Tin học ứng dụng - Chương 2: Sử dụng phần mềm Mathematica

Ngo Van Thanh, IOP 11/ 2011  Phần II. Tin học ứng dụng Chương 2: Sử dụng phần mềm Mathematica (LT: 10, TH:10)  Cấu trúc lệnh cơ bản  Xử lý đồ họa  Các phương pháp tính số  Lập trình trên Mathematica  Các gói chương trình chuyên dụng  Website: Wolfram website The University of North Carolina Salisbury University 2.1 Cấu trúc lệnh cơ bản  File văn bản : được chia thành các cell  Kiểu của cell : Title, subtitle, , text, Input (ngầm định)  Nhiều câu lệnh trên cùng một cell; gộp các cell thành một nhóm  Double-Click trên nhóm celll để mở rộng hoặc đóng nhóm.  Thực hiện các câu lệnh trong cell : SHIFT+ Enter  Có thể chọn nhiều Cell để chạy đồng thời.  Kết quả thực hiện cho mỗi câu lệnh được ghi ra trong cell Output : Out[n], số thứ tự n trong Out[] tương ứng với cell Input In[n].  Tất cả kết quả tính toán được ghi lại trên bộ nhớ của máy tính cho đến khi tắt chương trình Mathematica, hoặc sử dụng lệnh Clear[]  Sau khi sửa câu lệnh, phải chạy lại câu lệnh đó bằng “SHIFT+ Enter”  Quy tắc tên biến, hàm:  Phân biệt chữ hoa và chữ thường, không được dùng ký tự gạch dưới : “_”  Tên Hàm được ghép nhiều từ với nhau, chữ cái đầu tiên của mỗi từ được viết hoa Vd: ListPlot[], Solve[], FindRoot[]  Quy tắc móc, ngoặc () , [], {}, [[]]  () : nhóm biểu thức – tương tự như các ngôn ngữ lập trình khác a*(b+c)  [] : đối số của hàm số : Sin[x]; Plot[5 x – 2,{x,1,2}]  {} : tập hợp các phần tử; nhóm các câu lệnh; mảng/ma trận {1,2,3}; {a1 x+b1 y==0, a2 x+b2 y==0}  [[]] : chỉ số mảng : a[[1]]; b[[1]][[2]]  Toán tử:  Hằng số:  Pi hoặc π ~ 3.14159  E : cơ số e ~ 2.71828  EulerGamma : hằng số Euler γ ~ 0.577216  Degree : radian của 1 độ = π/180 Phép toán Ký hiệu TT. Quan hệ Ký hiệu TT. Logic Ký hiệu Cộng + EQ == NOT ! Trừ - NEQ != AND && Nhân * or “space” GT > OR || Chia / GEQ >= Luỹ thừa ^ LT < LEQ >=  Hàm số cơ bản: Sin[x] Exp[x] KroneckerDelta[a,b] Cos[x] Log[x] DiracDelta[a,b] Tan[x] Log[x,b] HeavisideTheta[a,b] Cot[x] Log10[x] Gamma ArcSin[x] Abs[x] Erf ArcCos[x] Min[x] BesselJ ArcTan[x] Max[x] Prime[n] ArcCot[x] Im[z] Factorial[N] ~ N! Sinh[x] Re[z] RandomInteger[imin,imax] Cosh[x] Conjugate[z] RandomReal[xmin,xmax] Tanh[x] Arg[z] NormalDistribution [ µ,σ] Coth[x] Abs[z] Mean[list] ArcSinh[x] Plus[a,b,] Variance[dist] ArcCosh[x] Times[a,b,] ArcTanh[x] Power[a,b,] ArcCoth[x] Mod[a,b]  Palettes:  Vd: InputForm : {{1, 2}, {3, 4}} Palettes 2.2 Xử lý đồ họa  Vẽ đồ thị theo hàm số  Đồ thị hàm 1 biến : Plot[{expr1, expr1, }, {x, xmin, xmax}, Opt1->{Values of Opt1}] exprN : các biểu thức toán học là một hàm theo x {x, xmin, xmax} : khoảng giá trị của biến số x Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}] 4 3 2 1 1 2 3 30 20 10 10 20  Export đồ thị ra file  Nên chọn EPS hoặc WMF Chọn hình vẽ Click chuột phải -> “Save Graphics As” Chọn EPS -> Save  Export đồ thị ra file  Copy trực tiếp sang Winword hoặc PowerPoint Chọn hình vẽ Vào menu “Edit” -> “Copy As” -> Chọn “Metafile”  Trên Winword hoặc PowerPoint nhấn Ctrl + v                                           2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0  Options : AxesLabel -> {“x_label”, “y_label”} Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, AxesLabel -> {“x”, “y”}] 4 3 2 1 1 2 3 x 30 20 10 10 20 y PlotLabel -> {“plot label”} Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, PlotLabel -> f[x]] LabelStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 18} Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, PlotLabel -> f[x], AxesLabel -> {Style[“x”,Italic], “y”} LabelStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 16}] AxesOrigin -> {xO, yO} Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, AxesOrigin -> {-4, -30}] 3 2 1 0 1 2 3 20 10 0 10 20 4 3 2 1 1 2 3 30 20 10 10 20 Mesh -> 30; MeshStyle -> {Red,PointSize[Medium]} Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, Mesh -> 20, MeshStyle -> {Red, PointSize[Medium]] 4 3 2 1 1 2 3 30 20 10 10 20 PlotRange -> {Full, Automatic} hoặc {{xmin, xmax},{ymin, ymax}} Plot[Exp[x^2] + x -4, {x, 0, 2}, PlotRange -> {0, 50}] 0.5 1.0 1.5 2.0 5 10 15 20 25 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 10 20 30 40 50 Ticks -> None / {t1, t2, t3, } Plot[Sin[x], {x, 0, 10} ,Ticks -> None] Plot[Sin[x], {x,0,10}, Ticks -> {{0,Pi,2 Pi,3 Pi},{-1,1}}]  2 3 1 1 AspectRatio -> Automatic hoặc y/x Plot[Sin[x], {x, 0, 10}, AspectRatio -> 1/2] Plot[Sin[x], {x, 0, 10}, AspectRatio -> 2/1] 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 Epilog -> {obj1, obj2, } : phía trước hình Prolog -> {obj1, obj2, } : phía sau hình Plot[Sin[x],{x, 0, 10}, Epilog -> { {Dashed, Blue, Line[{{Pi/2,Sin[Pi/2]}, {Pi/2,0}}]}, Text[Sin[x], {Pi,0.5}]}] Drawing Tools Drawing Tools : chỉ dùng cho đồ thị 2 chiều Vẽ nhiều hàm trên một đồ thị Plot[{Sin[x], Sin[2 x]},{x, 0, 10}, PlotStyle -> {Red,{Blue, Dashed}}] 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 Show[graph1,graph2, , Options -> Values] vd. Hàm 1 2 3 4 5 6 1.0 0.5 0.5 1.0  Đồ thị 3 chiều Plot3D[{exprs.}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, Opt1 -> {Values of Opt1}] Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}] BoxRatios -> {x, y, z} Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, BoxRatios -> {1, 1, 1/2}] ColorFunction -> (White &) Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, ColorFunction -> (White)] MeshShading -> {{None, None}} MeshStyle -> Thick Plot3D[Sin[x + y], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, MeshShading -> {{None, None}}, MeshStyle -> Thick] 2 0 2 2 1 0 1 2 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0  Vẽ đồ thị các điểm từ bảng dữ liệu ListPlot[{list1, list2}, Opts -> Options]  List : {{x1, y1}, {x2, y2}, } ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}]] Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}] {{0.,0.}, {0.5, 0.479426}, {1., 0.841471}, {1.5, 0.997495}, {2., 0.909297}, {2.5, 0.598472}, {3., 0.14112}, {3.5, -0.350783}, {4., -0.756802}, {4.5, -0.97753}, {5., -0.958924}, {5.5, -0.70554}, {6., -0.279415}, {6.5, 0.21512}, {7., 0.656987}, {7.5, 0.938}, {8.,0.989358}, {8.5, 0.798487}, {9., 0.412118}, {9.5, -0.0751511}, {10., -0.544021}} 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 Joined -> True ; Mesh -> Full; ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full] 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 MeshStyle -> {PointSize[Large], Red} PlotStyle -> {Thick, Green} ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full, PlotStyle -> {Thick, Green}, MeshStyle -> {PointSize[Large], Red}] 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 InterpolationOrder -> 3 ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full, InterpolationOrder -> 3] 2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 Đọc từ file dữ liệu Import[“file","Table"] li1 = Import[“D:/math/data.dat","Table"] {{0.,0.},{0.5,0.479426},{1.,0.841471},{1.5,0.997495}, {2.,0.909297},{2.5,0.598472},{3.,0.14112}, {3.5,-0.350783},{4.,-0.756802},{4.5,-0.97753}, {5.,-0.958924},{5.5,-0.70554},{6.,-0.279415}, {6.5,0.21512},{7.,0.656987},{7.5,0.938},{8.,0.989358}, {8.5,0.798487},{9.,0.412118},{9.5,-0.0751511}, {10.,-0.544021}}  Vẽ đồ thị các đoạn thẳng từ bảng dữ liệu ListLinePlot[{list1, list2}, Opts -> Options] ListLinePlot[{l1,l2}, Mesh -> Full, PlotMarkers -> Automatic, InterpolationOrder -> 2] ListPlot[{l1,l2}, Mesh -> Full, PlotMarkers -> Automatic, Joined -> True, InterpolationOrder -> 2]                                           2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0                                           2 4 6 8 10 1.0 0.5 0.5 1.0 Các loại đồ thị khác:  ListPlot3D[{list1, list2}, Opts -> Options]  List : {{x1, y1, z1}, {x2, y2, z2}, } data = Table[Sin[j^2+i],{i,0,Pi,Pi/5},{j,0,Pi,Pi/5}]; ListPlot3D[data, InterpolationOrder -> 3]  ListPointPlot3D[{list1, list2}, Opts -> Options]  List : {{x1, y1, z1}, {x2, y2, z2}, } data = Table[Sin[j^2+i],{i,0,Pi,0.1},{j,0,Pi,0.1}]; ListPointPlot3D[data] 10 20 30 10 20 30 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0  DensityPlot[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}]  Giá trị càng lớn thì có màu càng sáng  ListDensityPlot[{{x1, y1, f1},{x2, y2, f2}, }]  DensityPlot3D[] và ListDensityPlot3D[] DensityPlot[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}] Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}]  ContourPlot[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}]  ContourPlot[{{f1 == g1},{f2 == g2}},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]  Giá trị càng lớn thì có màu càng sáng  ListContourPlot[{{x1, y1, f1},{x2, y2, f2}, }] ContourPlot[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}]  ContourPlot[Sin[x]Sin[y]==0.5,{x,-4,4},{y,-3,3}] Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3},PlotRange->{0,0.5}, ClippingStyle->None, BoundaryStyle->{Thick,Blue}] 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3  VectorPlot[{vx, vy}, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}]  VectorPlot3D[{vx,vy,vz},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]  ListVectorPlot[{{{x1, y1},{vx1, vy1}}, }]  ListVectorPlot3D[{{{x1, y1, z1},{vx1, vy1, vz1}}, }] VectorPlot[{x,-y},{x,-3,3}, {y,-3,3}] 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3  StreamPlot[{vx, vy}, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}]  ListStreamPlot[{{{x1, y1},{vx1, vy1}}, }] StreamPlot[{x,-y},{x,-3,3},{y,-3,3}] 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 2.3 Các phương pháp tính số  Tính toán trên các biểu thức  Phép gán f = a x^2 + b x + c hoặc f = a x2 + b x + c f (x + d) --> kết quả : (d + x) (c + b x + a x2)  Tính số (1/2) Sin[20] x --> kết quả : (1/2) Sin[20] x//N --> kết quả : 0.456473 x N[(1/2) Sin[20] x, 8] --> kết quả : 0.45647263 x  Các số hạng trong biểu thức (x+y+z)[[2]] --> kết quả : y (x+y+z)[[-1]] --> kết quả : z f[g[a],g[b]][[1]] --> kết quả : g[a] f[g[a],g[b]][[1,1]] --> kết quả : a  ReplacePart[a+b+c+d , 3 -> x^2] --> kết quả : a+b+x2+d  Khai triển biểu thức : Expand/ExpandAll f = (1+x)^3 + Sin[(1+x)^3] Expand[f] ExpandAll[f]  Biểu thức lượng giác: TrigExpand[Sin[x+y]] --> Sin[x] Cos[y] + Cos[x] Sin[y]  Số phức : ComplexExpand[Sin[x],x] --> Cosh[Im[x]] Sin[Re[x]] + i Cos[Re[x]] Sinh[Im[x]]  Đơn giản hoá : Simplify/FullSimplify f = 1 + 3 x + 3 x^2 + x^3 + Sin[1 + 3 x + 3 x^2 + x^3] Simplify[f] -->  Phân tích thừa số : Factor[] Factor[1 + 2x + x^2] --> (1 + x)2 Extension Factor[2+2Sqrt[2]x+x^2] --> Factor[2+2Sqrt[2]x+x^2, Extension -> Sqrt[2]]  Biểu thức lượng giác: Factor[Sin[x]^2+Tan[x]^2, Trig -> True] TrigFactor[Sin[x]^2+Tan[x]^2]  Đạo hàm riêng D[f, {x, n}] : n là bậc của đạo hàm D[f, {x, nx},{y, ny},] : đạo hàm nhiều biến D[Sin[x]/(a + x^2),x] D[Sin[x]/(a + x^2),{x,2}] NonConstants D[ a x^2, x, NonConstants -> {a}] --> 2 a x + x2 D[a, x, NonConstants -> {a}]  Đạo hàm toàn phần Dt[f, {x, n}] : n là bậc của đạo hàm Dt[f, {x, nx},{y, ny},] : đạo hàm nhiều biến Dt[ a x + b,x] --> a + x Dt[a,x] + Dt[b,x] Dt[x^2 y, x, y] --> 2 x + 2y Dt[x,y] + 2x Dt[x,y] Dt[y,x] Constants Dt[ a x + b, x, Constants -> {b}] --> a + x Dt[a, x, Constants ->{b}]  Derivative Sin’[x] : --> Cos[x] Derivative[1][Sin][x] Sin’’[x] : --> -Sin[x] Derivative[2][Sin][x] Derivative[n1, n2,][f] f[x_, y_] := Sin[x] Cos[y]; Derivative[1, 2][f][x, y] --> -Cos[x] Cos[y]  Giới hạn (Limit) Limit[expr., x -> x0] Limit[expr., x -> x0, Direction -> 1] Limit[expr., x -> x0, Direction -> -1] Limit[(1 + x/n)^n, n -> Infinity] --> ex Direction Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> 1] --> ∞ Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> -1] --> − ∞ Assumptions Limit[ x^a,x ->Infinity, Assumptions -> a 0 Limit[ x^a,x ->Infinity, Assumptions -> a > 0] --> ∞  Tích Phân (Integrate) Integrate[f, x] Integrate[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax},] Integrate[1/(x^3+1),x] --> Integrate[1/(x^3+1),{x,0,1}] PrincipalValue Phương pháp Riemann Integrate[Tan[x],{x,0,Pi}] --> Không hội tụ Phương pháp Cauchy Integrate[Tan[x],{x,0,Pi}, PrincipalValue -> True]  Tích Phân số (NIntegrate) NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] NIntegrate[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax},] NIntegrate[1/(x^3+1), {x, 0, 1}] --> 0.835649 Integrate[1/(x^3 + 1), {x, 0, 1}] //Timing --> ??s NIntegrate[1/(x^3 + 1),{x, 0, 1}] //Timing --> ??s Cận tích phân không phải là hằng số NIntegrate[Sin[5x y+y^2] + 1,{x, -1, 1}, {y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]}] NIntegrate[Sin[5x y+y^2] + 1,{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]} ,{x, -1, 1}] Exclusions NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4}] NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4}, Exclusions -> (x2 + y == 0)] Số vòng lặp đệ quy (Recursive) • MinRecursion -> 0 • MaxRecursion -> Automatic NIntegrate[Exp[-100(x2+y2)],{x,-50,60},{y,-50,60}] --> 0.0 NIntegrate[Exp[-100(x2+y2)],{x,-50,60},{y,-50,60}, MinRecursion -> 4] --> 0.0314159 Method NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4}, Method -> "MonteCarlo"]  Tổng (Tích) Sum/NSum (Product/NProduct) Sum[f, {i, imax}] Sum[f, {i, imin, imax},{j, jmin, jmax ,dj},] Sum[i^2,{i,1,n}] --> Sum[i^3,i] --> NSum[f, {i, imax, imax}] NSum[f, {i, imin, imax,di}] NSum[1/((k-20)^2+1),{k,0,∞}] --> 3.09286 NSumTerms (NProductFactors) -> 15 NSum[1/((k-20)^2+1),{k,0,∞}, NSumTerms -> 30] --> 3.10462  Khai triển chuỗi luỹ thừa Series[f, {x, x0, n}] Series[f, {x, x0, nx},{y, y0, ny},] Series[ Cos[x]/x,{x,0,10}] --> Normal[%] --> Assumptions Series[ArcCos[x],{x,1,1},Assumptions->(x > 1)] Series[ArcCos[x],{x,1,1}]  Hệ số của số hạng bậc n trong chuỗi luỹ thừa SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}] SeriesCoefficient[f, {x, x0, nx},{y, y0, ny},] Series[ Cos[x]/x,{x,0,10}] SeriesCoefficient[ Cos[x]/x,{x,0,9}] --> SeriesCoefficient[Cos[x]/x,{x,0,8}] --> ??? SeriesCoefficient[ Exp[-x],{x, 0, n}] --> Assumptions SeriesCoefficient[ Exp[-x],{x, 0, n}, Assumptions -> (n ≥ 0)]  Khai triển chuỗi Fourier FourierSeries[f, x, n}] FourierSeries[f, {x1, x2 , },{n1, n2, }] với FourierSeries[t/2, t, 3] FourierParameters {1,1} {1,-2π} {a, b}  Hệ số của số hạng bậc n trong chuỗi Fourier FourierCoefficient[f, x, n}] FourierCoefficient[f, {x1, x2 , },{n1, n2, }] FourierSeries[t/2, t, 3] FourierCoefficient[t/2, t, 2] --> FourierCoefficient[t/2, t, 3] --> ??? FourierParameters {1,1} --> {1,-2π} --> {a, b} -->  Giải phương trình /hệ phương trình - (bất phương trình) Solve[expr., vars, domain] domain : Reals, Integers, Complexes sol = Solve[a x2 + b x + c == 0, x] sol[[2]] --> x/.sol[[2]] -->  Hệ phương trình Solve[{expr1., expr1.,}, {var1, var2, }] Solve[{3x + 8y == 5, 5x + 2y == 7},{x,y}] sol2 = Solve[{x2 + y2 == 1, x + y == a}, {x, y}] sol2[[1]] --> ??? x/.sol2[[2]] --> ??? x/.sol2[[2, 1]] --> ??? Cách viết khác khi expr. có nhiều biểu thức logic Solve[x2 + y2 == 1 && x + y == a, {x, y}] sol3 = Solve[{2x+3y == 4,3x-4y ≤ 5,x-2y > -21} ,{x,y},Integers] x/.sol3 --> ???  Giải số các phương trình  NSolve[expr., vars, domain] domain : Reals sol = NSolve[x^3 - 2x + 3 == 0,x] sol = NSolve[x^3 - 2x + 3 == 0,x,Reals] --> ??? NSolve[x^2+y^2==1 && x^4+y^4==2 && Element[x,Reals],{x,y}] --> x : Reals ; y : Complex  FindRoot[{f1, f2}, {{x,x0},{y,y0}}]  FindRoot[f, {x, x0}] --> Phương pháp Newton  FindRoot[f, {x, x0, x1}] --> Phương pháp Secant  FindRoot[f, {x, x0, xmin, xmax}] Kết thúc tính toán khi giá trị x vượt ra ngoài khoảng Plot[Sin[x]+Exp[x],{x,-10,1}] FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,10}] --> {x -> -0.588533} FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,-10}] --> {x -> -9.4247} FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,-3,-4,-2}] --> {x -> -3.09636} 10 8 6 4 2 1 1 2 3 ContourPlot[{x == 2y + 3Cos[x],y == x-4}, {x,0,15},{y,-5,15}, Frame -> False, Axes -> True, LabelStyle -> Large, ContourStyle -> Thick] FindRoot[{x == 2y + 3 Cos[x],y == x-4},{x,6},{y,2}] --> {x -> 5.6256, y -> 1.6256} 2 4 6 8 10 12 14 5 5 10 15  Giải phương trình (hệ pt) vi phân  DSolve[eqn., y, x]  DSolve[{eqn1.,eqn2,}, {y1,y2,}, x]  DSolve[eqn., y, {x1,x2,}] DSolve[y'[x] + y[x] == a Sin[x], y[x], x]  Phương trình vi phân có điều kiện biên DSolve[{y'[x] + y[x] == a Sin[x], y[0]==0}, y[x], x]  Phương trình vi phân bậc 2 DSolve[y''[x] + 4y'[x] + 5y[x] == 0, y[x],x]  Phương trình vi phân phi tuyến DSolve[ y'[x] + x y'[x]^2 == 1, y[x], x]  Hệ phương trình vi phân DSolve[{y'[x]== x^2y[x],z'[x]==5z[x]}, {y[x],z[x]},x]  Hệ phương trình vi phân có điều kiện biên DSolve[{y'[x]-4z[x]==Cos[x], y[x]+z[x]==1/2, y[Pi/2]==1/2},{y[x],z[x]},x]  Đạo hàm riêng DSolve[3D[y[x1,x2],x1]+5D[y[x1,x2],x2]==x1 , y[x1,x2],{x1,x2}]  Đạo hàm riêng bậc 2 DSolve[3D[y[x1,x2],{x1,2}]-12D[y[x1,x2],{x2,2}]==1, y[x1,x2],{x1,x2}]  Đạo hàm riêng có điều kiện đầu DSolve[{2D[y[x1,x2],x1] + 7D[y[x1,x2],x2]==3, y[x1,0]==x1},y[x1,x2],{x1, x2}]  Giải số phương trình (hệ pt) vi phân  NDSolve[eqns., y, {x,xmin,xmax}]  NDSolve[eqns., y, {x,xmin,xmax},{t,tmin,tmax}]  NDSolve[eqns., {y1,y2}, {x,xmin,xmax}] Bắt buộc phải có điều kiện đầu hoặc điều kiện biên nsol = NDSolve[{y'[x]-y[x]Cos[x+y[x]]==0,y[0]==1} ,y,{x,0,30}] y -> InterpolatingFunction[{{0.,30.}},] Plot[y[x]/.nsol,{x,0,30}, PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick] Plot[y[x]/.nsol,{x,-10,10}] --> ??? 5 10 15 20 25 30 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  Phương trình vi phân bậc 2 NDSolve[{y''[x]+y[x]==0,y[0]==1,y'[0]==0},y,{x,10}]  Hệ phương trình vi phân NDSolve[{x'[t]==y[t], y'[t]==-x[t], x[0]==1,y[0]==0}, {x, y},{t,0,10}] x -> InterpolatingFunction[{{0.,10.}},] y -> InterpolatingFunction[{{0.,10.}},] Plot[???] Plot[???]  Phương trình đạo hàm riêng điều kiện biên: dsol = NDSolve[{D[u[t,x], t] == 0.5 D[u[t,x],x,x]+ u[t,x]D[u[t,x],x], u[t,-Pi] == u[t, Pi]==0, u[0,x] == Sin[x]}, u, {t,0,2},{x,-Pi, Pi}] u -> InterpolatingFunction[{{0.,2.},{-3.14,3.14}},] Plot3D[???]  Vector – Ma trận  Vector/mảng 1 chiều : v = {x, y, z} v[[2]] = ??? ; v + a = ??? v1={x1,y1,z1}; v2={x2,y2,z2}; v1*v2 --> {x1 x2,y1 y2,z1 z2}  Mảng 2 chiều/Ma trận : m = {{x1, y1},{x2,y2}}  MatrixForm m//MatrixForm m[[2,1]] = ???  Tích vô hướng a*b -->  Tích vector a.b -->  Table  Table[expr., {i,imax}]  Table[expr., {i,imin,imax}]  Table[expr., {i,imin,imax, di}]  Table[expr., {i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] Table[i^2, {i,10}] --> {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} Table[i+2 j,{i,4},{j,3}]//MatrixForm Table[ai,j,{i,2},{j,2}]//MatrixForm  Array  Array[f, n] --> f[i]  Array[f, {n1,n2}] --> f[i,j] Array[f,{3,2}] {{f[1,1],f[1,2]},{f[2,1],f[2,2]},{f[3,1],f[3,2]}} Table[???] Array[b##&, {3,3}] Table[???]  Các hàm liên quan đến ma trận  Dimensions[] --> kích thước của một ma trận Dimensions[A] --> {3,3} ; Dimensions[B] --> {?,?}  Inverse --> Nghịch đảo ma trận Inverse[A] --> A-1  Det --> Định thức Det[A] --> 21  Tr[list] --> Vết của một ma trận Tr[A] --> 13  Tr[list, f] --> Vết của ma trận tác dụng bởi hàm f Tr[A,Times] --> ??? Tr[A,List] --> {1,5,7}  MatrixPower[m, n] --> Luỹ thừa bậc n của ma trận m MatrixPower[A, 2] -->  Transpose[m] --> Ma trận chuyển vị Transpose[A] -->  Eigenvalues[m] --> liệt kê trị riêng của ma trận Eigenvalues[m] {0.656382, 0.0181093, 0.000509145}  Eigenvalues[m, k] --> chỉ in ra k trị riêng của ma trận Eigenvalues[m, 2] --> {0.656382, 0.0181093} Eigenvalues[m, -2] --> ???  Eigenvectors[m] --> liệt kê vector riêng của ma trận  Eigenvectors[m, k] --> chỉ in ra k vector riêng của ma trận Eigenvectors[m, 2] -->  Eigensystem[m] --> liệt kê trị riêng và vector riêng của ma trận Eigensystem[m] Trị riêng : Eigensystem[m][[1]] {0.656382, 0.0181093, 0.000509145} Vector riêng : Eigensystem[m][[2]]  Eigensystem[m, k] --> liệt kê k trị riêng và k vector riêng của ma trận Eigensystem[m, 1] {{0.656382},{{-0.703526,-0.549364,-0.450832}}}  DiagonalMatrix[list] Tạo ma trận với các phần tử của list sắp xếp trên đường chéo DiagonalMatrix[{a,b,c}] -->  DiagonalMatrix[list,k] Tạo ma trận với các phần tử của list sắp xếp trên đường chéo thứ k DiagonalMatrix[{a,b,c},2]  IdentityMatrix[n] --> Ma trận đơn vị bậc n IdentityMatrix[4] --> 2.4 Lập trình trên Mathematica  Định nghĩa hàm f[x_,y_,]:=(exprs.)  x, y : đối số hình thức  exprs. : liệt kê các biểu thức, các câu lệnh của Mathematica. f[x_]:= Sin[x] + Cos[x] f[a] --> f[Pi] --> ??? f[x]*Sin[x] --> f[a_,b_]:= x/.Solve[a x^4+ b x == 0,x] f[1,1] --> {-1., 0., 0.5+ i 0.866025, 0.5- i 0.866025} f[a_,b_,c_]:= x/.Solve[a x^2 + b x + c == 0,x] f[0] --> ??? f[0,1] --> ??? f[0,1,1] --> ???  Biến cục bộ f[x_,y_,]:=Module[{u,v,},expr1;expr2;]  u, v : biến cục bộ  exprs. : liệt kê các biểu thức, các câu lệnh của Mathematica. g[a_]:= Module[{b}, b = Sin[a]*Cos[a]; a2 b] g[x] --> g[b] --> ???  SetOptions SetOptions[function, option->value,] Plot[Sin[x],{x,0,30}, PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick] SetOptions[Plot,PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick] Plot[Sin[x],{x,0,30}]; Plot[Cos[x],{x,0,30}]  Cấu trúc lặp  Do[expr, {i,imax]  Do[expr, {i,imin,imax,di] t = 2; Do[t = t^2; Print[t] ,{3}] --> {4, 16, 256} t = 2; Do[Print[t]; t = t^2 ,{3}] --> ???  For[start, test, incr, body] t = 2; For[i=1, i<4, i++, t = t^2; Print[t]] --> {4, 16, 256}  While[test, body] t = 2; i = 1; While[i<4, t = t^2; Print[t];i++]  Nest[f, expr, n] Nest[(#^2)&, 2, 3] --> 256 Module[{x = 2}, Nest[(#^2)& , x, 3]]  Cấu trúc rẽ nhánh  If[condition, T, F]  If[condition, Then , Else] f[x_]:= If[x > 0, 1, -1] Điều kiện (Condition) f[x_/;x > 0]:= 1 f[x_]:= 1/;x > 0 f[x_/;x f[x_]:= -1/;x <= 0  Switch[expr.,form1, val1, form2, val2,] f[x_]:= Switch[Mod[x,3], 0, a, 1, b, 2, c] f[4] --> “b”  Which[test1, val1, test2, val2,] f[x_]:= Which[x > 0, 1, x <= 0, -1]  Piecewise[val1, cond1, val2, cond2, ] f[x_]:= Piecewise[{{1, x > 0},{-1, x < 0}}, -1] f[x_]:= Piecewise[{1, x > 0}, -1]  Các quy tắc thay thế  Quy tắc thay thế -> /.{var1 -> value1, var1 -> value2,} f[x_]:= a Sin[x] + b Cos[a x] f[t] --> f[t]/.a -> 1 -->  Quy tắc thay thế :> /.{var1 :> value1, var1 :> value2,} list = {t,t,t,t}/.t :> RandomReal[] {0.262002,0.18452,0.695246,0.302918} Bước 1 : thay thế {t,t,t,t} --> {RandomReal[],RandomReal[],RandomReal[],RandomReal[]} Bước 2 : tính các giá trị list[[1]] = 0.262002 list[[2]] = 0.18452  So sánh hai quy tắc {t,t,t,t}/.t -> RandomReal[] {0.640703, 0.640703, 0.640703, 0.640703} 2.5 Các gói chương trình chuyên dụng  Gọi package để sử dụng << PackageName` hoặc Get[PackageName`] Needs[“PackageName`”,“file”]  Package :  VectorAnalysis: <<VectorAnalysis` SetCoordinates[system[names]] system/names : Cartesian : Xx, Yy, Zz -> x, y, z Cylindrical: Rr, Ttheta, Zz -> r, θ, z Spherical : Rr, Ttheta, Pphi -> r, θ, ϕ Grad[f, coordsys] --> gradient Div[f, coordsys] --> divergence Curl[f, coordsys] --> curl/rot  Các toán tử dùng trong các hệ toạ độ trụ/cầu  Phương pháp biến thiên hằng số: << VariationalMethods` Phương trình Euler–Lagrange : EulerEquations[f, u[x],x] ele = EulerEquations[Sqrt[1+y'[x]^2],y[x],x] DSolve[ele,y[x],x] --> VariationalD[f, u[x],x] VariationalD[Sqrt[1+y'[x]^2],y[x],x]  Thư viện: Physics :