∈ VD 19. ( )2 1 sin sin1 sin 4 sin9 ... n n +∞ = = + + +∑ ( ) 1 1 2 3 1 ... 1 2 3 4 n n n n +∞ = − =− + − + + ∑ 04/11/2012 23Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ
Mệnh đề. Nếu hội tụ thì hội tụ. 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ VD 20. Xét sự hội tụ của chuỗi ( ) ( )431 2 1 1 . 1 n n n n n +∞ = + − + ∑ Giải Xét chuỗi: ( ) ( ) ( )4 43 31 1 2 1 2 1 1 . 1 1 n n n n n n n n n +∞ +∞ = = + + − = + + ∑ ∑ 04/11/2012 24Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ Ta có: ( ) ∼ 4/33 43 41 1 1 2 1 1 1n n n n n nn nn n +∞ +∞ +∞ = = = + = + ∑ ∑ ∑ hội tụ ( )431 2 1 1n n n n +∞ = + ⇒ + ∑ hội tụ ( ) ( )431 2 1 1 1 n n n n n +∞ = + ⇒ − + ∑ hội tụ. 10/3/2014 5 04/11/2012 25Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ VD 21. Chuỗi hội tụ.( ) 2 1 cos n n n n +∞ = ∑
Lưu ý. Khi chuỗi có hội tụ thì ta nói chuỗi hội tụ tuyệt đối. 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n u +∞ = ∑ 04/11/2012 26Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ
Định lý. Cho chuỗi . Đặt hay 1 n n u +∞ = ∑ 1lim n n n u u α + →+∞ = lim n nn uα →+∞ = . Khi đó • Nếu thì chuỗi đã cho hội tụ.1α < • Nếu thì chuỗi đã cho phân kỳ.1α > 04/11/2012 27Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ VD 22. Khảo sát tính hội tụ của chuỗi: ( ) 3 1 3 . n n n +∞ = − ∑ Giải ( ) 3 1 3 3 lim lim 3 1 1 n n n n u n u n α + →+∞ →+∞ = = = > + ( ) 3 1 3 n n n +∞ = − ⇒∑ phân kỳ. 04/11/2012 28Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ  Chuỗi đan dấu: Dạng ( ) 1 1 , 0. n n n n u u +∞ = − >∑
Tiêu chuẩn Leibnitz Nếu là dãy số dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.( ) 1 1 n n n u +∞ = −∑ { }nu 04/11/2012 29Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ VD 23. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: ( ) 1 1 . n n n +∞ = − ∑ Giải 1 nu n =Ta thấy dãy là dãy dương, giảm, tiến về 0 chuỗi hội tụ.( ) 1 1 n n n +∞ = − ⇒∑ 04/11/2012 30Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ VD 24. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: ( ) ( )1 1 . ln 1 n n n +∞ = − + ∑ Giải • Ta thấy ( ) 1 0, 1. ln 1 n u n n = > ∀ ≥ + ( ) i 1 lim lim 0. ln 1 nn n u n→+∞ →+∞ = = + 10/3/2014 6 04/11/2012 31Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi có dấu bất kỳ ( ) ( ) i 1 1 1 , 1. ln 2 ln 1 n n u u n n n + = < = ∀ ≥ + + Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ. 04/11/2012 32Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Cho dãy hàm số cùng xác định trên tập hợp Ta gọi tổng 1( ),..., ( ),...nf x f x 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( ), (1)n n n f x f x f x f x +∞ = + + + + ≡∑ là chuỗi hàm số (hay vắn tắt là chuỗi hàm). .D ⊂ ℝ 04/11/2012 33Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm VD 25. 2 3 1 ... ...n n n x x x x x +∞ = = + + + + +∑ 2 1 ... ...nx x x nx n e e e e +∞ − − − − = = + + + +∑ • Nếu tại , là một chuỗi số hội tụ (phân kỳ) thì ta nói là điểm hội tụ (điểm phân kỳ) của chuỗi hàm (1). 0x D∈ 0x ( )0 1 n n f x +∞ = ∑ 04/11/2012 34Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. 04/11/2012 35Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm 1 .nx n ne +∞ − = ∑VD 26. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Thay , ta được chuỗi số= ∈0 ℝx x +∞ − = ∑ 0 1 .nx n ne − − − →+∞ →+∞ = = =0 0 0lim lim .nx x xn n n n D ne ne e • Nếu . Khi đó, phân kỳ.0 0 1x D +∞ − = ∑ 0 1 nx n ne 04/11/2012 36Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Nếu . Khi đó, hội tụ.> ⇒ <0 0 1x D +∞ − = ∑ 0 1 nx n ne • Nếu thì chuỗi có dạng . Đây là chuỗi phân kỳ. =0 0x +∞ = ∑ 1n n Vậy, miền hội tụ của chuỗi là ( )= +∞0, .D 10/3/2014 7 04/11/2012 37Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm 2 1 . ! n n x n +∞ = ∑VD 27. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải • Nếu thì chuỗi hội tụ.=0 0x Thay , ta được chuỗi số= ∈0 ℝx x +∞ = ∑ 2 0 1 ! n n x n 04/11/2012 38Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Nếu , ta có≠0 0x ( )+ →+∞    =  +  2 1 2 0 0lim : ( 1)! ! n n n x x C n n →+∞ = = < + 2 0lim 0 1. 1n x n Theo tiêu chuẩn tỷ số, ta suy ra chuỗi hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: .D = ℝ 04/11/2012 39Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm 1 1 . x n n +∞ = ∑VD 28. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Vậy miền hội tụ của chuỗi là: ( )1; .D = +∞ Giải • Với , chuỗi đã cho hội tụ.1x > • Với , chuỗi đã cho phân kỳ.1x ≤ 04/11/2012 40Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm a• Điểm được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa (2). 1 2 , ,..., ,... n c c c• được gọi là các hệ số của chuỗi (2). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 ..., 2 n n n c x a c c x a c x a +∞ = − = + − + − +∑ với • Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm dạng ℝ 1 2 , , ,..., . n a c c c ∈ 04/11/2012 41Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Bằng phép biến đổi tuyến tính, chuỗi lũy thừa trên được viết lại dưới dạng: ( )20 1 2 0 ... ... , 3n n n n n c x c c x c x c x +∞ = ≡ + + + + +∑
Định lý Nếu chuỗi (3) hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm1x ( )1 1; .x x x∈ − 04/11/2012 42Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm Nếu chuỗi (3) phân kỳ tại thì nó sẽ phân kỳ tại mọi điểm mà 2x x 2.x x>
Định nghĩa Nếu chuỗi (3) hội tụ tại mọi điểm và phân kỳ tại mọi điểm mà thì được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (3). x ( ),x R R∈ − x R> R 10/3/2014 8 04/11/2012 43Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm
Hệ quả • Nếu chuỗi (3) hội tụ với mọi thìx ∈ ℝ .R = +∞ • Nếu chuỗi (3) chỉ hội tụ tại thì0x = 0.R = 04/11/2012 44Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm
Định lý Cho Đặt hay Khi đó, bán kính hội tụ được cho bởi: 0 .nn n a x +∞ = ∑ lim .n n n r a →+∞ =1lim n n n a r a + →+∞ = , 0, 0, , 1 , 0 . r R r r r +∞ == = +∞  < <+∞ 04/11/2012 45Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm VD 29. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi ( ) 1 1 . n n n x n +∞ = − ∑ Giải Ta có ( )1 n na n − = ( )1 1 . n n n n n a n n − ⇒ = = 1 lim lim 1n n nn n r a n→+∞ →+∞ = = = Bán kính hội tụ 1 1.R r = = 04/11/2012 46Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm
Thuật toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Cho chuỗi lũy thừa Để tìm miền hội tụ, ta tiến hành các bước sau: 0 .nn n a x +∞ = ∑ Tìm bán kính hội tụ .RBước 1. • Nếu thì miền hội tụ là0R = { }0 .D = • Nếu thì miền hội tụ làR = +∞ .D = ℝ 04/11/2012 47Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Nếu thì ta có khoảng hội tụ là0 R< <+∞ ( );R R− Lúc này ta chuyển sang bước 2. Bước 2. Xét tính hội tụ của chuỗi tại , .x R x R=− = • Hội tụ tại thì miền hội tụ làx R= ± [ ]; .D R R= − • Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ làx R= ( ; ].D R R= − 04/11/2012 48Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm • Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ làx R=− [ ; ).D R R= − • Không hội tụ tại thì miền hội tụ làx R= ± ( ); .R R− 10/3/2014 9 04/11/2012 49Mã MH: C01004- Chương 1 Chuỗi hàm VD 30. Tìm miền hội tụ của chuỗi ( ) 1 1 . n n n x n +∞ = − ∑ VD 31. Tìm miền hội tụ của chuỗi ( ) 1 1 . 2 n n n x n +∞ = − ∑ VD 32. Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 2 .n n n x +∞ = ∑ ----------------------------------------