Một số định lý điểm bất động trong không gian Cauchy yếu

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian Cauchy yếu. Trên cơ sở đó chứng minh được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn. 1 GIỚI THIỆU Năm 1922, S. Banach đã chứng minh một kết quả rất nổi tiếng mang tên "Nguyên lý ánh xạ co Banach". Có lẽ đó là kết quả nổi tiếng nhất trong Lý thuyết điểm bất động ([1]). Với tầm ảnh hưởng rộng lớn cả về lý thuyết lẫn ứng dụng, Nguyên lý ánh xạ co Banach nói riêng và Lý thuyết điểm bất động nói chung ngày càng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học. Một số kết quả đặc sắc có thể tìm thấy trong [1] và [2]. Gần đây, với việc giảm nhẹ tính đủ của không gian, tác giả S.M. Ali đã chứng minh sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ co f : C −→ C với C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Cauchy yếu X(xem [3]). Năm 2007, trong một bài báo của mình, hai tác giả L.B. C´iric´ và S.B. Presˇic´ đã chứng minh rằng, dưới một số điều kiện nhất định, tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ X sao cho T (x∗, . . . , x∗) = x∗, trong đó T là một ánh xạ đi từ không gian mêtric đủ X vào chính nó và sau đó suy ra Nguyên lý ánh xạ co Banach như là một trường hợp đặc biệt (xem [5]). Từ khái niệm không gian Cauchy yếu, trong bài báo này, chúng tôi trình bày một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach tương tự như trong [5] và từ đó suy ra kết quả trong [3] như là một hệ quả. Ngoài ra, chúng tôi còn thiết lập được thêm một số kết quả khác về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn. Để tiện theo dõi, xin nhắc lại một số khái niệm sau: Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 5-10 6 TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ Định nghĩa 1. ([2]) Cho (X, dX) và (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0; 1) sao cho dY (f(x), f(y)) ≤ αdX(x, y), với mọi x, y ∈ X. Nếu dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y), với mọi x, y ∈ X. thì f được gọi là ánh xạ không giãn. Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach). ([2]) Cho X là một không gian mêtric đủ và f : X −→ X là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động. Định nghĩa 2. ([3]) Một không gian định chuẩn X được gọi là không gian Cauchy yếu nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ yếu về một phần tử nào đó của X. Nhận xét 1.1. ([3]) Cho X là một không gian định chuẩn. X là không gian Cauchy yếu khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong X đều có một dãy con hội tụ yếu về một phần tử nào đó của X. Định lý 1.2. ([3]) Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X và f : C −→ C là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ C. Hơn nữa, dãy (fn(x))n hội tụ yếu đến x∗, với mọi x ∈ C. Trong bài báo này, các ký hiệu B(x0, r), B ′(x0, r) và S(x0, r) lần lượt được dùng để chỉ hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0, bán kính r trong không gian định chuẩn. 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU Định lý 2.1. Giả sử X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X, k là một số nguyên dương và f : Ck −→ C thỏa mãn điều kiện: tồn tại λ ∈ (0; 1) sao cho ‖f(x1, x2, . . . , xk)− f(x2, x3, . . . , xk+1)‖ ≤ λ max 1≤i≤k ‖xi − xi+1‖, với mọi x1, x2, . . . , xk+1 ∈ C. Khi đó tồn tại x∗ ∈ C sao cho f(x∗, x∗, . . . , x∗) = x∗. Hơn nữa, nếu ‖f(x, x, . . . , x) − f(y, y, . . . , y)‖ < ‖x − y‖, với mọi x, y ∈ C, x 6= y thì x∗ là điểm duy nhất thỏa mãn f(x∗, x∗, . . . , x∗) = x∗. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU 7 Chứng minh. Xét dãy (xn)n các phần tử của C được xác định bởi x1, x2, . . . , xk ∈ C tùy ý, xk+n = f(xn, xn+1, . . . , xn+k−1), n ∈ N. Gọi αn = ‖xn − xn+1‖, n ∈ N, θ = λ1/k, K = max{α1/θ, α2/θ2, . . . , αk/θk}. Ta sẽ chứng minh αn ≤ Kθn, n ∈ N, (1) bằng quy nạp. Trước hết, dễ thấy (1) đúng với n = 1, 2, . . . , k. Bây giờ, với giả thiết quy nạp αn ≤ Kθn, αn+1 ≤ Kθn+1, . . . , αn+k−1 ≤ Kθn+k−1, ta suy ra αn+k = ‖xn+k − xn+k+1‖ = ‖f(xn, xn+1, . . . , xn+k−1)− f(xn+1, xn+2, . . . , xn+k)‖ ≤ λmax{αn, αn+1, . . . , αn+k−1} ≤ λmax{Kθn, Kθn+1, . . . , Kθn+k−1} = λKθn = Kθn+k. Vậy (1) được chứng minh. Với n,m ∈ N và n < m ta có ‖xn − xm‖ ≤ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ · · ·+ ‖xm−1 − xm‖ = αn + αn+1 + · · ·+ αm−1 ≤ Kθn +Kθn+1 + · · ·+Kθm−1 ≤ Kθ n 1− θ . Do đó (xn)n là một dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian Cauchy yếu nên (xn)n hội tụ yếu đến x∗ ∈ X. Mặt khác, do C là lồi đóng nên C đóng yếu, hơn nữa, (xn)n ⊂ C nên x∗ ∈ C. Ta sẽ chứng minh x∗ = f(x∗, x∗, . . . , x∗). Lấy ε > 0 tùy ý. Với mỗi số tự nhiên n, xét hàm gn : C −→ R x 7−→ gn(x) = ‖xn − x‖. Khi đó gn là một hàm lồi liên tục trên C. Do đó tập F nε := {x ∈ C | gn(x) ≤ gn(x∗)− ε}, là một tập đóng yếu trong C. Suy ra tập Gnε := {x ∈ C | gn(x) > gn(x∗)− ε}, 8 TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ là tập mở yếu trong C. Dễ thấy x∗ ∈ Gnε và vì (xm)m hội tụ yếu về x∗ nên tồn tại m0 ∈ N sao cho xm ∈ Gnε với mọi m ≥ m0, tức là gn(x ∗)− ε < gn(xm), với mọi m ≥ m0. Nếu m0 ≤ n thì ta nhận được gn(x∗) − ε n thì ta có gn(x ∗)− ε < gn(xm0) = ‖xn − xm0‖ ≤ Kθn 1− θ . Nói tóm lại, ta luôn có gn(x ∗)− ε < Kθ n 1− θ , với mọi n ∈ N. Từ đó suy ra lim sup n→∞ gn(x ∗) = 0. Vì gn(x∗) ≥ 0 với mọi n ∈ N nên lim n→∞ gn(x ∗) = 0, tức là (xn)n hội tụ mạnh về x ∗. Với mỗi n ∈ N ta có ‖x∗ − f(x∗, x∗, . . . , x∗)‖ ≤ ‖x∗ − xn+k‖+ ‖xn+k − f(x∗, x∗, . . . , x∗)‖ = ‖x∗ − xn+k‖+ ‖f(xn, xn+1, . . . , xn+k−1)− f(x∗, x∗, . . . , x∗)‖ ≤ ‖x∗ − xn+k‖+ ‖f(x∗, x∗, . . . , x∗)− f(x∗, x∗, . . . , x∗, xn)‖ + ‖f(x∗, . . . , x∗, xn)− f(x∗, . . . , x∗, xn, xn+1)‖ + · · ·+ ‖f(x∗, xn, xn+1, . . . , xn+k−2)− f(xn, xn+1, . . . , xn+k−1)‖ ≤ ‖x∗ − xn+k‖+ λ‖x∗ − xn‖+ λmax{‖x∗ − xn‖, ‖xn − xn+1‖} + · · ·+ λmax{‖x∗ − xn‖, ‖xn − xn+1‖, . . . , ‖xn+k−2 − xn+k−1‖}. Lấy giới hạn khi n→∞ ta được f(x∗, x∗, . . . , x∗) = x∗. Bây giờ giả sử thêm rằng ‖f(x, x, . . . , x)− f(y, y, . . . , y)‖ < ‖x− y‖, với mọi x, y ∈ C, x 6= y. Lúc đó nếu có y∗ ∈ C, y∗ 6= x∗ mà f(y∗, y∗, . . . , y∗) = y∗ thì ‖x∗ − y∗‖ = ‖f(x∗, x∗, . . . , x∗)− f(y∗, y∗, . . . , y∗)‖ < ‖x∗ − y∗‖. Mâu thuẫn này chứng tỏ x∗ là điểm duy nhất thỏa mãn f(x∗, x∗, . . . , x∗) = x∗. Trong trường hợp k = 1, ta nhận được Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian Cauchy yếu. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU 9 Định lý 2.2. Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X và f là một ánh xạ co từ C vào C. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ C. Hơn nữa, dãy (fn(x))n hội tụ mạnh đến x∗ với mỗi x ∈ C. Hệ quả 2.1. Cho X là một không gian Banach và f : X −→ X là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động. Định lý 2.3. Cho X là một không gian Cauchy yếu, x0 ∈ X, r > 0 và ánh xạ co f : B(x0, r) −→ X thỏa mãn điều kiện ‖f(x0)− x0‖ < (1− α)r, trong đó α là hằng số co. Khi đó f có ít nhất một điểm bất động. Chứng minh. Chọn ε > 0 sao cho ‖f(x0)−x0‖ ≤ (1−α)ε < (1−α)r. Đặt C = {x ∈ X | ‖x− x0‖ ≤ ε}. Ta có C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của X. Hơn nữa, với mọi x ∈ C ta có ‖f(x)− x0‖ ≤ ‖f(x)− f(x0)‖+ ‖f(x0)− x0‖ ≤ α‖x− x0‖+ (1− α)ε ≤ ε. Do đó f(x) ∈ C. Như vậy ta có ánh xạ co f|C : C −→ C. Theo Định lý 2.2, f có điểm bất động trong C. Định lý 2.4. Giả sử X là một không gian Cauchy yếu, f : B′(0, r) −→ X là một ánh xạ co với hằng số co α và thỏa mãn f(S(0, r)) ⊂ B′(0, r). Khi đó f có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Đặt g(x) = x+ f(x) 2 , x ∈ B′(0, r). Lấy tùy ý x ∈ B′(0, r) mà x 6= 0 và đặt x¯ = rx ‖x‖ . Vì x− x¯ = x ‖x‖(‖x‖ − r) nên ta có ‖f(x)− f(x¯)‖ ≤ α‖x− x¯‖ = α(r − ‖x‖). Từ đó suy ra ‖f(x)‖ ≤ ‖f(x¯)‖+ ‖f(x)− f(x¯)‖ ≤ r + α(r − ‖x‖) ≤ 2r − ‖x‖. Do đó ‖g(x)‖ ≤ ‖x‖+ ‖f(x)‖ 2 ≤ r. Vì g liên tục trên B′(0, r) nên ta suy ra ‖g(0)‖ ≤ r. Như vậy, g : B′(0, r) −→ B′(0, r). Ngoài ra, g là ánh xạ co vì ‖g(x)− g(y)‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖f(x)− f(y)‖ 2 ≤ 1 + α 2 ‖x− y‖. Theo Định lý 2.2, g có điểm bất động duy nhất trên B′(0, r) và đó chính là điểm bất động duy nhất của f trên B′(0, r). 10 TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ Phần tiếp theo của mục này được dành để trình bày một số kết quả về điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Cauchy yếu. Định lý 2.5. Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X và f : C −→ C là một ánh xạ không giãn sao cho f(C) là một tập con compact của C. Khi đó f có ít nhất một điểm bất động. Chứng minh. Lấy x0 ∈ C, đặt fn(x) = ( 1− 1 n ) f(x) + 1 n x0, x ∈ C, n ≥ 2. Vì C là tập lồi nên fn(x) ∈ C. Với mỗi n ≥ 2, fn là một ánh xạ co từ C vào C. Thật vậy, với mọi x, y ∈ C ta có ‖fn(x)− fn(y)‖ = ( 1− 1 n ) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ ( 1− 1 n ) ‖x− y‖. Do đó, theo Định lý 2.2, với mỗi n ≥ 2 tồn tại xn ∈ C sao cho xn = fn(xn) = ( 1− 1 n ) f(xn) + 1 n x0. Ta có (f(xn))n ⊂ f(C) và do f(C) là tập compact nên tồn tại một dãy con (f(xnk))k của dãy (f(xn))n và tồn tại x ∗ ∈ f(C) sao cho f(xnk)→ x∗ khi k →∞. Ta có xnk = fnk(xnk) = ( 1− 1 nk ) f(xnk) + 1 nk x0. Do đó xnk → x∗ khi k → ∞. Vì f liên tục nên f(xnk) → f(x∗) khi k → ∞. Suy ra f(x∗) = x∗. Vậy f có điểm bất động. Hệ quả 2.2. Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, compact, khác rỗng của X và f : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó f có ít nhất một điểm bất động. Hệ quả 2.3. Cho f : Rn −→ Rn là một ánh xạ không giãn sao cho f(Rn) là một tập bị chặn. Khi đó f có ít nhất một điểm bất động. Định lý 2.6. Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của X và f : C −→ C là một ánh xạ không giãn sao cho (I − f)(C) là một tập con đóng trong X. Khi đó f có ít nhất một điểm bất động. Chứng minh. Lấy x0 ∈ C, đặt fn(x) = ( 1− 1 n ) f(x) + 1 n x0, x ∈ C, n ≥ 2. Vì C là tập lồi nên fn(x) ∈ C. Ta có fn là ánh xạ co từ C vào C với mọi n ≥ 2. Do đó, theo Định lý 2.2, với mỗi n ≥ 2 tồn tại xn ∈ C sao cho xn = fn(xn). Ta có xn − f(xn) = fn(xn)− f(xn) = − 1 n (f(xn)− x0) . MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU 11 Do đó (I − f)(xn)→ 0 khi n→∞. Vì (I − f)(C) là tập đóng nên 0 ∈ (I − f)(C). Từ đó suy ra tồn tại x∗ ∈ C sao cho x∗ = f(x∗). Vậy f có điểm bất động. 3 KẾT LUẬN Như vậy, bài báo đã trình bày một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach, khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, x∗, . . . , x∗) = x∗, trong đó f : Ck −→ C với C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Cauchy yếu X và f thỏa mãn những điều kiện nhất định cho trước. Từ đó, một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn trong không gian Cauchy yếu đã được thiết lập. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.P. Agarwal, M. Mehan, D. O’Regan (2001). Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press. [2] S.M. Ali (2006). Reduced assumption in the Banach contraction principle. Journal of mathematics and Statistics, 3(2), 54-57. [3] S.M. Ali (2007). Fixed point of non-expansive operators on weakly Cauchy normed spaces. Journal of Mathematics and Statistics, 3(2), 54-57. [4] L.B. C´iric´ and S.B. Presˇic´ (2007). On Presˇic´ type generalization the Banach contrac- tion mapping principle. Acta. Math. Univ. Comenianae, Vol LXXVI, 2, 143-147. [5] J. Dugundji and A. Granas (2003). Fixed Point Theory. Springer, New York. Title: SOME FIXED POINT THEOREMS IN WEAKLY CAUCHY NORMED SPACE Abstract: In this paper, we present a generalization of Banach contraction principle in weakly Cauchy normed space. Base on this, we prove some results about existence fixed point for contractive and nonexpansive mappings. ThS. TRẦN THIỆN TÍN Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ThS. TRẦN QUÂN KỲ Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế