Xử lí số liệu và kế hoạch hoá thực nghiệm

Đại học Quốc gia Hà nội Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên Khoa hoá học Lê Đức Ngọc Xử lí số liệu và kế hoạch hoá thực nghiệm Hà nội. 8-2001 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 2 Lời nói đầu Trong xã hội hiện đại, hoạt động hàng ngày của mỗi ng-ời gắn liền với thu thập thông tin, xử lí thông tin và ra quyết định. Trong các cách xử lí thông tin, thì xử lí thống kê có tính chất định l-ợng và có độ tin cậy cao là quan trọng nhất. Vì vậy có thể nói kiến thức xử lí thống kê thông tin là kiến thức thiết yếu của mỗi ng-ời. Tập tài liệu này là giáo trình "Xử lí số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm",đ-ợc trình bầy theo cách tiếp cận các loại bài toán thống kê xác suất chính, nảy sinh trong quá trình thực nghiệm, nghiên cứu và xử lí thông tin. Tác giả chân thành cám ơn mọi sự chỉ dẫn và góp ý của bạn đọc về các sai sót trong tài liệu để kịp thời sửa chữa và bổ xung cho tài liệu ngày một hoàn thiện hơn. Hà nội, tháng 8 năm 2001. Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 3 Mục lục Trang Lời nói đầu. 1 Mục lục. 2 Phần I: Xử lí số liệu kết quả nghiên cứu Ch-ơng 1: Các đặc tr-ng thống kê của tập số liệu kết quả nghiên cứu. 1.Các tham số đặc tr-ng về sự tập trung của tập số liệu: 4 1.1.Tần xuất (Pi) 1.2.Số trội (Mo). 5 1.3.Khoảng của tập số (R) 6 1.4.Số trung vị (Me) và số tứ phân vị (Q). 1.5.Trung bình cộng( X ). 7 1.6.Trung bình nhân (GHx) 1.7.Trung bình điều hoà (MHx) 1.8.Trung bình của hệ ( X h) 8 2.Các tham số đặc tr-ng về sự phân tán của tập số liệu: 2.1.Ph-ơng sai (2 hoặc S2). 2.2.Ph-ơng sai của hệ(2 hhoặc S2 h). 2.3.Độ lệch chuẩn (f hoặc Sf). 2.4.Độ sai chuẩn (x hoặc Sx). 2.5.Hệ số biến thiên (Cv). 3.Các đặc tr-ng phân phối thống kê của tập số liệu: 9 3.1.Phân phối Chuẩn. 3.2.Phân phối Student. 11 3.3.Phân phối Fisher. 12 3.4.Phân phối Khi bình ph-ơng. 13 3.5.Phân phối Poisson. 14 3.6.Phân phối Nhị thức. 3.7.Mối quan hệ giữa các hàm phân phối và các chuẩn phân phối. 15 Ch-ơng 2 : đánh giá tập số liệu kết quả nghiên cứu. 4.1.Sai số nghiên cứu. 16 4.2.Độ chính xác của tập số liệu kết quả nghiên cứu. 4.3.Độ sai biệt của tập số liệu kết quả nghiên cứu. 17 4.4.Sai số tối đa cho phép. 4.5.Khoảng chính xác tin cậy. 4.6.Khoảng giới hạn tin cậy của tập số liệu kết quả nghiên cứu. 18 CHƯƠNG 3 : so sánh cặp tham số đặc tr-ng của hai tập số liệu kết quả nghiên cứu. 5.1.Giả thiết thống kê và kết luận thống kê. 19 5.1.1. Giả thiết thống kê. 5.1.2. Kết luật thống kê. 5.2.Quan hệ giữa chuẩn phân phối và kết luận thống kê. 20 5.3.So sánh cặp tham số đặc tr-ng của hai tập số liệu kết quả nghiên cứu. 21 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 4 5.3.1.So sánh độ chính xác. 5.3.2.So sánh độ sai biệt. 23 5.3.3.So sánh hai tỷ số. Phần Ii : qui hoạch hoá thực nghiệm ch-ơng 4: Phân tích tác động của các nhân tố qua tham số ( phân tích ph-ơng sai ) 6.1.Bài toán một nhân tố, k mức nghiên cứu, mỗi mức nghiên cứu làm lặp lại n lần. 28 6.2.Bài toán hai nhân tố A và B, nhân tố A có k mức nghiên cứu, nhân tố B có m mức nghiên cứu, với mỗi mức của hai nhân tố A và B cùng tiến hành làm nghiên cứu lặp lại n lần. 29 6.3.Bài toán ba nhân tố trở lên (Ph-ơng pháp Ô vuông Latin). 31 Ch-ơng 5 : Phân tích tác động của các nhân tố không qua tham số 7.1.Bài toán phân tích tác động không qua tham số giữa nhân tố X gây nên tính chất Y. 38 7.2.Bài toán phân tích tác động giữa hai nhân tố X có s mức và Y có r mức . Phần III : Mô hình hoá thực nghiệm Ch-ơng 6 : mô hình hoá thực nghiệm một nhân tố. 8.1.Hồi qui tuyến tính 41 8.2.Hồi qui phi tuyến tính. 8.3.Hệ số t-ơng quan Spearman. 8.4.Hệ số t-ơng quan thứ hạng Spearman rho. Ch-ơng 7 : Mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố 9.1.Đại c-ơng về mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố 44 9.2.Mô hình hoá thực nghiệm bậc 1 đầy đủ. 45 9.3..Mô hình hoá thực nghiệm bậc 1 rút gọn. 50 9.4.Mô hình hoá thực nghiệm bậc 2 tâm trực giao. 51 9.5.Mô hình hoá thực nghiệm bậc 2 tâm xoay. 54 9.6.Mô hình hoá thực nghiệm mạng đơn hình. 64 Phần V: Tối -u hoá thực nghiệm 10.1.Ph-ơng pháp đ-ờng dốc nhất. 69 10.2.Ph-ơng pháp mặt mục tiêu. 70 10.3,Ph-ơng pháp đơn hình. 74 Phụ lục: 83 1.Bảng chuẩn u 2.Bảng chuẩn t 3.Bảng chuẩn F 4.Bảng chuẩn2 5.Bảng chuẩn G 6.Bảng hệ số ma trận rút gọn Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 5 Phần I Xử lý số liệu kết quả nghiên cứu Ch-ơng 1. Các đặc tr-ng thống kê của một tập số liệu kết quả nghiên cứu. Những đại l-ợng đặc tr-ng chính cho một tập số liệu kết quả nghiên cứu đ-ợc đ-ợc phân làm 3 loại chính :1/ Các tham số đặc tr-ng về sự tập trung của tập số liêu, 2/ Các tham số đặc tr-ng về sự phân tán của tập số liệu, 3/ Đặc tr-ng phân phối thống kê của tập số liệu. 1.1. Các tham số đặc tr-ng về sự tập trung của tập số liêu: 1.1.1. Tần xuất (pi): Giả thiết có một tập số liệu kết quả nghiên cứu gồm có N số liệu, trong đó có ni giá trị Xi (Xi xuất hiện ni lần). ni gọi là tần số của giá trị Xi, khi đó, tần suất của giá trị Xi đ-ợc tính nh- sau: N n p ii  0 pi 1 1.1 pi là tần suất xuất hiện giá trị Xi , khi N thì pi Pi (Pi là xác suất xuất hiện giá trị Xi). 1.1.2. Số trội (Mo): Số trội (Mo) là số có tần suất lớn nhất (chính là số có tần số xuất hiện lớn nhất ) trong tập số liệu kết quả nghiên cứu. 1.1.3. Khoảng của tập số (R): Khoảng của tập số ,R , là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tập số liệu kết quả nghiên cứu. Nh- vậy, khoảng của tập số đ-ợc tính theo công thức sau: R = Xmax - Xmin 1.2 1.1.4. Số trung vị (Med) và số tứ phân vị (Q): Số trung vị (Med) là số đứng giữa tập số liệu đã đ-ợc xắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn, chia dãy số đó làm 2 phần bằng nhau về số số liệu. Số tứ phân vị là các số chia tập số liệu thành 4 phần t-. Có 3 số tứ phân vị là Q1= X1/4, Q2= X2/4 và Q3= X3/4. Số Q2= X2/4 trùng với số trung vị Med. a/ Đối với các số liệu không nhóm lại : Giả sử X1, X2 ,X3 .....Xn là dãy các giá trị của tập số liệu kết quả nghiên cứu, đ-ợc sắp xếp theo thứ tự tăng dần, thì : -Số trung vị của tập N số lẻ đ-ợc tính theo công thức sau: 2 1NXMed  1.3 -Số trung vị của tập N số chẵn đ-ợc tính theo công thức sau: ]XX[ 2 1Med 1 2 N 2 N   1.4 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 6 -Số tứ phân vị của tập N giá trị chia hết cho 4, thì tính theo công thức: ]XX[ 2 1 Q 1 4 N 4 N1   1.5 ]XX[ 2 1 Q 1 4 N3 4 N33   1.6 - Số tứ phân vị của tập N không chia hết cho 4, thì tính theo công thức : 1 4 N1 XQ   và 1 4 N33 XQ   1.7 b/ Đối với số liệu gộp thành nhóm : Giả sử nhóm thứ i ( Xi, Xi + 1 ) có ni giá trị nằm trong nhóm đó và ta có Nn i i  1.8 thì Med nằm trong nhóm thứ k ( Xk, Xk + 1) đ-ợc tính nh- sau : kk1k 1k 1i i X)XX( nk n 2 N Me        1.9 T-ơng tự, các tứ phân vị đ-ợc xác định theo công thức chung sau đây: kk1k 1k 1i i X)XX( nk n 4 N .S Qs        1.10 Với S = 1,2,3. 1.1.5. Trung bình cộng: Gọi X là giá trị trung bình cộng của một tập số liệu thì X đ-ợc tính theo công thức sau:    N 1i iXN 1 X 1.11 khi Xi xuất hiện ni lần thì tính theo :  i iiXnN 1 X 1.12 với  i inN 1.1.6. Trung bình nhân : GMx = nxxxx ...321 1.13 Th-ờng dùng để tính tốc độ tăng trung bình của tăng theo cấp số, sự pha loãng . . . 1.1.7. Trung bình điều hoà : Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 7 HMx =  N ixN 1 11 1 1.14 Dùng để tính vạn tốc, thời gian trung bình. . . 1.1.8. Trung bình của hệ : X h= BA BBAA NN XNXN   1.15 Dùng để tính trung bình của hệ gồm nhiều tập số liệu. . . Ví dụ 1.1 : Khi khảo sát 100 đối t-ợng nghiên cứu X, thu đ-ợc 100 số liệu cho ở bảng sau: Bảng 1.1- 100 số liệu kết quả thực nghiệm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4.37 4.13 4.46 4.45 4.73 4.20 3.64 4.15 3.96 3.65 2 3.71 4.05 3.70 4.21 4.35 3.89 3.67 4.80 4.16 4.07 3 4.31 4.08 3.65 4.23 4.00 4.58 4.30 4.42 3.90 4.36 4 3.93 4.14 3.67 3.82 4.16 4.17 4.30 4.18 4.56 3.93 5 4.60 3.94 4.32 4.55 4.40 4.55 4.82 4.58 4.19 4.52 6 4.38 4.36 3.69 4.04 4.40 3.98 4.38 4.00 4.08 4.16 7 4.10 3.84 4.03 4.58 4.20 4.37 4.58 4.14 4.88 4.21 8 4.11 4.31 4.27 4.31 4.62 3.80 4.08 4.05 3.85 4.21 9 3.87 4.05 3.94 4.23 3.95 4.32 4.03 3.91 4.18 4.23 10 3.84 4.03 3.56 3.81 3.93 4.28 4.03 3.74 4.27 4.72 Khi sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần, 100 số liệu kết quả nghiên cứu trên, ta có : Bảng 1.2- sắp xếp 100 số liệu theo chiều tăng dần 1 3.56 21 3.93 41 4.08 61 4.23 81 4.40 2 3.64 22 3.93 42 4.08 62 4.23 82 4.40 3 3.65 23 3.93 43 4.10 63 4.23 83 4.42 4 3.65 24 3.94 44 4.11 64 4.27 84 4.45 5 3.67 25 3.94 45 4.13 65 4.27 85 4.46 6 3.67 26 3.95 46 4.14 66 4.28 86 4.52 7 3.69 27 3.96 47 4.14 67 4.30 87 4.55 8 3.70 28 3.98 48 4.15 68 4.30 88 4.55 9 3.71 29 4.00 49 4.16 69 4.31 89 4.56 10 3.74 30 4.00 50 4.16 70 4.31 90 4.58 11 3.80 31 4.03 51 4.16 71 4.31 91 4.58 12 3.81 32 4.03 52 4.17 72 4.32 92 4.58 13 3.82 33 4.03 53 4.18 73 4.32 93 4.58 14 3.84 34 4.03 54 4.18 74 4.35 94 4.60 15 3.84 35 4.04 55 4.19 75 4.36 95 4.62 16 3.85 36 4.05 56 4.20 76 4.36 96 4.72 17 3.87 37 4.05 57 4.20 77 4.37 97 4.73 18 3.89 38 4.05 58 4.21 78 4.37 98 4.80 19 3.90 39 4.07 59 4.21 79 4.38 99 4.82 20 3.91 40 4.08 60 4.21 80 4.38 100 4.88 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 8 Bảng 1.3- biểu diễn số liệu thống kê 100 kết quả nghiên cứu từ 100 đối t-ợng đã cho trên đây theo phân nhóm cách nhau khoảng 17 đơn vị một trình bầy nh- sau: Nhóm Tần số Giá trị TB Tần suất Tần xuất dồn (nhóm) (nhóm) (nhóm) (nhóm) ni X i pi = ni/N pi 3.50 - 3.67 4 3.59 0.04 0.04 3,67 - 3,84 9 3.76 0.09 0.13 3.84 - 4.01 16 3.94 0.16 0.29 4.01 - 4.18 22 4.10 0.22 0.51 4.18 - 4.35 24 4.27 0.24 0.75 4.35 - 4.52 11 4.44 0.11 0.86 4.52 - 4.69 10 4.61 0.10 0.96 4.69 - 4.86 3 4.78 0.03 0.99 4.86 - 5.03 1 4.95 0.01 1.00 Lớp trội từ 4.18 đến 4.35 là lớp có tần suất lớn nhất (0.24). Bảng số liệu trên có thể đ-ợc biểu diễn trên 2 loại đồ thị sau: Đồ thị tần xuất lớp Đồ thị tần xuất dồn Hình 1.1- Đồ thị biểu diễn tần xuất và tần xuất dồn 1.2. Các tham số đặc tr-ng cho sự phân tán của tập số liệu : 1.2.1. Ph-ơng sai (2 hoặc S2): Ph-ơng sai là trung bình của tổng bình ph-ơng sai khác giữa các giá trị của tập số liệu so với giá trị trung bình của tập số liệu kết quả nghiên cứu: 2 hay    N 1i 2 i 2 )XX( 'N 1 S 1.16 hay : 2 hay   i 2 i 2 )XX( 'N 1S 1.17 công thức thực dụng để tìm ph-ơng sai: 987654321 30 20 10 0 987654321 120 100 80 60 40 20 0 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 9     N 1i 2 N 1i i 2 i 2 } N )X( X({ 'N 1S 1.18 Với: N' = N khi N > 30 (2). N' = N - 1 khi N < 30 (S2). N' có bản chất là bậc tự do của tập số liệu kết quả nghiên cứu. 1.2.2. Ph-ơng sai của hệ : S2 h = 1 )()(2*2*   BA BBAABBAA NN XXNXXNSNSN 1.19 Trong đó : S*2A= A AA N SN 2)1(  và S*2B= B BB N SN 2)1(  Ph-ơng sai đặc tr-ng cho sự sai biệt của các số liệu trong kết quả nghiên cứu. Ph-ơng sai càng lớn, sai biệt càng lớn. Ng-ợc lại ph-ơng sai càng nhỏ thì sai biệt càng nhỏ. Ph-ơng sai còn biểu diễn độ phân tán của tập số liệu kết quả nghiên cứu đối với giá trị trung bình. Ph-ơng sai càng lớn độ phân tán chung quanh giá trị trung bình càng lớn và ng-ợc lại. 1.2.3. Độ lệch chuẩn (f hoặc Sf): Độ lệch chuẩn của một tập số liệu kết quả nghiên cứu là giá trị căn bậc 2 trị số ph-ơng sai của nó: 2 f  hoặc 2f SS  1.20 Độ lệch chuẩn có cùng thứ nguyên và cũng có ý nghĩa nh- ph-ơng sai. Khi tiến hành phân tích, ta thu đ-ợc nhiều kết quả, chúng phải đ-ợc biểu diễn bằng những chỉ số thể hiện độ chính xác của phép đo. Có nhiều loại chỉ số nh- vậy, trong đó có độ lệch chuẩn, kí hiệu là . Ví dụ 1.2: Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của tập hợp các giá trị đo đ-ợc sau: 15,67g; 15,69g; 16,03g. xi (xi- x) (xi- x)2 15,67g 0,13g 0,0169 15,69g 0,11g 0,0121 16,03g 0,13g 0,0529 Tổng 47,39g 0,47g 0,0819 x = 15,80g s = 0,20g Ta cũng có thể sử dụng công thức sau để tính độ lệch chuẩn: Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 10 1 2)(2    N ixixs 1.21 Công thức này tiện khi tính toán hơn, nhất là với máy tính. Nhiều máy có cài sẵn ch-ơng trình tính độ lệch chuẩn. Thí dụ d-ới đây minh hoạ ph-ơng pháp tính này: Ví dụ 1.3: Tính độ lệch chuẩn với các giá trị nh- trên nh-ng dùng công thức trên. xi xi 2 15,67 245,55 15,69 246,18 16,03 256,96 Tổng 47,39 784,69 s = 0,21g Sự khác nhau của hai kết quả thu đ-ợc với 2 cách tính (0,01g) là do ta đã làm tròn trong cột giá trị x1 2. Do đó, ta vẫn có thể giữ lại 1 hoặc 2 con số sau hàng phần trăm. Tuy nhiên, sự khác nhau này không đáng kể so với giá trị 0,20 hay 0,21. 1.2.4.Độ sai chuẩn ( X hoặc XS ): Độ sai chuẩn bằng độ lệch chuẩn chia cho căn bậc 2 của số giá trị kết quả nghiên cứu: N f X  hoặc N S S fX  1.22 Độ sai chuẩn có thể hiểu là trung bình phân tán của các giá trị kết quả nghiên cứu. Giá trị độ lệch chuẩn có thể đ-ợc coi nh-, ở một mức độ nào đó, sai số của một lần đo. Giá trị trung bình số học của N thí nghiệm thu đ-ợc (N rất lớn) cho kết quả gần với giá trị thực hơn là một giá trị riêng lẻ, và s tiến dần đến 0 khi N . Giá trị trung bình số học thu đ-ợc từ N phép đo chính xác hơn mỗi phép đo riêng lẻ khoảng N1/2 lần. Do đó, sai số ngẫu nhiên gặp phải trong 4 lần đo sẽ nhỏ hơn 2 lần so với sai số của từng phép đo riêng lẻ. Hay nói cách khác, độ chính xác của giá trị trung bình của N phép đo tỉ lệ nghịch theo căn bậc hai của N với độ chính xác của các giá trị riêng lẻ. Giá trị trung bình của độ lệch chuẩn còn đ-ợc gọi là độ sai chuẩn. 1.2.5.Hệ số biến thiên (Cv): Hệ số biến thiên là tỷ số giữa độ lệch chuẩn với giá trị trung bình: 100. X S C fV  1.23 Vì hệ số biến thiên không có thứ nguyên, cho nên có thể dựa vào hệ số biến thiên để so sánh gần đúng độ sai biệt của các kết quả nghiên cứu thu nhận đ-ợc bằng các cách khác nhau. Khi độ lệch chuẩn lớn (Sf) ( tức sai biệt của các số liệu nghiên cứu lớn), thì Cv lớn và ng-ợc lại. Độ lệch chuẩn th-ờng đ-ợc biểu diễn d-ới dạng độ lệch chuẩn t-ơng đối, tức là quan hệ tỉ đối giữa stb và giá trị trung bình, nó còn đ-ợc gọi là hệ số biến động. Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 11 Ví dụ 1.4: Ta có các giá trị khối l-ợng cân đ-ợc là 29,8mg; 30,2mg; 28,6mg; và 29,7mg. Tính độ lệch chuẩn của từng giá trị riêng và độ sai chuẩn. Biểu diễn cả d-ới dạng tuyệt đối và t-ơng đối: xi (xi -x) (xi - x)2 29,8 0,2 0,04 30,2 0,6 0,36 28,6 1,0 1,00 29,7 0,1 0,01 Tổng 118,3 1,9 1,41 Nh- vậy, ta có: x = 29,6mg s =0,69mg (tuyệt đối), hay Cv = 2,3% (hệ số biến động); stb = 0,34mg (tuyệt đối), hay stb = 1,1% (t-ơng đối). Nói chung, ta có thể thu đ-ợc kết quả chính xác hơn khi làm nhiều thí nghiệm hơn. Hay nói cách khác, khoảng rộng từ +s đến -s của đ-ờng cong phân bố chuẩn Gauss sẽ giảm đi và s 0 khi số lần tiến hành thí nghiệm tiến tới vô hạn. Tuy nhiên, độ lệch chuẩn trung bình không giảm theo N mà theo N . Ví dụ nh- ta muốn tăng độ chính xác của stb lên 10 lần thì số lần thí nghiệm tăng thêm 100 lần. 1.3. Các đặc tr-ng phân phối thống kê của tập số liệu: Đặc tr-ng phân phối thống kê của một tập số liệu kết quả nghiên cứu là qui luật phân bố ngẫu nhiên của các giá trị kết quả nghiên cứu trên trục số thực. Đặc tr-ng phân phối thống kê là qui luật, nên về mặt toán học nó th-ờng đ-ợc biểu diễn bằng một hàm số và có đồ thị t-ơng ứng. Mỗi tập số liệu kết quả nghiện cứu là một tập số ngẫu nhiên (th-ờng là rời rạc) có những đặc tr-ng phân phối thống kê riêng và th-ờng tuân theo 1 trong 6 qui luật phân phối thống kê ngẫu nhiên phổ biến nhất, đó là: 1.3.1. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)( u): - Hàm số của phân phối chuẩn đ-ợc biểu diễn bằng ph-ơng trình toán học: e 2 2 2 )X( 2 1)X(Y     1.24 Trong đó: X : là biến số ngẫu nhiên. : là hằng số, bằng giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên . : là hằng số, bằng giá trị ph-ơng sai của biến ngẫu nhiên. Gọi u là chuẩn Gauss và đặt:  Xu 1.25 thay vào ph-ơng trình trên ta đ-ợc dạng chính tắc của hàm phân phối chuẩn: Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 12 e 2 u2 2 1 )u(Y    1.26 - Dạng chính tắc của hàm phân phối chuẩn là dạng của hàm phân phối chuẩn đã chuyển hệ toạ độ từ Y(X) sang Y(u). - Đồ thị của hàm phân phối chuẩn: Nếu đặtlà đơn vị của thang chia trục hoành mà giá trị của nó đ-ợc xác định từ điểm uốn của đ-ờng cong chuẩn hạ xuống trục hoành, là tham số đặc tr-ng cho sự tập trung các giá trị của hàm phân phối, thì hàm phân phối chuẩn có dạng chuông úp ( xem trang bên) Hàm phân phối chuẩn có đặc diểm là: X MoMed - Dạng tích phân của hàm phân phối chuẩn: a/     1)u(Fdu)u(Y tần suất dồn từ -đến + b/     u u P)u(Fdu)u(Y tần suất dồn từ -u đến +u -ý nghĩa hình học của tích phân là diện tích giới hạn bởi đ-ờng cong : F(-1, +1) = 68,27 %, F(-2, +2) = 95,45 %, F(-3, +3) = 99,73 % Diện tích này chính là tần suất dồn của các giá trị nằm trong vùng lấy tích phân. Diện tích này cũng biểu diễn xác suất xuất hiện của các giá trị Xi nằm trong vùng lấy tích phân. Xác suất thống kê gắn liền với khái niệm độ tin cậy thống kê (P). Diện tích giới hạn bởi đ-ờng cong cũng chính là độ tin cậy thống kê để xuất hiện Xi trong khoảng tích phân. Kí hiệu độ tin cậy thống kê để xuất hiện giá trị Xi nằm trong vùng (-, Xi) là P(Xj). Độ tin cậy thống kê luôn là một số nhỏ hơn hoặc bằng 1 ( P(Xj)1 ). -3 -2 -   2 3 f(x) 68.26% 95.44% 99.74% Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 13 Nếu kí hiệu là Độ không tin cậy thống kê, thì: P += 1 hay P = 1 - hoặc = 1 – P 1.27 Khi P =1, điều đó có nghĩa là xác suất xuất hiện giá trị Xi là 100%. Trong xác suất, ng-ời ta qui -ớc: Biến cố có P = 0.9999 là biến cố hoàn toàn chắc chắn. Biến cố có P = 0.999 là biến cố hết sức chắc chắn. Biến cố có P = 0.99 là biến cố rất chắc chắn. Biến cố có P = 0.95 là biến cố chắc chắn. Biến cố có P = 0.90 là biến cố có chiều h-ớng chắc chắn. Từ hàm phân phối chuẩn, khi cho một giá trị ui (X) thì ta tính đ-ợc độ tin cậy thống kê Pi, ứng với một diện tích Pi . Ng-ợc lại, khi cho giá trị Pj thì có thể tính đ-ợc một giá trị uj(X). Thay cho tính toán, ng-ời ta lập sẵn những bảng số để tra giá trị u khi biết giá trị P hoặc ng-ợc lại (xem phụ lục). 1.3.2 Phân phối student (phân phối t): Hàm số của phân phối student có dạng: 2 1f2 ) f t1(B)f,t(y   1.28 Với x f S Xt  hoặc f i S XX  1.29 tf    S u N S X f ff  . . khi N thì S và t u 1.30 Sf là độ lệch chuẩn, xS là độ sai chuẩn Hàm này phụ thuộc vào biến số t là một biến ngẫu nhiên. f : bậc tự do (f = N - 1). B : là một hằng số. Sf: độ lệch chuẩn. Vậy t bao giờ cũng phụ thuộc vào bậc tự do. - Đồ thị của hàm phân phối student: N(0,1) t12 t5 t2 t1 f( x) -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 t1 < t2 < t3 ... Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 14 Khi Xi là số có tần số rất lớn (tức là số có tần suất rất lớn) thì có thể suy ra gần đúng Xi X (giá trị có tần suất rất lớn thì giá trị của nó coi nh- trùng với giá trị trung bình). Đồ thị của hàm Student giống nh- hàm phân phối chuẩn có dạng chuông úp. Nó có đầy đủ các tính chất giống nh- hàm phân phối chuẩn. Nh-ng khác ở chỗ:độ nhọn của đồ thị hàm phân phối student phụ thuộc vào bậc tự do Y(p, f). Bậc tự do càng lớn thì độ nhọn càng lớn và ng-ợc lại. Do độ nhọn phụ thuộc vào bậc tự do, nên giá trị chuẩn t cũng phụ thuộc vào bậc tự do t(p,f).Trong thực tế, ng-ời ta nhận thấy : N > 30: tuân theo phân phối chuẩn. N < 30: tuân theo phân phối Student. Đối với phân phối Student cũng có bảng tra chuẩn Student tính sẵn. Dựa vào bảng này, khi biết hai trong ba giá trị t, f và P thi xác định đ-ợc giá trị còn ch-a biết. Có 2 loại bảng tra giá trị t (gọi là bảng phân vị của chuẩn t). Khi giả thiết thống kê đặt là : * Nếu giả thiết : *Nếu giả thiết : -H0 : Xi = Xk -H0 : Xi = Xk -Ha : Xi > Xk hoặc Xi < Xk -Ha : XiXk Thì tra bảng phân vị Thì tra bảng phân vị của chuẩn t theo 1 phía. của chuẩn t theo 2 phí 1.3.3 Phân phối Fisher: Hàm số của phân phối Fisher có dạng: Y(F, f1, f2) = A 2 ff 12 1 21 )f-(f ) 2 2-f(  F 1.31 Trong đó: F : là biến số ngẫu nhiên. f1, f2 : là các bậc tự do . A : là hằng số phụ thuộc f1 và f2. F phụ thuộc vào hai loại bậc tự do và đ-ợc tính theo công thức sau 2 1 f 2 f 2 2 2 2 1 S S F   Với 0 F+ 1.32  0 0 f(t f( / / Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 15 Đồ thị của hàm Fisher có dạng: Tuỳ thuộc vào bậc tự do mà đồ thị có các dạng khác nhau. Hàm phân phối Fisher cũng có tính chất nh- các hàm phân phối khác. Diện tích giới hạn bởi đ-ờng cong cũng biểu diễn độ tin cậy thống kê. Ng-ời ta cũng lập các bảng tra sẵn, khi cho (P, f1 và f2) sẽ tra đ-ợc giá trị của chuẩn F, ng-ợc lại cho 3 trong 4 thông số ( F,P,f1,f2 ) sẽ tra đ-ợc số thứ 4 ch-a biết. Có 2 loại bảng số chính để tra chuẩn F: Bảng F(0.95,f1, f2) và bảng F(0.99,f1,f2) (xem phụ lục ). 1.3.4 Phân phối Khi bình ph-ơng: Hàm số của phân phối Khi bình ph-ơng có dạng: 2 2f 222 )(e.C)f,(Y 2   1.33 Với:     N 1i 2 f i2 ) XX ( Khi lấy các giá trị : 0 < < + 1.34 Hàm Khi bình ph-ơng chỉ phụ thuộc vào 1 bậc tự do. Đồ thị của hàm phân phối Khi bình ph-ơng có dạng: Nếu cho tr-ớc độ tin cậy thống kê P và giá trị f, tra bảng sẽ tìm đ-ợc giá trị2 và ng-ợc lại. 1.3.5 Phân phối Poisson: -Hàm số của phân phối Poisson có dạng: !X e. )X(Y X  Với  1.35 x 0.5 151050 f(x) 7 5 3 1 f(x) 1 0.5 0 1 2 3 4 x 3,6 5,10 10,20 1,10 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 16 Nh- vậy, kì vọng và ph-ơng sai của hàm phân phối Poisson trùng nhau. -Đồ thị của hàm phân phối Poisson có dạng : 1.3.6. Phân phối nhị thức : -Hàm phân phối của các phép thử lặp ( Phép thử Becnuli ) có dạng : P{ X=n } = CNn . Pn.(1- p )N-n 1.36 Trong đó: N = số lần thử nghiệm. n = số lần biến cố A xuất hiện Khi đó: nếu X là biến ngẫu nhiên có đặc tr-ng phân phối thống kê với tham số ( N,p ) là phân phối nhị thì: - Kì vọng của biến ngẫu nhiên X là: Np - Ph-ơng sai của biến ngẫu nhiên X là : 2 = Npq - Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là : Npq 1.37 - Độ sai chuẩn của biến ngẫu nhiên X là: x = pq -Đồ thị của hàm phân phối nhị thức có dạng : Cần phân biệt khái niệm hàm phân phối và chuẩn phân phối (chuẩn thống kê): - Hàm phân phối là qui luật phân bố số liệu kết quả nghiên cứu có tính ngẫu nhiên (các biến ngẫu nhiên). - Chuẩn phân phối (chuẩn thống kê) là những giá trị của hàm phân phối tính đ-ợc theo điều kiện cho tr-ớc. Nh- vậy chuẩn phân phối có 2 dạng: + Giá trị tra bảng. + Giá trị tính đ-ợc. Ng-ời ta so sánh giữa giá trị tra bảng và giá trị tính đ-ợc để đánh giá độ tin cậy thống kê của một sự kiện, theo điều kiện cho tr-ớc (theo giá trị tra bảng). 0. 2 p(x 5 100 0 5 10 x p(x) 0.2 r = 5p = 0.5 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 17 1.3.7 Mối quan hệ giữa các hàm phân phối và các chuẩn phân phối: Ta có nhận xét, một tập số liệu kết quả thực nghiệm phụ thuộc vào bậc tự do: + 2 bậc tự do thì tuân theo hàm F. + 1 bậc tự do thì tuân theo hàm t hoặc2 + Không phụ thuộc vào tự do thì tuân theo hàm u hoặc P. Trong thực nghiệm, cách xác định định tính luật phân phối của 1 tập số liệu kết quả nghiên cứu nh- sau: -Nếu N >30 và có 1 trong 3 tính chất sau thì tập số liệu kết quả nghiên cứu có qui luật phân phối chuẩn: 1/ Đồ thị phân phối tần suất có dạng chuông. 2/ MoMedX . 3/ Xi nhận các giá trị ở ngoài khoảng X 2 là 5% hoặc Xi nhận các giá trị nằm trong khoảng X 3 là 95%. -Nếu N < 30 và có 1 trong 3 tính chất trên thì tập số liệu kết quả nghiên cứu có qui luật phân phối Student. Sơ đồ sau đây cho thấy các qui luật phân phối thống kê đã trình bày chỉ là 1 tr-ờng hợp riêng của nhau mà thôi: Phân phối F 2 2 2 1 S S F Y(F,f1,f2) Y(F,f1,f2)Y(t,f) Y(F,f1,f2)Y(2,f) f1 = 1, f2 = f F = t 2 = 2 /f f1 = f, f2 = Phân phối t Y(t,f) Phân phối2 Y(2,f) f f S X t  2 S.f 2N2 f= f = 1 Y(t,u)Y(u) Y( 2 ,f)Y(u) t = u 2 = u Phân phối chuẩn  Xu Y(u) =2 X > 15 Phân phối Poisson  e. !X P X Y(X) P 0 N Phân phối nhị thức Y(p,q)