Xử lý số tín hiệu - Chương 7: Thiết kế bộ lọc số

Chương 7: Thiết kế bộ lọc số Xử lý số tín hiệu 1. Các bước thực hiện bộ lọc số.  hệ thống thực hiện hiệu chỉnh tín hiệu ở một số thành phần tần số nào đó.  Bộ lọc chọn lọc tần số: cho qua một số thành phần tần số của tín hiệu và loại bỏ tất cả các thành phần còn lại.  3 bước thiết kế bộ lọc số: Phụ thuộc vào ứng dụng Phụ thuộc vào phần cứng Bộ lọc: Yêu cầu của bộ lọc Thiết kế bộ lọc Thực hiện trên phần cứng 1. Các bước thực hiện bộ lọc số (tt) Mục đích của thiết kế bộ lọc số:  Đối với bộ lọc IIR: →Xác định các vector tham số tử số b=[b0,b1,,bM1] và mẫu số a=[1,a1,,aM2]  Đối với bộ lọc FIR: → Xác định vector b=[b0,b1,,bM1], đây cũng chính là đáp ứng xung của bộ lọc iM i i iM i i za zb zH         2 1 0 1 )( 1 Xác định hàm truyền H(z) iM i i zbzH   1 0 )( 2. Các yêu cầu của bộ lọc. 2. Các yêu cầu của bộ lọc. ωp: Cạnh dải thông. ω s: Cạnh dải chắn. δp1, δp2: độ gợn dải thông. δs: độ gợn (suy hao) dải chắn. 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ.  Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ dựa trên nguyên tắc xấp xỉ đáp ứng xung của bộ lọc mong muốn.  Giả sử ta có bộ lọc có đáp ứng tần số mong muốn:  Đáp ứng xung mong muốn:  VD: tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng: cH   ,1)(     n nj dd enhH  )()(       deHnh njdd )( 2 1 )( 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt) Đáp ứng xung của một số bộ lọc thông dụng:  Thông thấp:  Thông cao:  Thông dải:  Chắn dải: Nhận xét: Các bộ lọc lý tưởng có đáp ứng tần số thay đổi đột ngột giữa dải thông và dải chắn → đáp ứng xung dài vô hạn và không nhân quả. n n nh cd   )sin( )(  n n nnh cd    )sin( )()(  n nn nh abd   )sin()sin( )(   n nn nnh abd    )sin()sin( )()(   3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Để xấp xỉ đáp ứng xung của các bộ lọc lý tưởng này, cách đơn giản nhất là xén bớt từ đáp ứng xung lý tưởng này.  Giả sử cần thiết kế bộ lọc bậc M(M chẵn), đáp ứng xung của hệ thống xấp xỉ:  Hay ta có thể viết cách khác:  Với       khác 0 22 1 )( n M n M nw 2 M 2 M - ),()(  nnhnh d )()()( nwnhnh d 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Do h(n) sau khi nhân với hàm cửa sổ là không nhân quả, ta cần làm trễ đi M/2 mẫu để có đáp ứng xung nhân quả. h(n-M/2)=hd(n-M/2)w(n-M/2) 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt) VD: Dùng phương pháp cửa số chữ nhật xác định đáp ứng xung nhân quả của bộ lọc thông thấp FIR bậc 10 có tần số cắt là ωc=/4 Giải: Đáp ứng xung nhân quả: 55 , )sin( )(  n n n nh c           10 2 ,0, 6 2 , 2 1 , 2 2 , 4 1 , 2 2 , 2 1 , 6 2 ,0, 10 2 )(nh         10 2 ,0, 6 2 , 2 1 , 2 2 , 4 1 , 2 2 , 2 1 , 6 2 ,0, 10 2 )5(nh 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt) Tìm lại đáp ứng tần số từ đáp ứng xung này:            4 1 )cos( 1 )3cos( 3 2 )5cos( 5 2 )()( 5 5 5 5         j n njj eenheH 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 / |H (  )|        4 1 )cos( 1 )3cos( 3 2 )5cos( 5 2 )(       H  5)( H :pha tuyến tính. Nhận xét: _ Bộ lọc kết quả có độ dốc giữa dải thông và dải chắn lài. _ Đáp ứng biên độ của bộ lọc kết quả có những gợn trong cả dải thông và dải chắn. 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Hiện tượng Gibbs      dWHH d  )()(2 1 )(   )2/sin( 2/)1(sin )( 2/ 2/         MeW M Mn nj 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Thay đổi chiều dài cửa sổ:  Tăng chiều dài cửa sổ: độ rộng búp chính của hàm cửa sổ giảm → khoảng chuyển tiếp nhỏ. Tuy nhiên, tần số các gợn biên tăng lên.  Giảm chiều dài cửa sổ: khoảng chuyển tiếp lớn. 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Để giảm bớt hiện tượng Gibbs cần thay đổi hình dạng cửa sổ: tránh thay đổi đột ngột tại cạnh hàm cửa sổ.  Cửa sổ Bartlett (cửa sổ tam giác)  Cửa sổ Hann:  Cửa sổ Hamming:  Cửa sổ Blackman: even , 2//22 2/0/2 )( M MnMMn MnMn nw       MnMnnw  0 ),/2cos(5.05.0)(  MnMnnw  0 ),/2cos(46.054.0)(  MnMnMnnw  0 ),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0)(  3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt) 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt) Ví dụ: Bộ lọc thông thấp dùng cửa sổ chữ nhật và cửa sổ Hamming với cùng chiều dài N=81. 3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ. (tt)  Thiết kế bộ lọc FIR bằng cửa sổ Kaiser: Với  𝛼: hệ số hình dạng.  I0(x): hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc 0. Cửa sổ Bessel có 2 tham số giúp bù trừ độ rộng búp chính (độ rộng khoảng chuyển tiếp) và độ cao búp chính (tăng/giảm hiện tượng Gibbs) qua hệ số hình dạng và chiều dài bộ lọc ->linh động hơn khi thiết kế. Mn I M Mn I nw                   0 , )( 2/ 2/ 1 )( 0 2 0   4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục  Đối với bộ lọc IIR thì các phương pháp thiết kế thường bắt đầu bằng thiết kế bộ lọc tương tự, sau đó dùng các phép biến đổi để chuyển thành bộ lọc số.  Các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR tương tự đã rất phát triển.  Các bộ lọc tương tự thường được xác định bằng các công thức cụ thể -> đơn giản hoá việc thiết kế.  Các phương pháp xấp xỉ toán học khi áp dụng cho bộ lọc số IIR thường rất phức tạp. 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt)  Biến đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số: H(s) → H(z)  Các yêu cầu của phép biến đổi: Miền s Miền z  js  jrez     0 1r Trục tần số Tính ổn định 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt)  Phép biến đổi song tuyến tính:  Kiểm tra các yêu cầu của phép biến đổi:  Chứng minh cho : Mối liên hệ giữa Ω và ω: Như vậy: hay 1 1 1 1      z z s jej        j j s s z   1 1 1 1  js jezz j j z     :1|| 1 1             2 tan 1 1    j e e js j j        2 tan    arctan2 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt)  Chứng minh Dễ thấy: Nếu σ<0: tử số nhỏ hơn mẫu số →|z|<1 Nếu σ>0: tử số lớn hơn mẫu số →|z|>1 10  r       j j s s z   1 1 1 1 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Cho các tiêu chuẩn thiết kế của một bộ lọc số như sau: a) Thiết kế bộ lọc tương tự Butterworth thoả các điều kiện trên biết: b) Sử dụng phép biến đổi song tuyến tính tìm hàm truyền của bộ lọc IIR tương ứng.  2.00 ,1)(89125.0  H N c H 2 2 1 1 )(             3.0 ,17783.0)(H 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Nhận xét: ánh xạ trục tần số vô hạn vào vòng tròn đơn vị hữu hạn dẫn đến các tần số được ánh xạ không tuyến tính -> không áp dụng được cho bộ lọc có đáp ứng biên độ hay pha tuyến tính.        2 tan  4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Bộ lọc 1 cực: Hàm truyền chuẩn hoá trong miền s: Yêu cầu: thiết kế bộ lọc thông thấp với đáp ứng tần số tại ωc là Gc 2 1 1 1 10 1 )(      za zbb zH     s sHa )( 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ta có: Tại : Nếu Gc 2=1/2 thì 𝛼=Ωc Suy ra hàm truyền trong miền z: Với , 22 2 2 )()(         aa H j H )2/tan( cc  c c c c c ca G G GH      2 2 22 2 2 1 )(    1 1 1 11 1 1 1 )()( 1 1 1 1                 az z b s sHzH z z sz z sa        1 1 a     1 b 4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời gian liên tục (tt) Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp 1 cực với tần số cắt 3dB là 0.2 sử dụng phép biến đổi song tuyến tính áp dụng cho bộ lọc tương tự sau: Giải:  Ωc =tan(0.1)=0.325  Do |Ha(Ωc)| 2=1/2, 𝛼= Ωc  Hàm truyền trong miền s:  Hàm truyền trong miền z:  Tại ω=0.2, |H(ω)|0.707     s sH )( 325.0 325.0 )(   s sH    j j e e H z z zH           509.01 1 245.0)( 509.01 1 245.0)( 1 1 5. Bộ lọc có pha tuyến tính  Người ta chứng minh được rẳng bộ lọc có pha tuyến tính nếu đáp ứng xung của nó thoả điều kiện đối xứng hoặc phản đối xứng:  Đối với bộ lọc FIR: đáp ứng xung của các bộ lọc chọn lọc tần số và các hàm cửa sổ sẵn có dạng đối xứng -> pha tuyến tính có thể đạt được dễ dàng.  Đối với bộ lọc IIR: Từ phương trình của H(z), các cực xuất hiện thành cặp nghịch đảo. Nếu bộ lọc có 1 cực nằm trong vòng tròn đơn vị thì cũng có 1 cực nằm ngoài → không ổn định )()()()( 1 zHzzHnMhnh M 6. Ưu/khuyết điểm của bộ lọc IIR so với bộ lọc FIR FIR Ưu điểm:  Pha tuyến tính  Ổn định (không có các cực) Nhược điểm:  Chi phí tính toán lớn do để có cùng một đáp ứng biên độ giống nhau thì bộ lọc FIR luôn có bậc lớn hơn IIR Ưu điểm:  Bậc thấp → chi phí tính toán thấp.  Dễ thiết kế. Nhược điểm:  Dễ trở nên bất ổn nếu quá trình lượng tử tham số làm cho các cực bị đẩy ra khỏi vòng tròn đơn vị  Không thể đạt pha tuyến tính trên toàn khoảng Nyquist