Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn (FTS) trên nền tối ưu tác động nhanh - Vũ Thị Thúy Nga

Nguyễn Văn Chí và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 213 - 218 220 ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH THỜI GIAN HỮU HẠN (FTS) TRÊN NỀN TỐI ƯU TÁC ĐỘNG NHANH Vũ Thị Thúy Nga*, Nguyễn Doãn Phước Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT Bài báo giới thiệu một phương pháp điều khiển ổn định hệ phi tuyến với khoảng thời gian ổn định hữu hạn (FTS). Phương pháp điều khiển của bài báo được xây dựng dựa trên nền nguyên lý cực đại để điều khiển tối ưu tác động nhanh. Nhờ đó ta còn có thể điều khiển được hệ từ miền trạng thái bị chặn cho trước về đến gốc tọa độ sau khoảng thời gian bị chặn trên bới một giá trị hữu hạn tùy ý cho trước cũng như số lần chuyển đổi giá trị tín hiệu điều khiển tối đa chỉ một lần. Từ khóa: Tối ưu tác động nhanh; Điều khiển tuyến tính hóa chính xác; Điều khiển FTS ĐẶT VẤN ĐỀ* Trong những năm gần đây, ở lĩnh vực điều khiển phi tuyến, xuất hiện một số công trình nghiên cứu về điều khiển ổn định tiệm cận toàn cục với khoảng thời gian hữu hạn, được gọi tắt là bài toán điều khiển FTS (finite time stabilization) cho hệ phi tuyến affine bậc hai một đầu vào u , tức là hệ có hai biến trạng thái 1 2( , ) Tx x x , mô tả bởi: ( ) ( ) dx f x h x u dt   với (0) 0f  (44) với 0 là ký hiệu gốc tọa độ trong không gian trạng thái 2R . Một số công trình tiêu biểu về vấn đề điều khiển FTS này có thể kể đến là 0,0,0. Ý nghĩa ứng dụng của bài toán điều khiển FTS không chỉ đơn thuần dừng lại ở việc điều khiển hệ về tới gốc tọa độ sau khoảng thời gian hữu hạn, mà xa hơn còn là bài toán trung gian làm cầu nối cho việc xây dựng bộ điều khiển trượt bậc cao với nhiệm vụ điều khiển quỹ đạo trạng thái của hệ về đến mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn 0. Công cụ nền tảng của những nghiên cứu này vẫn là lý thuyết Lyapunov 0, tức là vẫn đi theo hướng tìm một hàm xác định dương ( )V x , trơn, đơn điệu tăng theo x , sao cho với nó luôn tồn tại ít nhất một quan hệ ( )u x , được * Email: nga.vuthithuy@hust.edu.vn hiểu là mô hình của bộ điều khiển phản hồi trạng thái, để đạo hàm theo thời gian của nó:  ( ) ( ) ( )      dV V dx V f x h x u x dt x dt x (45) thỏa mãn: 0 khi 0 0 khi t TdV t Tdt        (46) trong đó T là một giá trị hữu hạn. Giá trị T này cũng chính là thời gian ổn định hữu hạn của hệ (44) do bộ điều khiển phản hồi trạng thái ( )u x mang lại, vì theo định lý LaSalle, khi đó cũng phải có ( ) 0x t  với t T . Mặc dù vậy, xu hướng giải quyết bài toán như trên lại gặp phải vấn đề muôn thủa của lý thuyết Lyapunov là đi tìm hàm ( )V x thích hợp. Đó là hạn chế chính của các phương pháp đã có. Bài báo này sẽ giới thiệu một xu hướng khác để giải quyết bài toán điều khiển FTS mà không cần sử dụng đến lý thuyết Lyapunov. Phương pháp giải quyết của bài báo sẽ dựa trên nền lý thuyết điều khiển tối ưu tác động nhanh trong nguyên lý cực đại của Pontryagin 0, kết hợp với điều khiển tuyến tính hóa chính xác nhờ công cụ hình học vi phân của Sussmann và Isidori cùng các cộng sự 0,0. Tất nhiên ta còn có thể thấy ngay được rằng bộ điều khiển tối ưu tác động nhanh này của bài báo sẽ không những làm hệ ổn định sau khoảng thời gian hữu hạn, mà còn là với thời Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 221 gian hữu hạn T nhỏ nhất trong tất cả các bộ điều khiển FTS có thể có của hệ. Hơn thế nữa ta còn có thể thiết kế bộ điều khiển FTS với khoảng thời gian ổn định T bị chặn trên bởi một giá trị hữu hạn maxT cho trước. Toàn bộ các bước thiết kế bộ điều khiển FTS sẽ được trình bày ở chương II. Chương 3 là một ví dụ minh họa cho phương pháp của bài báo. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN FTS TRÊN NỀN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TÁC ĐỘNG NHANH Phương pháp thiết kế bộ điều khiển FTS trình bày sau đây chỉ giới hạn cho hệ phi tuyến affine bậc hai (44). Mặc dù vậy nó cũng hoàn toàn mở rộng được một cách tương tự cho cả những hệ phi tuyến affine bậc cao, điều mà các công trình công bố trước đây dựa trên nền lý thuyết Lyapunov của Bhaty, Bernsteinz 0, hay của Hong 0 hoặc của Moulay, Perruquetti 0 chưa làm được. Tuyến tính hóa chính xác hệ phi tuyến affine bậc hai Giả thiết hệ (44) là điều khiển được. Khi đó, theo 0, nó luôn điều khiển tuyến tính hóa chính xác được nhờ phép đổi biến vi phôi ( )z m x và một bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái ( , )u x v . Một cách cụ thể thì do hệ (44) là bậc hai và điều khiển được, nên có:  Rank ( ) , ( ) 2, fh x ad h x x  Ký hiệu hàm mở rộng:  ( ) span ( )x h x  ta thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) h x h x h x h x x x x        nên ( )x là hàm mở rộng xoắn. Điều này khẳng định rằng phải tồn tại hàm vô hướng ( )x để có 0: ( ) 0hL x  và ( ) 0, h fL L x x    ( ) ( ) 0 x x x     (47) Từ ( )x ta định nghĩa vector hàm: ( ) ( ) ( )f x m x L x           sẽ thấy 0: ( ) det 0, m x x x     Vậy: 1 2 ( ) ( ) ( )f xz z m x L xz                  (48) là nghịch đảo được, hay ( )z m x là phép đổi biến vi phôi. Sử dụng phép đổi biến vi phôi (48) ta có: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )              f h f dz x f x h x u dt x L x L x u L x z và: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           f f h f L xdz f x h x u dt x L x L L x u Do đó, khi sử dụng bộ điều khiển: 2 ( ) ( )f h fv L x L L x u    2 ( ) ( ) f h f v L x u L L x     (49) hệ (44) cho ban đầu sẽ trở thành hệ tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái dưới dạng khâu tích phân bậc hai: 2 0 1 0 0 0 1 bA zdz z v A z bv vdt                       (50) Hình 0 biểu diễn cấu trúc hệ thống điều khiển tuyến tính hóa chính xác cho hệ phi tuyến affine bậc hai ban đầu (44) thành hệ tuyến tính (50) nhờ bộ điều khiển tĩnh phản hồi trạng thái (49) và phép đổi biến vi phôi (48). u x z v Hệ phi tuyến (44) Đổi biến (48) Bộ điều khiển (49) Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 222 Hình 1. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác Điều khiển tối ưu tác động nhanh hệ tuyến tính bậc hai Xét hệ tuyến tính dạng khâu tích phân bậc hai (50). Giả sử rằng hệ có tín hiệu vào bị chặn v k . Bây giờ ta sẽ thiết kế bộ điều khiển đưa hệ đi từ mọi điểm trạng thái đầu tùy ý, nhưng cho trước 0 (0)z z , về đến gốc tọa độ trong khoảng thời gian ngắn nhất. Điều đó là tương đương với bài toán điều khiển tối ưu có thời gian cuối T tự do (free endtime) cho hệ (50) ứng với hàm mục tiêu: 0 0 ( ) ( , ) min T T Q v g z v dt dt T     có ( , ) 1g z v  . Vì đây là bài toán tối ưu dạng free endtime nên bắt buộc ta phải áp dụng điều kiện cần là nguyên lý cực đại Pontryagin 0 để tìm nghiệm tối ưu *( )v t . Trước tiên đi từ hàm Hamilton:   1 2 2 ( , , ) ( , ) 1 H z p v p A z bv g z v p z p v       trong đó  1 2 , T p p p là biến đồng trạng thái, sẽ có ngay:  * 2 2 2 arg max arg max khi 0 khi 0        v v v H p v k p k p Vậy nên quỹ đạo trạng thái tối ưu chỉ có thể ở một trong hai dạng: 2zdz kdt        hoặc 2 zdz kdt         21 2 1 1 2 z z c k   hoặc 21 2 2 1 2 z z c k    (51) với 1 2, c c là các hằng số được xác định từ trạng thái đầu 0z của hệ. Thời điểm đổi dạng quỹ đạo trạng thái tối ưu mô tả bởi phương trình (51) cũng là thời điểm mà tín hiệu điều khiển tối ưu *v đổi dấu và là thời điểm mà tại đó có 2 ( ) 0p t  . Nhưng vì biến đồng trạng thái ( )p t còn là nghiệm của phương trình vi phân Euler-Lagrange: 1 0 T dp H pdt z               2 ( )p t at b  trong đó , a b là hai hằng số, nên 2 ( ) 0p t  chỉ có thể có nhiều nhất một nghiệm 1 0t  . Do đó quỹ đạo trạng thái tối ưu cũng chỉ có thể đổi từ dạng này dạng khác trong (51) nhiều nhất là một lần. Tuy nhiên, mục đích của bài báo không phải là xác định tín hiệu điều khiển tối ưu *( )v t mà là bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu *( )v z . Để có được bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu *( )v z từ tín hiệu điều khiển tối ưu *( )v t , trước tiên ta sử dụng các kết quả phân tích trên về tín hiệu điều khiển tối ưu để xây dựng đồ thị quỹ đạo trạng thái tối ưu tương ứng. Hình 0 biểu diễn minh họa dạng đồ thị quỹ đạo trạng thái tối ưu, trong đó các đường nét liền là phần đồ thị họ các quỹ đạo trạng thái tối ưu mô tả bởi: 21 2 2 1 2 z z c k    khi *v k  ứng với các điểm trạng thái đầu 0z khác nhau và đường nét gạch rời là phần đồ thị họ quỹ đạo trạng thái tối ưu: 21 2 1 1 2 z z c k   khi *v k Chiều mũi tên trên trên đồ thị biểu diễn chiều tăng theo thời gian t của quỹ đạo trạng thái tối ưu. Nó được suy ra từ mô hình (50) với: 1 2 dz z dt  tức là khi 2 0z  thì 1( )z t phải tăng theo t và ngược lại khi 2 0z  thì 1( )z t phải giảm. Hai đồ thị quỹ đạo trạng thái tối ưu đi qua gốc là: 21 2 1 2 z z k  khi 2 0z  và 21 2 1 2 z z k   khi 2 0z  sẽ được viết chung lại thành: Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 223 1 2 2 1 ( ) 0 2 z z z z k     (52) Hình 2. Dạng quỹ đạo trạng thái tối ưu tác động nhanh Vì tín hiệu điều khiển tối ưu *v chỉ chuyển đổi giá trị nhiều nhất là một lần, nên đồ thị ( ) 0z  trên tạo thành đường AOB chia mặt phẳng trạng thái thành hai nửa, tương ứng với hai giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu khác nhau *v k  . Do đó nó còn được gọi là đường chuyển đổi giá trị của tín hiệu điều khiển tối ưu, tức là khi quỹ đạo trạng thái tối ưu gặp đường chuyển đổi này, giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu sẽ chuyển từ k sang k hoặc ngược lại. Từ đây ta có được mô hình toán mô tả bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu tác động nhanh cho hệ tuyến tính (50) như sau: * 1 1 sgn ( ) khi ( ) 0 ( ) sgn( ) khi ( ) 0, 0 0 khi 0 k z z v z k z z z z             (53) trong đó hàm ( )z được định nghĩa theo công thức (52). Thiết kế bộ điều khiển FTS cho hệ phi tuyến bậc hai điều khiển được Bộ điều khiển FTS cho hệ nguyên bản gốc ban đầu (44), xây dựng trên nền tối ưu tác động nhanh, sẽ được xây dựng theo nguyên lý cascade gồm hai bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác (48), (49) và bộ điều khiển tối ưu tác động nhanh (53) cho hệ tuyến tính. Hình 0 biểu diễn nguyên lý điều khiển cascade này. Hình 3. Điều khiển FTS hệ phi tuyến bậc hai Nếu ghép chung hai bộ điều khiển cascade (49), (53) cùng với phép đổi biến vi phôi (48) lại với nhau, ta sẽ được mô hình toán của bộ điều khiển FTS cho hệ phi tuyến bậc hai (44) như sau:  * 2( ) ( ) ( ) f h f v m x L x u L L x     trong đó:     / / /* sgn ( ) khi ( ) 0 ( ) sgn ( ) khi ( ) 0, ( ) 0 0 khi 0               k x x v m x k x x x x và:  / 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f fx m x x L x L x k        Ta thấy bộ điều khiển FTS này còn có chứa tham số 0k  tùy chọn và do đó ta có thể chọn k để thời gian ổn định T không lớn hơn một giá trị cho trước, điều mà các phương pháp điều khiển FTS trên nền Lyapunov rất khó thực hiện được. Để xác định được thời gian ổn định T , ta giả sử hệ có trạng thái đầu ứng với: 0 0 a z         10 0( )x m z  và 0a  Khi đó, do 0( ) 0z a   nên *v sẽ đổi dấu một lần. Ký hiệu thời điểm đổi dấu đó là 1t thì: 1* 1 khi 0 ( ) khi k t t v t k t t T          với 1   . Thay tín hiệu điều khiển này vào mô hình (50) của hệ ta sẽ có: *v k  *v k 1z 2z 0z u x z *v Hệ phi tuyến (44) Đổi biến (48) Bộ điều khiển (49) Bộ điều khiển (53) Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 224 1 1 * ( ) * 0 0 0 ( ) 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 t A t A t t t t z t e z e bv d t a t k d t k d                                            Suy ra, tại điểm cuối t T với *( ) 0z T  thì: 1 1 0 2 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 ( 2 ) 2 (2 ) t T t T a t k d t k d a k t t T T k t T                                                         Từ phương trình thứ hai có: 12T t Thay vào phương trình thứ nhất, được: 21 a t k    Nhưng vì 21 0t  nên: sgna   . Vậy: 1 a t k  và 2 a T k  (54) và từ đây ta thấy được khi k được chọn càng lớn, thời gian ổn định T của hệ sẽ càng nhanh. Nói cách khác, khi miền trạng thái đầu 00 x X giới nội cho trước, thì với maxT tùy ý cho trước, ta luôn xác định được hằng số 0k thích hợp để hệ ổn định với khoảng thời gian T theo (54) thỏa mãn maxT T . MÔ PHỎNG KIỂM CHỨNG Để minh họa phương pháp, ta sẽ xây dựng bộ điều khiển FTS cho hệ phi tuyến bậc hai: 3 1 2 2 1 2 x xdx dt x x u        với 1 2 x x x        (55) So với mô hình (44) thì hệ đã cho có: 3 1 2 2 1 2 ( ) x x f x x x         , 0 ( ) 1 h x        và 1 2 1 ( ) 2 fad h x x x        nên cũng có:   1 2 0 1 Rank ( ) , ( ) Rank 2 1 2 fh x ad h x x x        Vậy nó là điều khiển được. Để tìm phép đối biến vi phôi ( )z m x , ta cần phải xác định hàm ( )x từ (47): 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 , ( ) 0( ) ( ) , 1                          x x h x x x x x x x  1 ( ) 1 x x    và 2 ( ) 0 x x    Vậy 1( ) x x . Suy ra, phép đổi biến ( )z m x là: 11 3 2 1 2 ( ) ( )f x xz z L xz x x                       Ngoài ra ta còn có:   3 1 22 2 1 2 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 ( ) 3 , 1 3 ( )            f x x L x x x x x x x x x và:  21 0 ( ) 3 , 1 1 1        h fL L x x Do đó bộ điều khiển FTS của hệ sẽ là: * 2 * 2 3 2 1 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) ( ) f h f v L x u v x x x x x L L x         (56) trong đó: / / /* 1 1 sgn ( ) khi ( ) 0 sgn khi ( ) 0, 0 0 khi 0 k x x v k x x x x             và: Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 225 / 3 31 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 x x x x x x k      Hình 4. Quỹ đạo trạng thái trong mặt phẳng pha Hình 5. Biểu diễn quỹ đạo trạng thái theo thời gian Hình 0 là kết quả mô phỏng, biểu diễn đồ thị quỹ đạo trạng thái của hệ kín gồm đối tượng phi tuyến bậc hai (55) đã cho và bộ điều khiển FTS (56) thu được theo phương pháp đề xuất của bài báo. Để so sánh và kiểm chứng chất lượng mà bộ điều khiển FTS này mang lại, trong hình 0 còn biểu diễn cả quỹ đạo trạng thái của hệ kín khi sử dụng bộ điều khiển ổn định hóa: 31 1 2( )u x x x    được thiết kế từ hàm điều khiển Lyapunov (CLF): 2 3 2 3 21 1 2 1 1 2( ) 2 ( ) ( )V x x x x x x x      Hình 0 là đồ thị quỹ đạo trạng thái của cả hai bộ điều khiển FTS thiết kế theo tối ưu tác động nhanh và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thiết kế nhờ Lyapunov. Cả hai đồ thị đều được biểu diễn theo thời gian. Một lần nữa ở đây ta thấy rõ được khả năng làm hệ ổn định sau khoảng thời gian hữu hạn của bộ điều khiển FTS với khoảng thời gian ổn định nhỏ hơn 0.8s . KẾT LUẬN Bài báo đã đưa ra một phương pháp điều khiển ổn định hệ phi tuyến với khoảng thời gian ổn định hữu hạn dựa trên nền nguyên lý cực đại để điều khiển tối ưu tác động nhanh. Kết quả mô phỏng đã chỉ ra rằng, so với phương pháp thiết kế ổn định dựa theo hàm Lyapunov, phương pháp đề xuất trong bài báo này đưa các biến trạng thái từ điểm ban đầu về điểm cân bằng nhanh hơn hẳn. Phương pháp của bài báo cũng hoàn toàn mở rộng được cho những hệ phi tuyến bậc lớn hơn 2, khi mà ta đã xác định được bộ điều khiển tối ưu tác động nhanh phản hồi trạng thái cho hệ tuyến tính dạng tích phân bậc cao. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bhaty, S.P. and Bernsteinz, D.S. (2000): Finite- Time Stabilization of continuous autonomous Systems. SIAM J. of Control Optimi. Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 38, No. 3, pp. 751-766. 2. Brockett, R.W; Millmann, R.S. and Sussmann, H.J. (1983): Differential Geometric Control Theory. Verlag Birhäuse Basel Bostron. 3. Chalet, B. and Levine, J. (1989): On dynamic feedback linearization. Systems & Control Letters, vol.13, pp.143151. 4. Hong, Y. (2002): Finite-Time Stabilization and stabilizability of a class of controllable Systems. Systems and Controll Letters, Vol.46, No.4, 2002, pp.231-236. 5. Isidori, A. (1999): Nonlinear Control Systems II. Springer Verlag. 6. Levant,A. (2003): High-order sliding mode, differentiation and output-feedback control. Int. Journal of Control. Vol.76, No.9, pp. 924-941. 7. Moulay, E. and Perruquetti, W. (2005): Lyapunov-based approach for finite time stability and stabilization. Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference, Seville, Spain, December 12-15, 2005, pp. 4742-4747 8. Pontryagin, L.S.; Boltjanskij, V.G.; Gamkrelidze, R.V. und Miscenko, E.P. (1964): Mathematische Theorie optimaler Prozesse. VEB Verlag Technik Berlin. SUMMARY FINITE TIME STABILIZATION BASED Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Vũ Thị Thúy Nga và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 219 - 224 226 ON TIME OPTIMAL CONTROL Vu Thi Thuy Nga * , Nguyen Doan Phuoc Hanoi University of Science and Technology This paper proposes a finite time stabilization control method for nonlinear system based on time optimal control principle. By using this method, the trajectory of the system will converge to zero with an upper bounded finite time. Moreover, the control signal changes its value maximum only one time. Keywords: time optimal control, finite time stabilization Ngày nhận bài:27/4/2015; Ngày phản biện:20/5/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 Phản biện khoa học: PGS.TS Lại Khắc Lãi – Đại học Thái Nguyên * Email: nga.vuthithuy@hust.edu.vn Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland