Về vận tốc tối hạn của ô tô khi qua cầu

Tạp chí Khoa học và Công nghệ 54 (3) (2016) 415-425 DOI: 10.15625/0866-708X/54/3/5930 VỀ VẬN T ỐC T ỐI H ẠN C ỦA Ô TÔ KHI QUA C ẦU Nguy ễn V ăn Khang *, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đức Phong Tr ường Đại h ọc Bách khoa Hà N ội, Số 1, Đại C ồ Vi ệt, Hà N ội *Email: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn Đến Tòa so ạn: 1/3/2015; Ch ấp nh ận đă ng: 3/2/2016 TÓM T ẮT Mô hình dao động c ủa ô tô khi qua c ầu được mô hình hóa b ởi m ột h ệ kh ối l ượng – lò xo – gi ảm ch ấn di chuy ển trên dầm đàn h ồi. Bài báo trình bày m ột k ết qu ả nghiên c ứu mới v ề xác định v ận t ốc t ới h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu. Vận t ốc t ới h ạn c ủa ô tô tính theo mô hình m ới nh ỏ hơn nhi ều so v ới v ận t ốc t ới h ạn tính theo công th ức c ũ. Từ khóa: dao động đàn h ồi, mô hình hóa, v ận t ốc t ới h ạn của ô tô, mô ph ỏng s ố, dầm ứng su ất tr ước. 1. MỞ ĐẦU Trong các tài li ệu v ề dao động kĩ thu ật và về kĩ thu ật c ầu đường tr ước đây khi mô hình hóa dao động c ủa ô tô qua c ầu d ầm ng ười ta th ường s ử dụng mô hình m ột l ực di chuy ển trên d ầm gi ản đơ n có thi ết di ện không đổi (Hình 1).  
  Hình 1. Mô hình m ột l ực di chuy ển trên d ầm. Bằng tính toán gi ải tích ng ười ta nh ận được công th ức xác định v ận t ốc t ới h ạn c ủa ô tô [1 - 4] kπ EI v=, k = 1,2,3,... (1) kth l µ trong đó l là độ dài c ủa d ầm, EI là độ cứng ch ống u ốn, µ là kh ối l ượng m ột đơn v ị dài c ủa d ầm. Khi tính đến ứng su ất tr ước c ủa d ầm bê tông c ốt thép công th ức xác định v ận t ốc t ới h ạn bậc nh ất của ô tô có d ạng [7] Nguy ễn V ăn Khang, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đứ c Phong π 2 EI E v = + ε (2) th l 2 µ0 ρ trong đó E là mô đun đàn h ồi, EI là độ cứng ch ống u ốn, l là chi ều dài d ầm, µ là kh ối l ượng m ột ε ρ đơ n v ị dài c ủa d ầm, 0 là bi ến d ạng dài t ỷ đối ban đầu, là bán kính cong c ủa l ớp trung hòa của d ầm. Vi ệc s ử dụng mô hình c ơ h ọc gi ản đơ n, thay th ế ô tô b ằng m ột l ực có độ lớn không đổi di chuy ển trên d ầm v ới v ận t ốc không đổi là quá thô. J. G. Panovko đã ch ỉ ra nhi ều sai l ầm khi s ử dụng mô hình đơ n gi ản trên [5 - 6]. Trong bài báo này ta thay ô tô b ằng m ột h ệ dao động nh ư Hình 2. Ta thi ết l ập ph ươ ng trình dao động cho mô hình c ơ h ọc này. Sau đó tính toán dao động u ốn c ủa c ầu d ầm bê tông d ự ứng lực d ưới tác d ụng c ủa v ật th ể di động. Trên c ơ s ở mô hình chính xác h ơn ta rút ra bi ểu th ức xác định vận t ốc t ới h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu và ảnh h ưởng c ủa ứng su ất tr ước t ới dao động c ủa c ầu. 2. DAO ĐỘNG U ỐN C ỦA D ẦM CÓ ỨNG SU ẤT TR ƯỚC CH ỊU TÁC D ỤNG C ỦA VẬT TH Ể DI ĐỘ NG Trong đoạn này ta s ẽ xét bài toán dao động u ốn c ủa d ầm đơn gi ản có ứng su ất tr ước, ch ịu tác d ụng c ủa v ật th ể di độ ng (Hình 2). Hình 2 . Mô hình ô tô đi trên c ầu. Xét d ầm đơn gi ản chi ều dài l có ứng su ất tr ước, ch ịu tác d ụng c ủa v ật th ể di độ ng. Gi ả thi ết kh ối l ượng đơn v ị dài c ủa d ầm µ= ρ A , độ c ứng ch ống u ốn EI là nh ững đạ i l ượng không đổ i trên toàn chi ều dài c ủa d ầm. Trong đó ρ là m ật độ kh ối l ượng, A là di ện tích m ặt c ắt ngang, E là mô đun đàn h ồi, I là mô men quán tính thi ết di ện c ủa d ầm. Ô tô chuy ển độ ng trên d ầm xem là một v ật r ắn chuy ển độ ng t ịnh ti ến có kh ối l ượng m đặ t trên h ệ lò xo - gi ảm ch ấn, độ c ứng lò xo là k, hệ s ố gi ảm ch ấn là d, v ật th ể chuy ển độ ng trên d ầm v ới v ận t ốc v không đổ i. Gi ả thi ết trong su ốt quá trình chuy ển độ ng, v ật th ể không tách kh ỏi dầm. Ch ọn h ệ to ạ độ nh ư Hình 2. Tr ục Ox trùng v ới tr ục c ủa d ầm khi d ầm ch ưa b ị u ốn, tr ục Ow th ẳng đứ ng h ướng xu ống d ưới. G ọi z là to ạ độ tuy ệt đố i c ủa v ật th ể theo ph ươ ng th ẳng đứ ng. Gọi y là kho ảng cách t ươ ng đối gi ữa v ật th ể và dầm, wη là độ võng c ủa d ầm t ại điểm v ật th ể ti ếp xúc v ới d ầm. Ta có h ệ th ức z= y + w η ; wη = wxt( , ) (3) x=η = vt Để thu ận ti ện cho vi ệc tính toán dao độ ng t ự do c ủa d ầm khi v ật th ể di độ ng không có m ặt 416 Về v ận t ốc t ối h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu trên d ầm, ta g ắn vào v ật th ể di độ ng m ột tín hi ệu bi ểu di ễn b ằng hàm tín hi ệu logic. Hàm tín hi ệu logic được đị nh ngh ĩa nh ư sau 1 khi t≤ t ≤ T L( t ) = 0 (4)  0khi t t0 , t T trong đó t 0 là th ời điểm v ật th ể b ắt đầ u chuy ển độ ng trên d ầm, T là th ời điểm v ật th ể k ết thúc chuy ển độ ng trên d ầm. Khi đó các ph ươ ng trình mô t ả dao độ ng u ốn c ủa dầm có ứng su ất tr ước ch ịu tác d ụng c ủa vật th ể di độ ng là m ột h ệ h ỗn h ợp ph ươ ng trình đạo hàm riêng và ph ươ ng trình vi phân th ường [7, 8] ∂∂452  ∂∂  ∂ 2 ww+i ++−µ ww e ε w = () EI b  b  0 EA pxzt, , (5) ∂x44 ∂∂ xt  ∂ t 2 ∂ t  ∂ x 2 ɺ Lt()( mzɺɺ++= dz ɺ kz )()( Lt mg ++ dwη kw η ) (6) trong đó pxzt(,,)= Lt ()( mg − mzɺɺ )(δ x − vt ) (7) Để gi ải các ph ươ ng trình này ta c ần bi ết thêm các điều ki ện biên và các điều ki ện đầ u. Các điều ki ện biên trong bài toán này có dạng ∂2w(0, t ) ∂2w( l, t ) x=0 : w() 0, t = 0, = 0, x= l: wlt() , = 0, = 0 (8) ∂x2 ∂x2 Các điều ki ện đầ u ∂w( x ,0) wx( ,0)= gx ( ) , wxɺ (,0)= = gx (), z(0)= zz ;ɺ (0) = z ɺ (9) 1 ∂t 2 0 0 Áp d ụng ph ươ ng pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghi ệm c ủa các ph ươ ng trình (5), (6) v ới các điều ki ện biên (8) dưới d ạng n π = r x wxt( , )∑ qtr ( )sin (10) r=1 l rπ x trong đó sin là các hàm riêng c ủa d ầm hai đầ u b ản l ề có ứng su ất tr ước, còn q( t ) là các l r hàm c ần tìm. Th ế các bi ểu th ức (10) vào ph ươ ng trình (5) và (6) và th ực hi ện m ột s ố bi ến đổ i gi ải tích ta nh ận được h ệ ph ươ ng trình vi phân dưới d ạng ma tr ận nh ư sau [7] qɺɺ= B()t qC ɺ + () t qf + () t (11) trong đó éùq éù qɺ éù qɺɺ êú1 êú 1 êú 1 ɺ ɺɺ êúq2 êú q 2 êú q 2 êúɺ êú ɺɺ êú q=êú⋮; q = êú ⋮ ; q = êú ⋮ êúq êú qɺ êú qɺɺ êún êú n êú n ëûêúz ëûêú zɺ ëûêú ɺɺz 417 Nguy ễn V ăn Khang, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đứ c Phong Ma tr ận B(t) là ma tr ận vuông c ấp n+1 ébt() bt ()⋯ bt () ù ê11 12 1(n+ 1) ú êbt() bt ()⋯ bt () ú B(t ) = ê21 22 2(1)n+ ú (12) ê⋯ ⋯⋯ ⋯ ú ê⋯ ú ëêbtbt(n+ 1)1() ( n + 1)2 () b ( nn ++ 1)( 1) () t ûú trong đó 2d sπ vt r π vt EIbi  s π  4  b() t=− L () t sin sin −δ s + b e  (r, s = 1,,n) sr r    lAlρ l ρ Al   2d svtπ b+ () t= Lt () sin (s=1,,n) s( n 1) lρ A l d rπ vt b+ () t= Lt () sin (r=1,,n) (n 1) r m l d b+ + () t= − Lt () (n 1)( n 1) m Ma tr ận C(t) là ma tr ận vuông c ấp n+1 và có d ạng éct() ct ()⋯ ct () ù ê11 12 1(n+ 1) ú êct() ct ()⋯ ct+ () ú C(t ) = ê21 22 2(n 1) ú (13) ê⋯ ⋯⋯ ⋯ ú ê⋯ ú ëêctct(n+ 1)1() ( n + 1)2 () c ( nn ++ 1)( 1) () t ûú trong đó 2kL ( t ) sππ vt r vt EI s π4 E  s π 2  c() t =− sin sin −δs  + ε  ,,1,...,r s = n sr r 0   lAlρ l ρ Al ρ  l  2k svtπ ctLt+ ()= () sin , s = 1,..., n s( n 1) lρ A l k rπ vt ctLt+ ()= () sin , r = 1,..., n (n 1) r m l k c+ + () t= − Lt () (n 1)( n 1) m Vect ơ f (t ) có d ạng T f = [ f, f , f ] (14) 1 2n+ 1 = = = trong đó fs0, s 1,..., nf ; n +1 g , 418 Về v ận t ốc t ối h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu Để gi ải h ệ ph ươ ng trình vi phân (11) ta c ần ph ải bi ết các điều ki ện đầ u. Các điều kiện đầ u này được suy ra t ừ (9) =ɺ == ɺ = ɺ = ɺ qiiii(0) qq0 , (0) qi 0 ( 1,.., nq ), i+ 1010 (0) zq , i + (0) z (15) Để tính toán dao độ ng u ốn c ủa c ầu d ầm d ưới tác d ụng c ủa th ể th ể di độ ng chúng tôi đã xây dựng m ột ch ươ ng trình tính VIBEAM 01 - BKHN d ựa trên ph ần m ềm đa n ăng MATLAB. 3. XÁC ĐỊNH V ẬN T ỐC TỚI H ẠN C ỦA Ô TÔ KHI QUA C ẦU B ẰNG PH ƯƠ NG PHÁP S Ố Sử d ụng ch ươ ng trình VIBEAM 01 – BKHN [7] tính toán dao động c ủa hai lo ại c ầu d ầm bê tông d ự ứng l ực điển hình ở Vi ệt Nam. Đó là các c ầu Đông Hà dài 32,4 m và c ầu Bùng dài 20,4 m. 3.1 Tính toán dao động u ốn c ủa c ầu Đông Hà Số li ệu c ầu Đông Hà: l=32.4( m) ρ = 2.5 × 103( kg / m 3 ) µ== ρ A2352() kgm / E =× 0.315 1011() Nm / 2 EI=7656920000() Nm2 be = 0, b i = 0 Số li ệu các ô tô: Trong bài báo này ta s ẽ tính toán dao động u ốn c ủa c ầu d ưới tác dụng c ủa 6 lo ại xe ô tô khác nhau được đánh s ố nh ư sau: Xe s ố 1: xe ô tô MITSUBISHI PAJERO SPORT KG4WGNMZLVT5 M = 2100 (kg) , k = 85799 (N/m), d = 5068 (Ns/m). Xe s ố 2: xe ô tô tô MATIZ M = 1024 (kg) , k = 46154 (N/m), d = 2660 (Ns/m). Xe s ố 3: xe ô tô tô HINO FG8JJSB M = 9880 (kg) , k= 646160 (N/m), d = 39596 (Ns/m). Xe s ố 4: xe ô tô tô HINO XZU720L M = 5872 (kg) , k = 451810 (N/m), d = 22996(Ns/m). Xe s ố 5: xe ô tô tô HUYNDAI HD170 M = 13032 (kg) , k = 871210 (N/m), d = 52692 (Ns/m). Xe s ố 6: xe ô tô tô ZIL 130 M = 6120 (kg) , k = 463590 (N/m), d = 22812 (Ns/m). Các k ết qu ả tính toán cho trên và Bảng 1 và Hình 3. 419 Nguy ễn V ăn Khang, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đứ c Phong ả * ε = B ng 1. Vận t ốc t ới h ạn mới vth / v ận t ốc t ới h ạn lí thuy ết vth của ô tô trênCầu Đông Hà, khi 0 0. Số th ứ t ự xe * v[ km / h ] η = v* / v vth [km/ h] th th th 1 174,5 629,82 0,28 2 185,5 629,82 0,30 3 207,3 629,82 0,33 4 218,2 629,82 0,35 5 218,2 629,82 0,35 6 218,2 629,82 0,35 3.2. Tính toán dao động u ốn c ủa c ầu Bùng Số li ệu c ầu Bùng: l=20.4( m) ρ = 2.5 × 103( kg / m 3 ) µ== ρ A2277() kgm / E =× 0.315 1011() Nm / 2 EI=4157000800() Nm2 be = 0, b i = 0 Các k ết qu ả tính toán trình b ầy trên Bảng 2 và Hình 4. ả * ε = B ng 2 . V ận t ốc t ới h ạn mới vth / v ận t ốc t ới h ạn lí thuy ết vth của ô tô trên Cầu Bùng, khi 0 0. Số th ứ t ự xe * v [km/ h] v* vth [ km / h ] th η = th vth 1 87,27 749,09 0,12 2 87,27 749,09 0,12 3 98 749,09 0,13 4 163,6 749,09 0,22 5 109,1 749,09 0,15 6 109,1 749,09 0,15 Qua k ết qu ả tính toán cho hai lo ại c ầu và v ới sáu lo ại ô tô khác nhau trình bày trên Hình 3 và Hình 4 c ũng nh ư trên các B ảng 1 và 2 ta rút ra m ột s ố kết lu ận sau: V ận t ốc t ới h ạn m ới c ủa ô tô nh ỏ hơn vận t ốc t ới h ạn tính toán g ần đúng theo các công th ức (1) và (2). T ỉ lệ gi ữa v ận t ốc * tới h ạn c ủa ô tô tính theo mô hình chính xác h ơn vth và v ận t ốc t ới h ạn lí thuy ết c ũ vth của c ầu ε = Đông Hà, khi 0 0, kho ảng 30 – 35 %, còn c ầu Bùng là 12 – 15 %. 420 Về v ận t ốc t ối h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu Hình 3 . Độ võng t ại m ặt c ắt gi ữa c ầu Đông Hà khi ô tô đi qua. 421 Nguy ễn V ăn Khang, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đứ c Phong Hình 4. Độ võng t ại m ặt c ắt gi ữa c ầu Bùng khi ô tô đi qua. 422 Về v ận t ốc t ối h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu 4. ẢNH H ƯỞNG C ỦA ỨNG SU ẤT TR ƯỚC ĐẾ N DAO ĐỘ NG U ỐN C ỦA C ẦU Để nghiên c ứu ảnh h ưởng c ủa ứng su ất tr ước đến độ võng động l ực c ủa c ầu khi ô tô đi qua ta xét hai mô hình dao động: C ầu Đông Hà và c ầu Bùng. ầ Đ ε a) C u ông Hà: Ta cho m ột s ố giá tr ị c ủa 0 từ đó tính được v ận t ốc t ới h ạn c ủa d ầm theo công th ức πv π4 EI π 2 E π 2 EI E Ω = ω⇒ = + ε , v = + ε 1 1 l l4µ0 l 2 ρ th l 2 µ0 ρ Các k ết qu ả tính được ghi l ại trong b ảng sau ε 0 - 0,0002 - 0,0004 - 0,0006 - 0,0008 - 0,001 0 ω 16,96 16,25 15,50 14,72 13,89 13,01 1 (rad/s) vth (m/s) 174,95 167,59 159,90 151,81 143,27 134,19 (km/h) (629,82) (603,32) (575,64) (546,52) (515,77) (483,1) Các k ết qu ả tính cho trên Hình 5. Hình 5. Biên độ dao động l ớn nh ất t ại gi ữa c ầu Đông Hà theo v ận t ốc v ới n = 1. Từ đồ th ị ta th ấy: Khi h ệ số ứng su ất trong d ầm càng lớn (d ấu âm) thì biên độ dao động lớn nh ất l ại m ặt c ắt gi ữa d ầm càng l ớn. Ứng su ất tr ước có ảnh h ưởng l ớn ở lân c ận giá tr ị vận t ốc tới h ạn. Khi xa v ận t ốc t ới h ạn ảnh h ưởng c ủa ứng su ất tr ước không đáng k ể. b) C ầu Bùng : Tính toán t ươ ng t ự ta có bảng v ận t ốc t ới h ạn c ủa ô tô tính theo công th ức (2) nh ư sau 423 Nguy ễn V ăn Khang, Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng, Nguy ễn Đứ c Phong ε 0 - 0,0002 - 0,0004 - 0,0006 - 0,0008 - 0,001 0 ω 32,04 31,10 30,12 29,11 28,07 26,98 1 (rad/s) vth (m/s) 208,08 201,93 195,59 189,04 182,25 175,21 (km/h) (749,09) (726,95) (704,12) (680,54) (656,10) (630,76) Đồ th ị độ võng động tại m ặt c ắt gi ữa cầu Bùng được bi ểu di ễn trên Hình 6. Hình 6 . Biên độ dao động l ớn nh ất t ại gi ữa c ầu Bùng theo v ận t ốc v ới n = 1. Từ các k ết qu ả trên ta suy ra các k ết lu ận sau: - Khi giá tr ị của h ệ số ứng su ất trong d ầm càng l ớn (v ới d ấu âm) thì biên độ dao động l ớn nh ất l ại m ặt c ắt gi ữa d ầm càng l ớn. - Ứng su ất tr ước có ảnh h ưởng l ớn ở lân c ận giá tr ị vận t ốc t ới h ạn. Khi xa v ận t ốc t ới h ạn ảnh h ưởng c ủa ứng su ất tr ước không đáng k ể. 4. KẾT LU ẬN Khi s ử d ụng mô hình dao động c ủa d ầm d ưới tác d ụng c ủa v ật th ể di độ ng, v ận tốc t ới h ạn của ô tô ch ỉ vào kho ảng 10 đế n 40 % v ận t ốc t ới h ạn tính theo lí thuy ết c ũ. V ận t ốc t ới h ạn này ph ụ thu ộc vào chi ều dài c ủa c ầu và các tham s ố độ ng l ực khác nh ư độ c ứng ch ống u ốn, kh ối lượng đơn v ị chi ều dài c ủa d ầm, Ứng su ất tr ước có ảnh h ưởng l ớn ở lân c ận giá tr ị vận t ốc t ới h ạn. Khi xa v ận t ốc t ới h ạn ảnh h ưởng c ủa ứng su ất tr ước không đáng k ể. 424 Về v ận t ốc t ối h ạn c ủa ô tô khi qua c ầu TÀI LI ỆU THAM KH ẢO 1. Nguy ễn V ăn Khang - Dao động kĩ thu ật (in l ần th ứ 4), NXB Khoa h ọc và Kĩ thu ật, Hà Nội, 2005. 2. Ch. Petersen - Dynamik der Baukontruktionen. Verlag Vieweg, Braunschweig/ Wiesbaden, 1996. 3. Hoàng Hà - Nghiên c ứu dao độ ng u ốn c ủa k ết c ấu nh ịp c ầu dây văng trên đường ô tô ch ịu tác d ụng c ủa ho ạt t ải khai thác, Lu ận án Ti ến s ĩ, Tr ường Đạ i học Giao thông Vận t ải, Hà Nội, 1999. 4. Timoshenko S. P., Young D. H., Weaver W. - Vibration Problems in Engineering (4. Edition), John Wiley and Sons, New York, 1974. 5. Panovko J. G. - Mechanik des deformierbaren festen Koerper – Moderne Konzeptionen, Fehler und Paradoxe. Moskau, Nauka“ 1985 (in Rus.). 6. Panovko J. G. - Fehler und Misserfolge in Veroeffentlichungen ueber die Wirkung sich bewegender Lasten auf elastische Konstruktionen – aus der 150-jaehrigen Entwicklungsgeschichte des Problems. Forschungsbericht Nr.13, Institut fuer Mechanik, TU Berlin 2001. 7. Nguy ễn Th ị Vân H ươ ng - Dao động u ốn c ủa d ầm có ứng su ất tr ước d ưới tác d ụng c ủa v ật th ể di động. Lu ận v ăn Thạc s ỹ khoa h ọc, Tr ường ĐH Bách Khoa Hà N ội, 2007. 8. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Thi Van Huong - Transverse vibrations of prestressed continuous beams on rigid supports under the action of moving bodies, Archive of Applied Mechanics 79 (2009) 939-953. ABSTRACT ON THE CRITIAL VELOCITY OF A VEHICLE MOVING ON THE BRIDGE Nguyen Van Khang, Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Duc Phong Hanoi University of Science and Technology, No. 1, Dai Co Viet, Hanoi *Email: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn Vibration model of a vehicle on the bridge is modeled by a mass - spring - damper system moving on an elastic beam. This paper presents the results of a new study on determining the critical velocity of a vehicle moving on the beam bridge. The critical velocity of the vehicle calculated according to the new model is much smaller than that calculated according to the old formula. Keywords: elastically vibration, modeling, critical velocity of the vehicle, numerical simulation, prestressed beam. 425