Xử lý số tín hiệu - Chuơng 4: Bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn và tích chập FIR

BÀØI GIẢÛNG XỬÛ LÝÙ SỐÁ TÍN HIỆÄU Biênâ soạïn: PGS.TS LÊ TIÊ ÁÁN THƯỜØNG Tp.HCM, 02-2005 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.2. Phương pháp xử lý mẫu. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Cáùc phương pháùp DSP trong thựïc tếá gồàm 2 nhóùm cơ bảûn: ∑ Phương pháùp xửû lýù khốái. (Block Processing Methods) ∑ Phương pháùp xửû lýù mẫu. ã (Sample Processing Methods) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR ∑ Trong phương pháùp xửû lí khốái: dữ liẽ ääu đượïc thu thậäp vàø xửû lýù thàønh từøng khốái. Mộät sốá ứùng dụïng điểån hình gồàm mạïch lọïc FIR cho cáùc tín hiệäu cóù chiềàu dàøi hữu hã ïïn dùøng tích chậäp, fast convolution cho tín hiệäu dàøi bằèng cáùch chia thàønh cáùc đoạïn ngắén, tính phổå dùøng giảûi thuậät DFT/FFT, phân tâ ích vàø tổång hợïp ngôn ngâ ữ, vã øø xửû lýù hình ảûnh. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR ∑ Trong phương pháùp xửû lýù mẫuã : dữ liẽ ääu đượïc xửû lí từøng mẫu ơã ûû từøng thờøi điểåm qua giảûi thuậät DSP đểå cho ra output sample. Phương pháùp nàøy chủû yếáu dùøng trong cáùc ứùng dụïng thờøi gian thựïc như mạïch lọïc thờøi gian thựïc cho long signal, xửû lí cáùc hiệäu ứùng âm thanh sô áá, cáùc hệä thốáng điềàu khiểån sốá, vàø xửû lí tín hiệäu thích nghi. Giảûi thuậät xửû lí mẫu lẫ øø bảûn chấát state-space đểå nhậän ra cáùc mạïch lọïc LTI. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Trong chương nàøy ta sửû dụïng 2 phương pháùp trên â trong cáùc ứùng dụïng củûa mạïch lọïc FIR. Vàø quan tâm â đếán khía cạïnh tính toáùn củûa phương trình tích chậäp (3.3.2) vàø (3.3.3) khi dùøng cho mạïch lọïc FIR vàø tín hiệäu vàøo cóù chiềàu dàøi hữu hã ïïn, vàø trình bàøy cáùc dạïng kháùc củûa tích chậäp như: ∑ Dạïng trựïc tiếáp. ∑ Bảûng tích chậäp. ∑ Dạïng LTI. ∑ Dạïng ma trậän. ∑ Dạïng Flip-and-slide. ∑ Dạïng Overlap-add block. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.1. Tích chập Với T: Thời gian giữa 2 lần lấy mẫu, T=1/fs. Số mẫu của mỗi đoạn tín hiệu là: L = TLfs (4.1.2) Có thể xem L mẫu tín hiệu là 1 tập hợp của x(n) với n = 0, 1, , L – 1: x = [x0, x1, , xL-1] (4.1.3) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Dạng trực tiếp và dạng LTI của tích chập cho bởi phương trình (3.3.3) và (3.3.2) của 1 hệ LTI tổng quát: Dạng khác là bảng tích chập: ( )4.1.4)()()()()( ∑∑ −=−= mm mnhmxmnxmhny ( )5.1.4)()()()( . njijxihny ji =+=∑ CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Xét 1 mạch lọc FIR bậc M có đáp ứng xung h(n), với n = 0, 1, , M có thể viết dưới dạng: h = [h0, h1, , hM] (4.1.6) Lưu ý số phần tử bằng số bậc cộng 1: LH = M + 1 (4.1.7) Tích chập giữa ngõ vào x có chiều dài L với mạch lọc h bậc M cho ra tín hiệu y(n) : ∑ −= m mnxmhny )()()( CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Với điều kiện : 0 ≤ m ≤M và 0 ≤ n – m ≤ L – 1 Ù m ≤ n ≤ L – 1 + m Như vậy, ta có giới hạn của n: 0 ≤m ≤ n ≤ L – 1 + m ≤ L – 1 + M Ù 0 ≤ n ≤ L – 1 + M (4.1.10) fi y = [y0, y1, y2, , yL – 1 + M] (4.1.11) Chiều dài của y là Ly = L + M dài hơn ngõ vào x là M mẫu: Ly = Lx + Lh –1 (4.1.12) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1.2. Dạng trực tiếp Hình 4.1.1 Chiều dài tương đối của mạch lọc, ngõ vào và ngõ ra Với chiều dài ngõ vào và ngõ ra (L và n) cố định thì m phải thỏa: 0 ≤ m ≤M n – L + 1 ≤ m ≤ n CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Vậy điều kiện của m là: max(0, n – L + 1 ) ≤ m ≤ min(n,M) (4.1.15) Do đó với mạch lọc FIR bậc M và ngõ vào dài L thì tích chập dạng trực tiếp là: dạng trực tiếp (4.1.16) Ví dụ 4.4.0: Xét mạch lọc bậc 3 có ngõ vào gồm 5 mẫu: h = [h0, h1, h2, h3] x = [x0, x1, x2, x3, x4] y = h * x = [y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7] ∑ +−= −= ),min( )1,0max( )()()( Mn Lnm mnxmhny CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Vậy pt (4.1.16) trở thành: Khi n thay đổi từ 0 ∏ 7 thì hệ số m có giá trị: max (0, 0 – 4 ) ≤ m ≤ min(0, 3) => m = 0 max (0, 1 – 4 ) ≤ m ≤ min(1, 3) => m = 0, 1 max (0, 2 – 4 ) ≤ m ≤ min(2, 3) => m = 0,1 ,2 max (0, 3 – 4 ) ≤ m ≤ min(3, 3) => m = 0, 1, 2, 3 max (0, 4 – 4 ) ≤ m ≤ min(4, 3) => m = 0, 1, 2, 3 max (0, 5 – 4 ) ≤ m ≤ min(5, 3) => m = 1, 2, 3 max (0, 6 – 4 ) ≤ m ≤ min(6, 3) => m = 2, 3 max (0, 7 – 4 ) ≤ m ≤ min(7, 3) => m = 3 Ví dụ, với n = 5 thì ngõ ra y5 sẽ là: y5 = h1x4 + h2x3 + h3x2 7...,,1,0)()()( )3,min( )4,0max( =−= ∑ −= nmnxmhny n nm CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ta có đáp ứng ngõ ra là : y0 = h0x0 y1 = h0x1 + h1x0 y2 = h0x2 + h1x1 + h2x0 y3 = h0x3 + h1x2 + h2x1 + h3x0 y4 = h0x4 + h1x3 + h2x2 + h3x1 (4.1.18) y5 = h1x4 + h2x3 + h3x2 y6 = h2x4 + h3x3 y7 = h3x4 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1.3. Bảng tính chập Từ ví dụ trên ta thấy yn làø tổng các tích hixj thoả i + j = n. Do đó ta có thể tính đáp ứng ra thông qua bảng tích chập: Hình 4.1.2 Bảng tích chập CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Từ bảng tích chập, có thể xác định yn sẽ là tổng các thành phần trên đường chéo tương ứng. Ví dụ y0 = h0x0 y1 = h1x0 + h0x1 y2 = h2x0 + h1x1 + h0x2 Ví dụ 4.1.1: Tìm tích chập của mạch lọc và input như sau: h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Giải : Ta lập bảng tích chập Từ đó ta được y = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1] Lưu ý là Ly = L + M = 8 + 3 = 11 : có 11 mẫu ở tín hiệu ra. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1.4. Dạng tuyến tính bất biến thời gian Một cách trực quan để hiểu dạng LTI của tích chập là hiểu tính tuyến tính và tính bất biến theo thời gian của mạch lọc. Xét lại ví dụ trên: h = [h0, h0, h2, h3] x = [x0, x1, x2, x3, x4] Ngõ vào x có thể viết lại dưới dạng kết hợp tuyến tính của các xung dirac trì hoãn. x = x0[1, 0, 0, 0, 0] + x1[0, 1, 0, 0, 0] + x2[0, 0, 1, 0, 0] + x3[0, 0, 0, 1, 0] + x4[0, 0, 0, 0, 1] CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Hoặc: x(n)=x0δ(n)+x1δ(n–1)+x2δ(n–2)+x3δ(n–3)+x4δ(n–4) Mạch lọc sẽ thay thế các xung dirac trì hoãn bằng các đáp ứng xung trì hoãn tương ứng: y(n)=x0h(n)+x1h(n–1)+x2h(n–2)+x3h(n–3)+x4h(n–4) Dạng khối: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Do đóù ta cóù bảûng tích chậäp dướùi dạïng LTI: Hình 4.1.3 Dạïng tuyếán tính LTI củûa tích chậäp Đểå tính tích chậäp cho trườøng hợïp nàøy chỉ cầàn cộäng theo cộät tương ứùng cho mỗi yã n CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ví dụ 4.1.2: Xét lại ví dụ 4.1.1 sử dụng dạng LTI h = [1, 2, -1, 1] và x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] Giải: Bảng LTI tương đương trong trường hợp này là: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Tương tựï như dạïng trựïc tiếáp, ta cóù công thâ ứùc tổång quáùt cho dạïng LTI bằèng cáùch đổåi vai tròø củûa x vàø h cũng nhõ ư cáùc cậän củûa chúùng (L – 1 vàø M). (Dạng LTI) (4.1.19) vớùi n = 0, 1, , L + M – 1 ∑− −= = )1,min( ),0max( m)-x(m)h(n y(n) Ln Mnm CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1.5. Dạng ma trận Tích chập ở p/t (4.1.16) và (4.1.19) có thể viết lại dưới dạng ma trận tuyến tính như sau: y = Hx (4.1.20) Với H là ma trận chữ nhật xây dựng từ đáp ứng xung của mạch lọc h có chiều xác định bởi độ dài của ngõ vào và ngõ ra: Ly * Lx = (L + M) * L Để hiểu rõ hơn, hãy xét lại ví dụ của p/t (4.1.18) bằng cách sắp xếp lại ngõ ra thành dạng ma trận. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Có 2 điểm lưu ý: ∑ Mỗi cột của H chính là các vectơ đáp ứng xung h có trễ (hay trì hoãn) và có số cột bằng số mẫu của ngõ vào. ∑ H còn được gọi là ma trận Toeplitz vì các phần tử trên đường chéo bằng nhau. Tính chất toeplitz là hệ quả trực tiếp của tính bất biến theo thời gian của mạch lọc. Hx x x x x x h hh hhh hhhh hhhh hhh hh h y y y y y y y y y = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 1 0 3 23 123 0123 0123 012 01 0 7 6 5 4 3 2 1 0 0000 000 00 0 0 00 000 0000 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ví dụ 4.1.3: Tính lại ví dụ 4.1.1 sử dụng dạng ma trận. Giải : Vì Ly = 11 và Lx = 8 nên ma trận của mạch lọc sẽ có kích thước là 11x8. yHx = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 1 0 3 3 4 7 3 5 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 1 10000000 11000000 21100000 12110000 01211000 00121100 00012110 00001211 00000121 00000012 00000001 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Có thể viết ma trận ở dạng khác: y = Xh (4.1.22) với X là ma trận có kích thước Ly x Lh = (L+M)(M+1) Ởû ví dụ trên thì dạng cụ thể là: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 0 4 34 234 1234 0123 012 01 0 7 6 5 4 3 2 1 0 000 00 0 0 00 000 h h h h x xx xxx xxxx xxxx xxx xx x y y y y y y y y CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ví dụ 4.1.4: Làm lại ví dụ 4.1.1 sử dụng dạng ma trận trên Giải: Ma trận X có kích thước Ly x Lh = 11 x 4 yXh = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 3 3 4 7 3 5 3 3 1 1 1 2 1 1000 1100 2110 2211 1221 2122 1212 1121 0112 0011 0001 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Tích chập dạng ma trận rất tiện lợi trong các ứng dụng như xử lí ảnh, và trong các phương pháp DSP cao cấp khác như parametric spectrum estimation, mạch lọc thích nghi 4.1.6. Dạng trượt và lật Trong dạng tích chập này hàm h(n) của mạch lọc lật ngược thứ tự và sau đó trượt trên chuỗi dữ liệu vào. Lưu ý là chuỗi input chiều dài L sẽ được thêm vào M zeros ở đầu và cuối chuỗi, sau đó ngõ ra sẽ xác định bằng tổng các tích các phần tử tương úng trong qúa trình chuỗi h(n) trượt trên chuỗi ngõ vào. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ta đã biết công thức xác định chuỗi đáp ứng ngõ ra: yn = h0xn + h1xn-1 + h2xn-2 + + hMxn-M Từ sơ đồ ta thấy có M outputs ở đầu và cuối chuỗi tạo bởi mạch lọc khi không có tín hiệu vào, ta gọi đây là quá trình quá độ input-on/off của mạch lọc. Còn lại là trạng thái xác lập của mạch lọc. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ta cũng có thể cho input x trượt trên đáp ứng xung h theo chiều ngược lại gọi là giải thuật xử lí sample-by- sample của mạch lọc FIR. 4.1.7. Transient and Steady-State Behavior Như đã trình bày ở trên, vói tín hiệu vào gồm L phần tử cho qua mạch lọc bậc M thì chuỗi tín hiệu ra có thể được chia thành 3 phần: 0 ≤ n < M (các quá độ khi ngõ vào bật) M ≤ n ≤ L – 1 (trạng thái thường trực) L – 1 < n ≤ L – 1 + M (các quá độ khi ngõ vào tắt) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR ỞÛ đây ta â đã sõ ửû dụïng giảû thiếát làø chiềàu dàøi chuỗi inputs ã L>>M – chiềàu dàøi đáùp ứùng xung mạïch lọïc. Từø công thâ ứùc (4.1.16): Ta xáùc định đượïc cáùc cậän trong từøng đoạïn củûa n: Vậäy pt I/O ởû trạïng tháùi xáùc lậäp cóù sốá phầàn tửû cốá định: ∑ +−= = ),min( )1,0max( )( Mn Lnm ny m)-h(m)x(n ( )định ổn thái trạng m)-h(m)x(n∑ = = M m ny 0 )( CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1.8. Tích chập của những chuỗi vô hạn Ta có 3 trường hợp sau: 1. Mạch lọc vô hạn, tín hiệu vào hữu hạn: M = ∞, L < ∞ 2. Mạch lọc hữu hạn, tín hiệu vào vô hạn: M < ∞, L = ∞ 3. Mạch lọc vô hạn, tín hiệu vào vô hạn: M = ∞ , L = ∞ ∑ +−= = ),min( )1,0max( m-nm xh)( Mn Lnm ny CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Vớùi M = ∞ ta cóù min(n,M) = n; vớùi L = ∞ ta cóù max(0,n – L + 1) = 0 Vậäy vớùi 3 trườøng hợïp trên ta cô ùù: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Khi mạïch lọïc vô hâ ïïn, cóù thểå định nghĩa trạïng tháùi xáùc lậäp củûa mạïch lọïc làø giớùi hạïn củûa y(n) khi n rấát lớùn. Ví dụï 4.1.5: Mộät mạïch lọïc IIR cóù đáùp ứùng xung h(n) = (0.75)nu(n). Dùøng tích chậäp tìm y(n) khi tín hiệäu vàøo làø: a) Hàøm đơn vị: x(n) = u(n) b) Hàøm chuyểån đổåi đơn vị: x(n) = (-1)nu(n) c) Hàøm xung vuông â độä rộäng L = 25 xung: x(n) = u(n) – u(n – 25) Trong mỗi trã ườøng hợïp tìm đáùp ứùng xáùc lậäp củûa mạïch lọïc. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Giải: a) Vì cả mạch lọc và tín hiệu vào là nhân qủa dài vô hạn nên ta dùng công thức: Đáp ứng ở xác lập là giới hạn lim của y(n) khi nỈ ∞. Vậy ∑ = + −=− −== n m n n 0 1 )75.0(34 75.01 )75.0(1n(0.75) ∑∑ == == n m n m ny 00 )( m)-u(m)u(n(0.75)m)-h(m)x(n n 4 75.01 1)( =−>−ny CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR b) Đáùp ứùng xáùc lậäp: ∑∑ == == n m n m ny 00 )( m-nm (-1)(0.75) m)-h(m)x(n 1 n n n1 ( 0.75) 4 3(-1) = (-1) + (0.75) 1 0.75 7 7 n+− −= + 7 4)1( 75.01 11)(- y(n) n n−=+−> n m 0 (-1) (-0.75) n m= = ∑ CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ta sẽ thã ááy rằèng đáùp ứùng xáùc lậäp tương đương vớùi cáùc trườøng hợïp đặëc biệät củûa đáùp ứùng hàøm sin củûa mạïch lọïc tạïi tầàn sốá ω = 0 vàø ω = π vàø dễ dẫ øøng tìm đượïc thông qua â hàøm truyềàn đạït H(z) củûa mạïch lọïc tạïi z = 1 (câu a)â y(n) Ỉ H(1) z = -1 (câu b)â y(n) Ỉ (-1)nH(-1) Trong ví dụï nàøy thì 7 4)1(;4)1( 75.01 1)( 1 =−=→−= − HHzzH CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR c) Vì ngõ vào là hữu hạn L = 25 nên ta sử dụng công thức: Ta phải chia 2 trường hợp: ∑ 0 ≤ n ≤ 24: ∑ 25 ≤ n ≤•: Vì bản chất suy hao theo hàm mũ của đáp ứng xung nên mạch lọc này hoạt động như mạch RC – cũng có các quá trình như qúa trình tích xả của tụ. Quan sát trên đồ thị đáp ứng mạch lọc sẽ thấy điều này. ∑∑ +−=+−= − == n Lnm m n Lnm mnmn xhy )1,0max()1,0max( )75.0( n nn m ny )75.0(3475.01 )75.0(1(0.75) 1 0 m −=− −== + = ∑ ∑ −= = n nm ny 24 25 24-nm 0.75-1 (0.75)-1(0.75) = (0.75) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR Ví dụï 4.1.6: Trong ví dụï 3.4.5 ta biếát mạïch lọïc cóù đáùp ứùng xung h(n) = (0.75)nu(n) thỏûa mãn p/t sai phân õ â y(n) = 0.75y(n-1) + x(n) CMR y(n) tìm đượïc trong ví dụï 4.1.5 làø nghiệäm củûa p/t trên, vơâ ùùi cáùc sơ kiệän nhân quâ ûûa. Giảûi : a) Ta cóù x(n) = u(n) => y(n) = 0.75y(n-1) + 1 (Vớùi n ≥ 0) ∑ n = 0, y(0) = 1 trùøng vớùi giáù trị biểåu thứùc cũ õ y(n) = 4 – 3(0.75)n. ∑ n ≥ 1, vếá phảûi = 0.75y(n-1) + 1 = 0.75[4 – 3(0.75)n-1] + 1 = 4 – 3(0.75)n = y(n). CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR b) x(n) = (-1)nu(n) c) Phương trình vi phân trơâ ûû thàønh: y(n) = 0.75y(n-1) +1 vớùi 0 ≤ n ≤ 24 y(n) = 0.75y(n-1) vớùi n ≥ 25 Vớùi n ≥ 25 ta cầàn xáùc định sơ kiệän y(24) vì cóù thểå viếát lạïi như sau : y(n) = 0.75n-24 y(24) vớùi n ≥ 25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnxny 1 7 375.0 7 4175.0175.0 11 −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−=+− −− ( ) ( ) ( )nynn =+−= 7 375.0 7 41 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR b) x(n) = (-1)nu(n) 0.75y(n-1) + x(n) = 0.75[4(-1)n-1/7 + 3(0.75)n-1/7] + (- 1)n = 3(-1)n/7 + 4(0.75)n/7 = y(n) c) Phưong trình sai phân trơâ ûû thàønh: y(n) = 0.75y(n-1) +1 vớùi 0 ≤ n ≤ 24 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.8. Tích chậäp củûa những chuỗi vô hã ã â ïïn y(n) = 0.75y(n-1) vớùi n ≥ 25 Vớùi n ≥ 25 ta cầàn xáùc định sơ kiệän y(24) vì cóù thểå viếát lạïi như sau: y(n) = 0.75n-24 y(24) vớùi n ≥ 25 y(24)= [1 – (0.75)25 ]/[1 – 0.75 ] = 4 –3(0.75)24 Hoàøn toàøn trùøng vớùi giáù trị tính từø p/t sai phân thâ ứù nhấát vớùi 0 ≤ n ≤ 24. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Trong cáùc ví dụï trên, ngõ vâ õ øøo chỉ làø từøng đoạïn cáùc mẫu riêng biễ â äät. Điềàu nàøy làø bấát khảû thi trong cáùc ứùng dụïng khi ngõ vã øøo làø tín hiệäu rấát dàøi hoặëc ngẫu nhiên. ã â Trong thựïc tếá chuỗi ngõ vẫ õ øøo đượïc chia thàønh cáùc khốái liên tiê ááp không truâ øøng lấáp chiềàu dàøi L. Mạïch lọïc sẽ xõ ửû lí từøng khốái vàø tín hiệäu ra sẽ õ đượïc ghéùp hợïp lí theo sơ đồà: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Hình 4.1.6 Overlap-add convolution method CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Từøng đoạïn tín hiệäu vàøo qua mạïch lọïc bậäc M cho ra cáùc đoạïn tín hiệäu ra: y0 = h * x0 y1 = h * x1 y2 = h * x2 Theo hình vẽ ta thã ááy cáùc ngõ ra bã éét đầàu thựïc sựï từø cáùc thờøi điểåm làø n = 0, L, 2L trong khi chiềàu dàøi củûa chúùng làø L +M. Do đóù cóù sựï chồàng lấáp tín hiệäu ra (vớùi L > M). CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Đểå cóù tín hiệäu ra chính xáùc ta phảûi cộäng cáùc chồàng lấáp nàøy. (Do đóù cóù tên Overlapâ -add) Ví dụï 4.1.10: Làøm lạïi ví dụï 4.1.1 sửû dụïng phương pháùp tích chậäp khốái Overlap-add. Chia ngõ vã øøo thàønh cáùc khốái cóù L = 3. Trong đóù sửû dụïng bảûng tích chậäp đểå tính cho từøng khốái. Giảûi: Ban đầàu : x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1 ], h = [1, 2, -1, 1] thêm vâ øøo : x = [ 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1,0] CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method (Lậäp bảûng) y0 = h*x0 = [1, 3, 3, 4, -1, 2] y1 = h*x1 = [1, 4, 5, 3, 0, 2] y2 = h*x2 = [1, 3, 1, 0, 1, 0] Ngõ ra:õ CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Giảûi thuậät: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.1. Phương pháp xử lý khối 4.1.9. Overlap-Add Block Convolution Method Trong thựïc tếá khi tìm tích chậäp củûa từøng khốái ta không thâ ựïc hiệän trong miềàn thờøi gian màø dùøng thuậät toáùn FFT. Vớùi mạïch lọïc FIR bậäc M vàø phéùp biếán đổåi FFT N phầàn tửû thì tín hiệäu vàøo sẽ chia thã øønh cáùc khốái gồàm L = N – M mẫu. So sẫ ùùnh phương pháùp fast convolution nàøy vớùi phương pháùp trong miềàn thờøi gian “slow” sẽ thã ááy ưu thếá: Ví dụï: Vớùi M = 100 vàø N = 1024 = 210 thì = 0.1 Giảûi thuậät FFT nhanh hơn 10 lầàn M N slow fast 2log= M N slow fast 2log= CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu Các phương pháp sử dụng tích chập xử lí tín hiệu vào theo từng khối block-by block. Bây giờ ta sẽ khảo sát các công thức khác của mạch lọc FIR hoạt động trên nguyên tắc xử lý từng mẫu sample-by-sample, rất tiện lợi trong các ứng dụng thời gian thực đòi hỏi qúa trình xử lý liên tục tín hiệu vào. Giải thuật xử lí mẫu xây dựng theo 1 sơ đồ khối. Có 3 khối cơ bản: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Đểå làøm quen vớùi kháùi niệäm giảûi thuậät xửû lí mẫu, ta ã hãy xẽ ùùt 1 hệä LTI đơn giảûn, bộä tạïo trễ ã đơn vớùi quan hệä I/O: y(n) = x(n – 1) Hoạït độäng củûa nóù như 1 thanh ghi dịch 1 bit vàø ta định nghiã giã ùù trị củûa thanh ghi tạïi thờøi điểåm n làø trạïng tháùi nộäi cuảû mạïch lọïc w1(n). w1(n) = x(n – 1) (trạïng tháùi nộäi tạïi thờøi điểåm n) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Như vậäy qúùa trình xửû lí củûa bộä tạïo trễ gỗ ààm 2 bướùc: y(n) = w1(n) w1(n + 1) = x(n) Giảûi thuậät: Thông thâ ườøng thanh ghi trễ cỗ ùù giáù trị bằèng 0 trướùc khi cóù tín hiệäu vàøo: w1 (0) = 0 CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Xéùt bộä tạïo trễ ã đôiâ : CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Phương trình I/O: y(n) = x(n – 2) Cóù 2 thanh ghi trễ: wã 1(n) vàø w2(n) w2(n) = w1(n – 1) w1(n) = x(n – 1) Phương trình I/O củûa bộä tạïo trễ ã đôi:â y(n) = w2(n) w2(n+1) = w1(n) w1(n+1) = x(n) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Giảûi thuậät: Tổång quáùt, đểå tạïo trễ D ã đơn vị thờøi gian cầàn D thanh ghi wi(n), i = 1,, D. Đểå tiệän ta quy ướùc x(n)=w0(n), vàø ta cóù p/t biểåu diễn quan hễ ää I/O cho từøng thanh ghi: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays Sơ đồà khốái: Giảûi thuậät: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.1. Pure Delays CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Xéùt mạïch lọïc FIR bậäc 3 cóù đáùp ứùng xung h = [h0, h1, h2, h3]. Theo tích chậäp dạïng trựïc tiếáp ta cóù pt I/O: y(n) = h0x(n) + h1x(n – 1) + h2x(n – 2) + h3x(n – 3) Đểå lậäp sơ đồà khốái cho p/t nàøy ta cầàn sửû dụïng cảû 3 khốái cơ bảûn: bộä cộäng, bộä tạïo trễ vẫ øø bộä nhân. Sơ â đồà khốái dạïng trựïc tiếáp: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Hình 4.2.6 Direct form realization of third-order filter. CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Sửû dụïng trạïng tháùi nộäi, tứùc giáù trị củûa cáùc thanh ghi, thay cho cáùc tín hiệäu trễ, ta cỗ ùù: Ta viếát lạïi pt sai phân:â y(n) = h0w0(n) + h1w1(n) + h2w2(n) + h3w3(n) CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Lợïi điểåm củûa p/t nàøy làø cáùc yếáu tốá đềàu đượïc xéùt tạïi cùøng 1 thờøi điểåm n. Hình 4.2.7 Direct form with internal states CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Giảûi thuậät xửû lýù sample-by-sample: CHUƠNG 4: BỘÄ LỌÏC ĐÁÙP ỨÙNG XUNG HỮU Hà ÏÏN VÀØ TÍCH CHẬÄP FIR 4.2. Phương pháp xử lý mẫu 4.2.2. FIR Filtering in Direct Form Như vậäy, từøng mẫu tã ín hiệäu vàøo sẽ õ đượïc xửû lí theo giảûi thuậät sample-by-sample đểå cho ra mẫu tã ín hiệäu ra tương ứùng. Lưu ýù trứùơc khi xửû lí thì cáùc thanh ghi, hay sơ kiệän củûa bộä lọïc, phảûi đượïc reset vềà zero.