Tải trọng và tác động - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: m1 m2 mi mk mnM(t) P(t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yk (t) yn (t) (a) Xét dao động của khung không trọng lượng mang các khối lượng tập trung (hình a). Chịu các lực kích thích thay đổi theo thời gian. Bỏ qua biến dạng dọc của khung, ta có bài toán dao động có n bậc tự do. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: m1 m2 mi mk mnM(t) P(t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yk (t) yn (t) (a) Zk(t) P(t) Zn(t) Rk(t) Rn(t)Zi(t) Z2(t) Z1(t) Ri(t) R2(t) R1(t) M(t) (b) Xét tại thời điểm bất kỳ t dưới tác dụng của các lực: * Lực kích thích: M(t), P(t), q(t). * Lực quán tính: )t(y.m)t(Z kkk &&-= * Lực cản: Rk(t) CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: m1 m2 mi mk mnM(t) P(t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yk (t) yn (t) (a) Zk(t) P(t) Zn(t) Rk(t) Rn(t)Zi(t) Z2(t) Z1(t) Ri(t) R2(t) R1(t) M(t) (b) Zi=1di d2 d1 dk dn (c) Gọi dki là chuyển vị khối lượng do Z = 1 tác dụng tĩnh gây ra: DkP(t) chuyển vị khối lượng mk do lực kích thích gây ra. Xem hệ đàn hồi là tuyến tính, chuyển vị là rất nhỏ: CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: m1 m2 mi mk mnM(t) P(t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yk (t) yn (t) (a) Zk(t) P(t) Zn(t) Rk(t) Rn(t)Zi(t) Z2(t) Z1(t) Ri(t) R2(t) R1(t) M(t) (b) Zi=1di d2 d1 dk dn (c) Phương trình chuyển vị của các khối lượng: [ ] [ ] ...)t(R)t(Z)t(R)t(Z)t(y 222k111kk +-+-= dd [ ] n,...,3,2,1k);t()t(R)t(ZZ kPnnkn =D+-+ CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: ++++++ ...)]t(R)t(ym[)]t(R)t(ym[)t(y 2222k1111kk &&&& dd .n...,,2,1k;0)t()]t(R)t(ym[ kPnnnkn ==D-++ &&d Đây là phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có bậc tự do bằng n. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: Không kể đến lực kích thích và lực cản. Phương trình được viết lại như sau: 0)t(y)t(y..m...)t(y..m)t(y..m knknn22k211k1 =++++ &&&&&& ddd Nghiệm tổng quát thứ k của phương trình được biểu thị dưới dạng tổng của các nghiệm riêng:   = == n i n 1i ikikik )t(Fy)t(y)t(y yki : các hằng số chưa biết; Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: Với một nghiệm riêng thứ i, tại các khối lượng ta có: ).t(Fy)t(y ,.............................. ),t(Fy)t(y ),t(Fy)t(y inini ii2i2 ii1i1 = = = m1 m2 mi mk mn y1i y2i yii yki yni Điều này chứng tỏ tỷ lệ giữa chuyển vị của các khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t. Đường cong tạo bởi các tung độ y1i , y2i , là đường cong đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ i của dao động riêng. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: 0 )um(...mm ............ m...)um(m m...m)um( D innn2n21n1 n2ni222211 n1n122i111 = - - - = ddd ddd ddd Trong đó: 2 i i 1 u  = Phương trình này được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình thế kỷ. Giải hệ này ta thu được các giá trị ui,Từ các giá trị này ta tìm được các tần số dao động riêng i (phổ tần số dao động riêng). Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương trình cơ bản, ta thu được: CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3. Dạng chính của dao động riêng: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương trình cơ bản, ta thu được: 0)t(Fy)t(F]ym...ymym[ ikiiniknn212k2i11k1 =++++ &&ddd niknni22k2i11k1 ki i i ym...ymym y )t(F )t(F ddd +++ = - && Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải chỉ phụ thuộc vào kết cấu, vị trí và trị số các khối lượng, nên tỷ số này là một hằng số và bằng -i 2. 0yi 2]ym...ymym[ kiniknn212k2i11k1 =-+++ ddd 0)t(F)t(F i 2 ii =+  && CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3. Dạng chính của dao động riêng:  Như vậy đối với hệ có n bậc tự do luôn luôn tìm được n giá trị tần số dao động riêng. Ứng với mỗi tần số dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác định bằng các chuyển vị y1i, y2i, , yni của các khối lượng. Phương trình dao động của khối lượng thứ k với tần số i có dạng: )tsin(ay)t(y iiikiki  += Phương trình dao động tổng quát của khối lượng thứ k:  = += n 1i iiikik )tsin(ay)t(y  Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các tần số dao động riêng? m1 m2 l / 3 l / 3 l / 3 Z1=1 2l / 9 Z2=1 2l / 9 Phương trình tần số cho bài toán 2 khối lượng: 0 )um(m m)um( 222121 212111 = - - dd dd 0)(mm)mm(uu 212221121222111 2 =-++- ddddd EI486 l7 ; EI243 l4 3 2112 3 2211 ==== dddd . EI486 ml u; EI162 ml5 u 3 2 3 1= Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các tần số dao động riêng? m1 m2 l / 3 l / 3 l / 3 Z1=1 2l / 9 Z2=1 2l / 9 Tần số dao động riêng được xác định: 3 1 1 ml EI 69,5 u 1 == 3 2 2 ml EI 22 u 1 == m1 m2 m1 m2 Ví dụ 2: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của dầm công xôn trên hình vẽ. Cho biết EI = const. EI m1=3m m2=m l l Z2=1 2l )M( 2 Z1=1 l )M( 1 Giải: Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương trình tần số dao động có dạng: 0 )um(m m)um( 222121 212111 = - - dd dd Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1, Z2 = 2. Xác định các chuyển vị d11, d12, d21, d22. 0)(mm)mm(uu 212221121222111 2 =-++- ddddd Ví dụ 2: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của dầm công xôn trên hình vẽ. Cho biết EI = const. EI m1=3m m2=m l l Z2=1 2l )M( 2 Z1=1 l )M( 1 EI3 l 3 l2 EI2 l.l )M)(M( 3 1111 ===d EI3 l8 3 l2.2 EI2 l2.l2 )M)(M( 3 2222 ===d EI6 l5 )M)(M( 3 212112 === dd s/1, ml EI 5345,0 u 1 3 1 1 ==  s/1, ml EI 5,2; 32 = EI m1=3m m2=m l l Z2=1 2l )M( 2 Z1=1 l )M( 1 1 m1 y11=1 y21=3 m2 2 y12=1 y22= -1 m2 Xác định các dạng chính của dao động: u1 )y21 = 0m(m1 y11 + 22221 -dd m2 y21 = 0)y11 +u1m( 12111 - dd Cho y11 =1  y21 = 3 Tương ứng với 2, cũng thực hiện tương tự như trên, cho y12 = 1 ta sẽ tìm được dạng chính thứ hai của dao động riêng chuyển vị tương ứng tại các khối lượng. Ví dụ 3: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của khung như hình vẽ. Cho biết EI = 34,8.104 N.m2, m = 1000/g.Ns2/m. m1 = 2m, m2 = m. 2EI 2EI EI EI3m 2m 2m 2m 2m m1 m2 Hệ có hai bậc tự do, Phương trình tần số có dạng: 0 )uim(m m)uim( 222121 212111 = - - dd dd Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1 và Z2 = 1. Z1=1 2,86 8,97 5,2 3,12 2,08 (M1).1/13 Z2=1 3,90 6,24 2,34 0,78 9,68 (M2).1/13 2EI 2EI EI EI3m 2m 2m 2m 2m m1 m2Để xác định các chuyển vị dik ta tạo các trạng thái khả dĩ và vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị (M1 o) và (M2 o) tương ứng trong hệ cơ bản. P = 1 1 o 1(M ) P = 1 o 2(M ) 1 Áp dụng các nhân biểu đồ: EI 356,0 )M)(M( 0 1111 ==d EI 4266,0 )M)(M( 0 2222 ==d EI 12,0 )M)(M( 0 2121 ==d12 =d 2EI 2EI EI EI3m 2m 2m 2m 2m m1 m2Thay các giá trị tìm được vào phương trình tần số ta thu được: s/169,65 u 1 1 1 == s/11,99 u 1 2 2 == Chu kỳ dao động: 0634,0 2 T;0956,0 2 T 2 2 1 1 ====  p  p Với 1 = 65,69, ta có: u1 )y21 = 0m(m1 y11 + 22221 -dd m2 y21 = 0)y11 +u1m( 12111 - dd Cho y11 = 1  y21 = - 0,6587 2EI 2EI EI EI3m 2m 2m 2m 2m m1 m2Dạng chính thứ nhất của dao động riêng và chuyển vị tương ứng của các khối lượng như hình vẽ. m2 m1 y21 = 0,6587 m1 );t69,65sin(a)t(y )tsin(ay)t(y 1111 1111111   += += );t69,65sin(-0,6587a)t(y 1121 += )tsin(ay)t(y 1112121  += 2EI 2EI EI EI3m 2m 2m 2m 2m m1 m2 m1 y21 = 0,6587y12 = 1 Tương tự với 2 = 99,1 1/s: u2 )y22 = 0m(m1 y12 + 22221 -dd m2 y22 = 0)y12 +u2m( 12111 - dd Cho y12 = 1  y22 = 3,037 Dạng chính thứ hai của dao động riêng và chuyển vị tương ứng của các khối lượng như hình vẽ. );t10,99sin(a)t(y )tsin(ay)t(y 2112 2221212   += += );t10,99sin(3,037a)t(y 2222 += )tsin(ay)t(y 2222222  += m1 y22 = 3,037y12 = 1 Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng: )t.1,99sin(a)t.69,65sin(a )tsin(ay)tsin(ay)t(y1 2211 2221211111   +++= =+++= )t.1,99sin(a)t.69,65sin(a )tsin(ay)tsin(ay)t(y2 2211 2222211121   ++ 3,037+= -0,6587 =+++= Các đại lượng a1, 1, a2, 2, được xác định theo điều kiện ban đầu của dao động ở thời điểm t = 0. )0(2222 1111 v)t(y);0(y)t(y );0(v)t(y);0(y)t(y == == & & Đối với những hệ đối xứng mang các khối lượng có giá trị và vị trí được bố trí đối xứng, hệ sẽ dao động tương ứng với hai loại dao động chính sau: • Dạng dao động đối xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng đối xứng. • Dạng dao động phản xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng phản xứng * Cách sử dụng tính đối xứng của hệ trong dao động: 1) Biện pháp biến đổi hệ về sơ đồ nửa hệ tương đương: m1 m1m2 l l m1 m2 / 2 l Phản xứng l l m1 m2 m1 m3 m3m4 m4 m6 m6m5 m1 m2 / 2 l l Đối xứng l m1 m2//2 m3 m4 m6 l m1 m2//2 m3 m4 m6 m5 2) Biện pháp sử dụng chuyển vị kép: • Dạng dao động đối xứng: y1 yk yn-1 yn-1yn y1yk l l m1 mk mn-1 mn m1 mn-1 mk Z1=1 Z1=1 )( 1M Zk=1 Zk=1 )( kM Zn=1 )( nM Biểu thị chuyển vị tại cặp khối lượng có vị trí đối xứng theo chuyển vị kép: )1...(2,1),(2)( -== nktytY kk Khối lượng mn không có chuyển vị kép. yn(t). Các cặp khối lượng đối xứng phát sinh các cặp lực quán tính đối xứng y1 yk yn-1 yn-1yn y1yk l l Z1=1 Z1=1 )( 1M Zk=1 Zk=1 )( kM Zn=1 )( nM Gọi dik (i  k, k  n): chuyển vị đơn vị ứng với vị trí và phương của các cặp lực quán tính đối xứng Zi(t) do cặp lực đối xứng Zk = 1 tác dụng tĩnh tạ mk. Gọi dim : chuyển vị đơn vị ứng với vị trí và phương của các cặp lực quán tính đối xứng Zi(t) do lực Zn = 1 tác dụng tĩnh tạ vị trí mn . Chuyển vị kép của khối lượng thứ k được viết dưới dạng: [ ] [ ] [ ] [ ] knnkn kkk tymtym tymtymtY dd dd )()( ...)()()( nn)1(n-11 222111 &&&& &&&& -+- ++-+-= -- knnnnkn n kkk tymty m ty m ty m tY dd dd )(2)(2 2 ...)(2 2 )(2 2 )( )1(1 1 21 2 11 1 &&&& &&&& -- ---= -- -  0)()( )( 2 ...)( 2 )( 2 1)1( 1 22 2 11 1 =++ ++++ -- - tYtym tY m tY m tY m knknn nnk n kk && &&&&&& d ddd  0)()( )( 2 ...)( 2 )( 2 1)1( 1 22 2 11 1 =++ ++++ -- - tYtym tY m tY m tY m knknn nnk n kk && &&&&&& d ddd  Phương trình này giống như phương trình vi phân dao động của hệ có n bậc tự do, phương trình này chỉ khác là chuyển vị được thay thế bằng chuyển vị kép trừ chuyển vị khối lượng thứ mn.  Phương trình xác định tần số dao động riêng ứng với dạng dao động đối xứng: ) 2 ( 2 ... 22 2 ) 2 (... 22 ............... 22 ...) 2 ( 2 22 ... 2 ) 2 ( )1( 1 2 2 1 1 )1()1)(1( 1 2)1( 2 1)1( 1 2)1(2 1 22 2 21 1 1)1(1 1 12 2 11 1 inn n nn n nn nn n inn n nn n n n n i n n n n i u mmmm m u mmm mm u mm mmm u m - - - - - - --- - -- - - - - dddd dddd dddd dddd Giải phương trình này ta thu được n giá trị của phổ tần số dao động riêng ứng với n dạng dao động riêng đối xứng. • Dạng dao động phản xứng: y1 yk yn-1 yn-1mn y1yk l l m1 mk mn-1 m1 mkmn-1 Zk=1 Zk=1 )( kM Z1=1 Z1=1)( 1M Xét hệ mang khối lượng tập trung bố trí như bài toán đã xét, khi hệ dao động theo dạng phản xứng như hình vẽ. Thực hiện như phần trên, phương trình tần số của dao động phản xứng: ) 2 (... 22 ............ 2 (...) 2 ( 2 2 ... 2 ) 2 ( )1)(1( 1 2)1( 2 1)1( 1 )1(2 1 22 2 21 1 )1(1 1 12 2 11 1 inn n nn n n i n n i u mmm m u mm mm u m - - - -- - -- - - - - ddd ddd ddd Giải phương trình này ta sẽ thu được n – 1 giá trị của thông số ui và từ đó suy ra n – 1 gía trị tần số dao động riêng ứng với n – 1 dạng dao động riêng phản xứng. Ví dụ 4: Xác định các tần số và các dạng dao động riêng tương ứng cho hệ được cho như hình vẽ. Cho biết 2/316 dEIEA= 30o 30o EA= EA= EA EA EA EA EI EI m2 = m m2 = mm1 = m d d d d d d d d Đây là hệ đối xứng, các khối lượng bố trí đối xứng. Ta dùng biện pháp biến đổi về nửa hệ tương đương: * Dạng dao động đối xứng: 30o m2 = m m1 = m/2 d d d d + +N = 4 N = 4 d d Z1 = 1 )( 1M d/2 Z2 = 1 )( 2M Ta có sơ đồ tương đương. Hệ có 2 khối lượng tập trung m1 = m/2 và m2=m, bậc tự do của hệ bằng 2: ui) = 0m(m1 + 22221 -dd m2 = 0) +uim( 12111 - dd Các biểu đồ mô men uốn và biểu đồ lực dọc trong các dây văng do Z1 = 1 và Z2 = 1 gây ra như hình vẽ. Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ để tính các chuyển vị dik: , 3 8 ))(())(( 3 111111 EI d NNMM =+=d , 6 ))(( 3 2222 EI d MM ==d , 3 ))(( 3 2112 EI d MM = -=d 21d= Thay vào và giải hệ phương trình ta thu được 2 giá trị u1 và u3  Các tần số dao động riêng: 3 3 33 1 1 8767,2 1 ;8515,0 1 md EI umd EI u ====  Xác định các dạng chính của dao động riêng Tương ứng với 1 ta có u1. Thay vào phương trình: m2 y21 = 0)y11 +u1m( 12111 - dd Chọn y11 = 1 ta suy ra y21= -0,1375. Chuyển vị khối lượng k ứng với 1 như hình vẽ: m2 = m m2 = m m1 = m y21=0,1375 y11=1 1 Xác định các dạng chính của dao động riêng Tương ứng với 3 ta có u3. Thay vào phương trình và Chọn y13 = 1 ta suy ra y23= 0,6375. Chuyển vị khối lượng k ứng với 3 như hình vẽ: m2 = m m2 = m m1 = m y21=0,1375 y11=1 1 m2 = m m2 = m m1 = m y23=3,6375 y13=1 y23=3,6375 3 * Dạng dao động phản xứng: 30o m2 = m m1 = m/2 d d d d Sơ đồ tính toán như hình vẽ. Trên hệ có 2 khối lượng: m1= m/2 và m2= m. khối lượng m1 đặt trên gối tựa nên không tham gia dao động. Hệ có một bậc tự do. Tần số dao động 2 được xác định theo công thức: 332 2 1 d  m = 30o m2 = m m1 = m/2 d d d d + + 3d/8 d/8Z3=1 N3=1/2 N3=1/2 (M3) Xác định d33 ta vẽ biểu đồ mô men uôn và lực dọc trong các dây văng do Z3 = 1 gây ra tại khối lượng m2. Nhân biểu đồ ta thu được: EI d NNMM dvdv 8 ))(())(( 3 33 333333 = += d d 3 332 2 8284,2 1 md EI m == d  Dạng Do động phản xứng được vẽ như hình vẽ: m2 = m m2 = m m1 = m y22=1 2 y22=1 Ví dụ 5: Xác định các tần số dao động riêng cho trên dầm như hình vẽ, EI=const: m1= m m1= m l/2 EI l/2 l/2 l/2 Hệ đối xứng,các khối lượng bằng nhau và bố trí đối xứng. Để giải bài toán này ta vận dụng biện pháp sử dụng các chuyển vị kép. Phương trình tần số: 0) 2 ( 111 1 =- u m d Để xác định chuyển vị d11 ta cần vẽ biểu đồ mô men uốn do các cặp lực phản xứng Z1 = 1 gây ra. * Dạng phản xứng: m1= m m1= m l/2 EI l/2 l/2 l/2 Z1 = 1 Z1 = 1l/4 l/4 )( 1M m1= m m1= m 1 Áp dụng nhân biểu đồ: EI l MM 24 ))(( 3 1111 ==d 31 928,6 ml EI =  Dạng dao động phản xứng của dầm tương ứng với tần số riêng 1 được minh họa như hình vẽ. m2= m m2= m l/2 EI l/2 l/2 l/2 * Dạng đối xứng: Phương trình tần số: 0) 2 ( 222 2 =- u m d Z2 = 1Z2= 1 3l/16 5l/32 )( 2M5l/32 m1= m m1= m 1 EI 14l MM 768 ))(( 3 2222 ==d 32 474,10 ml EI =  Dạng dao động: * Tính chất trực dao của các dạng chính của dao động riêng Hai véc tơ được gọi là trực giao khi tích vô hướng của hai véc tơ bằng không. y1i(t) m1 mkm2 mn y2i(t) yki(t) yni(t) Z1i(t) Z2i(t) Zki(t) Zni(t) Xét dạng chính thứ i của dao động riêng. Chọn các điều kiện ban đâu sao cho phương trình chuyển động tại khối lượng mk tương ứng với dạng chính thứ i là: tyty ikiki sin)( = Lực quán tính phát sinh tại khối lượng mk: tymtZ ikiikki  sin)( 2= y1i(t) m1 mkm2 mn y2i(t) yki(t) yni(t) Z1i(t) Z2i(t) Zki(t) Zni(t) ykj(t) y1j(t) y2j(t) mn ynj(t) mk m2m1 Z1j(t) Z1j(t) Zkj(t) Znj(t) Tương tự đối với dạng chính thứ j của dao động riêng: tyty jkjkj sin)( = Lực quán tính phát sinh tại khối lượng mk: tymtZ jkjjkkj  sin)( 2= Định lý tương hổ về công khả dĩ của ngoại lực: )sinsin()sinsin( 1 2 1 2 tytymtytym ikijkj n k jkjkjiki n k ik  =  == Do vậy mới mọi thời điểm ta đều có: 0..)( 1 22 =-  = n k kjkikji yym Do I  j nên: 0.. 1 = = n k kjkik yym Biểu thức này thể hiện tính chất trực giao của các dạng chính của dao động riêng. Kết quả này không phụ thuôc vào điều kiện ban đầu CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = P.sinq t: Trong thực tế khi tính dao động công trình ta thường đưa lực kích thích về dạng gần đúng là hàm điều hòa hoặc phân tích lực P(t) theo chuỗi Fourier rồi lấy một vài số hạng đầu. Do vậy việc nghiên cứu dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn là một bài toán cơ bản trong động lực học công trình. Lực kích thích có thể là mô men tập trung M(t), lực tập trung P(t), tải trọng phân bố q(t) được ký hiệu chung là P(t) và được xem là có cùng tần số P(t)=P.sinq t. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = P.sinq t: Đối với hệ có bậc tự do bằng n, khi tần số q của lực kích thích bằng một trong những giá trị i nào đó của phổ tần số dao động riêng thì trong hệ sẽ phát sinh hiện tượng cộng hưởng. Trong thực tế, tần số của lực kích thích thường nhỏ hơn tần số dao động riêng của công trình nên thường chỉ cần quan tâm đến tần số cơ bản 1 để kiểm tra khả năng xãy ra cộng hưởng. • Kiểm tra xãy ra cộng hưởng • Xác định nội lực và các chuyển vị động. 2.4.1. Biểu thức nội lực, chuyển vị: Do có lực cản nên sau một khoảng thời gian dao động riêng của hệ sẽ biến mất, hệ sẽ dao động bình ổn và dao động cùng với chu kỳ và tần số của lực kích thích. Đại lượng Phương trình dao động Lực kích thích thứ j Chuyển vị tại k lượng mi Lực quán tính tại mi Nội lực tại tiết diện k Chuyển vị tại tiết diện k tPtP ojj qsin)( = taty ii qsin)( = )(sin )()( 22 tymtam tymtZ iiii iii qqq = =-= && tStS kk qsin)( = tDtD kk qsin)( = Ở mọi thời điểm, hệ chịu tác dụng của lực quán tính và lực kích thích đặt tại các khối lượng. Theo nguyên lý cộng tác dụng, nội lực tại tiết diện k bất kỳ: )()(...)()()( 2211 tStZStZStZStS kPnknkkk ++++= Ở trạng thái biên độ (thời điểm xảy ra biên độ): ...2211 SZSZSZSS kPnknkkk ++++= 1Sk - nội lực tại tiết diện thứ k do lực Zi = 1 tác dụng tĩnh tại vị trí khối lượng mi; Zi – biên độ lực quán tính tại khối lượng mi; SkP – nội lực tại tiết diện thứ k do biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh trên hệ. Tương tự, ta có biểu thức xác định biên độ chuyển vị động tại tiết diện k: kPnknkk đ k đ k ZZZy D++++=D=D ddd ...2211 dki – chuyển vị đơn vị tại tiết diện k do lực Zi = 1 tác dụng tĩnh tại khối lượng mi; DkP – chuyển vị tại tiết diện k do biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh trên hệ.  Để áp dụng các biểu thức đã nói ở trên ta cần phải xác định được biên độ của các lực quán tính Zi. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Khi chịu lực kích thích P(t) =Psinqt, chuyển vị khối lượng mk ở thời kỳ bình ổn có dạng: taty kk qsin)( = Lực quán tính tại khối lượng mk: ).(sin)()( 22 tymtamtymtZ kkkkkkk qqq ==-= && . )( )( 2q k k k m tZ ty = 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Không kể đến lực cản, phương trình chuyển động của khối lượng mk có dạng: )()(...)(...)()()( 2211 ttZtZtZtZty kPnknkkkkkk D++++++= dddd 0...) 1 (... 22211 =D+++-+++ kPnknk k kkkk ZZ m ZZ d q ddd Phương trình chuyển động của khối lượng thứ k: Lần lượt cho k = 1, 2, , n ta thu được hệ phương trình: 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: .0) 1 (... ............................. ,0...) 1 ( ,0...) 1 ( 22211 2222 2 22121 1121212 1 11 =D+-+++ =D+++-+ =D++++- nPn n nnnn Pnn Pnn Z m ZZ ZZ m Z ZZZ m q ddd d q dd dd q d Đây là hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ của các lực quán tính Zi với i = 1, 2, , n. •Zi > 0, chiều lực quá tính hướng theo chiều giả định • Zi <0, chiều lực quán tính ngược với chiều giả định 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Nếu chọn trước các giá trị m0, d0 và đặt: , 1 ,,, 2 qooo kP kP o ki ki o k k umm m m d q dd d d = D =D==  .0)/(... ............... ,0...)/( ,0...)/( 2211 222222121 112121111 =D+-+++ =D+++-+ =D++++- nPnnqnnnn Pnnq Pnnq ZmuZZ ZZmuZ ZZZmu ddd ddd ddd 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Tiếp tục biến đổi ta thu được hệ phương trình với các ẩn số là các chuyển vị yt: .0)(... ................. ,0...)( ,0...)( 222111 2222221121 1122121111 =D+-+++ =D+++-+ =D++++- nPnnnnnn Pnnn Pnnn uyumymym uymyumym uymymyum qq qq qq ddd ddd ddd Nghiệm của hệ phương trình này là: D D y kk = 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: )(... ............ ...)( ...)( 2211 2222211 1122111 q q q ddd ddd ddd ummm mumm mmum D nnnnn nn nn - - - = Dk là định thức suy ra từ định thức D bằng cách thay cột thứ k bằng cột các số hạng tự do với dấu ngược lại. Ví dụ 6: Vẽ biểu đồ mô men uốn động cho dầm chịu lực kích thích P(t) = Posinqt như hình vẽ. Cho biết m = 1,02 kNs2/m, l = 6 m, EI = 1864.104 kNcm2, Po = 5 kN, q = 0,61 1/s. P(t) = Posinq t m1 = m m2 = m l/3 l/3 l/3 Giải: Hệ có hai bậc tự do. Tìm tần số dao động riêng. Phương trình tần số có dạng: 0 )( )( 222211 122111 = - - i i umm mum dd dd P(t) = Posinq t m1 = m m2 = m l/3 l/3 l/3 Z1 = 1 2l/9 l/9 )( 1M Z2 = 1l/9 2l/9 )( 2M Po = 5kN 6,667 3,333 )( tPM Các biểu đồ mô men uốn đơn vị do Z1 = 1, Z2 = 1 và biểu đồ do biên độ Po tác dụng tĩnh được vẽ như hình vẽ. EI l MM 243 4 ))(( 3 112211 === dd EI l MM 486 7 ))(( 3 212112 === dd Chọn: 8/7 1;1 12 221121 = ==== d ddmm P(t) = Posinq t m1 = m m2 = m l/3 l/3 l/3 Thay vào phương trình tần số ta thu được: 0 )1(8/7 8/7)1( = - - i i u u 125,0;875,1 21 == uu Trong cách tính toán đưa về không thứ nguyên thì ui dược xác định: ui = 1/modo 2 i s lm EI um s lm EI um oo oo /14,202 4125,0 2431 /135,52 4875,1 2431 3 2 2 3 1 1 === === d  d  Tần số dao động cưỡng bức: q = 0,61 = 0,6.52,35 = 31,4 1/s Hệ phương trình chính tắc xác định biên độ của các lực quán tính: .0)/( ,0)/( 22222121 12121111 =D+-+ =D++- Pq Pq ZmuZ ZZmu dd dd 5 4 243 . 243 4 5 3 3 111 1 === D =D l EI EI lP o o o P P d d d 4,375 4 243 . 243 7 5 3 3 212 2 === D =D l EI EI lP o o o P P d d d 2152,5 4 24311 322 === l EI mm u oo qdqq Thay vào hệ phương trình trên ta thu được: 0375,4)2152,51(875,0 05875,0)2151,51( 21 21 =+-+ =++- ZZ ZZ kNZkNZ 342,1;464,1 21 == Biểu đồ mô men uốn động được vẽ theo biểu thức: )()()()( 2211 t P đ P MZMZMM ++= P(t) = Posinq t m1 = m m2 = m l/3 l/3 l/3 Po+Z1=5+1,464 kN Z2=1,342 kN q = 31,4 1/s 9,513 6,095 kNm )( đPM q = 50 1/s Po+Z1=5+2ọn5,98 kN Z2=25,65 kN 58,41 54,85 )( đ PM Hệ số động tại mỗi tiết diện được xác định theo công thức: Kđ = Mid / MiP Hệ số này đạt giá trị lớn nhất tại tiết diện đặt khối lượng m2: Kd,max= 6,095/3,333=1,83 Nếu chọn q = 50 1/s  1, hệ sẽ dao động trong miền cộng hưởng. Thực hiện tính toán tương tự ta sẽ vẽ được biểu đồ mô men uốn động ứng với giá trị đã chọn. Kđ = 16,4