Giáo trình Bài giảng Toán cao cấp C - Nguyễn Viết Trí

m kép 1 2k k thì nghiệm tổng quát của (7) là:  1 1 2k xy e C C x  c. Nếu (8) có 2 nghiệm phức 1 2;k i k i       thì nghiệm tổng quát của (7):  1 2. os .sinxy e C c x C x    Thí dụ 3.5.6 Giải phương trình: / / /5 6 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 25 6 0 2; 3k k k k      Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: 2 31 2x xy C e C e  ; C1,C2 là hằng số tùy ý Thí dụ 3.5.7 Giải phương trình: / / /4 4 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 24 4 0 2k k k k      Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:  2 1 2xy e C C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý Thí dụ 3.5.8 Giải phương trình: / / /2 5 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 22 5 0 1 2 ; 1 2k k k i k i        Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:  1 2os2 sin 2xy e C c C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý 5.3.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng số / / / 1 2 1 2( ) ; ,y a y a y f x a a   là hằng số Có phương trình thuần nhất tương ứng: / / /1 2 0 (7)y a y a y   phương trình đặc trưng là: 2 1 2. 0 (8)k a k a   Người ta chứng minh được: Định lý 5.3.1 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (7) cộng với một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) Do vậy để giải phương trình vi phân tuyến không thuần nhất 6) ta làm như sau: 96 Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất theo định lý 5.3.1 Trong trường hợp đặc biệt sau, không sử dụng phép tính tích phân ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) a. Vế phải của (6) là . ( )( ) x P xnf x e  trong đó  là hằng số; ( )nP x là đa thức bậc n - Trường hợp 1: Nếu  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: . . ( )x Q xny e  Với ( )Q xn là đa thức cùng bậc n với ( )nP x có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Cụ thể là thay ( )x ny e Q x  vào (6) và đồng nhất 2 vế. - Trường hợp 2 Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: . . ( )x Q xny xe  - Trường hợp 3 Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: 2 . . ( )x Q xny x e  Thí dụ 3.5.9 Giải phương trình: / / /3 2 (3 4x)xy y y e    Giải: - Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng / / /3 2 0y y y   Phương trình đặc trưng: 2 1 23 2 0 1; 2k k k k      Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 21 2x xy C e C e  ; C1,C2 là hằng số tùy ý - Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là ( ) (3 4x)xf x e  1  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng: (Ax )xy xe B  Ta có / 2 / / 2(Ax ) (2Ax+B) y (Ax ) 2 (2Ax+B)+2Aex x x x xy e Bx e e Bx e       Thay / / /, ,y y y vào phương trình đã cho ta được 2 2(Ax ) 2 (2Ax+B)+2Ae 3 (Ax ) (2Ax+B) 2 (Ax ) (3 4x)x x x x x x xe Bx e e Bx e xe B e         2A=-4 2 2Ax+2A-B=3-4x 2A-B=3 1 A B           Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là (2x 1)xy xe  97 - Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: 21 2 (2x 1)x x xy C e C e xe    ; C1,C2 là hằng số tùy ý b. Vế phải của (6) là  ( ) ( ) os ( )sin ;x n mf x e P x c x Q x x    trong đó  là hằng số; ( )nP x là đa thức bậc n, ( )mQ x là đa thức bậc m - Trường hợp 1 Nếu i  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng:  ( ). os .sin ;x L Ly e R x c x S x    trong đó  ax ,L m m n ; ( ) , ( )L LR x S x là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. - Trường hợp 2 Nếu i  là nghiệm của phương trình đặc trưng (8). Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng:  ( ). os .sin ;x L Ly xe R x c x S x    trong đó  ax ,L m m n ; ( ) , ( )L LR x S x là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Thí dụ 3.5.10 Giải phương trình: / / 4 4x.s inxy y  Giải: - Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng / / 4 0y y  Phương trình đặc trưng: 2 1 21 0 ;k k i k i      Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 1 2osx siny C c C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý - Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là  0 0 1( ) 4x.s inx= ( ) os ( )sinxf x e P x c x Q x x  Với i i    . Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng:  0. 2 2(Ax ). osx ( x )s inx (Ax x) osx ( x x).s inxxy xe B c C D B c C D        Tính / / /,y y , rồi thay / / /, ,y y y vào phương trình đã cho ta được (4Ax+2A+2D) osx ( 4 x+2C-2B).s inx=4x s inx ;c A x   4 0 1 2A+2D=0 0 4A=4 1 2 2 0 C A B C D C B             Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là 2x osx x.s inxy c   98 - Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: 21 2osx sin x osx x.s inxy C c C x c    HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 5 Chương 5 sinh viên cần nắm vững định nghĩa, cách giải các loại phương trình vi phân cấp1, 2 thường gặp và các ứng dụng thực tế của chúng. Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 1 và nghiệm của nó. Phát biểu định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1. 2) Định nghĩa và nêu cách giải một số loại phương trình vi phân cấp 1 cơ bản. Cho thí dụ các bài toán dẫn tới phương trình vi phân cấp một 3) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 2 và nghiệm của nó. 4) Trình bày phương pháp giải các loại phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. Cho thí dụ. 5. Trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1.Giải các phương trình vi phân sau: 21) ( 1) 0 2) 1xydx x dy y dx xydy     2 23) ( 1) ' 2 0x y xy   với (0) 1y  Bài 2.Giải các phương trình sau :       2 ' ' 22 3 ' 2 2 2 2 ' ' 1 1) 2) ; (1) 2 14 5 3) 2 2 4) x y xyy y y xy x x y y x y y x y xyy          Bài 4. Giải các Phương trình tuyến tính và phương trình Bernoulli           ' 4 ' ' 2 ' ' ' 2 ' 2 2 2 1) 2 2 2) (2 1) 4 2 3) 4) 1 0 5) cos 6) 2 7) 1 ln 2 8) 9) 10)2 0 x xy y x x y x y x y y e x y xy y x y x x y x x y xy x y x y dy ydx dy y dyxy xy y x dx x dx                         Bài 5.Giải các phương trình vi phân toàn phần sau: 99       2 2 3 2 2 2 2 2 1) ( ) ( 2 ) 0 2) 2 2 0 3) 3 2 3 0 4) x y dx x y dy x y x dx xydy x xy dx x y y dy xdy ydxxdy ydy x y                 Bài 6. Giải các phương trình vi phân cấp hai   / 3/ / / / / / / / / / 21) 2) 3) 4) 1 x yy xe y y y y y x x x        100 CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC 6.1. Ma trận 6.1.1 Các khái niệm cơ bản 6.1.1.1 Ma trận Định nghĩa 6.1.1 M t ma tr n cấấp m x n là m t b ng gồồm m x n sồấ th c đ c ộ ậ ộ ả ự ượ sắấp thành m dòng, n c t theo m t th t nhấất đ nh. Ma tr n A cấấp m x n đ c ộ ộ ứ ự ị ậ ượ viếất d i d ngướ ạ              mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A hoặc ij m nA a      + ija là phần tử nằm trên dòng i, cột j của ma trận A. + Các ma trận cấp m  n thường kí hiệu là Amxn; Bmxn; Cmxn;... Xmxn hoặc nếu không cần phân biệt cấp của ma trận ta viết tắt là A; B; C;...X. Thí dụ 6.1.1         2 0 0 2 3 1 A thì ;...0;2;1 221211  aaa 6.1.1.2 Hai ma trận bằng nhau: Định nghĩa 6.1.2 Hai ma trận cùng cấp A =[aij ]mxn và B = [bij]mxn được gọi là bằng nhau kí hiệu là A = B nếu tất cả các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau: aij = bij ,  i, j: i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. 6.1.2. Các phép toán trên ma trận 6.1.2.1 Phép cộng ma trận a. Định nghĩa 6.1.3 Cho hai ma trận cùng cấp A =[aij ]m x n và B = [bij]m x n . Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận C = [cij]m x n cùng cấp m  n sao cho cij = aij + bij,  i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Kí hiệu là C = A + B b. Thí dụ 6.1.2 Cho 2 ma trận 5 2 0 3 0 2 A        6 2 1 1 3 2 B       .: 11 0 1 4 3 4 A B         6.1.2.2 Phép nhân số với ma trận a. Định nghĩa 6.1.4 Cho ma trận A = [aij ]m x n và số thực . Tích của  với ma trận A là một ma trận C = [cij]m x n với cij = aij,  i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. b. Thí dụ 6.1.3 Cho ma trận 2 2 5 6 12 7 A          8 8 4. 20 24 48 28 A          101 6.1.2.3 Tính chất Định lý 6.1.1 Cho A, B, C là các ma trận cấp m x n và λ, µ là các số thực. Khi đó: (1) A + (B + C) = (A + B) + C; (2) A + B = B + A; A + 0 = A; (3) A + (-1)A = 0; 1.A = A; (4) (λ +µ)A = λ A + µA; (5) λ (A + B) = λ A + λ B; (6) (λµ)A = λ (µA). A + (-B) = A – B và gọi A – B là ma trận A trừ ma trận B. 6.1.2.4 Phép nhân các ma trận: 1. Định nghĩa 6.1.5 Cho ma trận A =[aij]m x n cấp m  n và ma trận B = [bij]n x p cấp n  p. Tích của A với B là một ma trận C=[cik]m x p cấp mp Trong đó 1 1 2 2 1 . . ... . (1) n ik ij jk i k i k in nk j c a b a b a b a b       Với  i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., p. Kí hiệu là A.B hay AB 2. Chú ý: - Phần tử ikc (nằm ở dòng i cột k của ma trận C) bằng tổng của n số hạng trong đó mỗi số hạng là tích của các phần tử ở dòng i của ma trận A với các phần tử ở cột k của ma trận B   1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., . . . ... .... k k ik i i in i k i k in nk nk b b c a a a a b a b a b b                - Tích A.B tồn tại (theo thứ tự đó) khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. 3. Thí dụ 6.1.4 Cho 2 ma trận 2 2 1 3 5 6 , 7 4 12 7 A B              thì 2.1 ( 2).( 7) 2.3 ( 2).4 16 2 5.1 6.( 7) 1.3 6.4 37 39 12.1 7.( 7) 12.3 7.4 37 64 AB                                6.1.3 Các ma trận đặc biệt. 6.1.3.1 Ma trận không: 102 Định nghĩa 6.1.6 Ma trận cấp m  n có các phần tử đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0,  i, j ) được gọi là ma trận không. Kí hiệu là Omn. 6.1.3.2 Ma trận hàng Định nghĩa 6.1.7 Ma trận hàng là ma trận cấp 1  n (chỉ có một hàng) 6.1.3.3 Ma trận cột Định nghĩa 6.1.8 Ma trận cột là ma trận cấp m  1 (chỉ có một cột) 6.1.3.4 Ma trận vuông Định nghĩa 6.1.9 Ma trận cấp n  n tức là có số dòng và số cột bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử a11, a22, ..., ann của ma trận này gọi là đường chéo chính của ma trận vuông. Đường chéo còn lại gọi là đường chéo phụ của ma trận vuông. 6.1.3.5 Ma trận chéo Định nghĩa 6.1.10 Ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 (aij = 0,  i  j ) được gọi là ma trận chéo 11 22 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... nn a a A a             Nếu các phần tử aii bằng nhau và bằng a, ta gọi ma trận chéo là ma trận vô hướng. 6.1.3.6 Ma trận đơn vị: Định nghĩa 6.1.11 Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có aii = 1,  i = 1, 2,..., n . Kí hiệu là In hoặc En (có khi viết tắt là I hoặc E ). 6.1.3.7 Ma trận tam giác Định nghĩa 6.1.12 Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 (aij = 0, khi i > j hoặc khi i < j ) được gọi là ma trận tam giác. Có hai dạng ma trận tam giác: 11 12 1 22 2 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... n n nn a a a a a A a             hoặc 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ...n n nn a a a A a a a             6.1.3.8 Ma trận đối xứng, phản xứng Định nghĩa 6.1.13 Ma trận vuông được gọi là ma trận đối xứng (phản xứng) nếu aij = aji (aij = - aji) với mọi i, j = 1, 2,..., n. 6.1.3.9 Ma trận bậc thang a. Định nghĩa 6.1.14 Ma trận bậc thang là ma trận có 2 tính chất - Các dòng khác dòng 0 luôn ở trên dòng 0 103 - Trên 2 dòng khác dòng 0, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên (Dòng 0 của ma trận là dòng của ma trận ấy mà có tất cả phần tử bằng 0) b.Thí dụ 6.1.5 1 2 4 7 0 5 6 9 0 0 0 0          là ma trận bậc thang 6.1.4 Các phép biến đổi ma trận 6.1.4.1 Các phép biển đổi sơ cấp Định nghĩa 6.1.15 Các phép biến đổi với ma trận sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp : 1) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột, còn những dòng hoặc cột khác giữ nguyên. Kí hiệu là i kd d (hoặc i kc c ) với i  k. 2) Nhân tất cả các phần tử của một dòng (hoặc cột) cùng với một số khác 0. Kí kiệu là i id d (hoặc i ic c ), 0 R  3) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số nào đó Kí kiệu là i i kd d d  (hoặc i i kc c c  ) với i  k, 0  R. - Thí dụ 6.1.6 1 2 21 2 2 4 1 1 3 2 1 4 1 3 2 1 2 1 3 2 2 2 3 0 1 2 2 3 0 1 2 1 3 0 1 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 2 3 3 1 4 3 1 1 1 4 3 1 1 1 2 3 1 1 c cc cA                                          2 2 1 3 3 1 4 4 1 3 2 1 2 1 3 2 0 5 5 6 3 0 5 5 6 3 0 0 4 2 1 d d d d d d d d d                     6.1.4.2 Phép chuyển vị ma trận Định nghĩa 6.1.16 Cho ma trận              mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A . Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách chuyển cột thành dòng, chuyển dòng thành cột theo đúng thứ tự. Kí hiệu AT. 104              mnn2n1 2m2212 1m2111 T a...aa ............ a...aa a...aa A 6.2. Định thức 6.2.1. Định nghĩa và tính chất 6.2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.2.1 Cho A là một ma trận vuông cấp n              nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A Định thức cấp n của ma trận A là số thực kí hiệu là |A| hoặc det(A) có được bằng qui nạp theo n như sau: a) Với n = 1: Ma trận A có dạng A =[ 11a ] Ta định nghĩa det(A) = 11a b) Với n = 2, Ma trận A có dạng 11 12 21 22 a a A a a        ta định nghĩa 11 22 21 12det( ) . .A a a a a  c) Với n = 3 định nghĩa 22 23 21 23 21 22 11 12 13 31 3232 33 31 33 det a a a a a a A a a a a aa a a a    d) Tổng quát: Nếu A là ma trận vuông cấp n, ma trận con cấp n-1 lập từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j được gọi là là ma trận con của A ứng với phần tử aij , kí hiệu là Mij .Đặt  ij ij1 det( ) i jA M  và gọi ijA là phần bù đại số của phần tử ija trong ma trận A. Định nghĩa 11 12 1 21 22 2 11 11 12 12 1 1 1 2 ... ... det . . ... . ... ... ... ... ... n n n n n n nn a a a a a a A a A a A a A a a a      Thí dụ 6.2.1 105             1 1 1 2 1 3 4 2 3 4 5 3 5 3 4 3 4 5 4. 1 . 2 1 3. 1 7 8 6 8 6 7 6 7 8 4. 4.8 7.5 2. 3.8 ( 6).5 3 3.7 ( 6).4 4.( 3) 2.54 3.45 15                          6.2.1.2 Tính chất của định thức Ta chứng minh được các tính chất sau đây: - Tính chất 1: det(AT) = det(A) (Khi ta đổi dòng thành cột thì định thức không đổi ) Nhận xét: Tính chất này ta thấy mọi tính chất của định thức đúng với dòng thì cũng đúng với cột. - Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( hoặc cột) nào đó của ma trận vuông A cho nhau thì định thức đổi dấu - Tính chất 3: Nếu định thức có 2 dòng (hoặc cột) giống nhau thì định thức đó bằng 0. - Tính chất 4: Nếu một định thức có hai dòng (hoặccột) có các phần tử tương ứng tỉ lệ với nhau thì định thức đó bằng 0. - Tính chất 5: Nếu định thức có dòng (hoặc cột) gồm toàn số 0 thì định thức của nó bằng 0. - Tính chất 6: Nếu lấy một dòng (hoặccột) của định thức nhân với một số rồi cộng vào dòng ( hoặc cột) khác thì định thức không thay đổi - Tính chất 7: Nếu ta nhân một dòng (cột) của ma trận vuông A với một số thực  thì định thức của ma trận A được nhân với . Tức là )Adet( a...aa ............ a...aa a...aa a...aa ............ a...aa a...aa nn2n1n n22221 n11211 nn2n1n n22221 n11211   - Tính chất 8: Giả sử A, B, C là ba ma trận vuông cấp n ( cùng cấp) có các dòng (cột) đều giống nhau ngoại trừ dòng (cột) thứ k của A bằng tổng dòng (cột) thức k của B và C (tức là aij = bij i,j = 1, 2, ..., n ; i  k và akj = bkj + ckj , j = 1, 2, ..., n). Khi đó det(A) = det(B) + det(C) Thí dụ 6.2.2 132 112 331 132 112 201 132 112 322011     106 - Tính chất 9: Định thức của ma trận chéo A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. Nghĩa là nn332211 nn 22 11 a...aaa a...00 ............ 0...a0 0...0a )Adet(  Hệ quả Định thức của ma trận tam giác A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. Nghĩa là nn332211 nn n222 n11211 a...aaa a...00 ............ a...a0 a...aa )Adet(  6.2.2. Cách tính định thức 6.2.2.1 Cách tính định thức cấp ba Có thể tính định thức cấp 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a một cách nhanh theo Quy tắc Sarrus như sau - Cách 1: Viết theo thứ tự 5 cột như sau: 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa Ba thành phần mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc nằm trên mỗi đường song song với đường chéo chính Ba thành phần mang dấu trừ trong định thức là tích các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc nằm trên mỗi đường song song với đường chéo phụ - Cách 2: + Ba thành phần mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên đường chéo chính, tích của 2 phần nằm trên mỗi đường song song và với phần tử nằm ở góc đối diện. + Ba thành phần mang dấu trừ trong định thức được thành lập tương tự với đường chéo phụ. 107 + + + - - - Dấu (+ Dấu (-) 332112113223223113213213312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa  Thí dụ 6.2.1 4)1.(3.11.2.02.1).2(2.3).2(2).1.(01.1.1 132 112 201   6.2.2.2 Cách tính định thức cấp n ( 3)n  : Có nhiều cách tính định thức. - Cách 1: Dùng các tính chất của định thức để đưa định thức về dạng đặc biệt, dạng tam giác (Hay về định thức cần chứng minh). Thí dụ 6.2.3 Tính các định thức x a a a a x a a a a x a a a a x Giải: Cộng các dòng (1), (2), (3) và (4) cho nhau ta được   3 1 3 1 3 3 1 3 1 x a a a x a a a a a a a a x a a x a x a a x a a x a a a x a x a a x a a x a a a a x x a a a x a a x        Lấy dòng (2), (3), (4) trừ dòng (1) ta được:         3 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 a a a a a a x a a x a x a x a x a x a x a x a a a x x a          - Cách 2: Khai triển định thức theo dòng hoặc cột dựa vào định lý sau Định lý 6.2.1 Cho ma trận vuông cấp n, 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a             . . Khi đó ta có: 108 +    n j ijij AaA 1 )det( (1) Với mọi i = 1, 2,, n +    n i ijij AaA 1 )det( (2) Với mọi j = 1, 2,, n Công thức (1) và (2) tương ứng được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i và theo cột j. Thí dụ 6.2.3 3 1 3 2 3 3 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 4 2 3 2 ( 1) . 2 3 2 ( 1) . 4 3 2 ( 1) . 4 2 2 1 4 3 3 4 3 3 4 3 3 1 4 3 2 3 4 ( 1) . 3 2 3 8 15 12 19 4 1 4 a b c a b c d d a b c d                            6.2.3 Ma trận nghịch đảo 6.2.3.1 Định nghĩa 6.2.4 Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = In thì gọi A là khả đảo (khả nghịch) và B là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. 6.2.3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý 6.2.2 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ khi detA  0. Nếu A khả đảo thì 1 1 ( )det T ijA AA   Trong đó, ijA là ma trận được tạo thành từ các phần bù đại số tương ứng ija của ma trận A và 11 21 1 12 22 2 1 2 .. .. ( ) ... ... .. ... .. n nT n n nn ij A A A A A A A A A A             Ma trận vuông A có det(A)  0 gọi là ma trận vuông không suy biến. 6.2.3.3Cách tìm ma trận nghịch đảo - Cách 1:. Áp dụng định lý 2 Thí dụ 6.2.2 Cho A = 1 3 4 0 1 2 0 1 5          . 109 Ta có det(A) = -3  0 nên A có ma trận nghịch đảo. Ta tính được: 11 3A  ; 012 A ; 13 0A  ; 21 11A   ; 22 5A   ; 23 1A  ; 31 2A  ; 32 2A  ; 133 A ;Do đó 1 11 21 3 33 11 2 1 5 21 ( ) 0 5 2 0det 3 3 3 0 1 1 1 10 3 3 T ijA AA                               - Cách 2: Tìm ma trận đ o bắồng ph ng pháp biếấn đ i s cấấpả ươ ổ ơ Cho A là một ma trận vuông cấp n. Tìm 1 ?A  + Bước 1: Lập ma trận [A| In] cấp n x 2n bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị In vào bên phải ma trận A                1000 ............ 0010 0001 ... ............ ... ... ]|[ 21 22221 11211 nnnn n n n aaa aaa aaa IA + Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( hoặc cột) để đưa ma trận [A| In] về dạng [RA| B], trong đó RA là ma trận bậc thang dòng rút gọn của A. + Nếu RA = In thì A khả nghịch và B = A-1. + Nếu RA In thì A không khả nghịch (không có ma trận nghịch đảo) Thí dụ 6.2.3Tìm ma trận đảo của            211 221 121 A . Ta có [A| I3] =           100 010 001 211 221 121 2 1 2 3 1 3 d d d d d d                   101 011 001 110 100 121 2 3 2 21( ) d d d d               011 101 001 100 110 121    232 131 ddd ddd              011 110 012 100 010 021 21 2 1d d d                011 110 232 100 010 001 = [E3|A-1].Vậy                011 110 232 1A . 6.2.4 Hạng ma trận 6.2.4.1 Định nghĩa 110 Cho ma trận A cấp m  n. Qua các phép biến đổi sơ cấp, có thể đưa được A về dạng ma trận bậc thang. - Định nghĩa 6.2.5 Hạng của ma trận A là một số nguyên không âm kí hiệu là rank(A) hoặc r(A) được xác định như sau: + Nếu A = O thì r(A) = 0 + Nếu A  O thì r(A) là số dòng khác dòng không của ma trận dạng bậc thang nhận được từ ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp. - Định nghĩa 6.2.6 Hạng của ma trận A là một số nguyên không âm, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A) , được xác định như sau: + Nếu A  O thì r(A) = r với r là số nguyên dương thỏa mãn: - Trong A tồn tại định thức con cấp r khác 0. - Mọi định thức con của A có cấp lớn hơn r đều bằng 0. + Nếu A = O thì quy ước r(A) = 0. - Ta chứng minh được định nghĩa 6.2.5 và định nghĩa 6.2.6 tương đương. 6.2.4.2 Tính chất của hạng ma trận 1. 0  rank(A)  min(m, n), với mọi ma trận A = Am x n 2. Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị (rank(AT) = rank(A). 3. Hạng của ma trận không thay đổi qua phép các phép biến đổi sơ cấp. Thí dụ 6.2.4 Tìm hạng của ma trận a) A =             224 062 121 ; b) B =              2 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Giải: a) rank(A) = rank              2100 2100 121 = rank             000 2100 121 = 2. b) Ma trận B có định thức con cấp 3 01 010 100 011  vậy r(B) = 3. 6.2.4.3 Cách tìm hạng của ma trận - Cách 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp + Thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng B. + Kết luận: rank(A) = số dòng khác dòng không của B. - Cách 2: Sử dụng định thức + Chỉ ra một định thức con khác 0 có cấp r; 111 + Nếu mọi định thức con có cấp r +1 chứa định thức con cấp r đều bằng 0 ta kết luận rank(A) = r. Thí dụ 6.2.5 a. Tìm hạng của ma trận 1 2 1 0 5 2 4 3 1 10 3 6 3 0 15 4 8 6 2 20             Giải: Ta thấy có định thức con cấp r = 2: 0 13 01   . Ngoài ra, các định thức con cấp ba đều chứa 2 dòng tỉ lệ nhau, do đó đều bằng 0. Kết luận: rank(A) = 2. b. Tìm hạng của ma trận A =               11314 33232 10322 23114 Giải: Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp theo dòng và trên cột của A để dưa A về dạng bậc thang dòng. 1 2 221 2 1 4 1 3 2 1 2 1 3 2 2 2 3 0 1 2 1 3 0 1 3 2 2 3 3 3 1 2 3 3 1 4 3 1 1 1 2 3 1 1 c cc cA                            3 3 22 2 1 3 3 1 4 4 1 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 0 5 5 6 3 0 5 5 6 32 0 5 5 6 3 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 0 0 4 2 1 d d dd d d d d d d d d                                       3 4 1 2 1 3 2 0 5 5 6 3 0 0 4 2 1 0 0 0 0 0 d d               = B Chú ý: + Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng hay cột bằng 0 thì có thể xoá dòng hay cột đó đi. + Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện các dòng hay cột tỉ lệ với nhau thì có thể xoá bớt chỉ chừa lại 1 trong các dòng hay cột tỉ lệ đó BÀI TẬP CHƯƠNG VI Bài 1. Thực hiện phép nhân các ma trận sau: 112 1. 1 0 1 1 2 3 5 4 3 3 2 0 1 1 4 5 6 8 7 15                   2. 1 2 3 9 8 7 7 8 9 4 5 6 2 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 3 2 1 1 2 3                                     3. 2 (5 0 2) 2 2          4. 4 0 2 2 3 5 3 5 4 1 1 2 a b c d                 Bài 2. Tìm ma trận X để AX = XA với 1 1 1 2 1. 2. 0 0 1 1 A A            3 1 0 1 2 3. 4. 0 3 1 3 4 0 0 3 A A               Bài 3. Tìm ma trận nghich đảo (nếu có) của ma trận sau: 2 2 3 1 2 1. 4. 1 1 0 2 5 1 2 1              Bài 4 Tìm hạng của các ma trận sau: 1 2 3 1 2 3 0 1 4 5 6 1. 2. 0 1 1 1 0 7 8 9 1 3 4 1 1 10 11 12                   1 2 3 4 2 0 2 0 2 2 3 4 1 0 1 0 1 0 3. 4. 3 4 1 2 2 1 0 2 1 4 1 2 3 0 1 0 1 0                         Bài 5 Tính các định thức cấp 3 sau 1. 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1       113 4. a b c b c a c a b 5. a x x x b x x x c 6. x a a a x a a a x Bài 6 Chứng minh rằng 1. 222 cba cba 111 = (b - a)(c - a)(c - b). 2. axx xax xxa = (a + 2x)(a - x)2. 3 . 3( 3 )( ) . x a a a a x a a x a x a a a x a a a a x    114 CH NG 7: H PH NG TRÌNH TUYƯƠ Ệ ƯƠ ẾN TÍNH 7.1 H ph ng trình tuyêến tínhệ ươ 7.1.1 Định nghĩa các khái niẹm cơ bản Hệ phương trình tuyến tính tổng quát trên R gồm m phương trình n ẩn là hệ có dạng           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ....... .................................................... ....... ....... 2211 22222121 11212111 ( I ) trong đó 1 2, ,..., nx x x là các ẩn số; aij , bi R (i = 1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n) là các hệ số. Các hệ số bi được gọi là các hệ số tự do. Các ma trận:              mnmm n n aaa aaa aaa A ... ............ ... ... 21 22221 11211 ;              mmnmm n n b b b aaa aaa aaa A ... ... ............ ... ... 2 1 21 22221 11211 ;              mb b b B ... 2 1 ;              nx x x X ... 2 1 lần lượt được gọi là ma trận hệ số; ma trận hệ số bổ sung; ma trận hệ số tự do; ma trận ẩn số của hệ phương trình (I). Hệ phương trình (I) có thể được viết dưới dạng ma trận AX = B ( II ). - Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính ( I ) là bộ n số thực sắp thứ tự x* = ( c1, c2, ..., cn) sao cho khi thay xj = cj (j = 1, 2,.., n) vào tất cả phương trình của hệ (I) ta nhận được các đồng nhất thức trên R. - Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ. - Khi b1 = b2 = ...= bm = 0 thì hệ ( I ) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó có dạng AX = 0. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm X = (0, 0, ... ,0)  Rn được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. Các nghiệm khác với nghiệm này (nếu có) gọi là nghiệm không tầm thường. 7.1.2 Hệ phương trình Cramer 7.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình n ẩn (m = n) được gọi là hệ Cramer nếu định thức của ma trận vuông cấp n các hệ số khác 0 (detA  0). 7.1.4.2 Định lý 7.1 (Định lý Cramer) Hệ Cramer luôn có một nghiệm duy nhất ; 1, 2,...,jj D x j n D   , trong đó 115 D = detA, và Dj là định thức có được từ định thứ D bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do. Thí dụ 7.1.1 a) Giải hệ phương trình         043 142 22 321 321 321 xxx xxx xxx . Hệ có số ẩn bằng số phương trình và định thức 1 2 1 2 1 4 8 0 3 4 1 D          Hệ đã cho là hệ Cramer có nghiệm duy nhất. Ta có 28 140 411 122 1     D ; 16 103 412 121 2   D ; 20 043 112 221 3     D . Do đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là 1 2 3 7 2 2 5 2 x x x         7.1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm Định lý 7.2 (Định lý Kronecker-Capelli) a. Hệ ( I ) vô nghiệm khi và chỉ khi rankA < rank A . b. Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi rankA = rank A = n. c. Hệ ( I ) có nghiệm phụ thuộc k tham số khi và chỉ khi rankA = rank A = n - k. (n - k ẩn chính) Thí dụ 7.1.2 Hệ      2 1 321 321 xxx xxx có rank 11 1 1 1 1 1       ; rank 22 1 1 1 1 1 1 1       , do đó hệ vô nghiệm. 7.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 7.1.4.1 Nếu hệ phương trình Cramer thì áp dụng định lý Cramer Xem thí dụ 7.1.1 7.1.4.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss + Lập ma trận bổ sung A . + Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A , đưa ma trận A về ma trận bậc thang dòng. + Căn cứ vào hạng của A và A để kết luận về số nghiệm của phương trình. Cụ thể: - Nếu rankA < rank A : Hệ (I) vô nghiệm; - Nếu rankA = rank A = n : Hệ (I) có nghiệm duy nhất; 116 - Nếu rankA = rank A = k < n : Hệ (I) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – k tham số. Trường hợp này, trong dạng bậc thang dòng của A tồn tại định thức con cấp k, Dk 0. Định thức con Dk đó gọi là định thức con cơ sở. Các ẩn số có hệ số nằm trong Dk gọi là ẩn số chính (có k ẩn chính), các ẩn số còn lại gọi là tham số (hay ẩn tự do). Tính các ẩn chính theo các tham số ta được hệ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.  Chú ý: Trong quá trình biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận bổ sung A , ta cần lưu ý các điểm sau: + Nếu xuất hiện một dòng bằng 0 thì có thể xoá bớt dòng đó. + Nếu xuất hiện hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ thì có thể xoá bớt 1 trong 2 dòng đó. + Nếu xuất hiện một dòng dạng [ 0 0 ... 0 | a ] với a  0 thì kết luận ngay hệ phương trình vô nghiệm. + Trong một vài trường hợp, nếu thấy hệ mới có thể giải được dễ dàng thì không nhất thiết phải đưa A về dạng bậc thang dòng. Thí dụ 7.1.3 a) Giải hệ phương trình      22 1 4321 4321 xxxx xxxx . Hệ có thể viết dưới dạng      4321 4321 22 1 xxxx xxxx Ta có 0211 11   D ; 3 43 43 1 33122 11 x xx xx D     ; 43 43 43 1 21221 11 xx xx xx D     . Vậy hệ có nghiệm là        43 433 ,, 2 21 , 2 33 xx xxx , trong đó x3, x4 tùy ý. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. b) Giải hệ phương trình         224 652 12 321 321 321 xxx xxx xxx . Ta có [A|B] =                                       11 4 1 100 110 121 3 4 1 320 110 121 2 6 1 241 152 121 123113 212 2 2 dddddd ddd . Suy ra x3 = 11, x2 = 4 + 1.11 = 15; x1 = 1 - 2.15 -1.11 = -40. 117 Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm x* = (-40, 15, 11). c) Gi i h ph ng trả ệ ươ ình         2432 124 32 321 321 321 xxx xxx xxx . Ta có [A|B] =                                              7 11 3 000 670 121 4 11 3 670 670 121 2 1 3 432 214 121 123113 212 2 4 dddddd ddd . Suy ra phương trình cuối của hệ (0x3 = 7) vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. c) Giải hệ phương trình         022 42463 22 321 4321 4321 xxx xxxx xxxx . Ta có [A|B] =                                         2 2 1 1 1 1 0 2 0 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 1 0 4 2 0 2 1 2 4 1 2 6 2 1 3 1 2113 212 ' 3 dxoaddd ddd . Suy ra x1 = 4 +2x2 - 2x4 , x3 = 2 - x4 . Vậy hệ có nghiệm (4 +2x2 - 2x4 , x2, 2 - x4 , x4) với x2 và x4 tùy ý. 7.1.4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận AX = B. Nếu A là ma trận vuông khả nghịch thì ta có X = A-1B. Thí dụ 7.1.4 Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 2 2 3 x x x x x x x x x            . Đặt A = 1 2 1 1 2 2 1 1 2         , B = (1 2 3)T , X = (x1 x2 x3)T ta có AX = B. Vì A-1 = 2 3 2 0 1 1 1 1 0            nên X = A-1B = 1 2 3          = 2 1 1         . Vậy hệ có 1 nghiệm là x* = (2, -1. 1). 7.2 Các mô hình tuyêến tính trong phân tích kinh têế 7.2.1 Mô hình cân bằng thị trường 118 7.2.1.1 Thị trường một hàng hóa Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hóa, các nhà kinh tế học sử dụng công cụ hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá hàng hóa. Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu như sau Hàm cung : 0 1.SQ a a p   Hàm cầu : 0 1.dQ b b p  Trong đó 0 1 0 1, , ,a a b b là các hằng số dương ; p là giá hàng hóa ; QS là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán muốn bán ; Qd là lượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua Thị trường cân bằng 0 1 0 1. .S dQ Q a a p b b p       Giải phương trình này ta được : Giá cân bằng 0 0 1 1 a bp a b   Lượng cân bằng 1 0 0 1 1 1 . . S d a b a bQ Q Q a b     7.2.1.2 Thị trường nhiều hàng hóa a. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của mặt hàng này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các mặt hàng khác. Hàm cung và hàm cầu tuyến tính của thị trường n hàng hóa liên quan có dạng sau : 0 1 2 2 0 1 1 2 2 . . ... . . . ... . si i i i in n di i i i in n Q a a p a p a p Q b b p b p b p           Trong đó ,Si diQ Q và pi là lượng cung, lượng cầu và gía hàng hóa thứ i. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình tuyến tính 1,2,..., Si diQ Q i n    10 11 1 12 2 1 10 11 1 12 2 1 20 21 1 22 2 2 20 21 1 22 2 2 . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . ..................................................................................... n n n n n n n n a a p a p a p b b p b p b p a a p a p a p b b p b p b p                    0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 ............... . . ... . . . ... .n n n nn n n n n nn na a p a p a p b b p b p b p                119 10 11 1 12 2 1 10 20 21 1 22 2 2 20 0 1 1 2 2 0 . . ... . . . ... . (1) ...................................................... . . ... . n n n n n n n nn n n c c p c p c p c c c p c p c p c c c p c p c p c                       Giải hệ phương trình (1) ta xác định được giá cân bằng của n hàng hóa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng b. Thí dụ 7.2.1 Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa Hàng hóa 1: 1 1 2 1 1 2 33; 3 48S dQ p p Q p p p        Hàng hóa 2: 2 2 2 35; 50S dQ p Q p    Hàng hóa 3: 3 1 3 2 340; 5S dQ p Q p p     Xác định giá cả và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng ? Giải Thị trường cân bằng khi và chỉ khi 1 1 2 2 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3 3 48 5 50 40 5 S d S d S d Q Q Q Q Q Q p p p p p p p p p p                         1 2 3 1 2 3 2 31 2 3 2 2 45 10 45 20 2535 p p p p p p p pp p p                    Suy ra lượng hàng cân bằng là: 1 1 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 3 3 2 2 27 10 25 20 2550 Q p p p p Q p p khi p pQ p p p                      7.2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô 1. Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân và E là tổng mức chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế. Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình Y=E 120 Trong một nền kinh tế khép kín, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau : C : Tiêu dùng của các hộ gia đình G : Chi tiêu của Nhà nước hay kế hoạch của chính phủ I : Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ là cố định G = G0 , còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất C=a.Y+b , (0 1, 0)a b   Hệ số a biểu diễn tỷ phần dành cho tiêu dùng khi có thêm $1 thu nhập, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tự định, tức là mức chi tiêu khi không có thu nhập. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng là hệ phương trình tuyến tính 0 0 0 0Y C I G Y C I G C aY b aY C b               Giải hệ phương trình này, ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế là : 0 0 0 0( ), 1 1 b I G b a I GY C a a        Trên đây là mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô đơn giản nhất. Độ phức tạp của mô hình kinh tế se tăng lên, nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu Nếu ta tính thuế thu nhập thì hàng tiêu dùng sẽ thay đổi như sau dC aY b  Trong đó Yd là thu nhập sau thuế khả chi. Gọi thuế suất thu nhập là t ta có Yd=Y-tY=(1-t)Y C=a(1-t)+b Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là : 0 0 0 0(1 )( ), 1 (1 ) 1 (1 ) b I G b a t I GY C a t a t           2. Thí dụ 7.2.2 Nếu C= 200+0,75 , I0 = 300 , G0 = 400 ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng ( tính theo triệu USD) là : 200 300 400 200 0,75(300 400)3600, 2900 1 0,75 1 0,75 Y C         Nếu Nhà nước thu thuế thu nhập 20% (t = 20%) thì mức cân bằng như sau 121 200 300 400 200 0,75(1 0,2)(300 400)2250, 1550 1 0,75(1 0,2) 1 0,75(1 0,2) Y C            7.2.3 Mô hình I/O (Input/Output) của Lêontief Mô hình I/O (Input/Output) của Lêontief (còn gọi là mô hình cân đối liên ngành) đề cập đến việc xác định mức tổng cân đối đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. Trong khuôn khổ của mô hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất. Các giả thiết được đặt ra như sau 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số sản phẩm phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai, ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo một tỷ lệ cố định đó là một mặt hàng. 2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định (Công nghệ chưa thay đổi). Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau trong cơ cấu yếu tố sản xuất (chẳng hạn, việc sản xuất thép đòi hỏi phải sử dụng quặng sắt, điện, than,). Do đó tổng cân đối của một ngành bao gồm : 3. Cầu trung gian từ các phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất. 4. Cầu cuối cùng từ các người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khấu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hãng xuất khấu, Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, gọi qui ước là ngành 1, ngành 2, , ngành n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả của các loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giá thị trường ổn định).Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa ngành i được tính theo công thức 1 2 ... (1)i i i in ix x x x b     Trong đó :  ix là tổng cân đối với hàng hóa của ngành i  ikx là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (Cầu trung gian).  ib là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (Cầu cuối cùng). Công thức trên có thể viết dưới dạng 122 1 2 1 2 1 2 ...i i ini n i n x x xx x x x b x x x      Đặt  , , 1,2,..., (2)ikik k xa i k n x   Ta được hệ phương trình tuyến tính 1 11 1 12 2 1 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... (1 ) ... ... (1 ) ... ............................................... ....... ... n n n n n n n n n n n nn n n x a x a x a x b a x a x a x b x a x a x a x b a x a x a x b x a x a x a x b                               1 1 2 2 (3) .............................................................. ... (1 )n n nn n na x a x a x b             Hệ phương trình (3) có thể viết dưới dạng ma trận (E-A)X=B (4) Trong đó 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a             gọi là ma trận đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật Ma trân (E-A) được gọi là ma trận Lêontief 1 2 ... n x x X x             gọi là ma trận tổng cầu 1 2 ... n b b B b             gọi là ma trận cuối cùng và E là ma trận đơn vị cấp n Chú ý : Ở dạng giá trị phần tử aik nằm trên dòng i cột k của ma trận A là tỷ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng hóa của ngành i tính trên đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k (chi phí cho yếu tố đầu vào của sản xuất). Chẳng hạn aik=0,2 có nghĩa là để sản xuất ra $1 giá trị hàng hóa của mình (tính theo bình quân), ngành k phải mua $0,2 hàng hóa của ngành i. Theo giả thiết thứ hai nêu ở trên thì các phần tử aik không đổi và gọi là hệ số chi phí cho yếu tố sản xuất hay hệ số kỹ thuật. Theo ý nghĩa nêu trên thì 0 1ika  Phương trình (E-A)X = B (4) cho phép xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các ngành sản xuất.   1X E A B  Điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất, bảo đảm cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa. 123 Thí dụ 7.2.3 Quan hệ trao đổi của 3 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng sau (Đơn vị triệu USD) 7.4.1 Ngành cung ứng 7.4.2 Sản phẩm (Output) 7.4.3 Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) 7.4.4 Cầu cuối cùng7.4.6 1 7.4.7 2 7.4.8 2 7.4.10 1 7.4.11 20 7.4.12 60 7.4.13 10 7.4.14 50 7.4.15 2 7.4.16 50 7.4.17 10 7.4.18 80 7.4.19 10 7.4.20 3 7.4.21 40 7.4.22 30 7.4.23 20 7.4.24 40 Trên bảng số liệu trên, mỗi dòng đứng tên một ngành sản xuất (Ouput), mỗi cột ở giữa đứng tên một ngành với danh nghĩa là người mua sản phẩm (Inputs). Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật. Giải Tổng cầu hàng hóa của :  Ngành 1 : 1 20 60 10 50 140x       Ngành 2 : 2 50 10 80 10 150x       Ngành 3 : 3 40 30 20 40 130x      Ma trận hệ số kỹ thuật : 20 60 10 140 150 130 0,143 0,400 0,077 50 10 80 0,375 0,067 0,615 140 150 130 0,286 0,200 0,15440 30 20 140 150 130 A                         Thí dụ 7.2.4 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật trong một ngành kinh tế có 3 ngành sản xuất : ngành 1, ngành 2, ngành 3 là 0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 A          a. Giải thích con số 0,4 trong ma trận A b. Cho biết tỉ phần giá trị gia tăng (giá trị của lao động) hàng hóa của ngành 3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó c. Cho biết mức cầu cuối s đối với các ngành 1,2,3 lần lượt là 10,5,6 (triệu USD), hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành Giải a. Số 0,4 ở dòng 2 cột 1 của ma trận A có ý nghĩa là: để sản xuất $1 hàng hóa của mình, ngành 1 cần $0,4 hàng hóa của ngành 2 để sử dụng trong quá trình sản xuất. b. Tỉ phần chi phí của ngành 3 là tổng các phần tử ở cột 3 của ma trận A: 124 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6 Vậy tỉ phần giá trị gia tăng trong tổng giá trị hàng hóa của ngành 3 là: 1– 0,4 = 0,6 hay 40% c. Ta có ma trận Lêontief 1 0 0 0,2 0,3 0,2 0,8 0,3 0,2 0 1 0 0,4 0,1 0,2 0,4 0,9 0,2 0 0 1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,3 0,8 E A                                    Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ta tìm được   1 0,66 0,30 0,24 1 0,34 0,62 0,24 0,384 0,21 0,27 0,60 E A            Do đó ma trận tổng cầu là :   1 0,66 0,30 0, 24 10 24,84 1 0,34 0,62 0, 24 5 20,68 0,384 0, 21 0,27 0,60 6 18,36 X E A B                                BÀI TẬP CHƯƠNG VII Bài 1. Giải các phương trình ma trận sau: 2 1 1 2 2 1 1 3 1. 4. 4 2 3 4 4 2 2 6 X X                           Bài 2 Giải các hệ phương trình sau: 1. 2 1 3 2 5 2 2 4 2. 2 3 1 4 4 2 2 3 11 x y z x y z x y z x y z x y z x y z                           3 8 20 31 45 26 16 0 3. 9 4 5 10 4. 30 65 48 0 15 4 10 29 45 52 32 0 x y z x y z x y z x y z x y z x y z                        1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 3 5 7 12 3 2 4 3 5 7 0 5. 6. 2 3 6 5 7 3 4 2 3 4 7 3 5 16 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                           125 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 2 3 4 5 13 2 0 2 2 3 4 10 7. 3 0 8. 2 2 2 3 11 4 2 2 2 2 2 6 5 5 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                      3         1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 9 3 5 6 4 9. 2 1 10. 6 2 3 4 5 2 5 5 3 3 14 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 12 9 3 10 13 2 1 4 3 2 3 2 0 11. 12. 8 6 2 5 7 4 5 5 5 7 3 16 2 3 4 5. 3 3 3 3 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                            Bài 3 Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường hai hàng hóa 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 18 3 , 12 2 2 4 2 3 d d s s Q p p Q p p Q p Q p             Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng Bài 4 Xét mô hình kinh tế vĩ mô: 0 0 1 1; 60 0,7 ; (1 )Y C I G C Y Y T Y       Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 =140 (triệu dollar) và thuế xuất nhập t = 40% ĐS: Y=500 Bài 5 Quan hệ trao đổi của 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng sau (Đơn vị triệu USD) Ngành cung ứng sản phẩm (Out put) Ngành ứng dụng sản phẩm (Out put) Cầu cuối cùng 1 2 3 4 1 80 20 110 320 160 2 200 50 90 120 140 3 220 110 30 40 0 4 60 140 160 240 400 Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ đến 3 chữ số thập phân) ĐS: x1= 600, x2 =600, x3 = 400, x4 = 1000. 0,133 0,033 0, 275 0,230 0,333 0,083 0, 225 0,120 0,367 0,183 0,075 0,040 0,100 0,233 0, 400 0,240 A             126 Bài 6 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B, hãy xác định mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất đối với mỗi ngành. 1. 0,1 0,3 170 , 0,5 0,2 280 A B            2. 0,2 0,3 0,2 150 0,4 0,1 0,3 200 0,3 0,5 0,2 210 A B                    ĐS: a) x1 = 358,96; x2 = 591,21. Chi phí đầu vào: c1 = 231,58; c2 = 295,61. 3.x1 = 879,50; x2 = 1023,85; x3 = 1232,22 Chi phí đầu vào: c1 = 791,55; c2 = 921,465; c3 = 862,554 Bài 7 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B,hãy xác định mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào sản xuất đối với mỗi ngành. 0,4 0,3 0,1 140 0,2 0,2 0,3 , 220 0,2 0,4 0, 2 180 A B                    Tính mức tổng cầu mới khi cầu cuối cùng đối với ngành 1 tăng thêm 30, đối với ngành 2 và 3 thi giảm đi tương ứng 15 và 35. ĐS: x1 = 743,24; x2 = 756,76; x3 = 789,19 Chi phí đầu vào: c1 = 584,592; c2 = 681,084; c3 = 473,514 Tổng cầu mới: x1 = 767,79; x2 = 723,88; x3 = 735.14 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. [2] Đỗ Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. [3] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân [4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD. [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM 128