Hàm một biến

Hμm một biến 1. Công thức tính đạo hàm • (uα)’ = α .u’.uα-1 (α: Hằng số, U: Hàm số) • (aU)’ = u’.ln a.aU (a: Hằng số, U: Hàm số) • (eU)’ = u’.eU • (Sin u)’ = u’.cos u • Cos u)’ = - u’.sin u • (Tg u)’= uCos u 2 ' ; • (Cotg u)’= uSin u 2 '− • (Logau)’ = au u ln. ' • (arcsin u)’ = 21 ' u u − ; • (arccos u)’ = 21 ' u u − − • (arctg u)’ = 21 ' u u + ; • (arccotg u)’ = 21 ' u u + − • (u ± v)’=u’ ± v’ • (u.v)’= u’v+v’u • ( v u )’ = 2 '' v uvvu − 2. Vi phân du = u’.dx 3. Giới hạn - Vô cùng bé t−ơng đ−ơng : 0)( = → xLim ax α => α(x) đ−ợcgọi là vô cùng bé khi x->a 1 )( )( = → x xLim ax β α --> α(x) và β(x) là hai vô cùng bé t−ơng đ−ơng khi x->a Ký hiệu : α(x) ∼β(x) khi x->a Định lý : Nếu α(x) ∼α1(x) và β (x) ∼β1(x)khi x->a thì )( )( )( )( 1 1 x xLim x xLim axax β α β α →→ = ƒ Sin x ∼ x khi x->0 ƒ ArcSin x ∼ x khi x->0 ƒ Tg x ∼ x khi x->0 ƒ ArcTg x ∼ x khi x->0 ƒ ex-1 ∼ x khi x->0 ƒ ln(1+x) ∼ x khi x->0 - Công thức Lopital khử dạng 0 0 ; ∞ ∞ : 1 )(' )(' )( )( xg xfLim xg xfLim axax →→ = 4. Tính liên tục của hàm số Hàm số: y = f(x) liên tục tại x = x0 nếu : + f(x0) xác định và hữu hạn + )()( 0 0 xfxfLim xx = → (Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì x0 đc gọi là điểm giám đoạn) Hàm số sơ cấp y = f(x) sẽ liên tục tại mọi điểm mà hàm số xác định 5. Tích phân a. Công thức nguyên hàm • Cxdxx ++= +∫ 1.)1( 1 αα α (α>0) • Ca a dxa xx +=∫ .ln1 • Cedxe xx +=∫ • Cxdxx +=∫ cos.sin • ∫ =dxx .sin12 -cotg x + C • Cxdxx +−=∫ sin.cos • ∫ =dxx .cos12 tg u + C • C a xdx xa +=−∫ arcsin. 1 22 • ∫ + dxxa .1 22 = a1 .arctg ax +C • Cxdx x +=∫ ln.1 b. Tích phân từng phần: ∫ ∫−= vduvudvu .. Hμm nhiều biến 7. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần • x yxfyxxfLim x yxfyxf xx Δ −Δ+=∂ ∂= →Δ ),(),(),(),( 0000 0 00 00 ' • y yxfyyxfLim y yxfyxf yy Δ −Δ+=∂ ∂= →Δ ),(),(),(),( 0000 0 00 00 ' • Vi phân toàn phần cấp 1: dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( '' += • Vi phân toàn phần cấp 2: 222222 ),(),(2),(),( dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd yyxyxx ++= • Công thức tính gần đúng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy • Đạo hàm của hàm hợp: F(u,v), trong đó u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ y v v F y u u F y F x v v F x u u F x F • Đạo hàm của hàm ẩn : *Nếu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => ),( ),()(' ' ' yxF yxFxy y x−= *Nếu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => ),,( ),,()(' ' ' zyxF zyxFxz x x−= ; ),,( ),,()(' ' ' zyxF zyxFyz y x−= . Cự trị hàm nhiều biến 8 B−ớc1: Tìm điểm các điểm dừng M(xi,yi) là nghiệm của hệ PT: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 0),( 0),( ' ' yxf yxf y x B−ớc2: Kiểm tra điểm M(xi,yi) có là cực trị A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi); B2-AC 0: M(xi,yi)--- Cực tiểu B2-AC > 0 M(xi,yi)--- không là cực trị B2-AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kết luận đ−ợc Cực trị có điều kiện: Tìm cực trị hàm: u=f(x,y,z) với đk: g(x,y,z)=0 Giải hệ PT: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = == 0),,( ' ' ' ' ' ' zyxg g f g f g f z z y y x x => Nghiệm M(x,y,z) 9. Tích phân kép a. Trong hệ tọa độ đề các: - Nếu miền D là hình chữ nhật xác định bởi: a ≤ x ≤b và c ≤ y ≤d thì: ∫∫∫∫ = d c b aD dyyxfdxdxdyyxf ),(),( - Nếu miền D là hình chữ nhật xác định bởi: a ≤ x ≤b và y1(x) ≤ y ≤y2(x) thì: ∫∫∫∫ = )( )( 2 1 ),(),( xy xy b aD dyyxfdxdxdyyxf 2 b. Đổi biến trong tích phân kép: x=x(u,v) ; y=y(u,v) ∫∫∫∫ = DD dudvvuyvuxfJdxdyyxf )],(),,([.||),( trong đó: J= '' '' ),( ),( vu vu yy xx vuD yxD = c. Trong hệ tọa độ cực: I= (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ) ∫∫∫∫ = ' .).sin,cos(),( DD drdrrrfdxdyyxf ϕϕϕ D x y ϕ2 ϕ1 r=g2(ϕ) r=g1(ϕ) D x y ϕ2 ϕ1 r=g(ϕ) x y 00 0 D r=g(ϕ) 3 D L 10. Tích phân đ−ờng loại 1 - Nếu: y=y(x), a ≤ x ≤b thì: 2( , ) ( , ( )) 1 ' ( ). b aAB f x y ds f x y x y x dx= +∫ ∫ ∫ ∫= 2 1 )(2 )(1 .).sin,cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ g g drrrrfdI ∫ ∫= π ϕ ϕϕϕ 2 0 )( 0 .).sin,cos( g drrrrfdI ∫ ∫= 2 1 )( 0 .).sin,cos( ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ g drrrrfdI - Nếu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 thì: 2 1 2 2( , ) ( ( ), ( )). ' ( ) ' ( ). t tAB f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫ . Tích phân đ−ờng loại 2 11 - Nếu AB đ−ợc cho bởi: y=y(x), a,b là hoành độ của A và B thì ( , ) ( , ) [ ( , ( )) ( , ( )). '( )] b aAB P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx+ = +∫ ∫ - Nếu AB cho bởi: x=x(t), y=y(t), t=tA (tại A), t=tB (tại B) thì : B ( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )] B A t tAB P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt+ = +∫ ∫ - Công thức Green : ( , ) ( , ) ( ) L D P QP x y dx Q x y dy dxdy x y ∂ ∂+ = −∂ ∂∫ ∫∫ (L- là miền biên của D và là một đ−ờng khép kín) Hệ quả: Nếu Q P x y ∂ ∂=∂ ∂ trong D thì: ( , ) ( , ) 0L P x y dx Q x y dy+ =∫ • Định lý 4 mệnh đề t−ơng đ−ơng: Cho P(x,y) và Q(x,y) liên tục, có đạo hàm riêng cấp 1 trong miền D. Khi đó, 4 mệnh đề sau là t−ơng đ−ơng: (1) Q P x y ∂ ∂=∂ ∂ (2) ∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy (3) Mọi đ−ờng cong kín L ⊂ D thì: ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy + + =∫ (L+ - định h−ớng d−ơng, do công thức Green) (4) Tích phân không phụ thuộc vào đ−ờng cong nối 2 điểm A,B ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+∫ Ph−ơng trình vi phân . Ph−ơng trình vi phân cấp 1: F(x,y,y’) = 0 hoặc y’= f(x,y) 12 (1) Ph−ơng trình phân ly: ( )' ( ) f xy g y −= ⇔ ( ) ( ) dy f x dx g y −= ⇔ ( ) ( ) 0f x dx g y dy+ = - Tích phân 2 vế: ( ) ( )f x dx f y dy C+∫ ∫ = ⇔ F(x)+ G(x) = C (2) Ph−ơng trình đẳng cấp: ' yy f x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ - Đặt u(x) = y x ⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vào PT ta có: u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay . ( )dux f u u dx = − * Nếu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x - là 1 họ nghiệm * Nếu f(u) – u ≠ 0: ( ) dx du x f u u = − (đây là một PT phân ly). Tích phân hai vế : ( ) dx du x f u u = −∫ ∫ ⇒ ln | | ( ) ln | |x u Cφ= + ⇒ ( ) . y xx C e φ= (Φ(u) là một nguyên hàm của 1 ( )f u u− ) (3) Ph−ơng trình tuyến tính: y’+p(x).y=q(x) Ph−ơng trình thuần nhất: y’+p(x).y=0 Công thức nghiệm tổng quát: ( ) ( ) .( ( ). ) P x dx P x dxy e C Q x e dx∫ ∫= + ∫ (4) Ph−ơng trình Becnuly: ' ( ). ( ).y p x y q x yα+ = (α ≠ 0, α ≠ 1) (Ph−ơng pháp giải: đ−a về ph−ơng trình tuyến tính) • α>0: y= 0 là 1 nghiệm của ph−ơng trình • Với y ≠ 0 chia cả 2 vế cho yα và đặt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vào PT z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Là một ph−ơng trình vi phân tuyến tính (5) Ph−ơng trình vi phân toàn phần: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong đó: P Q y x ∂ ∂=∂ ∂ ) Nghiệm tổng quát: 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) yx x y u x y P x y dx Q x y dy C= + =∫ ∫ Hay : 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) yx x y u x y P x y dx Q x y dy C= + =∫ ∫ ( trong đó (x0,y0) bất kỳ ∈ D). Để đơn giản chọn x0= 0, y0= 0, nếu (0,0) ∈ D * Trong tr−ờng hợp P Q y x ∂ ∂≠∂ ∂ đ−a về ph−ơng trình vi phân toàn phần bằng cách nhân hai vế với μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0. - Nếu ( ) P Q y x x Q ϕ ∂ ∂−∂ ∂ = thì ( ).( , ) ( ) x dxx y x e ϕμ μ −∫= = - Nếu ( ) P Q y x y P ϕ ∂ ∂−∂ ∂ = thì ( ).( , ) ( ) y dyx y y e ϕμ μ ∫= = 13. Ph−ơng trình vi phân cấp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoặc y’= f(x,y,y’) (1) Ph−ơng trình khuyết (ph−ơng pháp giải: Hạ cấp => ph−ơng trình vi phân cấp 1): 4 • Khuyết y và y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tích phân 2 lần Nghiệm tổng quát: 1 2( ( ). )y f x dx dx C x C= + +∫ ∫ • Khuyết y: f(x,y’,y’’) = 0. Đặt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x). Ph−ơng trình trở thành: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cấp 1 với z(x) • Khuyết x: f(y,y’,y’’) = 0. Đặt z(y) = y’ => ' ( )'' . . ' .dy dz y dz dy dz dzy y dx dx dy dx dy dy = = = = = z Ph−ơng trình trở thành: ( , , . ) 0dzf y z z dy = => PTVP cấp 1 với z(y) (2) Ph−ơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng : a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong đó a,b,c là các hằng số) PT thuần nhất: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) 5 Nghiệm tổng quát của (1) là: *y y y= + trong đó : y* - là nghiệm riêng của (1) y - là nghiệm TQ của (2) B−ớc 1 : Tìm nghiệm tổng quát của PTTN(2) Ph−ơng trình thuần nhất : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) Nghiệm TQ: = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.số) y PT đặc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 PT (3) có 2 no: k1, k2 + 11( ) k xy x e= + 22 ( ) k xy x e= y = C1.e k1.x+ C2.e k2.x PT (3) có no kép: k1= k2=k + 1( ) kxy x e= + 2 ( ) . kxy x x e= y = C1.e k.x+ C2.x.e k.x PT (3) có 2 no phức: k1,2= α ± β.i + 1( ) .cos xy x e xα β= + 1( ) .sin xy x e xα β= y = eα.x(C1.cosβx+ C2.sinβx) B−ớc 2 : Tìm nghiệm riêng của PTKTN(1) Ph−ơng trình vi phân tuyến tính: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong đó a,b,c là các hằng số) Tìm nghiệm riêng : y* Ph−ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange Nghiệm riêng của (1) có dạng: y*= C1(x).y1(x)+ C2(x).y2(x) ( y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng độc lập của PT thuần nhất (2) ở trên) Trong đó C1(x), C2(x) là các hàm thoả mãn hệ: ' ' 1 1 2 2 ' ' ' ' 1 1 2 2 ( ). ( ) ( ). ( ) 0 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) C x y x C x y x C x y x C x y x f x ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ Căn cứ dạng đặc biệt của vế trái Dạng 1: f(x)=Pn(x).e αx (Pn(x) là đa thức bậc n) Xét: α Dạng cần tính của nghiệm riêng Ko là no của PTĐT(3) y* = Qn(x). e αx (Qn(x) cùng bậc với Pn(x)) L là no đơn của PTĐT(3) y* = x.Qn(x). e αx L là no kép của PTĐT(3) y* = x2. Qn(x). e αx Dạng 2 : f(x)=eαx.(Pn(x).cosβx+Qm(x).sinβx) Xét: α±β.i Dạng cần tính của nghiệm riêng Ko là no của PTĐT(3) y*= eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n)) Là no của PTĐT(3) y*=x.eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n)) Chú ý: Nếu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) thì nghiệm riêng: y*=y1*+ y2* trong đó y1*, y2* lần l−ợt là 2 nghiệm riêng của 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) và a.y’’+b.y’+c.y= g(x). Chuỗi . Chuỗi số 14 • Chuỗi hội tụ : Chuỗi số : - Hội tụ nếu tổng riêng thứ n : dần tới một giới hạn hữu hạn khi n→∞. 1 n n u +∞ = ∑ 1 n n k S = =∑ ku • Chuỗi phân kỳ : nếu nó không hội tụ. • Chuỗi hội tụ nếu |q|<1; phần kỳ nếu |q|≥ 1 0 n n q +∞ = ∑ • chuỗi 1 1 n nα +∞ = ∑ hội tụ nếu α >1; phần kỳ nếu α ≤ 1 a. ĐK để một chuỗi hội tụ : - Nếu chuỗi hội tụ thì 1 n n u ∞ = ∑ 0nnLim u→+∞ = ( 0nnLim u→+∞ = =>không khẳng định đ−ợc chuỗi hội tụ) 1 n n u ∞ = ∑ - Nếu thì chuỗi phân kỳ 0nnLim u→+∞ ≠ 1 nn u ∞ = ∑ • Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số 6 - Quy tắc D’lembert: chuỗi d−ơng 1 n n u ∞ = ∑ , 1nn n ULim k U + →+∞ k1: phân kỳ = - Quy tắc Cauchy: chuỗi d−ơng , 1 n n u ∞ = ∑ n nnLim U k→+∞ = k1: phân kỳ . Chuỗi hàm 15 *Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Un(x): b1: Tìm giới hạn: )( )()( 1 xU xULimxl n n n + +∞→ = hoặc n nn xULimxl )()( +∞→= b2: Giải bất ph−ơng trình: l(x) < 1 để tìm khoảng hội tụ của chuỗi hàm b3: Tại x = x0 mà l(x)=1 ta thay x = x0 để xét trực tiếp b4: Kết luận miền hội tụ của hàm