Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Các hàm truyền

Chương 6: Các hàm truyền Xử lý số tín hiệu 1 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số Xử lý khối Xử lý mẫu Các PP thiết kế bộ lọc Các tiêu chuẩn thiết kế 2 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt) Ví dụ: Xét một bộ lọc nhân quả có hàm truyền Từ hàm truyền này hãy dẫn ra a.Đáp ứng xung h(n) b.Đáp ứng tần số H(ω) c.Phương trình vi phân I/O d.Phương trình tích chập e.Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ | H(ω) | f.Lưu đồ giải thuật 1 1 5.01 5.21 )(      z z zH 3 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt) Giải: a.Đáp ứng xung h(n) h(n) được tính từ biến đổi Z ngược: Do bộ lọc là nhân quả nên ROC: |z|>0.5 Suy ra: h(n)=-5δ(n)+6(0.5)nu(n) b.Đáp ứng tần số H(ω) 15.01 6 5)(   z zH    j j ez e e zHH j       5.01 5.21 )()( 4 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt) c. Phương trình vi phân I/O: d. Phương trình tích chập: 1 1 5.01 5.21 )( )( )(      z z zH zX zY )1(5.0)1(5.2)()( )1(5.2)()1(5.0)( )()5.21()()5.01( 11     nynxnxny nxnxnyny zXzzYz ...)2(5.06)1(5.06)( )()()( 2   nxnxnx mnxnhny 5 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt) e. Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ |H(ω)| H(z) có 1 cực tại p=0.5 và 1 zero tại z=-2.5 Đáp ứng biên độ: Tổng quát:    cos5.01 cos55.21 |)(| 2 2   H   cos21|| 1 2 aa)N( a.e)N( -jω   6 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt) f. Lưu đồ giải thuật:  Dạng trực tiếp: Từ phương trình vi phân I/O ta vẽ được lưu đồ giải thuật theo dạng trực tiếp: )1(5.0)1(5.2)()(  nynxnxny Giải thuật xử lý mẫu: )()1( )()1( )()( )(5.0)(5.2)()( )()( 01 01 0 1100 0 nvnv nwnw nvny nvnwnwnv nxnw      7 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt)  Dạng chính tắc: Giải thuật xử lý mẫu: )()1( )(5.2)()( )(5.0)()( 01 10 10 nwnw nwnwny nwnxnw    8 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt)  Tổng quát: 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )(      zaza zbzbb zH + z-1 b1-a1 x(n) y(n) + z-1 b2-a2 b0 Dạng trực tiếp: Dạng chính tắc: 9 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt)  Dạng Cascade: hàm truyền được biến đổi thành tích các thành phần bậc 2:        k kk k k k kk k k zdzdzc zgzgzf AzH )1)(1()1( )1)(1()1( )( 1*11 1*11 10 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số (tt)  Dạng Parallel: hàm truyền được biến đổi thành tổng các thành phần bậc 2:            k kk kk k k k k k k zdzd zeB zc A zCzH )1)(1( )1( 1 )( 1*1 1 1 11 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha  Đáp ứng trạng thái ổn định  Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn  Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách:  Chập trong miền thời gian  Phương pháp miền tần số  Phổ tín hiệu vào: X() = 2( - 0) + (các phiên bản)  Phổ tín hiệu ra: Y() = H()X() = 2H(0)( - 0)  DTFT ngược:  Tổng quát: H() là số phức nj enx 0)(      njeHmnxmhny 0)()()()( 0  12         njnj eHdeYny 0)()( 2 1 )( 0      0arg00  HjeHH     000 arg0   HjnjHnj eHe  12 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha  Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số 1 và 2 kết hợp tuyến tính & bộ lọc tuyến tính:  Với tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các thành phần sine rồi tính ngõ ra.     ))(arg(222 ))(arg( 111 222 111     Hnjnj HnjHnj eHAeA eHAeA     13 13 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha  Xét hệ thống:  Ngõ ra:  Y(ω) có biên độ:  Y(ω) có pha:  |H(ω)| được gọi là đáp ứng biên độ của bộ lọc.  được gọi là đáp ứng pha của bộ lọc  Độ trễ pha:  Độ trễ nhóm: )()()(  XHY  |)(||)(||)(|  XHY  )()()(  XHY  )(H ))((   H    )( )( H d      d Hd dg )( )(   14 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)  Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha lên tín hiệu ngõ ra:  Xét tín hiệu vào có dạng:  Tín hiệu ra:  Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ:  njnj eenx 21)(   ))(( 2 ))(( 1 )( 2 )( 1 2211 2211 |)(||)(| |)(||)(|)(     dnjdnj HjnjHjnj eHeH eeHeeHny     H(ω) Chọn lọc tần số 15 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)  Ảnh hưởng của đáp ứng pha:  Giả sử |H(ω1)| = |H(ω2)| =1  Nếu độ trễ pha d(ω) thay đổi theo ω: các thành phần tần số khác nhau sẽ bị trễ một lượng khác nhau. ))(())(( 2211)(  dnjdnj eeny   0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 0 1 x 1 (n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 0 1 x 2 (n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2 0 2 x(n)=x 1 (n)+x 2 (n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 0 1 y 1 (n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 0 1 y 2 (n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2 0 2 y(n)=y 1 (n)+y 2 (n) Biến dạng tín hiệu H(ω) 16 2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)  Để các thành phần tần số khác nhau sau khi qua bộ lọc bị trễ pha bằng nhau:  Lúc đó: (hệ thống có pha tuyến tính).  Trong ví dụ trên, giả sử hệ thống có pha tuyến tính thì: constD d Hd dg       )( )(  DH  )( )()( 21)( DnjDnj eeny    17 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Đáp ứng quá độ: Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0 với ROC:  Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):  Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)   10 0 1 1 )()(   ze zXnuenx j Znj   10  jez         11211 1...11    zpzpzp zN zH M 18          112111 1...111 0    zpzpzpze zN zY M j 18 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số từng phần: với ROC: |z|>1  Biến đổi ngược: Giả sử bộ lọc ổn định:     11 1 1 1 0 111 0        zp B zp B ze H zY M M j    19   0 n , )( 110 0  n MM nnj pBpBeHny  Mipi ,1, 1  M1, i , 0   nnip   njn eHny 00)(   19 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Nếu x(n)=ejωn, -∞<n<∞ thì y(n)=H(ω) ejωn  Tuy nhiên, nếu x(n)=ejωn u(n) thì  Để bộ lọc ổn định thì , với điều kiện ổn định: nj nk kjnj k kj nj n k kj n k knj eekheekh eekhekhny                                   10 00 )( )()( )()()( 0)(   nt ny   0 |)(| k kh     )( 1 )( )()()( ny nj nk kj ny nj t ss eekheHny             20 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số  Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ tiến về 0 chậm nhất.  Ký hiệu: .  Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó  với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1% 0  nnip i i pmax  eff n                  1 ln 1 ln ln ln effn 21 21 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n)=u(n)  Trường hợp đặc biệt của với 0 = 0 (z = 1)  H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.  Độ lợi DC: )(0 nue nj   0n ,...0)( 2211  n MM nn pBpBpBHny          0 1 )(0 n z nhzHH    0Hny n   22 22 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Đáp ứng unit step thay đổi:  Tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n)  Trường hợp đặc biệt của với 0 =  (z =-1)  Độ lợi AC: )(0 nue nj   0n ,...)( 2211  n MM nnnj pBpBpBeHny           0 1 )()1( n n z nhzHH      nn Hny 1    23 23 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm trên vòng tròn đơn vị.  Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị  Bộ lọc sẽ có cực liên hợp:  Và các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị  Đáp ứng quá độ 1 1 j ep  1* 1 j ep    ...)( 22 * 110 110   nnjnjnj pBeBeBeHny    njnjnjn eBeBeHny 110 *110)(    24 24 3. Đáp ứng hình sine (tt)  Nếu thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không ổn định.  Ví dụ:  Biết: 10   110 01 pee jj   ... 1)1(1 )1)...(1()1( )( )( 1 2 2 21 1 ' 1 1 1 1 11 2 21 1            zp B zp B zp B zpzpzp zN zY M )()1( )1( 1 1 21 nuan az nZ     ...)1()( 22 ' 11 11  nnjnj pBenBeBny  25 25 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Bộ lọc bậc nhất:  Khi ejω cực: |H(ω)| tăng  Khi ejω  zero: |H(ω)| giảm  Ví dụ: với 0 < a, b <1 0 |H(ω)| ωπ 1 1 1 1 )(      az bz GzH 26 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Cần thêm 1 phương trình thiết kế để xác định a và b.     a bG zHH    1 )1( 10     a bG zHH    1 )1( 1 )1)(1( )1)(1( )0( )( ba ab H H     27 effna /1  27 4. Thiết kế cực/zero (tt) Ví dụ: Thiết kế bộ lọc có H()/H(0) = 1/21 và neff=20 mẫu để đạt  = 1% 8.0)01.0( 20/1 /1  eff n a  4.0 21 1 )8.01)(1( )8.01)(1(    b b b 1801 1401   z. z.GH(z) 28 28 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Bộ lọc cộng hưởng: để tăng tính chọn lọc tần số:  1 cực tại p1=Re jω0 (0<R<1)  1 cực liên hợp tại p2=p1*=Re -jω0  Đáp ứng tần số:  Độ rộng 3dB  Giải ra 2 nghiệm ω1, ω2 )Re1)(Re1( )( 00   jjjj ee G H    2 0 2 |)(| 2 1 |)(|  HH  )1(2|| 21 R  29 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Các bộ cộng hưởng: Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng có một đỉnh đơn hẹp tại tần số 0 1 1/2 |H()|2 0 /2  0  30 30 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Để tạo 1 đỉnh tại  = 0, đặt 1 cực , 0<R<1 và cực liên hợp 0. j eRp  0.* j eRp  0 - 0 p p* 1    2 2 1 1 11 1 .1.1 )( 00       zaza G zeRzeR G zH jj  2 201 ,cos2 RaRa   31 31 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Đáp ứng tần số:  Chuẩn hóa bộ lọc:   10 H      2 0 0 )2cos(21)1( 1 .1.1 0000 RRRG eeReeR G H jjjj               jjjj eeReeR G H    00 .1.1 32 32 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp ứng biên độ bình phương  Tính theo dB:  Giải ra 2 nghiệm 1 và 2 =>  = 2 - 1  Chứng minh được: khi p nằm gần đường tròn (xem sách)  dùng xác định giá trị R dựa trên băng thông  cho trước.     2 1 2 1 2 0 2   HH     dB H H 3 2 1 log10log20 10 0 10          33  R 12 33 4. Thiết kế cực/zero (tt) Ví dụ: thiết kế bộ lọc cộng hưởng 2 cực, đỉnh f0=500Hz và độ rộng =32Hz, tốc độ lấy mẫu fs=10kHz 34 34 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Bộ lọc cân bằng: Để tăng hơn nữa bộ chọn lọc tần số, ta đặt thêm một cặp zero gần các cực:  Hàm truyền:       2211 2 2 1 1 11 11 1 1 .1.1 .1.1 )( 00 00           zaza zbzb zeRzeR zerzer zH jj jj   2 201 2 201 ,cos2 ,cos2 rbrb RaRa     0 0 2 1   j j rez rez   10  r 35 4. Thiết kế cực/zero (tt)  Bộ lọc Notch và Peak:  Bộ lọc Notch  Bộ lọc Peak 36 Bài tập  Bài 6.1-6.5, 6.8 và 7.1-7.6 37