Tải trọng và tác động - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z) dọc theo ciều dài thanh. Hệ có bậc tự do bằng vô cùng. Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và có phương nghiêng so với trục thanh. Dao động ngang của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu thị đường đàn hồi của thanh. Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t): ),( ),( );,( ),( )( 2 2 2 2 tzp z tzM tzM z tzy zEI =   -=   CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO ).,( ),( )( 2 2 2 2 tzp z tzy zEI z -=          p(z,t) > 0 có chiều hướng lên * Tải trọng kích thích bố với cường độ q(z,t) tác dụng vuông góc với trục thanh >0 khi có chiều hướng lên trên. * Lực quán tính của khối lượng phân bố m(z) hướng theo chiều chuyển động và bằng: 2 2 ),()( t tzy zm   - q(z,t) r(z,t) 2 2 ),( )( t tzy zm   - z y * Lực cản r(z,t) ngược chiều với chiều chuyển động. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO ),( ),( )(),(),( 2 2 tzr t tzy zmtzqtzp +   += Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang của thanh: ),(),( ),( )( ),( )( 2 2 2 2 2 2 tzqtzr t tzy zm z tzy zEI z -=+   +          Nếu thanh có khối lượng m phân bố đều: ),(),( ),( )( ),( )( 2 2 4 4 tzqtzr t tzy zm z tzy zEI -=+   +   CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2. Dao động riêng không lực cản: Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: ),( )( ),( )( 2 2 2 2 2 2 0 t tzy zm z tzy zEI z =   +          Giải phương trình theo phương pháp tách biến số Fourier ta đặt nghiệm dưới dạng chuỗi là tổng các nghiệm riêng: .)()(),( 1   - = i ii tFzytzy Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên: 3.2.1. Trường hợp tổng quát: Cho từng số hạng của tổng phương trình trên bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được: .0)()()()]().()([ 2 2 =+   iiii tFzyzmtFzyzEI z &&  .0)()()()]().()([ 1 2 2   = =+   i iiii tFzyzmtFzyzEI z && 1   =i Vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụ thuộc vào z,  tỷ số này = const. Ký hiệu dại lượng này là wi 2  có 2 phương trình vi phân với biến số độc lâp: . )( ( )().( )]().([2 2 tF tF zyzm zyzEI z i i i i && -=   ) .0)()( 2 =+ tFtF iii w && 1) Dạng giống như phương trình vi phân dao động hệ một bậc tự do, nghiệm của phương trình này là: ).sin(cossin)( iiiiiii tatBtAtF jwww +=+=  Tương ứng với mỗi nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t), dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần số riêng wi. 2) 0)(.).()]().([ 2 2 2 =-   zyzmzyzEI z iii w Giải phương trình này ta sẽ tìm được hàm yi(z) biểu thị dạng chính thứ i của dao động riêng ứng với tần số wi. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2.1. Trường hợp EI = const : Phương trình vi phân dao động có dạng: ),()(),( 2 2 4 4 0 t tzyzm z tzy =   +   EI Nghiệm của phương trình cũng được tìm dưới dạng chuỗi: .)()(),( 1   - = i ii tFzytzy ).sin(cossin)( iiiiiii tatBtAtF jwww +=+= 0)(.).()]().([ 2 2 2 =-   zyzmzyzEI z iii w .;0)()( 2 44 EI m kzykzy iiii IV w==- Giải phương trình đặc trưng: r4 – ki 4 = 0 của phương trình trên ta thu được các nghiệm: .1;;;; 4321 -=-==-== iikrikrkrkr iiii .sin.cos...)( zkdzkcebeazy ii zkzk i ii +++= - Vì: zshkzchkezshkzchke ii zk ii zk ii -=+= -,  Ta thu được các phương trình sau: .cossin )( )( ;sincos )( )( ;cossin)( ;sincos)( 3 4 3 3 3 2 3 1 2 4 2 3 2 2 2 1 4321 4321 zkkCzkkCzchkkCzshkkC EI zQ zy zkkCzkkCzshkkCzchkkC EI zM zy zkkCzkkCzchkkCzshkkCzy zkCzkCzshkCzchkCzy iiiiiiii i i iiiiiiii i i iiiiiiiii iiiii -++-= --+-= +-+= +++= Dạng chính yi(z) được xem như đường đàn hồi của thanh nên ta có thể xác định các hằng số tích phân Ci theo điều kiện ban đầu. Giả sử z = 0 tương ứng với dạng chính thứ i của dao động, ta có các thông số ban đầu: độ võng yi(0), góc xoay y’i(0); mô men uốn Mi(0); lực cắt Qi(0). Thay các giá trị này vào phương trình trên ta thu được: .)()0(;)()0( ;)()0();()0( 3 42 2 31 4231 iiii iii kCCEIQkCCEIM kCCyCCy --=--= +=+=  ]. )0()0( [ 2 1 ]; )0( )0([ 2 1 ]; )0()0( [ 2 1 ]; )0( )0([ 2 1 3423 3221 EIK Q k y C EIk M yC EIk Q k y C EIk M yC i i i i i i i i i i i i i i +  =+= -  =-= Thay các giá trị của Ci vào phương trình đầu của hệ gồm 4 phương trình , ta có được phương trình xác định chuyển vị tương ứng với dạng chính thứ i của dao động riêng viết theo thông số ban đầu: ),( )0( )( )0( )( )0( )()0()( 433221 zkAEIk Q zkA EIk M zkA k y zkAyzy i i i i i i i i i iii --  += trong đó: );sin( 2 1 )();cos( 2 1 )( );sin( 2 1 )();cos( 2 1 )( 43 21 zkzshkzkAzkzchkzkA zkzshkzkAzkzchkzkA iiiiii iiiiii -=-= +=+= Các hàm Aj(kiz) với j = 1, 2, 3, 4 do viện sỹ người Nga A. N. Krưlôv đề xuất nên được gọi là các hàm Krưlôv. Giá trị được tra theo bảng. Các hàm Krưlôv có các tính chất sau: * A1(0) = 1; A2(0) = 0; A3(0) = 0; A4(0) = 0. * Giữa các hàm có sự liên hệ vi phân tuân theo quy tắc vòng tròn như hình vẽ: ).()( ).()( ).()( ).()( 12 23 34 41 zkAkzkA zkAkzkA zkAkzkA zkAkzkA iii iii iii iii = = = = A1 A2 A3 A4 ),( )0( )( )0( )( )0( )()0()( 433221 zkAEIk Q zkA EIk M zkA k y zkAyzy i i i i i i i i i iii --  += Từ phương trình:  Các phươngtrình góc xoay, mô men uốn : ).()0()()0( 0()0()()0()()( );( )0( )()0( )()0()()0()()( );( )0( )( )0( )()0()()0()( 14 3 2 2 3 21 43 2 32214 zkAQzkAkM zkAkyEIzkAkEIyzyEIzQ zkA k Q zkAM zkAkyEIzkAkEIyzyEIzM zkA EIk Q zkA EIk M zkAyzkAkyzy iiiii iiiiiiii i i i ii iiiiiiii i i i i i i iiiiii ++ +--=-= ++ +--=-= --+= Tần số dao động riêng: m EI kii 2=w Ví dụ 1: Xác định tần số dao động riêng và lập phương trình cho các dạng dao động riêng chính tương ứng của dầm như hình vẽ. m = const EI = const l Giải: Tại z = 0 ta có các thông số ban đầu: yi(0) = 0; y ’ i(0) = ? ; Mi(0) = 0; Qi(0) = ? Thay giá trị ban đầu vào các phương trình đã xét: ),( )0( )( )0( )( 432 ' zkA EIk Q zkA k y zy i i i i i i i -= ).( )0( )()0()( 24 zkA k Q zkAkyEIzM i i i iiii +-= m = const EI = const l Tại z = l ta có yi(l) = 0, Mi(l) = 0  ) = 0 ,( )0( )( )0( )( 432 ' lkA EIk Q lkA k y ly i i i i i i i -= ) = 0 .( )0( )()0()( 24 lkA k Q lkAkyEIlM i i i iiii +-= Đây là hệ phương trình thuần nhất. Để các ẩn số khác không nghĩa là dao động của hệ tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình phải bằng không: m = const EI = const l0 )( 1 )( )( 1 )( 1 24 432 = - - lkA k lkEIAk lkA EIk lkA k i i ii i i i i 0)]()([ 1 2 4 2 22 =-= lkAlkA k ii i Thay các hàm Krưlôv vào ta có: 0)sin()sin( 22 =--+ lklshklklshk iiii 0sin. = lklshk ii Do kil  0 nên shkil  0  sinkil = 0 kil = ip ki = ip/l. m = const EI = const l .2 22 2 m EI l i m EI kii p w == m EI l i m EI l i m EI l i m EI l i 2 2 42 2 3 2 2 22 2 1 5664,12 4, 4248,9 3* , 2832,6 2, 1416,3 1* ==== ==== ww ww ) = 0 ,( )0( )( )0( )( 432 ' lkA EIk Q lkA k y ly i i i i i i i -= )( )( )()( lkA lkA EIk0y0Q i4 i22 iii = m = const EI = const l Do kil = 0 nên: A2(kil) = A4(kil) EIk0y0Q 2iii )()( = ),( )0( )( )0( )( 432 ' zkA EIk Q zkA k y zy i i i i i i i -= Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình sau: Ta tìm được phương trình của dạng chính thứ i của dao động riêng: zk k 0y zkAzkA k 0y zy i i i i4i2 i i i sin )( )]()([ )( )(  =-  = ii i ii k 0y C z l i Czy )( ;sin)(  = = p Dạng chính của dao động riêng trong dầm đơn giản có hai đầu khớp là dầm điều hòa theo quy luật hàm số sin với số nửa bước sóng bằng chỉ số của tần số dao động riêng tương ứng. m = const EI = const l z l Cy1i 11 p sin, == z l Cy3i 33 3p sin, == z l Cy2i 22 2p sin, == Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của dầm côngxôn mang khối lượng phân bố đều m và có độ cứng không đổi EI như hình vẽ. Giải: Tại z = 0  yi(0) = 0, y ’ i(0) = 0, Mi(0) = ?, Qi(0) = ? l z y ).()()()()( ),( )( )()()( )'( )( )( )( )( zkA0QzkAk0MzQ zkA k 0Q zkA0MzM zkA EIk 0Q zkA EIk 0M zy i1ii4iii i2 i i i1ii i43 i i i32 i i i += += --= lz y Vì tại z = l thì Mi(l) = 0 và Qi(l) = 0 nên: ) = 0()()()()( ) = 0( )( )()()( lkA0QlkAk0MlQ lkA k 0Q lkA0MlM i1ii4iii i2 i i i1ii += += Để các ẩn số khác không có nghĩa là để dao động tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình trên phải bằng không: 0lkAlkAlkA 0 lkAlkAk lkA k 1 lkA i4i2i 2 1 i1i4i i2 i i1 =- = )()()( )()( )()( Thay các hàm Krưlôv vào ta thu được phương trình siêu việt để xác định các tần số: 01lklchkD ii =+= cos. Để giải phương trình này ta vận dụng cách thử dần. Cho kil nhiều giá trị khác nhau và tính các giá trị D tương ứng: kil D kil D 0 2 p = 3,14 - 10,57 0,2p = 0,628 1,97 1,2p = 3,770 - 16,56 0,4p = 1,257 1,59 1,4p = 4,399 - 11,63 0,6p = 1,885 - 0,04 1,6p = 5,027 24,67 0,8p = 2,514 - 4,39 Nghiệm k1l  0,6p = 1,885 (chính xác 1,8751) thỏa mãn. k2l = 1,49p = 4,68 (chính xác 4,691). Thực hiện tương tự với những giá trị kil lớn hơn ta thu được: k3l = 7,855; k4l = 10,996. Các tần số dao động riêng: . , ; , ; , ; , m EI l 99610 m EI l 8557 m EI l 69414 m EI l 8751 2 2 42 2 3 2 2 22 2 1 == == ww ww Tương tự như phần trước ta cũng thu được các dạng dao động riêng như hình vẽ: lz y 0,5001l 0,7739l 0,8679l y1 (w1) y2 (w2) y3 (w3) CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn q(z)sinqt: Khi không kể đến lực cản, phương trình được viết: EI tzq t tzy EI m z tzy 2 2 4 4 qsin).(),(),( -=   +   Do có lực cản nên sau một thời gian dao động riêng sẽ mất đi và chỉ còn dao động thuần cưỡng bức do lực kích thích gây ra. Nghiệm riêng có dạng: tzytzy qsin).(),( = Thay vào phương trình trên ta thu được: ., )( )()( EI m k EI zq zykzy 2 44IV q=-=- k- hệ số đặc trưng của thanh khi dao động cưỡng bức. Nghiệm thuần nhất yo(z) của phương trình vi phân trên có dạng như sau: )()()()()( kzACkzACkzACkzACzy 44332211o +++= Aj(kz) với j = 1, 2, 3, 4 là các hàm Krưlôv Nghiệm riêng yr(z) phụ thuộc vào tải trọng q(z). Xét trường hợp q(z) = q: EIk q kzACkzACkzACkzACzy 444332211 ++++= )()()()()( Tương tự như phần trước, lần lượt lấy đạo hàm và sử dụng các điều kiện ban đầu ở đầu thanh, biến đổi ta thu được các phương trình biên độ chuyển vị, góc xoay, mô men uốn, lực cắt khi thanh dao động: ).()()()()()( );()()()()()( );()()()()()( ;])([ )()()()()( kzA k q kzAQkzkAMkzAkyEIkzAkEIyzQ kzA k q kzA k Q kzAMkzkAyEIkzAkEIyzM kzA EIk q kzA EIk Q kzA kEI M kzAykzkAyzy 1kzA EIk q kzA EIk Q kzA EIk M kzA k y kzAyzy 21o4o3 2 o2 3 o 322 o 1o4o3 2 o 4332 o 2 o 1o4o 14 43 o 32 o 2 o 1o ++++-= ++++-= ---+= -- ---  += CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.1. Dao động riêng: Xét thanh thẳng có khối lượng phân bố đều, tiết diện không đổi và mang khối lượng tập trung mj đặt tại hoành độ a như trên hình vẽ. mj yi(a) m EI a l-a l Zj(t) Khi thanh dao động với tần số wi, đường đàn hồi của thanh xác định theo phương trình yi(z) của dạng chính thứ i. Tại khối lượng mj phát sinh lực quán tính: ).(aymZ i 2 ijj w= Với : m EIk EI m k 4 i2 i 2 i4 i == w w ).(. aym m EI kZ ij 4 ij = Lực quán tính Zj(t) được xem như điều kiện gián đoạn về tải trọng tại z = a khi dùng phương pháp thông số ban đầu đã xét ở phần trước. Sau khi lập các phương trình cho từng đoạn thanh, sử dụng các điều kiện biên để thiết lập phương trình xác định thông số k. Từ đó suy ra tần số dao động riêng. Với 0  z  a, các phương trình chuyển vi, mô men uốn động trong đoạn I: ).( )( )()()( );( )( )( )( )( zkA k 0Q zkA0yEIkzM zkA EIk 0Q zkA k 0y zy i2 i i i4ii I i i43 i i i2 i iI i +-= -  = Biên độ lực quán tính tại khối lượng mj: )].( )( )( )( [ akA EIk 0Q akA k 0y m m EI kZ i43 i i i2 i i j 4 ij -  = Xét đoạn II với a  z  l , cho z1 = z – a : )];()()([ )( )]()()([ )( )()()( 1i4i4 j ii43 i i 1i4i2 j ii2 i i 1i43 i jI i II i zkAakA m m kzkA EIk 0Q zkAakA m m kzkA k 0y zkA EIk Z zyzy +- -+  = += )].()()([ )( )]()()()[( )()()( 1i2i4 j ii2 i i 1i2i2 j ii4ii 1i2 i jI i II i zkAakA m m kzkA k 0Q zkAakA m m kzkA0yEIk zkA EIk Z zMzM ++ ++-= -= Khi z = l ta có các điều kiện biên bên phải: y(l) = 0, M(l) = 0, do vậy: .)]()()([ )( )()()()[()( ;)]()()([ )( )]()()([ )( )( 0bkAakA m m klkA k 0Q bkAakA m m klkA0yEIkzM 0bkAakA m m klkA EIk 0Q bkAakA m m klkA k 0y ly i2i4 j ii2 i i i2i2 j ii4ii II i i4i4 j ii43 i i i4i2 j ii2 i iII i =++ ++-= =+- -+  = Với b = l – a; Tương tự như phần trước ta xác định các thông số ki, sau đó tìm ddwwocj tần số dao động riêng tương ứng. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.2. Dao cưỡng bức chịu lực kích động tuần hoàn: Tương tự như phần trước, tại khối lượng mj phát sinh lực quán tính: Zj(t) = Zjsinq t với biên độ Zj = mjq 2y(a). Biên độ của lực quán tính Zj và của tải trọng Po được xem điều kiện gián đoạn về tải trọng tại z = a và vị trí đặt lực P0sinqt khi áp dụng các phương trình đã biết cho từng đoạn thanh. Quá trình tính toán đến khi hoàn tất hoàn toàn tương tự.