Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số - Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định

x(n). Ví dụ 3: Cho: ( ) ( )   z X z z a Hãy tìm x(n) với các miền hội tụ của X(z) trong hai trường hợp: a. Với   :   RC X z z a b. Với   :   RC X z z a Giải: a. Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận được : 1 1 ( ) ( ) (1 . )     z X z z a a z Vì   :   RC X z z a nên ( )x n là dãy nhân quả . Chia tử số cho đa thức mẫu số (1 + az-1) : 73 1 | 1 + az -1 _ 1 + az -1 1 - az -1 + a 2 z -2 - a 3 z -3 + a 4 z -4 - ...... - az -1 - az -1 - a 2 z -2 + a 2 z -2 + a 2 z -2 + a 3 z -3 - a 3 z -3 Tổng quát ta có: X(z) =   0 ( ) 2 n n n X z z      với z a Vậy ta thu được dãy x(n) như sau: ( ) ( ) ( )  nx n a u n với   :   RC X z z a b. Với   :   RC X z z a thì x(n) là dãy phản nhân quả Hàm X(z) phải là chuỗi luỹ thừa của nz . Chia tử số cho đa thức mẫu số (az-1 + 1) . 1 | az -1 + 1 _ 1 + a -1 z a -1 z - a -2 z 2 + a -3 z 3 - a -4 z 4 + ...... - a -1 z - a -1 z - a -2 z 2 + a -2 z 2 + a -2 z 2 + a -3 z 3 - a -3 z 3 - a -3 z 3 - a -4 z 4 + a -4 z 4 ................... Tổng quát ta có: Để có dạng của biến đổi Z với lũy thừa z-1, ta đổi biến số m = -n Ta có: 1 ( ) ( )       n n n X z a z Ta thu được dãy x(n) như sau:  ( ) ( ) 1 n x an u n    với   :   RC X z z a Từ ví dụ trên có các nhận xét sau: 1 ( ) ( )       m m m X z a z 74 - Cùng một hàm X(z) nhưng với hai miền hội tụ khác nhau sẽ nhận được hai hàm x(n) khác nhau, điều đó có nghĩa là quan hệ giữa hàm X(z) và hàm x(n) của biến đổi Z hai phía chỉ là đơn trị khi ứng với một miền hội tụ xác định. Vì thế, để tìm biến đổi Z ngược của biến đổi Z hai phía, cần phải biết miền hội tụ của hàm X(z). - Trong ví dụ, chuỗi lũy thừa biến đổi có quy luật nên tìm được biểu thức của số hạng tổng quát na và biểu thức của hàm x(n). Trong đa số các trường hợp, khi chia đa thức để khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, không thể tìm được quy luật biến đổi của chuỗi lũy thừa, nên chỉ tìm được giá trị một số mẫu của hàm x(n). Đó chính là nhược điểm cơ bản của phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, và vì thế phương pháp này ít được sử dụng. c. Phƣơng pháp khai triển thành phân thức tối giản Trong thực tế chúng ta thường sử dụng các biến đổi Z hữu tỷ và ta có thể viết biến đổi Z dưới dạng sau đây:        N z X z D z (2.29) Phương pháp này chính là việc tiến hành khai triển biến đổi Z này thành các phân thức tối giản sau đó tìm biến đổi Z ngược của các phân thức này, kết quả cuối cùng là tổng các biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản này. Giả sử N(z) là đa thức bậc M, D(z) là đa thức bậc N Nếu hàm X(z) có bậc của đa thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của đa thức ở tử N(z), tức là N > M thì nó được gọi là hàm X(z) dạng chính tắc. Trong trường hợp hàm X(z) có N  M thì nó là hàm dạng không chính tắc. Khi đó, bằng cách chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu hoặc bằng biến đổi toán học, sẽ nhận được hàm X(z) dạng:         ,( ) ( )    P z X z S z S z X z Q z (2.30) Trong đó X’(z) là hàm dạng chính tắc. Vì S(z) là đa thức lũy thừa của Z, nên có thể dễ dàng tìm được biến đổi Z ngược của nó: 0 ( ) [ ( )] ( ) M N r r Ss n IZT z s n r      (2.31) Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi Z ngược của hàm X(z) dạng chính tắc. Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc qua các cực điểm zpk: ( )1 2 0 1 2 1 2 ( ... ).( ) ( ) ( ) ( )( )....( )          M N M M Np p p b z b z b z b zN z X z D z z z z z z z (2.32) 75 Các cực điểm zpk của hàm X(z) có thể là các cực đơn (cực có giá trị khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa zpk có thể là các số thực hoặc số phức. Trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp X(z) có nghiệm đơn giản. - Trƣờng hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực Khi X(z) dạng chính tắc và có N cực đơn zpk là số thực (N cực thực đơn), thì có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức đơn giản dạng: 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )             N N N k k pk p p p AB z X z A D z z z AA A z z z z z z (2.33) Để xác định hệ số kA , nhân cả hai vế của (2.33) với (z - zpk ) : 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ... ... ( ) ( ) ( )              N N pk pk pk pk k p p p A z z A z z A z z X z z z A z z z z z z Tại z= zpk thì trừ Ak , còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên đều bằng không, do đó có: ( )( )     pkk pk z zA X z z z (2.34) Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z), tìm được dãy x(n) :   1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )                        N N k k k kpk pk A z x n IZT X z IZT A IZT z z z z z Ta thu được dãy x(n) như sau: ( 1) 1 1( ) ( ),    N n k pk k x n B z u n   : max       pkRC X z z z (2.35) Dãy (2.35) có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên, chia cả hai vế cho z và phân tích hàm : 0 ( ) ( ) ( ) ( )     N k k pk AX z N z z zD z z z Chỉ số k chạy từ 0, do z.D(z) = 0 có thêm một nghiệm zp0 = 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại z01 = 0 ). Ta được : 0 ( ) ( )    N k k pk z X z A z z Trong đó, các hệ số Ak được xác định theo biểu thức: ( ) ( )         pk k pk z z X z A z z z (2.36) Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z), ta tìm được dãy x(n) : 76   0 ( ) ( )              N k k pk z x n IZT X z IZT A z z với:   : max       pkRC X z z z , nhận được:   0 ( ) ( ) ( )    N n k pk k x n IZT X z A z u n (2.37) Ví dụ 4: Cho: 2 ( 5) ( ) (2 8 6)     z X z z z Hãy tìm x(n) bằng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản. Giải: Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc. Vì đa thức đặc trưng có 0 2 1 a nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm: 0 1 2 2 ( ) ( 5) ( 5) 2 ( 4 3) 2 ( 1)( 3) ( 1) ( 3)              AX z z z A A z z z z z z z z z z Theo (2.36), xác định được các hệ số 0A , 1A , và 2A : 0 00 5( ) 5 5 2 ( 1( 3) 2( 1)( 3) 6               z z z A A z z z 1 11 ( 5)( 1) (1 5) 6 3 2 ( 1)( 3) 2.1(1 3) 4 2                z z z A A z z z 2 23 3 1 ( 5)( 3) (3 5) 8 2 2 ( 1)( 3) 2.3.( ) 12 3               z z z A A z z z Vậy: ( ) 5 1 3 1 2 1 6 2 ( 1) 3 ( 3)      X z z z z z Suy ra: 5 3 2 ( ) 6 2 ( 1) 3 ( 3)      z z X z z z Vì dãy x(n) là nhân quả nên   : 3   RC X z z nên :   5 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 6 2 3     nx n IZT X z n u n u n - Trƣờng hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp 77 Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mất đi tính tổng quát, giả sử X(z) dạng chính tắc và có r cực thực đơn zpk , một cực thực bội zpq bậc q, một cặp cực phức liên hợp pez và * pez , khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức dạng: * * 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            oo qr k i i k ipe pe pk pq B CX z E E z z z z z z z z z (2.38) Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn Zpk là : 0 ( ) ( )    r b k k pk X z B z z z Thành phần ứng với cực thực bội zpq bậc q là : 1 ( ) ( )    q c i i i pq X z C z z z Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp pez và * pez là : * * ( ) ( ) ( )     oo e pe pe X z E E z z z z z Với   : max    pkRC X z z z , từ hàm Xb(z), nhận được thành phần xb(n): 0 ( ) [ ( )] ( )    N n b b k pk k x n IZT X z B z u n (2.39) Các hệ số iC ứng với cực thực bội zpq được xác định như sau: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )!           pq q i q i pqq i z z d X z C z z q i dz z (2.40) Với   :   c pqRC X z z z , từ hàm Xc(z) nhận được thành phần xc(n):     ( ) 1 1 ( 1)....( 1) ( ) . . ( ) ( )!            q n i c c i pq i n n n i x n IZT X z C z u n i (2.41) Các hệ số phức o E và * o E ứng với cặp cực phức liên hợp pez và * pez . Ta chỉ cần xác định o E theo biểu thức: ( ) ( )           e pe o j pe z z X z E z z Ee z Theo lý thuyết hàm biến số phức thì *( *) ( )f fz z , nên ta có : * *( ) ( ) *           e pe o j pe z z X z z z E Ee z 78 Do đó có: * ( ) ( ) ( )       e ej j e pe pe X z Ee Ee z z z z z Vậy: * ( ) ( ) ( )      e ej j e pe pe z z X z Ee Ee z z z z với   :   e peRC X z z z , từ hàm Xe(z) nhận được hàm gốc xe(n):   *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  e ej jn ne e pe pex n IZT X z Ee z u n Ee z u n   ( ) (| | . ) ( ) (| | . ) ( )  p pe e j jj jn n e pe pex n Ee z e u n Ee z e u n    .( ) | | ( ) ( . . )   e ez zj jjn jnne pex n E z u n e e e e    ( ) ( ) ( ) 2 | | ( ) 2          p e p ej n j n n e pe e e x n E z u n     (2.42) Vậy:  ( ) ( ) 2 | | ( ).cos( )  ne e pe p ex n IZT X z E z u n n  (2.43) Trong đó hệ số phức  e o j E Ee  Từ đó, theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   e b cx n IZT X z x n x n x n (2.44) Trong đó, xb(n) được xác định theo (2.39), xc(n) được xác định theo (2.41) và xe(n) được xác định theo (2.42). Ví dụ 5: Cho: 2 ( 2,5) ( ) (2 1)    z z X z z Hãy tìm x(n) bằng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản. Giải: Vì đa thức ở mẫu có 0 2 1a   nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm : 1 2 2 2 )) ( ) ( 2,5) 4( 0,5) ( 0,5 ( 0,5        X z z C C z z z z Trong đó các hệ số được xác định như sau: 2 1 0,5 0,5 ( ) ( 2,5) 1 ( 0,5) 4 4                 z z d X z d z C z dz z dz 2 2 0,5 0,5 ( ) ( 2,5) 0,5 2,5 1 ( 0,5) 4 4 2                    z z X z z C z z 79 Thay giá trị các hệ số trên vào biểu thức ta nhận được : 2 ( ) 1 1 1 1 4 ( 0,5) 2 ( 0,5)     X z z z z 2 0,5 ( ) 0,25 ( 0,5) ( 0,5)     zz X z z z Vì x(n) là dãy nhân quả nên với   : 0,5RC X z z       ( ) ( )( ) 0,25. 0,5 0,5  n n x n nn u n u Hay : ( ) 2 ( )(0,25 ) nx n u n n 2.3. Các tính chất của biến đổi Z 2.3.1. Tính chất tuyến tính Hàm biến đổi Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm biến đổi Z thành phần. Nếu :  ( ) ( )i iZT x n X z với   : | |     i i iRC X z R z R Thì : ( ) ( ) ( ) ( )          i i i i i i Y z ZT y n A x n A X z (2.45) Với:   : | |      y yRC Y z R z R Trong đó max[ ] y iR R và min[ ] y iR R Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm Xi(z). Ví dụ : Cho      2 ; 0n nx n a u n a u n a    Hãy xác định hàm X(z). Giải: Đặt    1 ; 0 nx n a u n a     2 2 ; 0 nx n a u n a   Ta có: 1( ) [ ( )]   n z z X z ZT a u n a với  1 :   RC X z z a và : 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )]    n z z a X z ZT a u n a với  2 :   RC X z z a Theo tính chất tuyến tính có : 80 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )       z a X z X z X z z a z z a 2 2 1 ( ) ( ) 1       z a z a X z az z z a z với   : 0   RC X z z Tổ hợp tuyến tính của X1(z) và X2(z) đã tạo cho X(z) điểm không z0 = a để loại trừ điểm cực zp = a của cả X1(z) và X2(z), do đó miền hội tụ của Y(z) được mở rộng. 2.3.2. Tính chất trễ Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì biến đổi Z của nó được nhân thêm thừa số Z-k. Nếu: [ ( )] ( )XZT x n z với   :       x xRC X z R z R Thì:  ( ) ( ) ( ) ( )    kY z ZT y n x n k z X z (2.46) Với           RC Y z RC X z , trừ điểm z = 0 nếu k > 0 và điểm z =  nếu k < 0 Ví dụ: Tìm biến đổi Z ngược : ( ) [ ( )] N X z ZT rect n Giải: Ta có: ( ) ( ) ( )   N Nrect n u n u n 1 [ ( )] ( ) z ZT u n z   với   : 1   RC X z z Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được : 1 1) ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ( N N N z z ZT rect n ZT u n ZT u n z z z        Vậy: ( 1) 1 1) ( ) [ ( )] ( N N N z ZT rect n z z    với   : 1   RC X z z 2.3.3. Nhân với dãy hàm mũ na Khi nhân dãy x(n) với thừa số an thì hàm biến đổi Z của nó bị thay đổi tỷ lệ (bị nén nếu a > 0, dãn nếu a < 0). Nếu: [ ( )] ( )XZT x n z với   : x xRC X z R z R      Thì: 1 ( )( ) [ ( ) ( )]nY Xz ZT y n a x n a z   (2.47) với:   :| | | | | |      x xRC Y z a R z a R Ví dụ: Cho các dãy sau đây: 81 a.    1 2 nx n u n b.    2 3 2 n nx n u n c.    3 1 2 3 n nx n u n        d.    4 2 1 j x n u n e          Tìm các biến đổi Z tương ứng. Giải: Trước tiên ta tìm X1(z) sau đó áp dụng tính chất nhân với dãy hàm mũ để tìm      2 3 4, vµ X z X z X z . a.    1 0 2 2n n n n n n X z u n z z          1 1 2 1 2 z z    zp1 = 2 b.  2 1 3 3 .2 3 2 3          z z X z X z z 6 6 z z z    zp2 = 6 c.  3 1 1/ 3 1/ 3 .2 1/ 3 2 1/ 3          z z X z X z z 3 2 3 2 3 z z z    1 2 3 pz  d.   24 1 1 2 j j z X z X X ze e                  2 2 2 2 2 j j j ze z e ze         hay 2z  82 21 2 j pz e   Nhận xét: - Nếu a là một số thực dương, việc đổi biến Z thành z a tương ứng với việc đưa gần vào gốc tọa độ (a 1) vị trí các điểm cực và các điểm không theo các đường bán kính. - Nếu a thuộc loại 0 j e  thì việc đổi biến Z thành z a tương ứng với việc quay đi một góc 0 vị trí các điểm cực và các điểm không theo vòng tròn có tâm là gốc tọa độ. - Ta có thể nói rằng việc nhân dãy đã cho với một dãy hàm mũ na cho phép thay đổi vị trí các điểm cực và các điểm không của biến đổi Z. 2.3.4. Đạo hàm của biến đổi Z Nếu: [ ( )] ( )XZT x n z với   :       x xRC X z R z R Thì:   ( ) ( ) ( ) . ( ) . X Y zd z ZT y n n x n z dz     (2.48) với:   :       x xRC Y z R z R Ví dụ: Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau : a. 1( ) . ( )x n n u n b. 2( ) . ( ) nx n n a u n Giải: a. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với 1( ) . ( )x n n u n nhận được : 2 1 1) [ . ( )] . ( d z z ZT n u n z dz z z         với : 1RC z b. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với 1( ) . ( )x n n u n , nhận được : 2 ) . [ . ( )] . ( ) ( n d z a zZT n a u n z dz z a z a          với : RC z a 2.3.5. Tích chập của hai dãy Hàm biến đổi Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm biến đổi Z thành phần. Nếu: 1 1[ ( )] ( )XZT x n z với  1 1 1:      RC X z R z R và : 2 2[ ( )] ( )XZT x n z với  2 2 2:      RC X z R z R 83 Thì :  1 2 1 2( ) ( ) ( )* ( ) ( ). ( )Y X Xz ZT y n x n x n z z   (2.49) với:   :max[ ] | | min[ ]      i iRC Y z R z R Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của các hàm Xi(z). Ví dụ: Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có đặc tính xung 22 1( ) ( ) nh n rect n  với kích thích vào là ( ) ( )x n u n . Giải: Theo biểu thức biến đổi Z thuận ta có :     3 2 1 1( ) 2 ( ). 2n n n n n n H z ZT h n rect n z z           Hay :     1 2 2 3 3( ) 2 2 2H z ZT h n z z z      Mặt khác: 1 ( ) [ ( )] ( )    z X z ZT u n z Do đó : 1 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) (2 2 2 ) ( )        z Y z X z H z z z z z 1 2 3( ) 2 4 9 ( 1) ( 1) ( 1)         z z z Y z z z z z z z Áp dụng các tính chất trễ, tuyến tính nhận được : ( ) [2 ( 1)] [4 ( 2)] [9 ( 3)]     Y z ZT u n ZT u n ZT u n Lấy biến đổi Z ngược tìm được đáp ứng ra y(n): ( ) [ ( )] 2 ( 1) 4 ( 2) 9 ( 3)      y n IZT Y z u n u n u n Hay : 0 víi 0 ( ) 2 víi 1 6 víi 2 n y n n n       Kết quả đúng như tính trực tiếp tích chập ở chương một. So với tính trực tiếp, tính tích chập qua biến đổi Z không những dễ thực hiện hơn, mà còn luôn luôn nhận được biểu thức toán học của y(n). 2.3.6. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả Nếu x(n) là dãy nhân quả và ( ) [ ( )] xX z ZT n Thì:    lim 0 z X z x   . Ví dụ: Cho: 84 a.   4 1 1 z X z z   b.   3 2 2 1 z X z z    Hãy tìm giá trị đầu của dãy x1(n) và x2(n). Giải: a.   4 1 1 z X z z     3 1 1 z z X z z     3 1lim lim 1 1z z z z X z z        Vậy ta thu được kết quả sau:  1 3 1x   và x1(n) = 0 với n < -3 b.     3 4 2 2 2 2 1 1 z z X z z X z z z        4 2 2 lim lim 2 1z z z z X z z      Kết quả ta có:  2 4 2x  và x2(n) = 0 với n < 4 2.3.7. Tích của hai dãy Nếu: 1 1[ ( )] ( )ZT x n X z với  1 1 1:      RC X z R z R và: 2 2[ ( )] ( )ZT x n X z với  2 2 2:      RC X z R z R Thì:   11 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).             Ñ C X X z Y z ZT y n x n x n d j (2.50) với:      : max min      i iRC Y z R z R Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z). Đường cong kín C của tích phân phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức. 2.3.8. Tƣơng quan của hai tín hiệu Nếu: [ ( )] ( )ZT x n X z và [ ( )] ( )ZT y n Y z Thì: 1( ) [ ( )] ( ) ( ) xy xyR z ZT r m X z Y z (2.51) 85 Biến đổi Z của hàm tự tƣơng quan rx(m) Nếu: [ ( )] ( )ZT x n X z Thì: 1( ) [ ( )] ( ) ( ) x xR z ZT r m X z X z (2.52) 2.4. Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc 2.4.1. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc Chúng ta biết rằng trong miền n, một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) của nó hoặc đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, nhưng việc phân tích hệ thống nhiều khi gặp phải bất tiện như là tích chập, cách giải phương trình sai phân, xét độ ổn định. Để giải quyết những khó khăn trong miền n chúng ta sẽ chuyển cách biểu diễn hệ thống sang miền Z, cụ thể ta đưa ra khái niệm hàm truyền đạt hệ thống. a. Định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi Z của đáp ứng xung và được ký hiệu là H(z):   [ ( )]H z ZT h n       Y z H z X z  Trong miền thời gian rời rạc n ta có quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện qua phép chập: Đáp ứng ra y(n) của hệ thống rời rạc được tính theo tích chập ( )y n x(n)* h(n) . Ta có thể tìm được : ( ) [ ( )]X z ZT x n và ( ) [ ( )]H z ZT h n Theo tính chất tích chập của biến đổi Z có : ( ) [ ( ) ( )* ( )] ( ) ( )  Y z ZT y n x n h n X z H z Từ đó suy ra : ( ) ( ) ( )  Y z H z X z Trong miền Z tích chập đã được chuyển thành phép nhân đại số thông thường, đây chính là một trong những ưu điểm của biến đổi Z. Lấy biến đổi Z ngược hàm truyền đạt H(z) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả, nhận được đặc tính xung h(n) của hệ thống:  ( ) ( )h n IZT H z h(n) x(n) y(n) H(z) X(z) Y(z) 86 Trong miền Z quan hệ vào ra của hệ thống được thực hiện nhờ phép nhân đại số thông thường thay thế cho phép tích chập, điều này dẫn đến hiệu năng tính toán cao. H(z): Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi Z của đáp ứng xung hay nó còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Z của tín hiệu ra trên biến đổi Z của tín hiệu vào. H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền Z có vai trò tương tự như đáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc. b. Xác định hàm truyền đạt H(z) của một hệ thống rời rạc từ phƣơng trình sai phân Xét hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả được mô tả bằng phương trình sai phân tổng quát bậc N : 0 0 ( ) ( ) N M k r k r ra y n k b x n       Lấy ZT hai vế: 0 0 ( ) ( ) N M k r k r ZT a y n k ZT b x n r                   Theo tính chất tuyến tính và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được : 0 0 ( ) ( ) N M k r k r k r Y Xa z z b z z      Suy ra: ( ) ( )0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( )                M M M N M N N N r r r r r r k k k k k k b z b z Y z H z z X z a z a z (2.53) Nếu a0 = 1 sẽ được: 0 1 ( ) ( ) ( ) 1          M N r r r k k k b z Y z H z X z a z (2.54) c. Biểu diễn hàm truyền đạt H(z) bằng các điểm cực và điểm không Cũng giống như tín hiệu rời rạc, hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc có thể được biểu diễn bằng các điểm cực và các điểm không của nó như sau: 1 0 1 1 1 (1 ) ( ) (1 ) M k N pk k z z H z c z z          (2.55) 87 0 1 1 (1 ) (1 ) M N M k N pk k z cz z         (2.56) Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có phương trình sai phân : 2 ( ) 4 ( 1) 2 ( 2) ( ) 3 ( 1)      y n y n y n x n x n Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) và đặc tính xung h(n) của hệ thống. Giải: Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên: 1 2 12 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )     z z zY z Y z Y z X z X z Hay : 1 2 1( )(2 4 2 ) ( )(1 3 )     z z zY z X z 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ( ) (1 3 ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) (2 4 2 ) 2 ( 2 ) 2( 2 )                   z z z z z z z Y z z z H z X z z z z Vậy hàm truyền đạt là : 2 2 1 ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) 2( 2 ) 2( 1)        z z z Y z z z H z X z z z Lấy biến đổi Z ngược hàm truyền đạt H(z), tìm được đặc tính xung h(n):   2 ( 3) ( ) 2( 1)           z z h n IZT H z IZT z với   : 1   RC H z z Để tìm h(n), phân tích hàm: 1 2 2 2 3(( ) ) 2( 1) ( 1) ( 1)        zH z C C z z z z Trong đó : 2 2 22 1 ) ) ) ( 3 ( 1 1 3 1 2( 1 2          z z z C C z 2 1 12 1 ) ) ) ( 3 ( 1 1 2( 1 2          z d z z C C dz z Vậy: 2 2 ( 3( ) ) 1 1 2( 1) 2( 1) ( 1)        zH z z z z z 2 1 ( ) 2 ( 1) ( 1)      z z H z z z Với:   :| | 1RC H z , ( ) 0,5 ( ) ( )h n u n nu n  . Hay: ( ) (0,5 ) ( )h n n u n  2.4.2. Phân tích hệ thống trong miền Z a. Các phần tử thực hiện hệ thống 88 Trong chương 1 chúng ta đã trình bày cách biểu diễn các phần tử thực hiện trong miền n. Từ cách biểu diễn này, lấy biến đổi Z đầu vào và đầu ra của các phần tử thực hiện, ta sẽ có cách biểu diễn trong miền Z như sau: - Phần tử cộng Gọi xi(n) là các đầu vào, y(n) là các đầu ra, ta có quan hệ sau:   1 ( ) M i i y n x n   Lấy biến đổi Z ta có:     1 M i i ZT y n ZT x n                 1 M i i Y z X z    Phần tử cộng trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh Xi(z) và được ký hiệu như trên hình 2.11 X1(z) Y(z ) X2(z) Xi(z) Y(z ) X2(z) XM(z) X1(z) a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. 1 ( ) ( )   M i i Y z X z Hình 2. 11. Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z. - Phần tử trễ đơn vị Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì : 1( ) [ ( 1)] ( )  Y z ZT x n z X z do đó phần tử trễ đơn vị trong miền Z có hàm truyền đạt 1( )H z z và nó được ký hiệu như trên hình 2.12. Hình 2. 12. Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền Z - Phần tử nhân với hằng số Gọi x(n) là đầu vào, y(n) là các đầu ra, ta có quan hệ sau:  ( )y n ax n Lấy biến đổi Z ta có:    ZT y n ZT ax n        X(z) Y(z) 1 z  89    Y z aX z  Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm X(z) với hằng số a, nó được ký hiệu như trên hình 2.13. Hình 2. 13. Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền Z Ví dụ 1: Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ thống số có quan hệ vào ra : ( ) 2 ( ) 3 ( 1) 0,5 ( 1)    y x x yn n n n Giải: Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được : 1 1( ) 2 ( ) 3 ( ) 0,5 ( )   X XY z z z z z Y z Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.14. X(z) Y(z) 3 2 - 0,5 1 z 1 z Hình 2. 14. Sơ đồ cấu trúc của hệ thống của ví dụ 1. b. Phân tích hệ thống rời rạc Một hệ thống số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối gồm nhiều khối liên kết với nhau, trong đó mỗi khối được đặc trưng bằng hàm truyền đạt Hi(z). Khi đã biết sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối và các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần, có thể xác định được hàm truyền đạt H(z) của cả hệ. Việc phân tích hệ thống rời rạc dựa trên nguyên tắc chung sau đây: - Phân tích hệ thống tổng quát thành các hệ thống nhỏ hơn (hay những khối nhỏ hơn). - Tìm quan hệ ghép nối giữa những khối nhỏ hơn này. - Tìm hàm truyền đạt Hi(z) của từng khối nhỏ này. - Ghép các hàm truyền đạt Hi(z) của những khối nhỏ đã tìm thấy theo quy luật phân tích ở trên. Cách mắc sơ đồ hệ thống trong miền Z: - Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết nối tiếp Xét hệ thống số gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.15. Khi đó đáp ứng ra của hệ sẽ được xác định theo biểu thức : X(z) Y(z) a 90 1 2( ) ( ) ( ) ( )...... ( ) ( ) ( ) mY z X z H z H z H z X z H z Từ đó suy ra: 1 ( ) ( )   m i i H z H z (2.57) Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần Hình 2. 15. Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp. - Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết song song Xét hệ thống số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.16. X(z) Y(z) H1 (z) H2 (z) Hm(z) Hình 2. 16. Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết song song. Khi đó đáp ứng ra của hệ sẽ được xác định theo biểu thức : 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )    mY z X z H z X z H z X z H z Hay :  1 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )    mY z X z H z H z H z X z H z Từ đó suy ra: 1 ( ) ( )   m i i H z H z (2.58) Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần. - Hàm truyền đạt H(z) của vòng phản hồi Xét hệ thống số có vòng phản hồi trên hình 2.17, theo sơ đồ khối có : 2 2( ) ( ) ( )X z Y z H z và : 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( )   X z X z X z X z Y z H z  1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  Y z X z H z X z Y z H z H z X(z) Y(z) H1(z) H2(z) Hm(z) 91 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y z X z H z Y z H z H z  1 2 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )  XY z H z H z z H z Từ đó suy ra 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )    Y z H z H z X z H z H z (2.59) X(z) Y(z) H1 (z) H2 (z) X2 (z) X1 (z) Hình 2. 17. Sơ đồ khối của vòng phản hồi. Ví dụ 2: Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.18. 1z 2 1z -3 X z Y z 1z1z 1z 1z 5 Hình 2. 18. Sơ đồ cấu trúc của hệ thống số của ví dụ 2. Giải: Để tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống số đã cho, có thể thực hiện theo thứ tự: Đầu tiên tìm hàm truyền đạt của các khối liên kết nối tiếp, song song và hàm truyền đạt của các vòng phản hồi chỉ bao một khối, từ đó rút gọn dần sơ đồ khối của hệ về còn một khối, hàm truyền đạt của khối đó chính là hàm truyền đạt H(z) cần tìm. Tuy nhiên, có thể tìm được hàm truyền đạt H(z) của hệ đã cho nhanh hơn bằng cách chuyển tất cả các vòng phản hồi về chung một nút cộng như trên hình 2.19, sau đó mới thực hiện các bước rút gọn. Sau khi xác định hàm truyền đạt của các khối liên kết nối tiếp và song song trong sơ đồ khối hình 2.19, rút gọn sơ đồ về dạng hình 2.19, với H2(z) là hàm truyền đạt của các khối phản hồi liên kết song song : 1 1 1 1 2 2( ) 5 3 3 5 9          H z z z z z z z z 92 15 z 2 13 z X z Y z 1z  1z  z 13z 13z Hình 2. 19. Sau khi đưa các vòng phản hồi về một khâu cộng. X(z) Y(z) H2 (z) 2z 13z Hình 2. 20. Sau khi tính hàm truyền đạt các khối nối tiếp và song song. Tìm tiếp hàm truyền đạt của vòng phản hồi trên sơ đồ hình 2.20 : 2 2 2 3 2 2 1 2 4 3 2 z z z ( ) 1 z ( ) 1 z ( 5 9 ) z z 5 9                 H z H z z z z z Rút gọn được sơ đồ khối về dạng như trên hình 2.21. Tính hàm truyền đạt của hai khối liên kết nối tiếp, nhận được hàm truyền đạt H(z) của hệ thống số đã cho : 1 3 4 3 3 ( ) 3 ( ) z z 5 9      z H z z H z z Hình 2. 21. Sau khi tính hàm truyền đạt khâu phản hồi và hai khối liên kết nối tiếp, nhận được H(z). Ví dụ 3: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ chi tiết như hình dưới đây: X(z) Y(z) X1 (z)  1z  Hình 2. 22. Sơ đồ hệ thống trong ví dụ 3 Giải: Đặt thêm biến phụ X1(z), sau đó tìm quan hệ giữa Y(z) và X(z) X(z) 13 z Y(z) H3(z) X(z) Y(z) H(z) 93                 1 1 1 1 1 1 1 11 X z X z z X z Y z X z z X z z X z           Từ đây ta có:                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 X z X z z z Y z X z z Y z z H z X z z z h n IZT H z IZT z                               1 1 1 1 1 1 1 z IZT IZT z z z z IZT IZT z z z                                     1( ) 1n nh n u n u n      2.4.3. Độ ổn định của hệ thống a. Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo H(z) - Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt của hệ thống. Sau đây, chúng ta xét kỹ tính ổn định của các hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả. Đối với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả thì hàm truyền đạt H(z) phải có miền hội tụ nằm ngoài vòng tròn bán kính Rh- Còn đối với hệ thống ổn định thì miền hội tụ của hàm truyền đạt H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị. Vậy đối với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định thì hàm truyền đạt H(z) phải có miền hội tụ như sau: RC[H(z)] : |z| > Rh- Rh- <1 (2.60) Mà chúng ta biết rằng miền hội tụ của hàm truyền đạt H(z) không chứa bất cứ điểm cực nào của H(z). Từ đây có phát biểu về điều kiện ổn định của một hệ thống bất biến nhân quả như sau: - Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị. 94 Im[z] Re[z] x R  1z  1z  Im[z] Re[z] x R  a. | | 1  xR z , hệ ổn định b. | | 1  xR z , hệ không ổn định Hình 2. 23. Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo H(z). Ví dụ 1: Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt: 2 2 ( ) (2 4 1,5) 2( 2 0,75) 2( 1,5)( 0,5)          z z z H z z z z z z z Giải: Vì H(z) có hai cực đơn là 13  z và 2 0,5pz , trong đó 1 1,5 1pz   , nên hệ đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn định. Tuy nhiên, với kích thích vào ( ) ( ) 1,5 ( 1)  x n u n u n thì hệ đã cho sẽ ổn định. Thật vậy:   1,5 1,5 1 1 1 z z X z z z z        Đáp ứng ra : ( 1,5) ( ) ( ) ( ) . ( 1) 2( 1,5)( 0,5) 0,5 ( 1)( 0,5)          z z Y z X z H z z z z z z z Để tìm đáp ứng ra y(n) của hệ, phân tích hàm : 1 2( ) 1 1 ( 1) ( 0,5) ( 1) ( 0,5)         Y z A A z z z z z Vậy :       1 0,5 z z Y z X z H z z z      Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả nên với   : 1   RC Y z z , ta nhận được:   0( ) ( )( ) 0,5 ( ) ( )      n pu n u ny n IZT Y z y n y n Thành phần 1z  0 khi n   , vì thế hệ đã cho ổn định, mặc dù nó không thỏa mãn điều kiện ổn định. Nguyên nhân là không điểm 0 1,5z  của kích thích vào 95 X(z) đã loại trừ cực điểm 1 1,5 p z  của hàm truyền đạt H(z), làm cho y0(n) không còn thành phần mất ổn định ứng với ( )1,5 n u n . Muốn xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo điều kiện ổn định phải giải phương trình đặc trưng D(z) = 0 để tìm tất cả các cực điểm của hàm truyền đạt H(z). Giải các phương trình có bậc lớn hơn 3 là phức tạp, vì thế người ta xây dựng các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả mà không cần giải phương trình D(z) = 0 . b Tiêu chuẩn ổn định Jury Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo các hệ số của phương trình đặc trưng D(z) = 0. Xét phương trình D(z) = 0 dưới dạng lũy thừa của 1z : 1 2 ( 1) 1 2 11( ) ...... 0             N N N N D z a z a z a z a z (2.61) Hay dưới dạng lũy thừa của 1z : 1 2 1 1 2 1( ) ...... 0          N N N N ND z z a z a z a z a z (2.62) Các phương trình có bậc N và hệ số a0 = 1 Sử dụng các hệ số a0  aN của phương trình, lập được bảng Jury gồm (2N –3) hàng như sau: Bảng Jury Hàng Hệ số 1 1 a1 a2 aN-2 aN-1 aN 2 aN aN-1 aN-2 a2 a1 1 3 c0 c1 c2 cN-2 cN-1 4 cN-1 cN-2 cN-3 c1 c0 5 d0 d1 d2 dN-2 6 dN-2 dN-3 dN-4 d0 2N- 3 r0 r1 r2 Trong đó các phần tử ci , di trên các hàng 2, 3 của bảng Jury được tính theo định thức của các ma trận như sau : ).( 1 ii i i i NN N N aaa aa a c    với i = 0 , 1 , 2 , , (N-1) )..( 110 1 10 ii i i i NN N N cccc cc cc d     với i = 0 , 1 , 2 , , (N-1) ..................................... 96 Mỗi hàng tiếp theo của bảng Jury sẽ có số phần tử giảm đi 1 và được tính tương tự cho đến hàng thứ (2N – 3) chỉ còn 3 phần tử r0 , r1 , r2 thì ta dừng lại . Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau : Phương trình D(z) = 0 sẽ có tất cả các nghiệm nằm trong vòng tròn đơn vị |z|=1 nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện sau : 1. Giá trị đa thức 1( ) 0 zD z 2. Giá trị đa thức 1z Nếu N chẵn. hoặc 1( ) 0 zD z Nếu N lẻ. 3. Các phần tử ở đầu và cuối mỗi hàng của bảng Jury thỏa mãn : 0 1| |Na a  1 0| | | |Nc c  2 0| | | |Nd d  .................... 2 0| | | |r r Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có phương trình đặc trưng không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury thì không thỏa mãn điều kiện ổn định. Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt : 2 ( ) (2 4 1,5)    z H z z z Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng (với a0 = 1) : 2( ) 2 0,75 0   D z z z Vì D(z) có bậc N = 2 là số chẵn, nên bảng Jury chỉ có một hàng theo các hệ số của D(z). Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury : 1. 1( ) 1 2 0,75 0,25 0      zD z ; không thỏa mãn. 2. 1( ) 1 2 0,75 3,75 0     zD z ; thỏa mãn. 3. 2| | 0,75 1 a ; thoả mãn. Hệ xử lý số đã cho không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury, nên không thỏa mãn điều kiện ổn định. Ví dụ 3: Xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt : 97 1 2 3 4 1 ( ) 4 3 2         H z z z z z Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng, với a0 = 1: 1 2 3 4 3 1 1 1 ( ) 1 0 4 2 4 4         D z z z z z Vì D(z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là ai, ci , di , trong đó các phần tử ai là hệ số của D(z) : 0 1a ; 1 3 4 a ; 2 1 2 a ; 3 1 4 a ; 4 1 4 a Tính các phần tử của hàng thứ hai c0 , c1 , c2 , c3 : 0 4 4 1 1 15 1 1 . 4 4 16 c a a     1 1 4 3 3 1 1 11 . . 4 4 4 16 c a a a     2 2 4 2 1 1 1 6 . . 2 4 2 16 c a a a     3 3 4 1 1 1 3 1 . . 4 4 4 16 c a a a     Tính các phần tử của hàng thứ ba d0 , d1 , d2 : 256 224 16 1 16 1 16 15 16 15 ... 33000  ccccd 256 159 16 6 16 1 16 11 16 15 ... 23101  ccccd 256 79 16 11 16 1 16 6 16 15 ... 13202  ccccd Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury : 1. 1 3 1 1 1 11 ( ) 1 0 4 2 4 4 4z D z         ; thỏa mãn. 2. 1 3 1 1 1 3 ( ) 1 0 4 2 4 4 4z D z         ; thỏa mãn. 3. 4 1 | | 1 4 a   ; thỏa mãn. 3 0 1 15 | | | | 16 16 c c   ; thỏa mãn. 2 0 79 224 | | | | 256 256 d d   ; thoả mãn. 98 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả đã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định. 2.4.4. Giải phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dùng biến đổi Z Để tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z sẽ dễ hơn giải trực tiếp. Các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), .... của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng chính là giá trị khởi tạo của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả. Khi kích thích vào vào hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả là dãy nhân quả x(n), thì đáp ứng ra y(n) cũng là dãy nhân quả. Tuy nhiên, nếu hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả có các giá trị khởi tạo y(-1), y(-2), .... khác không, thì trên thực tế đáp ứng ra y(n) là dãy không nhân quả. Vì thế, để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z , phải dùng biến đổi Z một phía. Để giản tiện, khi giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z , có thể dùng ký hiệu của biến đổi Z hai phía, nhưng phải sử dụng tính chất trễ của biến đổi Z một phía. Xét hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát bậc N : 0 0 ( ) ( ) N M k r k r a y n k b x n r       Với kích thích vào x(n) là dãy không nhân quả, và các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), .... , y(-N) khác không. Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân, theo các tính chất tuyến tính và trễ của biến đổi Z một phía nhận được : ( ) ( ) 0 1 0 1 ( ) ( ). ( ) ( ).                            N Mk r k i k r i r k r k i r i Y z a z y i z X z b z x i z Vậy: ( ) ( ) 0 1 0 1 0 ( ) ( ). ( ). ( )                       M N N r k r i r i k r r i k i k k k X z b z x i z y i z Y z a z (2.63) Đáp ứng ra của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả: 1 2( ) 1 1 ( 1) ( 0,5) ( 1) ( 0,5)         Y z A A z z z z z Trên thực tế thường gặp trường hợp hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả có điều kiện khởi tạo bằng không y(-1) = y(-2) = .... = y(-N) = 0 , và kích thích vào x(n) là dãy nhân quả, x(-i) = 0 với mọi i > 0 , khi đó biểu thức có dạng : 99 0 0 ( ) ( )      N M k r k r k r Y z a z X z b z Vậy: 0 0 ( ) ( ). ( ) ( )         M N r r r k k k b z Y z X z X z H z a z Đáp ứng ra ( )y n của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả là tổng của hai thành phần  0y n và  py n :   0( ) ( )( ) 0,5 ( ) ( )       n pu n u ny n IZT Y z y n y n Trong đó, yp(n) phụ thuộc vào các cực của hàm kích thích vào X(z), tức là phụ thuộc vào dạng của kích thích vào x(n). y0(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z), chính là phụ thuộc vào các hệ số ar ở vế trái của phương trình sai phân. Như vậy, y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả. Theo dạng của y0(n), có thể xác định được tính ổn định của hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả. Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân:        3 1 2 2y n y n y n x n     Với    23nx n u n và các điều kiện ban đầu    1 2 0y y    Hãy cho biết tính ổn định của hệ thống. Giải: Đây là hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả có điều kiện khởi tạo bằng không và kích thích vào x(n) là dãy nhân quả: )())(( 21 231 zzzz XY   Vì có:           2 2 3 3 3 9 3 n n z X z ZT u n ZT u n z           Nên : 2 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 3 2 9( 3) ( 3 2)          X z z z Y z X z H z z z z z z Hay : ))()(())(( )( 32192339 3 2 3     zzz z zzz z zY Trong đó các cực zp1 = 1 và zp2 = 2 là của hàm hệ thống H(z) vì chúng là nghiệm của phương trình 023 2  zz , còn cực zp3 = 3 là của kích thích vào X(z). Để tìm đáp ứng ra y(n), phân tích hàm : 100 )()()())()(( )( 3213219 321 2         zzzzzz z z z BBBY Trong đó: 18 1 21319 1 11239 1 ))(())()(( )( 2 1 2 1      BB zzzz zz 9 4 12329 2 21239 2 ))(())()(( )( 2 2 2 2      BB zzzz zz 2 1 13239 3 31239 3 ))(())()(( )( 2 3 2 3      BB zzzz zz Vậy )()()( )( 3 1 2 1 2 1 9 4 1 1 81 1       zzzz zY Suy ra : )()()( )( 32 1 29 4 181 1       z z z z z z zY Với 3[ ||:)]( zzYRC ta xác định được:            0 1 4 1 2 3 18 9 2 n n p y n u n u n u n y n y n     y0(n) phụ thuộc vào các cực zp1 = 1 và zp2 = 2 của H(z) :       2 0 1 2 18 9 n y n u n         yp(n) phụ thuộc vào cực zp3 = 3 của kích thích vào X(z):     3 2 n p y n u n Thành phần yp(n) có dạng giống kích thích vào x(n). Vì hàm hệ thống H(z) có các cực với |zpk| 1 nên y0(n)   khi n   , hệ thống đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn định. Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sai phân sau:        3 1 2 2y n y n y n x n     Với:      2 4 1 3 , 2 ; 1 9 3       nx n y y Giải: Đây là hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả có điều kiện khởi tạo khác không và kích thích vào x(n) là dãy nhân quả, nên:              1 2 13 1 2 2Y z z Y z y z Y z z Y z y X z                101 Thay điều kiện đầu:     4 1 2 ; 1 9 3 y y      Ta có:     1 2 1 2 8 1 3 2 1 3 9        Y z z z z X z   2 1 1 1 3 1 3 9 3     z X z z z Biến đổi tiếp:       2 1 2 2 1 1 2 3 9 9 3 3 z z z z Y z z z z z z          Vậy:     1 3 z Y z z z    Để tìm y(n) ta phải tìm IZT[Y(z)], ta dùng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản:   1 2 1 3 y z A A z z z     A1 = -0,5 ; A2 = 0,5 Ta suy ra được y(n) như sau:          0,5.1 0,5.3 0,5 3 1n n ny n u n u n u n     Các bảng tóm tắt của chƣơng 2 Bảng 2.1: Miền hội tụ của biến đổi Z Loại dãy Dãy hữu hạn Dãy vô hạn x(n)N RC[X(z)] x(n) RC[X(z)] Nhân quả n[n1, n2] , n1 0 |z|> 0 n[n1, ] , n1 0 |z|> Rx- Phản nhân quả n[n1, n2] , n2 0 |z|<  n[-, n2] , n2 0 |z|< Rx+ Không nhân quả n[n1, n2] , n10 , n2 0 0<|z|< n[-, ] Rx- <|z|< Rx+ n[n1, ] , n1< 0 Rx- <|z|<  n[-, n2], n2> 0 0 <|z|< Rx+ 102 Bảng 2.2: Biến đổi Z của các dãy nhân quả thường gặp Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ ( )n 1 Toàn bộ mặt phẳng Z ( )n k  kz | | 0z (với k > 0) ( )u n 1 ) ) 1 ( 1 (1     z z z | | 1z ( )u n k ( 1) 1 ) ) 1 ( 1 (1       k k z z z z | | 1z ( ) N rect n ( 1) 1 ) ) 1 1 ( 1 (1        N N N z z z z z | | 1z ( )na u n 1 ) ) 1 ( (1 .     z z a a z | | | |z a . ( )n u n 1 2 1 2 ) )( 1 (1      z z z z | | 1z ( )nna u n 1 2 1 2 ) ) . . ( (1 .      a z a z z a a z | | | |z a 0( ).cos( )u n n 0 2 0 ( cos cos ) ( 2 1      z z z z | | 1z 0( ).sin( )u n n 0 2 0 sin cos )( 2 1    z z z | | 1z 0( ).cos( ) na u n n 02 2 0 ( cos cos ) ( 2 )      z z a z az a | | | |z a 0( ).sin( ) na u n n 02 2 0 sin cos )( 2    za z az a | | | |z a 2 2( 2 . )  z z a z b với 2 2a b   2 2 ( ) .sin . ( ) n p b u n n b a  2 2( )         p b a arctg a  | | | |z b 103 Bảng 2.3: Biến đổi Z của một số dãy phản nhân quả. Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ ( )kn  kz | |z   (với k > 0) ( )u n 1 1 ) ) 1 ( 1 (1      z z z | | 1z ( )na u n  1 1 ) ) 1 ( (1 .      z z a a z 1 | | | | z a ( )na u n 1 1 ) ( ) . ( . 1      z a z a a z a | | | |z a . ( )n u n  1 1 2 2 ) )( 1 (1      z z z z | | 1z . ( )nn a u n  1 1 2 2 ) ) . . ( (1 .      a z a z z a a z | | | |z a 0( ).cos( )u n n 0 2 0 (1 cos cos ) ) ( 2 1      z z z | | 1z 0( ).sin( )u n n 0 2 0 sin cos )( 2 1      z z z | | 1z 0( ).cos( ) na u n n  02 2 0 (1 . cos . cos ) ( 2 )      a z az z a | | | |z a 0( ).sin( ) na u n n  02 2 0 . sin . cos )( 2      a z az z a | | | |z a 104 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 Bài 2.1 Xác định biến đổi Z của các dãy hữu hạn sau: a.  1 1 2 5 7 0 1        x n b.  2 1 2 5 7 0 1        x n c.  3 0 0 1 2 5 7 0 1        x n b.  4 2 4 5 7 0 1        x n Bài 2.2 Xác định biến đổi Z của các dãy hữu hạn sau: a.    1 , 0  x n n k k b.    2 , 0  x n n k k Bài 2.3 Xác định biến đổi Z của dãy hữu hạn sau:     0 0 <0 n n a nx n u n n        Bài 2.4 Xác định biến đổi Z của dãy hữu hạn sau:        3 2 4 3n nx n u n    Xác định X(z). Bài 2.5 Xác định biến đổi Z của tín hiệu:   1 0 1 0 n N x n       Bài 2.6 Cho:   1 3 z X z z   Xác định x(n) bằng phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa. 105 Bài 2.7 Cho hệ thống có hàm truyền đạt như sau:    2 3 1 1 2 z H z z z z           Xác định điểm cực điêm không hệ thống và biểu diễn chúng trên mặt phẳng Z. Bài 2.8 Cho hệ thống có hàm truyền đạt như sau:    2 3 1 1 4 H z z z z          Xét sự ổn định của hệ thống. Bài 2.9 Cho:   2 2 2 7 3 z X z z z     Xác định x(n) bằng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản. Bài 2.10 Cho hệ thồng có hàm truyền đạt:   2 2 3 5 1 6 6 z H z z z     a. Xác định điểm cực, điểm không của hệ thống. b. Xác định sự ổn định của hệ thống. c. Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống. Bài 2.11 Cho hệ thống có hàm truyền đạt:   22 3 1 z H z z z    a. Xác định sự ổn định của hệ thống. b. Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống. c. Tìm đáp ứng xung h(n) trong trường hợp   2006 22 3 1    z H z z z Bài 2.12 Cho sơ đồ hệ thống như hình BT 2.12: 106 1z 2 3 1z 4 X z Y z 1z 11H z 12H z 2H z 1H z Hình BT 2.12 Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) Bài 2.13 Cho hàm truyền đạt của hệ thống như sau:   1 2 3 4 1 4 3 2z H z z z z         Hãy xét sự ổn định của hệ thống. Bài 2.14 Cho hàm truyền đạt của hệ thống như sau: 1 2 3 1 2 3 2 3 ( ) 1 1 1 1 2 3 4             z z z H z z z z a. Viết phương trình sai phân mô tả hệ thống. b. Dùng tiêu chuẩn Jury để xét sự ổn định của hệ thống. c. Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống trong miền n. Bài 2.15 Cho hệ thống được mô tả bởi sơ đồ sau: Hình BT. 2.15 Biết ( ) 0 y n  với 0n và kích thích vào ( ) 4 ( )nx n u n . Tìm đáp ứng đầu ra ( )y n thông qua phép biến đổi Z. 1 D D D -6 5 x(n) y(n) D -1 2 107 Bài 2.16 Cho hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 1 2( ) ( 1) ( 2) ( )y n a y n a y n x n     . a. Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống. b. Dùng tiêu chuẩn Jury để xét sự ổn định của hệ thống theo hai tham số 1 2,a a . Bài 2.17 Cho        3 1 2 2x n n n n       Tìm X(z), miền hội tụ và các cực, các không của X(z). Bài 2.18 Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống có sơ đồ hình BT 2.18 như sau: X(Z) 1Z Y(Z) 2Z 3Z 1Z 1Z 1Z 1Z 1Z ' 0b ' 1b 0b 1b 2b 3b 1a 2a Hình BT 2.18 Bài 2.19 Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình BT 2.19. a.Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống. b.Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống. X(z) Y(z) X1(z)  1z  Hình BT 2.19 108 Bài 2.20 Cho tín hiệu có biến đổi Z: 2 ( ) ( 0.5)( 1) X z z z    . Tìm dãy x(n). Bài 2.21 Cho dãy x(n) có dạng 1 ( ) , 5 ( ) 2 0 , 5 n n x n n       Xác định biến đổi Z của dãy. Bài 2.22 Cho dãy 0os( ) ( ) ( ) nx n a n u nc  . Xác định biến đổi Z của dãy x(n). Bài 2.23 Cho dãy ( ) ( ) ( )n nx n a a u n  với a thực. Xác định biến đổi Z của dãy x(n). Bài 2.24 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 3 1 ( ) ( 1) ( 2) ( ) 4 8 y n y n y n x n     Sử dụng biến đổi Z, xác định đáp ứng xung và đáp ứng nhảy đơn vị của hệ thống nhân quả trên. Bài 2.25 Cho 2 dãy: 1 1 ( ) , 0 3 ( ) 1 ( ) , 0 2 n n n x n n        2 1 ( ) ( ) ( ) 2 nx n u n Sử dụng biến đổi Z để tính tích chập của hai dãy trên. Bài 2.26 Cho hệ thống được mô tả bởi hàm truyền 1 2 3 1 1 1 1 2 2 ( ) : 0,5 | | 1 (1 )(1 0,5 )(1 0,2 )                z z z H z RC z z z z Xác định đáp ứng xung của hệ thống. 109 Bài 2.27 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: ( ) 0.7 ( 1) 0.12 ( 2) ( 1) ( 2)y n y n y n x n x n        và tín hiệu vào x(n)=nu(n)? Xét tính ổn định của hệ thống? Tính đáp ứng của hệ thống? Bài 2.28 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 1 ( ) 5 ( 1) 6 ( 2) ( ) ( 1) 2 y n y n y n x n x n        biết rằng y(n)=0 với n < 0 và ( ) 2nx n  Sử dụng biến đổi Z tìm đáp ứng của hệ thống.