Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Biến đổi fourier nhanh

Chương 6 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) T.S. Đinh Đức Anh Vũ Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 2 Nội dung Tính DFT & IDFT Tính trực tiếp Biến đổi WN Chia-Trị Lọc tuyến tính Cơ số 2 Cơ số 4 Chirp-zGoertzelTách cơ số Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 3 DFT & IDFT ? Tính DFT: xác định chuỗi N giá trị phức {X(k)} khi biết trước chuỗi {x(n)} chiều dài N – Giải thuật tính DFT cũng được áp dụng cho việc tính IDFT ? Tính trực tiếp – N2 phép nhân phức – N(N-1) phép cộng phức → Độ phức tạp: O(N2) ? Biến đổi WN – 2N2 phép tính lượng giác – 4N2 phép nhân số thực – 4N(N-1) phép cộng số thực – Một số phép toán chỉ số và địa chỉ để nạp x(n) 10)()( 1 0 −≤≤=∑− = NkWnxkX N n kn N 10)(1)( 1 0 −≤≤= ∑− = − NnWkX N nx N k kn N DFT IDFT Nj N eW π2−=    −−= += ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 )]cos()()sin()([)( )]sin()()cos()([)( N n N kn IN kn RI N n N kn IN kn RR nxnxkX nxnxkX ππ ππ Giải thuật tính DFT tối ưu mỗi phép toán theo những cách khác nhau k N Nk N k N Nk N WWhoànTuân WWxúngĐôi = −= + + 2/ Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 4 Phương pháp chia-trị ? Nguyên tắc: phân rã nhỏ việc tính DFT N điểm thành việc tính các DFT kích thước nhỏ hơn → các giải thuật FFT ? PP – Giả sử N=L.M – Lưu trữ x(n) vào mảng 2 chiều LxM (l: chỉ số hàng, m: chỉ số cột) – Cách lưu trữ ? Theo dòng n = Ml + m ? Theo cột n = l + mL – Tương tự, các giá trị DFT X(k) tính được cũng sẽ được lưu trữ trong ma trận LxM (p: chỉ số hàng, q: chỉ số cột) ? Theo dòng k = Mp + q ? Theo cột k = p + qL x(N-1)x(2)x(1)x(0) N-1210 x(L-1,M-1)x(L-1,1)x(L-1,0)L-1 x(2,M-1)x(2,1)x(2,0)2 x(1,M-1)x(1,1)x(1,0)1 x(0,M-1)x(0,1)x(0,0)0 M-110l m n → Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 5 Phương pháp chia-trị ∑∑− = − = ++= 1 0 1 0 ))((),(),( M m L l lmLqMp NWmlxqpX Với: x(n) : theo cột X(k) : theo hàng lq N Mpl N mLq N MLmp N lmLqMp N WWWWW =++ ))(( pl L pl MN Mpl N mq M mq LN mqL N Nmp N WWW WWW W == == = / / 1 lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑ ∑− = − =       = 1 0 1 0 ),(),( 10)()( 1 0 −≤≤=∑− = NkWnxkX N n kn N DFT M điểm F(l,q) G(l,q) DFT L điểm X(p,q) 1 2 3 (1): Tính L DFT M điểm – Nhân phức: LM2 – Cộng phức: LM(M-1) (2): Tính G(l,q) – Nhân phức: LM (3): Tính X(p,q) – Nhân phức: ML2 – Cộng phức: ML(L-1) ? Độ phức tạp – Nhân phức: N(M+L+1) – Cộng phức: N(M+L-2) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 6 Phương pháp chia-trị ? Hiệu quả ? PP chia-trị rất hiệu quả khi N= r1r2r3rv – Phân rã nhỏ hơn đến (v-1) lần – Hiệu quả hơn ? Giải thuật PP tính trực tiếp • Nhân phức : N2 • Cộng phức : N(N-1) PP chia-trị • Nhân phức : N(M+L+1) • Cộng phức : N(M+L-2) N=1000 → L=2, M=500 106 nhân phức → 503,000 (~ N/2) 1. Lưu trữ t/h theo hàng 2. Tính DFT L điểm của mỗi cột 3. Nhân ma trận kết quả với hệ số pha WNpm 4. Tính DFT M điểm của mỗi hàng 5. Đọc ma trận kết quả theo cột Giải thuật 2 n = Ml + m k = qL + p 1. Lưu trữ t/h theo cột 2. Tính DFT M điểm của mỗi hàng 3. Nhân ma trận kết quả với hệ số pha WNlq 4. Tính DFT L điểm của mỗi cột 5. Đọc ma trận kết quả theo hàng Giải thuật 1 n = l + mL k = Mp + q Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 7 ? Mô hình tính toán DFT 6 điểm thông qua việc tính DFT 3 điểm và DFT 2 điểm ? Giải thuật tính FFT cơ số 2 – Nếu N = r1r2r3rv = rv → mô hình tính DFT có cấu trúc đều (chỉ dùng một DFT r điểm) – r = 2 → FFT cơ số 2 – Chọn M = N/2 và L = 2 x(5) x(3) X(5) X(4) Phương pháp chia-trị DF T 3 đi ểm D FT 2 đ iể m x(0) x(2) x(4) x(1) W6lq X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(3) x(N-1) x(0) x(1) x(2) x(N-1) x(0) x(2) x(N-2)l=0 l=1 m=0 m=1 m=M-1 f1(2n) f2(2n+1) n= 0,1, , N/2-1 Giải thuật chia theo thời gian Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 8 FFT cơ số 2 ∑∑ ∑∑ ∑ − = + − = − = ++= += −== 1)2/( 0 )12( 1)2/( 0 2 1 0 )12()2( )()( 1,...,1,0)()( N m mk N N m mk N oldn kn N evenn kn N N n kn N WmxWmx WnxWnx NkWnxkX 2/ 2 NN WW = 1,...,1,0)()( )()()( 21 2/ 1)2/( 0 22/ 1)2/( 0 1 −=+= += ∑∑ − = − = NkkFWkF WmfWWmfkX k N km N N m k N km N N m 2/,...,1,0)()( 2/,...,1,0)()( 22 11 2/ 2/ NkkFmf NkkFmf N N DFT DFT = →← = →← k N Nk N WW −=+ 2/ F1(k), F2(k) tuần hoàn chu kỳ N/2 F1(k+ N/2) = F1(k) F2(k+ N/2) = F2(k)    −=−=+ −=+= 1,..,1,0)()()( 1,..,1,0)()()( 2212 221 Nk N N Nk N kkFWkFkX kkFWkFkX Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 9 FFT cơ số 2   −== −== 1,..,1,0)()( 1,..,1,0)()( 222 211 Nk N N kkFWkG kkFkG   −=−=+ −=+= 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 2212 221 NN N kkGkGkX kkGkGkX DFT2 X(k) G2(k) G1(k) k=0,1,,(N/2-1) X(k+ N/2) x(1 ) x (3) x(4 ) x(N -2) F 2 (0) F 2 (1) F 2 (2) F 2 (N /2- 1) DF T N/ 2 điể m x(0 ) x (2) x(4 ) x(N -2) F 1 (0) F 1 (1) F 1 (2) F 1 (N /2- 1) DF T N/ 2 điể m X( N/ 2-1 ) G 1 (N /2- 1) X( N/ 2)X (N /2+ 1) X( N- 1) G 2 (0) W N 0 W N 1 W N N/ 2-1 G 1 (0) G 1 (1) DFT 2 điểm DFT 2 điểm X( 1) DFT 2 điểmDFT 2 điểm X( 0) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 10 FFT cơ số 2 ? Tiếp tục phân f1(n) và f2(n) thành các chuỗi N/4 điểm ? Hiệu quả    −=+= −== −=+= −== 1,...,1,0)12()( 1,...,1,0)2()( 1,...,1,0)12()( 1,...,1,0)2()( 4222 4221 4112 4111 N N N N nnfnv nnfnv nnfnv nnfnv    −=−=+ −=+= −=−=+ −=+= 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 4222/2142 4222/212 4122/1141 4122/111 Nk N N Nk N Nk N N Nk N kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF DFT N/4 điểmvij(n) Vij(k) DFT trực tiếp N=2v điểm FFT cơ số 2 Các DFT 2 điểm Nhân phức: N2 Cộng phức: N2 – N Nhân phức: (N/2)log2N Cộng phức: Nlog2N Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 11 FFT cơ số 2 ? Ví dụ: tính DFT 8 điểm x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) Phân theo thờ i gian [0,1,2,3,4,5,6,7] [0,2,4,6] [1,3,5,7] [0,4] [2,6] [1,5] [3,7] Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 12 FFT cơ số 2 0 8W 0 8W 0 8W 0 8W -1 -1 -1 -1 0 8W 2 8W 0 8W 2 8W -1 -1 -1 -1 0 8W 1 8W 2 8W 3 8W -1 -1 -1 -1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 13 FFT cơ số 2 ? Khối tính toán cơ bản cho DFT 2 điểm (hình con bướm) W N’ a b A = a+WN’b B = a-WN’b -1 Độ phức tạp • 1 nhân phức • 2 cộng phức N= 2v: + Log2N : tầng tính toán + N/2 : khối tính toán cơ bản cho mỗi lớp Bộ nhớ: + Vào : (a,b) - số phức + Ra : (A,B) - số phức + Có thể lưu (A,B) đè lên (a,b) ? Chỉ cần N ô nhớ phức (2N ô nhớ thực) ? Tính toán tại chỗ Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 14 FFT cơ số 2 ? Thứ tự chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần – Biểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân – Chuỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự đảo các bit x(7)x(7)x(7) x(3)x(5)x(6) x(5)x(3)x(5) x(1)x(1)x(4) x(6)x(6)x(3) x(2)x(4)x(2) x(4)x(2)x(1) x(0)x(0)x(0) Bộ nhớPhân chiaBộ nhớ Phân chiaBộ nhớ 111111111 011101110 101011101 001001100 110110011 010100010 100010001 000000000 Địa chỉ Địa chỉ Địa chỉ Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 15 FFT cơ số 2 ? Phân chia theo tần số – Phương pháp chia và trị – M = 2, L = N/2 – Chuỗi dữ liệu nhập được sắp xếp theo cột – Phân chia X(k) thành X(2k) và X(2k+1) – Sau đó có thể phân chia tiếp tục mỗi X(k chẵn) và X(k lẻ) a b A = (a+b) WN’ B = (a–b)WN’-1 W N’ X(0) X(3) X(6) X(5) X(2) X(1) X(4) X(7) 1 8W 2 8W 3 8W 0 8W -1 -1 -1 -1 DFT 4 điểm DFT 4 điểm x(0) x(5) x(3) x(6) x(1) x(4) x(2) x(7) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 16 FFT cơ số 4 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(N-4) x(N-3) x(N-2) x(N-1) x(0) x(2) x(4) x(N-1) L = 4, M = N/4 N = 4v x(4n) x(4n+1) x(4n+2) x(4n+3) l=0 l=1 l=2 l=3 m=0 m=1 m=(N/4)-1 n = 4m + l k = (N/4)p + q n = 0,1,,N/4-1 l,p = 0,1,2,3 m,q = 0,1,,N/4 – 1 Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 17 FFT cơ số 4 [ ]   += +=   −= == == ∑ ∑ = = )(),( )4(),( )1(,..,1,0 3,2,1,0 ),(),( 3,2,1,0),(),( 4 4 4/ 0 4/ 3 0 4 qpXqpX lmxmlx q l WmlxqlF pWqlFWqpX N N N m mq N l lplq N DFT N/4 điểm                   −− −− −−=         ),3( ),2( ),1( ),0( 11 1111 11 1111 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW jj jj qX qX qX qX q N q N q N N lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑ ∑− = − =       = 1 0 1 0 ),(),( Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 18 FFT cơ số 4 0 q 2q 3q Dạng rút gọn 0 NW q NW q NW 2 q NW 3 -j -1 j -1 1 -1 j -1 -j Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 19 FFT cơ số 4 Độ phức tạp: 1 khối tính toán cần + 3 nhân phức + 12 cộng phức N=4v + Tầng tính toán : v = log4N + Mỗi tầng có : N/4 khối tính toán                   − −         − −=         ),0( ),0( ),0( ),0( 1010 1010 0101 0101 010 0101 010 0101 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW j j qX qX qX qX q N q N q N N Biểu diễn lại nhân ma trận (3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2) Nlog2N : Cộng phức (bằng FFT2) 3vN/4 = (3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2) 12vN/4 = (3N/2)log2N : Cộng phức (tăng 50% vs FFT2) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 21 Hiện thực các giải thuật FFT ? FFT cơ số 2 – Tính toán hình bướm: (N/2)log2N lần – Hệ số quay WNk: được tính một lần và lưu trong bảng – Bộ nhớ: 2N nếu muốn việc tính toán được thực hiện tại chỗ ? 4N nếu muốn đơn giản hóa các tác vụ chỉ số và điều khiển; đồng thời cho phép chuỗi nhập và xuất theo đúng thứ tự ? IDFT – Khác nhau cơ bản giữa việc tính DFT và IDFT là hệ số 1/N và dấu của hệ số pha WN ? Đảo chiều sơ đồ tính DFT, đổi dấu hệ số pha, và chia kết quả cuối cùng cho N → IDFT ? DFT với số điểm khác 2v hoặc 4v → đệm thêm các số 0 ? Độ phức tạp – Tác vụ số học (nhân phức, cộng phức) – Cấu trúc hiện thực của giải thuật (qui tắc vs bất qui tắc) – Kiến trúc của các bộ DSPs (xử lý song song các tác vụ) 10)(1)( 1 0 −≤≤= ∑− = − NnWkX N nx N k kn N Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 22 Ứng dụng của các giải thuật FFT ? Tính DFT của 2 chuỗi thực – x1(n) và x2(n): chuỗi thực độ dài N cần tính DFT – Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 ≤ n ≤ N-1 – X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuyến tính của DFT) j nxnxnx nxnxnx 2 )()()( 2 )()()( * 2 * 1 −= += [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ })()( 2 1)( )()( 2 1)( * 2 * 1 nxDFTnxDFTkX nxDFTnxDFTkX −= += [ ] [ ])()()( )()()( * 2 1 2 * 2 1 1 kNXkXkX kNXkXkX −−= −+= )()( ** kNXnx NDFT − →← Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 23 Ứng dụng của các giải thuật FFT ? Tính DFT của chuỗi thực 2N điểm – g(n): chuỗi thực độ dài 2N cần tính DFT – Tách thành 2 chuỗi x1(n) = g(2n) và x2(n) = g(2n+1) 0 ≤ n ≤ N-1 – Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 ≤ n ≤ N-1 – X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuyến tính của DFT) [ ] [ ])()()( )()()( * 2 1 2 * 2 1 1 kNXkXkX kNXkXkX −−= −+= ∑∑ ∑∑ − = − = − = +− = += ++= 1 0 22 1 0 1 1 0 )12( 2 1 0 2 2 )()( )12()2()( N n nk N k N N n nk N N n kn N N n nk N WnxWWnx WngWngkG 1,,1,0)()()( 1,,1,0)()()( 221 221 −=−=+ −=+= NkkXWkXNkG NkkXWkXkG k N k N K K Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 24 Ứng dụng của các giải thuật FFT ? Lọc tuyến tính các chuỗi dữ liệu dài – Overlap-add – Overlap-save ? Phương pháp – h(n) – Đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc (chiều dài M) ? Được đệm thêm L-1 số không sao cho N = L + M – 1 = 2v ? H(k): DFT N điểm của h(n), theo thứ tự đảo nếu h(n) được sắp theo thứ tự thuận (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số) – xm(n) – khối dữ liệu chiều dài L (đã được phân cắt) ? Được đệm thêm M–1 điểm (giá trị tùy theo PP lọc được dùng) ? Xm(k): DFT N điểm của xm(n), cũng theo thứ tự đảo (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số) – Ym(k) = H(k)Xm(k) ? H(k) và Xm(k) cùng có thứ tự đảo → Ym(k) theo thứ tự đảo ? ym(n) = IDFTN{Ym(k)} sẽ đúng theo thứ tự thuận nếu dùng giải thuật FFT suy giảm theo thời gian – Không cần thiết đảo vị trí các dữ liệu trong việc tính DFT và IDFT ? Tính tương quan (tương tự) + FFTDFT Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 25 Phương pháp lọc tuyến tính ? FFT không hiệu quả khi tính DFT (IDFT) tại một số điểm (< log2N) → tính trực tiếp ? Giải thuật Goertzel – Dựa vào tính chu kỳ của WNk và biểu diễn việc tính toán DFT như lọc tuyến tính Nnk kn Nk k N m mnk Nk N m mNk N N m km N kN N nykX nuWnhvói nhnxWmxnyĐăt WmxWmxWkX = − − = −− − = −−− = − =⇒ = == == ∑ ∑∑ )()( )()( )(*)()()( )()()( 1 0 )( 1 0 )( 1 0 11 1)( −−−= zWzH kNk Một pole trên vòng tròn đơn vị tại tần số ωk=2πk/N 0)1()()1()( =−+−= − kkkNk ynxnyWny Thay vì tính tổng chập trực tiếp, ta có thể dùng PTSP Việc tính DFT tại một điểm k có thể được thực hiện bằng cách cho t/h đi vào bộ cộng hưởng một pole tại tần số ωk=2πk/N Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 26 Giải thuật Goertzel ? Kết hợp từng cặp các bộ cộng hưởng có pole liên hợp phức ? Hiện thực bằng dạng chuẩn tắc (dạng II) – Với đ/k đầu ? vk(n) được lặp lại cho n = 0, 1, , N – Mỗi vòng cần 1 phép nhân thực ? yk(n) được tính duy nhất một lần cho n = N ? Nếu x(n) là t/h thực, cần N+1 phép nhân thực để tính X(k) và X(N-k) {do tính đối xứng} ? Giải thuật Goertzel chỉ thích hợp khi số giá trị DFT cần tính khá nhỏ (≤ log2N) NnnvWnvny Nnnxnvnvnv k k Nkk kkN k k =−−= =+−−−= )1()()( ,...,1,0)()2()1(cos2)( 2π 0)2()1( =−=− kk vv 21 1 )/2cos(21 1)( −− −− +− −= zzNk zWzH k N k π + + )cos(2 2Nkπ z-1 z-1 + k nW -1 yk(n)x(n) – vk(n) Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 27 Giải thuật BĐ Chirp-z ? DFT N điểm ~ X(zk) với zk = ej2πkn/N , k=0,1,,N-1 (các điểm cách đều trên vòng tròn đơn vị) ? BĐ Z của x(n) tại các điểm zk ? Nếu zk = rej2πkn/N (zk là N điểm cách đều nhau trên vòng tròn bk r) – Việc tính DFT có thể được thực hiện bằng giải thuật FFT cho chuỗi x(n)r-n ? Tổng quát, zk nằm trên cung xoắn ốc bắt đầu từ điểm (đi vào hoặc đi ra gốc tọa độ) 1,...,1,0)()( 1 0 −==∑− = − LkznxzX N n n kk 1,...,1,0])([)( 1 0 /2 −==∑− = −− NkernxzX N n Nknjn k π 0 00 θjerz = 1,,1,0)( 00 00 −== LkeRerz kjjk Kφθ R0 = r0 = 1 Φ0 = θ0 = 0 Vòng tròn đơn vị Im(z) Re(z) r0 R0 = 1, r0 < 1 Φ0 = θ0 = 0 Im(z) Re(z) R0 > 1 Im(z) Re(z) R0 < 1 Im(z) Re(z) θ0 r0 Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 28 Giải thuật BĐ Chirp-z 1,,1,0)()()( ))(()( )( 1,,1,0 )( )()( 1 0 2/ 0 2/ 0 2 0 2 0 −=−= = = = −== ∑− = −− Lknkhngky Vernxng Vnh eRV Lk kh kyzX N n nnj n j k K K θ φ njnnjnj eeenhR ωφφ ≡==⇒= )2/(2/0 020)(1 2/0φω n= Tần số của t/h mũ phức h(n), tăng tuyến tính theo thời gian → h(n): chirp signal BĐ chirp-z Khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại Học Bách Khoa Tp. HCM Bài Giảng Môn: Xử Lý Tín Hiệu Số Slide 29 Giải thuật BĐ Chirp-z ? Xác định tổng chập vòng của chuỗi g(n) N điểm và chuỗi h(n) M điểm (M > N) – N-1 điểm đầu là các điểm lặp lại – M-(N-1) điểm còn lại chứa kết quả ? Giả sử M = L + (N-1) ? M điểm của chuỗi h(n) được xác định –(N–1) ≤ n ≤ (L–1) ? Định nghĩa chuỗi M điểm h1(n) = h(n–N+1) n = 0,1,,M–1 ? H1(k) = DFTM{h1(n)} ? G(k) = DFTM{g(n)} (sau khi đã đệm thêm vào g(n) L-1 số 0) ? Y1(k) = G(k)H(k) → y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,,M–1 ? N-1 điểm đầu tiên của y1(n) là các điểm lặp → loại bỏ chúng ? Các điểm kết quả là giá trị của y1(n) khi N-1 ≤ n ≤ M–1 – y(n) = y1(n+N-1) n = 0,1,,L-1 ? X(zk)= y(k)/h(k) k = 0,1,,L-1 1,,1,0)()()( 1 0 −=−=∑− = Lknkhngky N n K