Xử lý số tín hiệu - Chương 4: Bộ lọc fir và tích chập

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Chương 4: Bộ lọc FIR v{ tích chập 1 -O c t-1 2 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH CHẬP CHO BỘ LỌC FIR  Phương ph|p xử lý khối: dữ liệu vào được thu thập và xử lý theo từng khối.  Dạng trực tiếp.  Dạng bảng tích chập.  Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian.  Dạng ma trận.  Dạng lật v{ trượt.  Dạng khối cộng chồng lấp.  Trạng th|i tức thời & trạng th|i tĩnh.  Tích chập đối với chuỗi không x|c định chiều d{i.  Phương ph|p xử lý mẫu: dữ liệu được xử lý từng mẫu ở từng thời điểm qua giải thuật DSP để cho các mẫu ở ngõ ra. 1 -O c t-1 2 2 1. TÍCH CHẬP  Cho tín hiệu x(n) có chiều d{i L qua hệ thống nh}n quả có đ|p ứng xung h(n) d{i M+1  Ngõ ra y(n):   mk mnxmhknhkxnhnxny )()()()()(*)()( 1 -O c t-1 2 3 1. TÍCH CHẬP (TT)  L mẫu lưu lại trong x(n), với n=0,1,,L-1: x = [x0 x1 x2 x3 xL-1]  Đáp ứng xung có chiều dài M+1: (bộ lọc FIR bậc M) h = [h0 h1 h2 h3 hM]  Nhận xét:  Chiều d{i ngõ ra y(n): Ngõ v{o có chiều d{i L: 0≤n-m≤L-1 → m≤n≤m+L-1. Đ|p ứng xung có chiều d{i M+1: 0≤m≤M. Suy ra: 0≤ m≤n≤m+L-1 ≤M+L-1. Vậy ngõ ra có chiều d{i: Ly=L+M 1 -O c t-1 2 4    M m mnxmhny 0 )()()( 1. TÍCH CHẬP (TT)  Nhận xét: (tt)  Tổng c|c chỉ số của h v{ x: m+(n-m)=n VD: y(0)=h0x0 y(1)=h0x1+h1x0 Từ đó ta có thể viết lại công thức tích chập dưới dạng:  Số phần tử tạo th{nh một mẫu ngõ ra: =>Từ những nhận xét n{y nhiều phương ph|p tính tích chập đ~ được đưa ra.    nji ji jxihny , )()()(            nmLn Mm Lmn Mm 1 0 10 0 1 -O c t-1 2 5    M m mnxmhny 0 )()()( ),min()1,0max( MnmLn  2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI a. Dạng trực tiếp: do m phải đồng thời thoả cả 2 bất đẳng thức: Suy ra: Công thức tính tích chập trực tiếp:      nmLn Mm 1 0 ),min()1,0max( MnmLn     ),min( )1,0max( )()()( Mn Lnm mnxmhny 0 1 1, ,...,n L M   1 -O c t-1 2 6    M m mnxmhny 0 )()()( 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) Ví dụ: cho bộ lọc FIR có đ|p ứng xung h(n)=[h0,h1,h2,h3]=[1,-1,-2,2] Tìm tín hiệu ngõ ra nếu chiều d{i ngõ v{o l{ 5: x(n)=[x0,x1,x2,x3,x4]=[1,0,-2,3,-1]  Ngõ ra: 3 0 4 min( , ) max( , ) n n m n m m n y h x      1 -O c t-1 2 7    ),min( )1,0max( )()()( Mn Lnm mnxmhny 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) 0 0 4 0 3 0 0 1 4 1 3 0 1 0 2 4 2 3 0 1 2 0 3 4 3 3 0 1 2 3 0 4 4 4 3 0 1 2 3 0 5 4 5 3 1 2 3 0 6 4 6 3 2 3 max( , ) min( , ) max( , ) min( , ) , max( , ) min( , ) , , max( , ) min( , ) , , , max( , ) min( , ) , , , max( , ) min( , ) , , max( , ) min( , ) , m m m m m m m m m m m m m m m                                    0 7 4 7 3 3ax( , ) min( , )m m     0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 3 0 3 1 2 2 1 3 0 4 0 4 1 3 2 2 3 1 5 1 4 2 3 3 2 6 2 4 3 3 7 3 4 y h x y h x h x y h x h x h x y h x h x h x h x y h x h x h x h x y h x h x h x y h x h x y h x                     y=[y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7] 3 0 4 min( , ) max( , ) n n m n m m n y h x      1 -O c t-1 2 8 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) b. Dạng bảng tích chập: từ nhận xét ngõ ra y(n) l{ tổng c|c tích h(i)x(j) với i+j=n Từ đó, tích chập có thể được tính theo dạng bảng: C|ch tính: Tổng mỗi đường chéo phụ sẽ cho 1 gi| trị ngõ ra.    nji ji jxihny , )()()( x0 x1 x2 x3 x4 h0 h0x0 h0x1 h0x2 h0x3 h0x4 y0 h1 h1x0 h1x1 h1x2 h1x3 h1x4 y1 h2 h2x0 h2x1 h2x2 h2x3 h2x4 y2 h3 h3x0 h3x1 h3x2 h3x3 h3x4 y3 y4 y5 y6 y7 j i 1 -O c t-1 2 9    M m mnxmhny 0 )()()( 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) Ví dụ: Tính tích chập của h = [1, 2, -1, 1] và x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] y = [ 1 3 3 5 3 7 4 3 3 0 1] h x 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 4 2 4 4 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -1 -1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 -O c t-1 2 10 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) Ví dụ: Tính tích chập theo dạng bảng tích chập của h(n)=[1,-1,-2,2] và x (n)= [1,0,-2,3,-1] 1 -O c t-1 2 11 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) c. Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian: x(n)=[x0,x1,,xL-1] có thể được biểu diễn dưới dạng: x(n)=x0δ(n)+ x1δ(n-1)++ xL-1δ(n-L+1) Ta đ~ biết: Nếu một hệ thống l{ tuyến tính v{ bất biến: Như vậy: )()( nhn H )()( mnhxmnx m H m              )1()1( )1()1( )()( )()( 11 11 00 LnhxLnx nhxnx nhxnx nynx L H L H H H     1 -O c t-1 2 12 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)  Mô tả khối dữ liệu ngõ v{o, ngõ ra: 0 0 1 2 30 1 0 1 2 31 2 2 0 1 2 3 3 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2 3 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 [ , , , , , , , ][ , , , , ] [ , , , , , , , ][ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , , , , ] H x h h h hx x h h h hx x x h h h h x x h h h h x x h h h h  0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 2 4 3 3 3 4 [ , , , ..., , ]y h x h x h x h x h x h x h x h x h x     1 -O c t-1 2 13 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) 1 -O c t-1 2 14 h0` h1 h2 h3 h4 x0.h0 x0.h1 x0.h2 x0.h3 x0.h4 x1.h0 x1.h1 x1.h2 x1.h3 x1.h4 x2.h0 x2.h1 x2.h2 x2.h3 x2.h4 x3.h0 x3.h1 x3.h2 x3.h3 x3.h4 x4.h0 x4.h1 x4.h2 x4.h3 x4.h4 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)  Bảng tích chập dưới dạng LTI: (L=5, M=3)  C|ch tính: tổng mỗi cột sẽ cho ra 1 gi| trị ngõ ra. h0 h1 h2 h3 0 0 0 0 x0 x0h0 x0h1 x0h2 x0h3 0 0 0 0 x0h(n) x1 0 x1h0 x1h1 x1h2 x1h3 0 0 0 x1h(n-1) x2 0 0 x2h0 x2h1 x2h2 x2h3 0 0 x2h(n-2) x3 0 0 0 x3h0 x3h1 x3h2 x3h3 0 x3h(n-3) x4 0 0 0 0 x4h0 x4h1 x4h2 X4h3 x4h(n-4) y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 1 -O c t-1 2 15 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)  Ví dụ: Tính tích chập theo dạng LTI của h(n)=[1,-1,-2,2] và x (n)= [1,0,-2,3,-1] 1 -O c t-1 2 16 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) d. Dạng ma trận: y=Hx Ma trận H được x}y dựng từ đ|p ứng xung h(n). Kích thước ma trận: (L+M)×L = h0 0 0 0 h1 h0 ⋮ ⋮ h2 h1 ⋱ 0 0 ⋮ h2 ⋱ h0 0 hM-1 ⋮ ⋱ h1 h0 hM hM-1 ⋱ ⋮ h1 0 hM ⋱ hM-2 ⋮ 0 0 ⋱ hM-1 hM-2 ⋮ ⋮ hM hM-1 0 0 0 hM Ma trận Toeplitz 1 -O c t-1 2 17 y0 y1 y2 ⋮ yM-1 yM yM+1 yM+2 ⋮ yM+L-1 x0 x1 x2 ⋮ xL-2 xL-1 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)  Ngo{i ra ta cũng có thể viết: y=Xh Trong đó ma trận X có kích thước (L+M) ×(M+1). Ma trận X cũng có dạng tương tự như ma trận H, chỉ cần thay h bằng x ở c|c gi| trị tương ứng. 1 -O c t-1 2 18 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) Ví dụ: Tính y(n) bằng phương ph|p ma trận y=Hx v{ y=Xh Biết: x(n)=[1,0,-2,3,-1] và h(n)=[1,-1,-2,2]. 1 -O c t-1 2 19 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) e. Dạng lật v{ trượt (flip and slide): Từ công thức tích chập: y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)++h(M)x(n-M) Ta có thể vẽ lại sơ đồ tính tích chập dưới dạng lật v{ trượt như sau:  Giả sử L>M+1: số phần tử tối đa tạo th{nh ngõ ra: M+1  0≤ n<M: trạng th|i qu| độ bật.  M ≤n ≤L-1: trạng th|i x|c lập (trạng th|i tĩnh).  L-1<n ≤L+M-1: trạng th|i qu| độ tắt. 1 -O c t-1 2 20 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) f. Tính chập khối cộng chồng lấp:  Nếu ngõ v{o rất d{i hoặc có chiều d{i không x|c định những phương ph|p trên đòi hỏi bộ nhớ rất lớn → không thực tế.  Để tính tích chập, ta chia tín hiệu v{o th{nh nhiều khối ngắn có chiều d{i L.                00 0 )()(*)()(*)( :đó Khi khác 0 10)( )( :đó Trong )()( r rr r r r r rLnynhrLnxnhnxy(n) n LnrLnx nx rLnxnx 1 -O c t-1 2 21 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)  Sơ đồ tính tích chập khối cộng chồng lấp 1 -O c t-1 2 22 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) Ví dụ: Tính tích chập x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] với h = [1, 2, -1, 1] bằng pp cộng chồng lấn, chọn L = 3. Chia ngõ v{o th{nh c|c khối nhỏ: x=[1,1,2,1,2,2,1,1,0] (thêm 0 v{o cho đủ chiều d{i L) Chập từng khối nhỏ với h, ở đ}y ta sử dụng bảng tích chập. Ngõ ra: y0=[1,3,3,4,-1,2] y1=[1,4,5,3,0,2] y2=[1,3,1,0,1] Block 0 Block 1 Block 2 h x 1 1 2 1 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 2 2 2 4 2 4 4 2 2 0 -1 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -1 -1 0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 1 -O c t-1 2 23 2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y0 1 3 3 4 -1 2 y1 1 4 5 3 0 2 y2 1 3 1 0 1 y 1 3 3 5 3 7 4 3 3 0 1  Cộng chồng lấp: Ngõ ra: y0=[1,3,3,4,-1,2] y1=[1, 4,5,3,0,2] y2=[1,3,1,0,1] 1 -O c t-1 2 24 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU  C|c khối cơ bản của hệ thống xử lý mẫu:  Khối cộng:  Khối nh}n:  Khối l{m trễ: 1 -O c t-1 2 25 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT) a. Khối l{m trễ Thực hiện bằng một thanh ghi nội giữ lại gi| trị ngõ v{o trước đó. Tại mỗi thời điểm của n:  Đưa mẫu đ~ lưu trong thanh ghi ra ngõ ra (x(n-1)).  Nhận mẫu v{o x(n) v{ lưu lại v{o thanh ghi. Mẫu n{y sẽ được đưa ra ngõ ra tại thời điểm n+1. Xem nội dung thanh ghi w(n) l{ trạng th|i nội của bộ lọc thì 2 bước xử lý trên được trình b{y như sau:  y(n)=w(n)  w(n+1)=x(n) 1 -O c t-1 2 26 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT)  Khối l{m trễ D đơn vị:  Phương trình I/O của bộ trễ D đơn vị: Ngõ ra: y(n)=wD(n) Ngõ vào: w0(n)=x(n) Cập nhật nội dung c|c thanh ghi: wi(n+1)=wi-1(n), i=D, D-1,,1 1 -O c t-1 2 27 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT) b. Bộ lọc FIR dạng trực tiếp: y(n)=h0x(n)+h1x(n-1)++hMx(n-M) Sơ đồ khối xử lý mẫu: 1 -O c t-1 2 28 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT)  Đặt c|c trạng th|i nội: wi(n)=x(n-i)  Giải thuật xử lý mẫu: với mỗi mẫu v{o x(n): w0(n)=x(n) y=h0w0(n)+ h1w1(n) h2w2(n)++ hMwM(n) wi(n+1)=wi-1(n) 1 -O c t-1 2 29 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT) Ví dụ: X|c định thuật to|n xử lý mẫu trực tiếp, với h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] Sử dụng thuật to|n để tính đ|p ứng ngõ ra. Phương trình I/O của bộ lọc: y(n) = x(n) + 2x(n – 1) – x(n – 2) + x(n – 3) Với trạng th|i nội wi(n) = x(n – i), i = 1, 2, 3 v{ đặt w0(n) = x(n). 1 -O c t-1 2 30 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT)  Sơ đồ v{ thuật to|n xử lý mẫu:  Thuật to|n xử lý mẫu: cho mỗi thời điểm n: w0(n)=x(n) y(n)=w0(n)+2w1(n)-w2(n)+w3(n) w3(n+1)=w2(n) w2(n+1)=w1(n) w1(n+1)=w0(n) 1 -O c t-1 2 31 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT) n x w0 w1 w2 w3 y = w0 + 2w1 – w2 + w3 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 3 2 2 2 1 1 0 3 3 1 1 2 1 1 5 4 2 2 1 2 1 3 5 2 2 2 1 2 7 6 1 1 2 2 1 4 7 1 1 1 2 2 3 8 0 0 1 1 2 3 9 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 0 1 1 1 -O c t-1 2 32 3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU (TT) Ví dụ: X|c định thuật to|n xử lý mẫu trực tiếp, với y(n)=x(n)-x(n-4) x(n)=[1,1,2,1,2,2,1,1] Sử dụng thuật to|n để tính đ|p ứng ngõ ra. 1 -O c t-1 2 33 BÀI TẬP  B{i tập: 4.1-4.6, 4.15-4.18  C|c nhóm l{m BT lớn tuần sau nộp b|o c|o  B|o c|o file word, tối đa 10 trang.  Chương trình, đóng gói file zip/rar.  Gửi mail tới: hanhdn@hcmut.edu.vn  Thời gian: trước 12h trưa ng{y 7/10/2012.  Bảo vệ v{o tuần sau khi thi (thứ ?) 1 -O c t-1 2 34