Tài liệu học tập Hệ thống điều khiển số

r-cohn và tiêu chuẩn ổn định Jury. Tiêu chuẩn này cho rằng một hệ thống dữ liệu đã được lấy mẫu là ổn định (có tất cả các nghiệm nằm bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z) nêu tất cả các số hạng trong các hàng lẻ ở cột bên trái của bảng Jury là dương. Bảng Jury được thiết lập từ phương trình đặc tính: n n 10 1 n 1 na Z a Z ... a Z a 0       (3.7) Cách thành lập bảng Jury như sau : - Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự tăng dần - Hàng chẵn ( bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại - Giá trị hàng thứ 3 được tính bằng cách lấy định thức bậc 2 mà sử dụng cột đầu tiên của hàng đầu tiên với mỗi cột khác của các hàng này bắt đầu từ phải qua trái chia cho hệ số ai). Như vậy các số hạng được tính như sau: n n n 0 0 n 1 1 n 1 j j n j 0 0 0 a a ab a a ;b a a ,b a a a a a        (3.8) 57 Hàng nZ n 1Z  n 2Z  n jZ  1Z 0Z 1 0a 1a 2a n ja  n 1a  na 2 na n 1a  n 2a  ja 1a 0a 3 0b 1b 2b n jb  n 1b  nb 4 nb n 1b  n 2b  jb 1b 0b 5 6 Bàng 3.2. Thành lập bảng theo tiêu chuẩn Jury Ví dụ 3.2: Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính : 3 25Z 2Z 3Z 1 0    Xét tính ổn định của hệ thống trên Giải : lập bảng Jury ta được : Hàng 3Z 2Z 1Z 0Z 1 5 2 3 1 2 1 3 2 5 3 4.8 1.4 2.6 4 2.6 1.4 4.8 5 3.39 0.61 6 0.61 3.39 7 3.28 Do tất cả số hàng ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ ổn định 3.2.3. Quỹ đạo nghiệm số Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 Xét hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính là ( )1 0 ( ) N zK D z   (3.9) Đặt 0 N(z)G (z) K D(z)  (3.10) Gọi n là số cực của ( )oG z , m là số zero của ( )oG z 58 Từ phương trình (3.10) ta có 1 ( ) 0oG z  (3.11)  0 ( ) 1 ( ) (2 1)        oG z G z l  (3.12) Biểu thức (3.12) là điều kiện biên độ và điều kiện pha của (3.11) Chú ý : Nếu phương trình đặc tính của hệ thống có dạng trên thì ta phải biến đổi tương đương về dạng trên trước khi áp dụng các qui tắc vẽ QĐNS Vì dạng phương trình đặc tính của hệ liên tục đã học ở học phần lý thuyết điều khiển tự động và phương trình đặc tính trên là như nhau ( chỉ thay s bằng biến z) nên quy tắc vẽ QĐNS là như nhau , chỉ khác ở qui tắc 8 , thay vì đối với hệ liên tục ta tìm giao điểm của QĐNS với trục ảo thì đối với hệ rời rạc ta tìm giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vị . Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính có dạng 3.9 Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của Go(z)=n. Qui tắc 2: Khi K=0 các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuât phát từ các cực của Go(z). Khi K tiến đến  : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của Go(z), n- m nhánh còn lại tiến đến  theo cá tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6 Qui tắc 3: Quỹ đạo nhiệm số đối xứng qua trục thực Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của Go(z) bên phải nó là một số lẻ. Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm với trục thực xác định bở công thức: (2 1)l n m    (l 0, 1, 2)   (3.13) Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi n m i i i 1 i 1 p z pole zeroOA n m n m            (3.14) Qui tắc 7: Điểm tách nhập của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình : dK 0 dz  (3.15) Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số đường tròn đơn vị có thể xác định bằng 1 trong hai cách sau đây : 59 - Áp dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn July. - Thay z a jb  ( điều kiện : 2 2a b 1  ) vào phương trình đặc tính (3.9) , cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với đường tròn đơn vị và giá trị ghK Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức jp được xác định bởi công thức : m n j i j i i 1 i 1 j i 180 arg(p z ) arg(p p )           (3.16) Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ N(z)K 1 D(z)  (3.17) Ví dụ 3.3. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ trong đó + Hàm truyền khâu liên tục 5KG(s) s(s 5)   + Chu kì lấy mẫu T=0,1sec Hãy vẽ QĐNS của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 . Tính ghK . GIẢI. Phương trình đặc tính của hệ có sơ đồ khối như trên là : 1 G(z) 0  Trong đó  Ts ZOH 1 2 0,5 0,5 0,5 2 0,5 1 e 5KG(z) G (s).G(s) s s(s 5 5K(1 z ) s (s 5) z (0,5 1 e )z (1 e 0,5e )z 1K z 5(z 1) (z e )                                     = 60 0,021z 0,018G(z) K (z 1)(z 0,607)     Phương trình đặc tính là 0,021z 0,0181 K 0 (z 1)(z 0,607)     +Các cực : 1 2p 1,p 0.0607(n 2)   +Các zero: 1z 0.857(m 1)   + Góc tạo bởi tiệm cận và trực thực: (2l 1) (2l 1) (l 0) n m 2 1            +Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực : cuc zero (1 0,607) ( 0,857)OA 2,464 n m 2 1          + Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK 0 dz  Ta có 2(z 1)(z 0,607) z 1.607z 0.607K 0,021z 0,018 0.021z 0.018          suy ra 2 2 dK 0,021z 0,036z 0,042 dz (0,021z 0,018)     1 2 2,506dK 0 0,79d z 2zz       Cả hai nghiệm trên đều thuộc QĐNS →có hai điểm tách nhập. Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vị : 2 (z 1)(z 0.607) K(0.021z 0.018) 0 z (0.021K 1.607)z (0.018K 0.607) 0            Cách 1: dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng Đổi biến 1z 1   , ta được 61 2 2 1 1(0.021K 1.607) (0.018K 0.607) 0 1 1 0.039K (0.786 0.036K) (3.214 0.003K) 0                        Điều kiện để hệ thống ổn định là K 0 0.786 0.036K 0 3.214 0.003K 0        K 0 K 21.83 K 1071      ghK 21.83  Thay ghK 21.83 vào phương trình đặc tính, ta được 2z 1.1485z 1 0 z 0.5742 j0.8187       Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là z 0.5742 j0.8187  Cách 2: thay  z a jbvào phương trình trên, ta được 2 2 2 2 2 (a jb) (0.021K 1.607)(a jb) (0,018K 0,067) 0 a j2ab b (0,021K 1,607)a j(0,021K 1,607)b (0,018K 0,067) 0 a b (0,021K 1,607)a (0,018K 0,607) 0 j2ab j(0,021K 1,607)b 0                             Kết hợp với điều kiện 2 2a b 1  ta được hệ phương trình 2 2 2 2 a b (0,021K 1,607)a (0,018K 0,607) 0 j2ab j(0,021K 1,607)b 0 a b 1               Giải hệ phương trình trên, ta được bốn giao điểmlà z =1, tương ứng với K =0 z = - 1, tương ứng với K =1071 Vậy Kgh = 21, 83 Hình 3.5 . Qũy đạo nghiệm số của ví dụ 3.3 62 3.3. CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG RỜI RẠC Tương tự hệ điều khiển tương tự, hệ điều khiển số sau khi kết luận đã ổn định ta phải đánh giá chất lượng của hệ. Việc đánh giá chất lượng của hệ được thực hiện thông qua các chỉ tiêu chất lượng: 3.3.1 Đáp ứng quá độ Chất lượng của hệ thống điều khiển được đánh giá trực tiếp từ đồ thị đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu vào là xác định. Đáp ứng quá độ của hệ thống là đáp ứng đầu ra của hệ khi đầu vào là hàm bước nhảy đơn vị 1(t). Dựa vào đáp ứng quá độ, ta có thể tính được các thông số về chỉ tiêu chất lượng như: - Sai số xác lập - Độ quá điều chỉnh, - Thời gian quá độ - Số lần dao động v.v... Đối với hệ thống liên tục, việc xây dựng đáp ứng quá độ là tìm nghiệm của phương trình vi phân (phương pháp Runge Kuta) hoặc phương trình sai phân (Phương pháp Tustin) hoặc dùng các phương pháp gián tiếp (phương pháp hình thang), phương pháp đại số (toán tử Laplace), phương pháp mô phỏng,... Thực tế cho thấy, tất cả các phương pháp phân tích đáp ứng quá độ và xác lập cho hệ liên tục đều có thể áp dụng cho hệ rời rạc. Với phép biến đổi Z, đáp ứng thời gian trong hệ thống số là tín hiệu được lấy mẫu ở từng thời điểm T (s). Chất lượng động của hệ điều khiển số được đánh giá thông qua các nghiệm cực và nghiệm Zero của hàm số truyền trong mặt phẳng Z Có thể xác định được đáp ứng của hệ thống rời rạc bằng một trong hai cách sau đây: - Cách 1 : tính C(z) sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k) - Cách 2 : tính nghiệm x(k) của phương trình trạng thái của hệ rời rạc, từ đó suy ra c(k) Cặp cực quyết định : hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với hai cực là hai cặp cực quyết định Đổi với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần trục ảo nhất. Do Tsz e nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất. 3.3.2. Độ quá điều chỉnh Đối với hệ rời rạc, các thường sử dụng để tính độ quá điều chỉnh là dùng biểu thức định nghĩa : 63 max xlmax xl c c% 100 y   (3.18) Trong đó maxc là giá trị cực đại của c(k) . Độ quá điều chỉnh ảnh hưởng đến tuổi thọ của thiết bị do vậy, trong hệ điều khiển nói chung và hệ điều khiển số nói riêng mong muốn maxc càng nhỏ càng tốt. 3.3.3. Sai số xác lập Theo định lý giá trị cuối : 1xl k z 1e lime(k) lim(1 z )E(z)       (3.19) Các công thức tính sai số xác lập Hình 3.6 : Sơ đồ cấu trúc hệ ĐKS Sai số xác lập của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ như trên là: 1 1 xl z 1 z 1 R(z)e lim(1 z )E(z) lim(1 z )( ) 1 GH(z)          (3.20) Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị 1 1R(z z ) 1    → xl z 1 z 1 1 1e lim 1 GH(z) 1 limGH(z)      (3.21) Đặt p z 1 K lim GH(z)   : Hệ số vị trí p xl 1 K e 1    (3.22) Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị:   1 21 TR( z 1 z) z     1 1 l 11 x z z 1 2 T 1 Te lim 1 GH(z) lim(1 z )GH(z) z 1 z         1 1 ( )GH z (3.23) 64 Đặt    v 1 1z z 1K zlim 1 H T G   : Hệ số vận tốc l V x K 1e  (3.24) Ví dụ 3.4: cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó - Hàm truyền khâu liên tục KG(s) (s a)(s b)   ( với K=10, a=2, b=3) - Chu kỳ lấy mẫu: T = 0.1 (sec) + Tìm hàm truyền hệ kín kG (z) + Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị, độ vọt lố, sai số xác lập. Giải. + Hàm truyền của hệ rời rạc : Gk(z)= G(z) 1 G(z) Trong đó : G(z) =     ZOHZ G s G s = Ts KZ s (s a)(s b e ) 1         =K(1-z-1)Z 1 s(s a)(s b)       = K z 1 z         aT bT z(Az B) z 1 z e z e           Với A=    aT bT ) b 1 e a z e ab(b a      B=    aT bT bT aTa )b e 1 e a (b e – be 1 a       Thay K=10, a=2, b=3, T=0,1 ta được 65 →G(z)= 0,042z 0,036 (z 0,819)(z 0,741)    Do đó Gk(z)= 0,042z 0,036 (z 0,819)(z 0,741) 0,042z 0,0361 (z 0,819)(z 0,741)       Gk(z)= 2 0,042z 0,036 1,518z 0,643z    + Đáp ứng của hệ C(z) = Gk(z)R(z) = 2 0,042z 0,036 1,518z 0,643z    R(z) = 1 2 1 2 0,042z 0,036z 1 1,518z 0,643z        R(z) →(1-1,518z-1+0,643z-2)C(z)=( 0,042z-1 + 0,036z-2)R(z) →c(k) – 1,518c(k-1) + 0,643c(k-2) = 0,042r(k-1) + 0,036r(k-2) →c(k) = 1,518c(k-1) - 0,643c(k-2) + 0,042r(k-1) + 0,036r(k-2) Với điều kiện ban đầu c(-1) = c(-2) = 0 r(-1) = r(-2) = 0 Thay vào công thức đệ qui trên, ta tính được: c(k)={0; 0,042; 0,106; 0,212; 0,332; 0,446; 0,542; 0,614 0,662; 0,706; 0,743; 0,772; 0,94; 0,809; 0,819; 0,825 0,828; 0,828; 0,827; 0,825} Giá trị xác lập của đáp ứng quá độ là cxl = 1 lim z (1- z-1) 2 0,042z 0,036 1,518z 0,643z    R(z) = 1 lim z (1- z-1) 2 1 0,042z 0,036 1 1,518z 0z z,643 1             = 2z 1 0,042z 0,036lim 1,518z 0,643z       xl 0,624c  + Độ quá điều chỉnh max xl xl max 0,828 0,624% 100% 100% 32.69% c 0, c 624 c    + Sai số xác lập 66 xl xl xle r c 1 0.624 0.376     Ví dụ 3.5. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó - Hàm truyền khâu liên tục G(s) = K (s a)(s b)  (với K = 10, a = 2, b=3) - Chu kỳ lấy mẫu T = 0,1sec + Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên. + Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị ( điều kiện đầu bằng 0) Giải. 1- Thành lập phương trình trạng thái mô phỏng hệ thống Bước 1 : Hệ phương trình trạng thái của khâu liên tục Ta có C(s) = G(s)ER(s) = 10 (s 2)(s 3)  ER(s)  (s+2)(s+3)C(s) = 10ER(s)  (s2 + 5s +6)C(s) = 10 ER(s)  c̈(t) + 5c(t) + 6 = 10eR(t) Đặt x1(t) = c(t) ; x2(t) = ẋ1(t) Hệ phương trình trạng thái mô tả khối liên tục là Rx(t) Ax(t) Be (t) c(t) Cx(t)      Trong đó 0 1 A 6 5       0 10 B       1 0C  Bước 2 : Tính ma trận quá độ 67 Φ(s) = 1 1 1 1 0 0 1 s 1(sI A) s 1 0 6 5 6 s 5                                   s 5 1 s 5 1 (s 2)(s 3) (s 2)(s 3)1 6 s 6 ss(s 5) 6 (s 2)(s 3_ (s 2)(s 3)                         Φ(t)=  1 1 s 5 1 (s 2)(s 3) (s 2)(s 3) L (s) L 6 s (s 2)(s 3) (s 2)(s 3)                            => Φ(t)=         2t 3t 2t 3t 2t 3t 2t 3t 3e 2e e e 6e 6e 2e 3e                     Bước 3 :Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được : d d R d x[(k 1)T] A x(kT) B e (kT) c(kT) C x(kT)      trong đó         2t 3t 2t 3t d 2t 3t 2t 3t t T 0.1 3e 2e e e A (T) 6e 6e 2e 3e                         => d 0.975 0.078 A 0.468 0.585       2 3 2 3T T d 2 3 2 3 0 0 (3e 2e ) (e e ) 0 B ( )Bd d 10( 6e 6e ( 2e 3e                                           0.12 3 2 3T 2 3 2 30 0 e e10(e e ) 10( d 2 3 10( 2e 3e ) 10(e e )                                         68 3.4.TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ 3.4.1 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục Hệ thống được gọi là điều khiển được nếu với một tác động vào ta có thể chuyển trạng thái của hệ thống từ trạng thái ban đầu 0t đến trạng thái cuối 1t trong một thời gian hữu hạn. Hệ thống được gọi là quan sát được nếu với các toạ độ đo được ở biến ra iy của hệ, ta có thể khôi phục lại trạng thái ix trong khoảng thời gian hữu hạn. a) Tính điều khiển được Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ số hằng mô tá bới phương trình trạng thái cấp n: x(t) Ax(t) Bu(t)   được gọi là điều khiển được hoàn toàn, khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n. 2 n 1P B,AB,A B,...,A B    (3.25) Rank(P) = n b) Tính quan sát được Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ sô hằng mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n: X AX(t) BU(t) Y(t) CX(t)     (3.26) được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n. n 1L C',A 'C',(A')C',...(A') C'    Rank(L) N (3.27) 3.4.2 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống điều khiển số Giả thiết hệ điều khiển số được mô tả bởi hệ phương trình trạng thái: d d d x(k 1) A x(k) B (k) Y(k) C x(k)      (3.28) trong đó: x(k 1),x(k) là các vectơ n chiều. dA là ma trận n x n a) Tính điều khiển được Hệ thống số được gọi là điều khiển được nếu ta tìm được vectơ điều khiển u(k) để chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ đến trạng thái cuối bất kỳ trong một khoảng thời gian giới hạn. Vậy ta cần tìm điều kiện để xác định được tác động điều khiển nhằm chuyển hệ thống từ trạng thái x(0) đến trạng thái cuối x(n) đã cho. 69 Viết lại hệ phương trình trạng thái: d d 2 d d d d d d n n 1 d d d d d d x(1) A x(0) B (0) x(2) A x(1) B u(1) A x(0) A B u(0) B u(1) ..... x(n) A x(n 1) B u(n 1) A x(0) A B u(0) .....B u(n 1)                    (3.29) vì dA ,x(0),x(n) đã biết nên vế trái của phương trình là xác định, suy ra nghiệm duy nhất u(i) chỉ tồn tại khi ma trận sau đây có hạng bằng n. n 1 n 2 d d d d d d dM A B A B . .. A B B      (3.30) Rank(M)=n b) Tính quan sát được Hệ thống số được gọi là quan sát được nếu theo các số liệu đã đo được ở đầu ra y(k) ta có thể xác định được trạng thái x(k) của nó. Thật vậy, từ phương trình ra: dy(k) C x(k) ta viết lại: d d d d n 1 d d y(0) C x(0) y(1) C x(1) C A x(0) ... y(n 1) C A x(0)       (3.31) Viết cách khác: Vì y(k) đã biết nên nghiệm duy nhất x(0) tồn tại khi ma trận sau có hạng bằng n ' ' ' ' n 1 ' d d d d dN C A C . .. (A ) C     (3.32) Ví dụ 3.6: Cho hệ thống điều khiển số được mô tả bởi phương trình trạng thái:   1 1 2 2 1 2 ( 1) ( )1 0.485 0.0142 ( ) ( 1) ( )2 0.85 0.0245 ( ) ( ) 1 0 ( ) x k x k u k x k x k x k y k x k                            a, Khảo sát tính điều khiển được của hệ thống? - Ma trận điều khiển được của hệ thống: d d dM A B B 70 Trong đó: 1 0.485 0.0142 0.0260 2 0.85 0.0245 0.0075d d A B                   0.0142 0.0245d B       0.0260 0.0142 0.0075 0.0245 M   Nên Rank (M)= 2. Hệ thống điều khiển được hoàn toàn. b, Khảo sát tính quan sát được của hệ thống? - Ma trận điều khiển được của hệ thống: ' ' 'd d dN C A C Trong đó:   11 0 ' 0d dC C         1 0.485 1 2 ' 2 0.85 0.485 0.85d d A A             1 2 1 1 ' ' 0.485 0.85 0 0.485d d A C                   1 1 0 0.485 N       det 0.485 0N   Nên Rank (N)= 2. Hệ thống quan sát được hoàn toàn. 3.5. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ TRÊN MATLAB – SIMULINK. Cho hệ điều khiển có sơ đồ cấu trúc: 71 1 2 20(z 0,1)W (z) (2z 0,6)   ; 3 0,1W (s) s 1   ; 2 10(s 3)W (s) s 1   ; 4 0,1(s 0,1)W (s) s 2   Yêu cầu : - Tìm hàm truyền đạt của hệ thống - Xét sự ổn định của hệ thống. a. Tìm hàm truyền đạt của hệ thống. >> W1=tf([20 2],[2 2.4 0.36],0.1) W1 = 20 z + 2 -------------------- 2 z^2 + 2.4 z + 0.36 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. >> W2=tf([10 30],[1 1]) W2 = 10 s + 30 --------- s + 1 Continuous-time transfer function. >> W21=c2d(W2,0.1) W21 = 10 z - 7.145 ------------ z - 0.9048 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. 72 >> W3=tf([0 0.1],[1 1]) W3 = 0.1 ----- s + 1 Continuous-time transfer function. >> W31=c2d(W3,0.1) W31 = 0.009516 ---------- z - 0.9048 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. >> W4=tf([0.1 0.01],[1 2]) W4 = 0.1 s + 0.01 ------------ s + 2 Continuous-time transfer function. >> W41=c2d(W4,0.1) W41 = 0.1 z - 0.09909 --------------- z - 0.8187 73 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. >> W12=series(W1,W21) W12 = 200 z^2 - 122.9 z - 14.29 ------------------------------------- 2 z^3 + 0.5903 z^2 - 1.812 z - 0.3257 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. >> Wtd1=feedback(W12,W41,-1) Wtd1 = 200 z^3 - 286.6 z^2 + 86.33 z + 11.7 ---------------------------------------------- 2 z^4 + 18.95 z^3 - 34.4 z^2 + 11.91 z + 1.683 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. >> Whe=series(Wtd1,W31) Whe = 1.903 z^3 - 2.728 z^2 + 0.8216 z + 0.1113 ----------------------------------------------------------- 2 z^5 + 17.14 z^4 - 51.55 z^3 + 43.04 z^2 - 9.091 z - 1.523 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function. 74 Vậy hàm truyền đạt của hệ thống là : 3 2 he 5 4 3 2 1.903z 2.728z 0.8216z 0.1113W 2z 17.14z 51.55z 43.04z 9.091z 1.523         b. Xét sự ổn định của hệ thống Từ hàm truyền đạt xét ra phương trình đặc tính: 5 4 3 22z 17.14z 51.55z 43.04z 9.091z 1.523 0      >> MS=[2 17.14 -51.55 43.04 -9.091 -1.523] MS = 2.0000 17.1400 -51.5500 43.0400 -9.0910 -1.5230 >> x=roots(MS) x = -11.0759 0.9751 0.9129 0.7245 -0.1066 Bằng Matlab ta tìm được nghiệm của phương trình như sau : 1 2 3 4 5 z 11.0759 z 0.9751 z 0.9129 z 0.7245 z 0.1066        Ta thấy rằng 1z 1 nên hệ không ổn định. 75 CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN 1. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ cấu trúc như sau: Trong đó: T= 0,1 ; 2 ( 2)( ) ( 1) sG s s   a, Tìm hàm truyền hệ hở của hệ thống . b, Tìm hàm truyền hệ kín của hệ thống . c, Xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn đại số. 2. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ cấu trúc như sau: Trong đó: T= 0,1 ; 2 ( 2)( ) ( 1) sG s s   Tìm đáp ứng rời rạc y(kT) 3. Cho hệ thống điều khiển số được mô tả bởi phương trình trạng thái:   1 1 2 2 1 2 ( 1) ( )1 0.624 0.1608 ( ) ( 1) ( )1 0.385 0.1821 ( ) ( ) 1 1 ( ) x k x k u k x k x k x k y k x k                             a, Khảo sát tính điều khiển được của hệ thống? b, Khảo sát tính quan sát được của hệ thống? 76 CHƯƠNG 4 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Cung cấp cho sinh viên kiến thức về hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh rời rạc, các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển số, áp dụng cụ thể với động cơ một chiều. 4.1. KHÁI NIỆM Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc , trong đó sơ đồ điều khiển thông dụng nhất là hiệu chỉnh nối tiếp với bộ điều khiển Gc(z) là bộ điều khiển sớm pha, trễ pha số, PID số,..... Hình 4.1 : Sơ đồ điều khiển hiệu chỉnh nối tiếp bộ điều khiển cG (z) Một sơ đồ điều khiển khác cũng được sử dụng rất phổ biến là điều khiển hồi tiếp trạng thái Hình 4.2 : Sơ đồ điều khiển hồi tiếp trạng thái Thiết kế bộ điều khiển số là xác định hàm truyền Gc(z) hoặc giá trị hồi tiếp trạng thái K để hệ thống thõa mãn yêu cầu về độ ổn định ,chất lượng quá độ,sai số xác lập. Thực tế trong đa số trường hợp bộ điều khiển số là các thuật toán phần mềm chạy trên máy tính PC hoặc vi xử lý . Từ hàm truyền Gc(z) hoặc giá trị độ lợi K ta suy ra được phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều khiển quan hệ này được sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý. Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số trong nội dung chương này chỉ đề cập đến phương pháp thiết kế dùng quỹ đạo nghiệm số, phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID, phương pháp thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái (phương pháp phân bố cực )và phương pháp giải tích 77 4.2. HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA CÁC KHÂU HIỆU CHỈNH RỜI RẠC 4.2.1. Khâu tỉ lệ P PG (z) K (4.1) 4.2.2. Khâu vi phân Hình 4.3 : Khâu vi phân liên tục Khâu vi phân liên tục D de(t)u(t) K dt  (4.2) Khâu vi phân rời rạc được tính bằng các công thức sai phân, có ba cách tính : - Sai phân tới : D e(k 1) e(k)u(k) TK   (4.3) D D D zE(z) E(z)U(z) T U(z) K(z) (z 1) E(z) T K G       (4.4) - Sai phân lùi D e(k) e(k 1)u(k) TK   (4.5) 1 D 1 1D D D D E(z) z E(z)U(z) T U(z) K K K z 1(z) (1 z ) (1 z ) E(z) T T T z K G             (4.6) - Sai phân giữa D e(k 1) e(k 1)u(k) K 2T    (4.7) 1 D 2 1D D D zE(z) z E(z)U(z) K 2T U(z) K K z 1G (z) (z z ) E(z) 2T 2T z          (4.9) 78 Công thức sai phân tới và sai phân giữa cần tín hiệu e(k+1) là tín hiệu sai số trong tương lai , mà trong các bài toán điều khiển thời gian thực ta không thể có được tín hiệu trong tương lai (trừ khi sử dụng bộ dự báo ) nên thực tế chỉ có công thức sai phân lùi được sử dụng phổ biến nhất, do đó 1D DD K K z 1G (z) (1 z ) T T z     (4.10) 4.2.3.Khâu tích phân Hình 4.4 : Khâu tích phân liên tục Khâu tích phân liên tục 0 ( ) ( )  t Iu t K e t dt (4.11) Khâu tích phân rời rạc (k 1)TkT kT I I I 0 0 (k 1)T kT I (k 1)T u(kT) K e(t)dt K e(t)dt K e(t)dt u(kT) u[(k 1)T] K e(t)dt               (4.12) Xét tích phân kT I (k 1)T K e(t)dt   : có ba cách tính - Tích phân hình chữ nhật tới Hình 4.5: Tích phân hình chữ nhật tới 79 kT (k 1)T I 1 I e(t)dt Te(kT) u(kT) u[(k 1)T]+K Te(kT) U(z) z U(z) K TE(z)           (4.13) I I 1 U(z) 1G (z) K T E(z) 1 z     (4.14) + Tích phân hình chữ nhật lùi Hình 4.6: Tích phân hình chữ nhật lùi kT (k 1)T I 1 I e(t)dt Te[(k 1)T] u(kT) u[(k 1)T]+K Te[(k 1)T] U(z) z U(z) K Te[(k 1)T]              (4.15) 1 I I 1 U(z) zG (z) K T E(z) 1 z      (4.16) - Tích phân hình thang Hình 4.7: Tích phân hình chữ nhật lùi 80 kT (k 1)T I 1 1I Te[(k 1)T]+e(kT)e(t)dt 2 K Tu(kT) u[(k 1)T]+ (e[(k 1)T]+e(kT)) 2 K TU(z) z U(z) (z E(z)+E(z)) 2             (4.17) 1 I I I 1 U(z) K T z 1 K T z 1G (z) E(z) 2 1 z 2 z 1          (4.18) Trong ba cách tính tích phân trình bày ở trên, tích phân hình thang cho kết quả chính xác nhất ,do đo thực tế người ta thường sử dụng công thức I(I) K T z 1G 2 z 1   (4.19) 4.2.4. Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc Từ các hàm truyền rời rạc cơ bản vừ phân tích ở trên ,ta rút ra được hàm truyền của bộ điều khiển PI, PD, PID số như sau IPI P K T z 1G (z) K 2 z 1    (4.20) DPD P K z 1G (z) K T z   (4.21) I DPID P K T z 1 K z 1G (z) K 2 z 1 T z      (4.22) 4.2.5. Bộ điều khiển bù pha (sớm pha ,trễ pha ) Hình 4.8 : Sơ đồ khối bộ bù pha Hàm truyền của bộ điều khiển bù pha liên tục có dạng: 81 C s aG (s) K s b   (4.23) (Trong đó : a>b: bộ bù trễ pha ; a<b : bộ bù sớm pha) Rời rạc hóa quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra các bộ bù pha liên tục,sử dụng công thức tích phân hình thang, suy ra ta được hàm truyền của bộ bù pha có dạng C (aT 2)z (aT 2)G (s) K (bT 2)z (bT 2)       (4.24) Hàm truyền có thể viết dưới dạng CC C z zG (z) Kc z p   (4.25) Trong đó Cz là zero và Cp là là cực của khâu hiệu chỉnh CC C (aT 2) 2(1 z )z aT (aT 2) (1 z )       (4.26) CC C (bT 2) 2(1 p )p bT (bT 2) (1 p )       (4.27) Do aT, bT dương nên cực và zero của khâu hiệu chỉnh phai thỏa mãn điều kiện C C [z ] 1 [p ] 1   (4.28) Các quan hệ ở trên ta cũng dễ dàng suy ra - Khâu sớm pha C Cz p - Khâu trễ pha C Cz p 4.3. THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ 4.3.1. Thiết kế bộ điều khiển sớm pha Hình 4.9 : Sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển sớm pha Phương trình đặc tính của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là 82 1 G(z).H(z) 0  (4.29) Phương trinh đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là C1 G (z)G(z).H(z) 0  (4.30) Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng CC C z zGc(z) K z p   (4.31) Bài toán đặt ra là chọn giá trị C C CK ,z ,p để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về chất lượng quá độ (chất lượng quá độ thể hiện qua vị trí của cặp cực quyết định). Trình tự thiết kế Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lượng của hệ thống trong quá trình quá độ = r = = ∠ =T (4.32) Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định nằm trên QDNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức * 0 * 1 1 180 arg( * ) arg( )           n m i i i i z p z z (4.33) Dạng hình học của công thức trên là (4.34) Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh Vẽ hai đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định *z sao cho hai đường thẳng này ạo với nhau một bằng .Giao điểm của hai nửa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực zero của khâu hiệu chỉnh. Đối với hệ rời rạc, người ta thường áp dụng phương pháp triệt tiêu nghiệm cực của hệ thống để chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh. Bước 4: Tính bằng cách áp dụng công thức *c z zG (z)GH(z) 1  (4.35) Ví dụ 4.1. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hinh vẽ,trong đó : 83 -Hàm truyền khâu liên tục   10G s s(s 5)   Chu kỳ lấy mẫu T=0.1sec Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực quyết định ξ = 0 707 , (rad/sec) Giải: Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chỉnh 1 G(z) 0  Trong đó   Ts ZOH 1 e 10G(z) Z G (s)G (s) Z s s(s 5        2 1 110.(1 z )Z s s 5           0.5 0,5 0,5 0,5 z 0,5 1 e )z (1 e 0,5e )z 110 z 5(z 1)(z e )                      0,21 0,18( ) ( 1)( 0,607)     zG z z z Cặp cực quyết định mong muốn: * j 1,2z re   Trong đó nT 0,1*0,707*10r e e 0,493     2 2 nT 1 0.1.10 1 0.0707 0.707         * 0,7071,2 0,493 0,493 cos(0,707) sin(0,707)   jz e j  * 0,707 1,2 0,493 0,375 0,320    jz e j Góc pha cần bù : * 1 2 3180 ( )       Dễ dàng tính được 84 * 0 0 0 0180 (152,9 125.9 ) 14,6 84        Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu nghiệm : c cz 0,607 z 0,607      Tính cực của khâu hiệu chỉnh Ta có *sinAB PB sin PAB  Mà 2 2 * 0 0 0 2 C C c c PB (0,607 0,375) 0,320 0,388 PAB 125,9 84 41,9 sin84AB 0,388 0,578 sin 41,9 p OA OB AB 0.607 0.578 0.029 p 0,029 z 0,607G (z) K z 0,029                               Tính cK từ điều kiện *c z zG (z)GH(z) 1  85   C z 0.375 j0.32 C C C (z 0,607)(0,21 0,18)K 1 (z 0,029)(z 1)(z 0,607) 0,21(0,375 j0,320) 0,18 K 1 (0,375 j0,320 0,029)(0,375 j0,320 1) 0.267K 1 0.471*0.702 K 1.24                     Vậy : C z 0.607G (z) 1.24 z 0.029   Nhận xét Quỹ đạo nghiêm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh không qua điểm *z ,do đó hệ thống không bao giờ đạt được chất lượng đáp ứng quá độ như yêu cầu dù có thay đổi hệ số khuếch đại của hệ thống Hình 4.10: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh 86 Hình 4.11: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống sau khi hiệu chỉnh Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ thống bị sửa dạng và qua điểm z*, do đó bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (bước 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết định như mong muốn => đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế. 4.3.2. Thiết kế bộ diều khiển trễ pha Ta sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha khi muốn làm giảm sai số xác lập của hệ thống Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ như hình vẽ Hình 4.12 : Sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển trễ pha Khâu hiệu chỉnh cG (z) là khâu trễ pha C c C C z zG (z) K z p   với C Cz p (4.36) Bài toán đặt ra là chọn giá trị C C CK ,z ,p để làm giảm sai số xác lập của hệ thống mà không ảnh hưởng đáng kể đến chất lượng đáp ứng quá độ Đặt C C 1 p 1 z    (4.37) 87 Trình tự thiết kế Bước 1:Xác đinh  từ yêu cầu sai số xác lâp Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dJng hệ số vị trị *PK thì P * P K K   (4.38) Trong đó PK hệ số vị trí của hệ trước khi hiệu chỉnh *PK hệ số vị trí mong muốn Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc *vK thì V * V K K   (4.39) Trong đó VK -hệ số vận tốc của hệ trước khi hiệu chỉnh *VK -hệ số vận tốc mong muốn Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không làm ảnh hưởng đáng kể đến dạng QĐNS, suy ra 1 1c cz z     (chú ý điều kiện 1cz  ) (4.40) Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh C Cp 1 (1 z )     (4.41) Bước 4: Tính CK bằng cách áp dụng công thức c z z*G (z)GH(z) 1  (4.42) Trong đó *1,2z là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Do yêu cầu cần thiết không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thế gần đúng * 1,2 1,2z z (4.43) Với *1,2z là cặp cực quyết định cuả hệ thống trước khi hiệu chỉnh Ví dụ 4.2: Cho hệ thống điều chỉnh rời rạc có sơ đồ khồi như hình vẽ trong đó : Hàm truyền khâu liên tục 50G(s) s(s 5)   ,chu kỳ lấy mẫu của hệ thống sau khi hiệu chỉnh có hệ số vận tốc là *VK 100 . Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha 88 Giải: Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chinh 1 G(z) 0        0,5 Ts ZOH 1 2 0,5 0,5 2 0,5 1 e 50G(z) Z G (s)G(s) Z s s s 5 150(1 z ).Z s (s 5) z 0,5 1 e z (1 e 0,5ez 150 z 5(z 1) (z e ) 0,21z 0,18G(z) (z 1)(z 0,607)                                            Cặp cực quyết định của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là nghiệm của chương trình 1,2 0,21 0,181 0 0,699 0,547 ( 1)( 0,607)        z z j z z Hệ số vận tốc của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là 1 V z 1 1 V z 1 V 1K lim(1 z )GH(z) T 1 0,21z 0,18K lim(1 z ) 0,1 (z 1)(z 0,607) K 9,9              Do đó v* v K 9,9 0,099 100K     Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 c cz 0,99 z 0,99     Suy ra cực của khâu hiệu chỉnh C Cp 1 (1 z ) 1 0,099(1 0,99)        C c C z 0,99p 0,999 G (z) K z 0,999       Tính CK từ điều kiên C (z 0.99) (0.21z 0.18)K . z 0.999 (z 1)(z 0.607)      C (0,699 j0,547 0,99K 1 0,699 j0,547 0,999)      89 C 0,6239K 1,007 1 0,6196     Vậy c z 0,99G (z) z 0,999   Nhận xét QĐNS của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh gần giống nhau Hình 4.13 : Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh Hình 4.14: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống sau khi hiệu chỉnh 90 4.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI. Hình 4.15 : Sơ đồ khối của hệ dùng bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái Cho đối tượng điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình biến trang thái  d ddx(k 1) A (k) Bu(k)c(k) C x(k)   (4.44) Tín hiệu điều khiển trong hệ hồi tiếp trang thái là u(k) r(k) Kx(k)  (4.45) Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ hồi tiếp trang thái     d d d d d d d x(k 1) A x(k) B [r k Kx(k) c(k) C x(k) x(k 1) A B K x(k) B r(k) c(k) C x(k)           (4.46) Phương trình đặc tính của hệ hồi tiếp trang thái  d ddet zI A B K 0   (4.47) Lý thuyết điều khiển chứng minh được rằng: nếu rank(P) = n,với n là bậc của hệ thống và ] thì hệ thống trên điều khiển được, thì đó có thể tìm được vecto K để phương trình đặc tính (4.46) có nghiệm bất kỳ Trình tự thiết kế Bước 1: Viết phương trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh  d ddet zI A B K 0   (4.48) Bước 2 : Viết phương trình đặc tính mong muốn n i z 1 (z p ) 0    (4.49) Trong đó ip (i 1...n) là các cực mong muốn Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc tính (4.47) và (4.48) tìm được vectơ hồi tiếp K 91 Ví dụ 4.3: Cho hệ thống rời rạc như hình vẽ Hệ phương trình biến trạng thái môt tả đối tượng là  d d d x(k 1) A (k) B u(k ) c(k) C x(k)     Trong đó   d d d 1 0,316 A 0 0,368 0,092 B 0,316 C 10 0            Hãy tính vecto hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với 0,707  và 10nw rad/sec Giải : Phương trình đặc tính của hệ thống kín là  det 0  d dzI A B K  1 2 1 0 1 0,316 0,092 det(z k k ) 0 0 1 0 0,368 0,316                       1 2 1 2 1 2 1 2 z 1 0,092k 0,316 0,092k det 0 0,316k z 0,368 0,316k (z 1 0,092k ) z 0,368 0,316k 0,316k ( 0,316 0,092k ) 0                       2 1 2 1 2z 0,092k 0,316k 1,368)z (0,066k 0,316k 0,368) 0        (*) Cặp cực quyết định mong muốn * j 1,2z re   Trong đó nT 0,1*0,707*10r e e 0,493     2 2 nT 1 0,1*10 1 0,707 0,707        92  * j0,7071,2z 0,493e 0,493 cos(0,707) jsin(0,707)    * j0,707 1,2z 0, 493e 0,375 j0,320     Phương trình đặc tính mong muốn : 2 (z 0.375 j0.320)(z 0.375 j0.320) 0 z 0.75z 0.243 0(**)          Cân bằng các hệ số ở hai phương trình (*) và (**),ta được 1 2 1 2 (0,092k 0,316k 1,368 0,75 (0,066k 0,316k 0,368 0,243         Giải hệ phương trình trên ta được 1 2 k 3,12 k 1,047    Vậy  K 3,12 1,047 4.5. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID Từ yêu cầu thiết kế về đáp ứng quá độ (vị trí nghiệm của phương trình đặc tính ) và sai số xác lập, có thể tính toán giải tích ) và sai số xác lập,có thể tính toán giải tính để chọn thông số bộ điều khiển PID số .Sau đấy là một vi dụ Ví dụ 4.4: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ như hình vẽ 10( ) 10 1 G s s   ; ( ) 0,05H s  ; 2secT  Thiết kế khâu hiệu ( )cG z để hệ thống có cặp cực phức với 0,707, 2 / secnw rad   và sai số xác lập đối xá đôi với với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng 0 Giải. Do yêu cầu sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 nên ta sử dụng hiệu chỉnh ( )cG z là khâu PI c 1 p K T z 1G (z) K 2 z 1    Phường trìnhđặc tính cảu hệ thống sau khi hiệu chỉnh là 1 ( ) ( )cG z GH z 93 Trong đó Ts ZOH 1 e 10 *0,05G(H) G (s)G(s)H(s) s (10s 1)              0,091GH(z) (z 0,819)    Do đó I p K T z 1 0,0911 K 0 2 z 1 z 0,819            IK T z 1 0,0911 Kp 0 2 z 1 z 0,819             Thay T=2 ta suy ra 2 p I p Iz (0,091K 0,091K 1,819)z ( 0,091K 0,091K 0,819) 0        Cặp cực quyết đinh mong muốn là   n * j 1,2 T 2*0,707*2 2 2 n * j2,828 1,2 * 1,2 z re r e e 0,059 T 1 2* 2 1 0,707 2,282 z 0,059e 0,059 cos(2,282) jsin(2,828) z 0,056 j0,018                           Phương trình đặc tính mong muốn là  2 2 z 0,056 j0,018 (z 0,056 j0,018) 0 z 0,112z 0,0035 0          So sánh (1) và (2) suy ra P I p I 0,091K 0,091K 1,819 0,112 0,091K 0,091K 0,819 0,0035        Giải phương trình trên ta được p I K 15,09 K 6,13    Vậy c z 1G (z) 15,09 6,13 z 1    94 4.6. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ ĐỘNG CƠ MỘT CHIỀU 4.6.1. Phân tích hệ thống điều khiển số động cơ một chiều Sơ đồ khối hệ thống điều khiển động cơ một chiều, điều chỉnh tốc độ bằng cách thay đổi điện áp phần ứng : Hình 4.16: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển động cơ một chiều Trong phương pháp này, để thay đổi điện áp phần ứng ta sử dụng bộ chỉnh lưu nửa chu kỳ bán điều khiển thyristor, Chức năng cơ bản của các khối như sau: + Giao diện ra là mạch có chứa bộ biến đổi DAC giúp máy tính giao tiếp và đưa tín hiệu điều khiển ra bên ngoài. + Bộ khuếch đại ra là bộ phát và khuếch đại xung điều khiển mở 2 thyristor. + 1 2 1 2T ,T ,D ,D là bộ chỉnh lưu bán điều khiển 2 nửa chu kỳ + FT là máy phát tốc có nhiệm vụ biến tín hiệu tốc độ thành tín hiệu điện áp phản hồi về máy tính. + Giao diện vào là mạch có chứa bộ ADC dùng để biến tín hiệu phản hồi điện áp dạng tương tự thành dạng số cung cấp cho quá trình điều khiển bên trong máy tính Với phương pháp này điện áp phần ứng đặt lên động cơ đươc tính theo công thức : u 0U U cos2   (4.50) Với mô hình trên ta có sơ đồ của hệ thống khi chưa có bộ điều khiển mềm : 95 Hình 4.17: Sơ đồ điều khiển ĐCMC khi chưa có bộ điều khiển Trong đó : + KdW (p) là hàm truyền của khuếch đại với k kK 80,T 0.02(s)  + dcW (p) là hàm truyền của động cơ với d 1 2K 6.5,T 0.2(s),T 0.25(s)   + T là chu kỳ trích mẫu của hệ thống khi chuyển liên tục sang số hoặc ngược lại. Do hệ thống tương tự có hằng số thời gian nhỏ nhất là kT 0.02(s) nên chu kỳ trích mẫu phải nhỏ hơn kT để đảm bảo khả năng phản ứng kịp thời của hệ thống. Dựa vào khả năng hoạt động của máy tính và các bộ chuyển đổi ta chọn chu kỳ trích mẫu là T 0.005(s) a. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống Hàm truyền đạt kín của hệ thống có dạng :   dt k dt Z W (pY(z)W (z) U(z) 1 Z W (p    ( 4.51) Trong đó : k d dt Kd dc 2 k 1 2 2 2 K KW (p) W (p) * W (p) (T p 1)(T T p T p 1) 520 (0.02p 1)(0.05p 0.25p 1)          (4.51) Là hàm truyền đạt của đối tượng gồm khâu khuếch đại và động cơ Sử dụng công cụ Matlab ta có : 96 Từ đó xác định được hàm truyền đạt của hệ thống kín : Chuyển sang mô hình trạng thái : x(k 1) A.x(k)+B.u(k) y(k)=C.x(k)     (4.52) Qua Matlab ta tìm được các ma trận trạng thái bằng các lệnh : Kết quả thu được : >>Wdt = tf([80], [0.02 1])*tf([6.5], [0.2*0.25 0.25 1]) Transfer function: 520 ------------------------------------- 0.001 s^3 + 0.055 s^2 + 0.27 s + 1 >> Wdtd=c2d(Wdt, 0.005) Transfer function: 0.01012 z^2 + 0.03785 z + 0.008824 ------------------------------------- z^3 - 2.754 z^2 + 2.513 z - 0.7596 Sampling time: 0.005 >> Wk=feedback(Wdtd, 1) Transfer function: 0.01012 z^2 + 0.03785 z + 0.008824 ------------------------------- ---- z^3 - 2.743 z^2 + 2.551 z - 0.7507 Sampling time: 0.005 >> [A,B,C,D]=ssdata(Wk); >>A >>B >>C 97 >> [A,B,C,D]=ssdata(Wk) A = 2.7435 -1.2756 0.7507 2.0000 0 0 0 0.5000 0 B = 0.2500 0 0 C = 0.0405 0.0757 0.0353 D = 0 Kết quả thu được :   2.7435 1.2756 0.7507 A 2 0 0 , 0 0.5 0 0.25 B 0 ,C 0.0405 0.0757 0.0353 0                   (4.53) b. Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống - Tính điều khiển được : Ta lập ma trận 2P A .B A.B B    (4.54) Xét tính điều khiển được thông qua hạng của ma trận này >> P=[A^2*B A*B B] P = 1.2439 0.6859 0.2500 1.3717 0.5000 0 0.2500 0 0 >> det(P) ans = 98 -0.0313 >> rank(P) ans = 3 1.2439 0.6859 0.25 P 1.3717 0.5 0 0.25 0 0           (4.53) det(P) 0.0313 0    do đó hệ thống là điều khiển được + Tính quan sát được : Ta lập ma trận ' ' ' ' 2 'N C A .C (A ) .C    (4.55) >> C' ans = 0.0405 0.0757 0.0353 >> A' ans = 2.7435 2.0000 0 -1.2756 0 0.5000 0.7507 0 0 >> N=[C' A'*C' A'^2*C'] N = 0.0405 0.2625 0.6521 0.0757 -0.0340 -0.3196 0.0353 0.0304 0.1971 >> det(N) ans = -0.0045 >> rank(N) ans = 3 99 0.0405 0.2625 0.6521 N 0.0757 0.034 0.3196 0.0353 0.0304 0.1971            (4.56) det(N) 0.0045 0    do đó hệ quan sát được. c. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống Từ hàm truyền đạt ra xét phương trình đặc tính mẫu : 3 2z 2.743z 2.551z 0.7507 0    (4.57) >> HS=[1 -2.743 2.551 -0.7571]; >> x=roots(HS) x = 1.0744 + 0.3462i 1.0744 - 0.3462i 0.5941 + 0.0000i Bằng Matlab ta tìm được nghiệm của phương trình như sau : 1 1 2 2 3 z 1.0744 j0.3462 z 1.1128 z 1.0744 j0.3462 z 1.1128 z 0.5941          (4.58) Ta thấy rằng 1 2z z 1  nên hệ không ổn định. d. Quá trình quá độ của hệ thống Khảo sát bằng Matlab : >> step(Wk,0.185) 100 Hình 4.18: Đặc tính quá độ của hệ khi chưa có bộ ĐK Nhận xét : đặc tính quá độ ngày càng mở rộng nên đặc tính khi chưa có bộ điều khiển là không ổn định. 4.6.2. Tổng hợp hệ thống dùng bộ điều khiển PID a. Bộ điều khiển PID Hiện nay để tổng hợp một hệ thống điều khiển có rất nhiều phương pháp như sử dụng bộ PID nối tiếp, PID bù song song hay bộ hồi tiếp trạng thái. Trong đó sử dụng bộ PID bù nối tiếp là phương pháp kinh điển những vẫn được sử dụng rất nhiều. Bộ điều khiển PID gồm 3 thành phần : thành phần tỉ lệ - thành phần tích phân – thành phần vi phân. Mỗi thành phần có những ảnh hưởng nhất định đến chất lượng của hệ thống và việc lựa chọn một bộ tham số phù hợp cho ba thành phần đó sẽ đem lại cho hệ thống chất lượng mong muốn. Bộ PID có 2 loại : PID tương tự là bộ điều khiển bằng phần cứng, PID số là bộ điều khiển bằng phần mềm do người lập trình viết ra. Trong bài này ta sẽ sử dụng bộ điều khiển PID số. Hàm truyền liên tục của bộ điều khiển PID số có thể được viết dưới dạng sau : 101 I PID P d KW (s) K K s s    (4.59) Để chuyển từ bộ PID tương tự sang bộ PID số ta sử dụng phương pháp gần đúng Tustin bằng cách chuyển từng phần của bộ PID tương tự thành dạng rời rạc theo công thức : + Thành phần tỉ lệ được giữ nguyên + Thành phần tích phân được lấy gần đúng theo Tustin : I IK K T(z 1) s 2(z 1)   (4.60) + Thành phần vi phân được lấy gần đúng theo Tustin: D D K (z 1)K s Tz  (4.61) Trong đó T là chu kỳ trích mẫu của hệ thống Như vậy hàm truyền đạt rời rạc của bộ PID số là : I D PID P 2 2 P I D 2D D D P I P I K T(z 1) K (z 1)W (z) K 2(z 1) Tz 2TK z(z 1) K T z(z 1) 2K (z 1) 2TZ(z 1) K K K(K 0.5K T )z (K 0.5K T 2 )z T T T z(z 1)                    ( 4.62) b. Thông số bộ điều khiển PID Sử dụng phương pháp tổng hợp bộ điều khiển PID nối tiếp ta có sơ đồ hệ thống Hình 4.19 : Sơ đồ hệ thống sử dụng bộ điều khiển PID - Nhiệm vụ của quá trình tổng hợp là tìm các thông số Kp,Ki,Kd của bộ điều kiển PID sao cho hệ thống đạt chất lượng như mong muốn. Nhưng đến nay, chưa có phương pháp chuẩn nào để tìm một cách chính xác các thông số này của bộ điều khiển mà hoàn toàn phải “mò” dựa vào các thông số này của bộ điều PID lên chất lượng hệ thống thông qua kết quả mô phỏng trên Simulink 102 Mức độ ảnh hưởng các thông số của bộ PID đến chất lượng của hệ thống là phụ thuộc vào cấu trúc của hệ thông số bộ PID đến chất lượng cảu hệ thống là phụ thuộc vào cấu trúc của hệ tuy nhiên nó cũng tuân theo nguyên tắc cơ bản : Thời gian ổn định Độ quá điều chỉnh Độ sai lệch tĩnh Kp Ít ảnh hưởng Tăng Giảm Ki Tăng Tăng Triệt tiêu kd Giảm Giảm Ít ảnh hưởng Các bước để xác định thông số của bộ điều chỉnh PID + Xây dựng mô hình hệ thống trên phần mềm mô phỏng Simulink +Đặt các thông số cho bộ |PID tùy ý. +Chạy thử mô hình và kiểm tra kết quả đặc tính quá độ trên |Scope +Quan sát đường đặc tính quá độ của hệ thống,kiểm tra xem tính chất nào chưa đạt yêu cầu thì thay đổi thông số tương ứng của bộ PID theo mức độ ảnh hưởng cho trong bảng trên. + Chạy lại mô hình với thông số mới và tiếp tục kiểm tra,sửa đổi cho đến khi hệ đạt chất lượng như mong muốn Tuy nhiên để thuận tiện và nhanh chóng khi tổng hợp hệ thống,trong Matlab đã tích hợp sẵn một công cụ chuyên dụng giúp ta xác định tương đối chính xác thông số của bộ điều khiển PID đó là Rltool. Với công cụ này ta có thể xác định một cách sơ bộ thông số của bộ PID qua gán các điểm cực mong muốn cho hệ thống.Như ta đã biết các điểm cực là thông số quyết định đến chất lượng của hệ thống,với một hệ điều khiển số để ổn định thì các điểm cực phải năm bên trong vòng tròn đơn vị. Như vậy ta sẽ tìm các thông số của bộ PID để làm cho hệ thống ổn định bằng công cụ Rltool,sau đó chạy thử hệ thống trên Simulink và tiếp tục chỉnh sửa các thông số của bộ PID để đạt chất lượng mong muốn. 103 *Các bước thực hiện tìm thông số bộ PID nối tiếp Trong từng Command Windows đánh lệnh: Cửa sổ Rltool xuất hiện, ta nhập mô hình của đối tượng bằng cách vào :File\Import Model ta sẽ có sơ đồ mô hình hệ thống và của sổ để nhập thông số.Ta nhập Wdtz tượng,trong đó k là bộ có các thông số cần tìm. Hình 4.20: Hộp hội thoại để nhập các khâu trong hệ thống Để nhập thông số cho bộ PID ta vào Tool\Edit Compensator,hộp hội thoại cho phép ta nhập các điểm cực và điểm không của bộ PID xuất hiện.Từ hàm truyền rời rạc của bộ PID ta được hai điểm cực là :z1=1 và z2=0; còn hai điểm không ta có thể chọn tùy ý. 104 Hình 4.21: Hộp hội thoại nhập các điểm cực,điểm không cho bộ PID -Quan sát đồ thị quỹ đạo nghiệm,và thay đổi thông số PID bằng cách kéo các điểm cực,điểm không của bộ PID trên đồ thị sao cho hệ thống có chất lượng đạt yêu cầu.Từ đó ra rút ra được các thông số cơ bản của bộ PID là: Kp=0,0085; Ki=0,0024; Kd=0,000004; *Kiểm tra và thay đổi thông số bộ PID trên Simulink Xây dựng mô hình trên hệ thống trên Simulink với các thống số vừa tìm được Hình 4.22:Sơ đồ mô phỏng hệ thống trên Simulink -Chạy sơ đồ với thông số chưa hiệu chỉnh ta được đường đặc tính quá độ: 105 Hình 4.23:Đặc tính quá độ của hệ thống khi chưa có hiệu chỉnh Chỉnh định lại các thông số bộ PID cho đến khi hệ đạt chất lượng tốt: Hình 4.24: Sơ đồ mô phỏng hệ thống trên Simulink sau khi điều chỉnh TS Với các thông số tìm được : Kp=0,00274 Ki=0,000054/0,005=0,0108 Kd=0,098.0,005=0,0005; Đặc tính quá độ của hệ: 106 Hình 4.25: Đặc tính quá độ của hệ khi đã có hiệu chỉnh Qua đường đặc tính quá độ ta thấy chất lượng của hệ thống đã tốt hơn rất nhiều so vói trước khi điều chỉnh : +Thời gian quá độ :1,4s +Độ quá điều chỉnh :0,8% Như vậy thông số của bộ điều khiển PID số cần tìm là Kp=0,00274; Ki=0,0108; Kp=0,0005; Và có hàm truyền đạt 2 0,000054( 1) 0,0989( 1)W ( ) 0,0274 2( 1) 0,002767. 0,09526. 0,098 ( 1) PID z zz z z z z z z         107 CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN 1.Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hinh vẽ,trong đó : Hàm truyền khâu liên tục   s 1G s s(s 5)   Chu kỳ lấy mẫu T=0.2(sec) Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực quyết định ξ = 0 707 , (rad/sec) Trình bày các phương pháp chuyển đổi tín hiệu từ tương tự sang số và số sang tương tự 2.Cho hệ thống rời rạc như hình vẽ H Hệ phương trình biến trạng thái môt tả đối tượng là  d d d x(k 1) A (k) B u(k ) c(k) C x(k)     Trong đó   d d d 1 0,32 A 0 0,37 0,09 B 0,34 C 10 0            Hãy tính vecto hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với 0,707  và 10nw rad/sec