Rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp cho học sinh lớp 9 thông qua giải toán quĩ tích và dựng hình

Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 80(04): 185 - 189 185 RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH TỔNG HỢP CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA GIẢI TOÁN QUĨ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH Bạch Phương Vinh* Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản, đóng vai trò nền tảng trong hoạt động trí tuệ của học sinh. Việc tìm lời giải và khai thác bài toán quĩ tích và dựng hình vừa là mục đích vừa là phương tiện cho HS rèn luyện các thao tác tư duy. Vì vậy, để phát triển trí tuệ và tư duy sáng tạo cho HS cần coi trọng việc rèn luyện cho HS năng lực phân tích tổng hợp thông qua giải toán quĩ tích và dựng hình. Từ khóa: phân tích, tổng hợp, hoạt động trí tuệ, quỹ tích, dựng hình PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP* “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó”; “Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó” [1, tr 16]. Phân tích và tổng hợp không tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II). Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hoạt động trí tuệ như: tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tổng quát hoá... Do đó, trong mọi khâu của quá trình học tập toán học, đặc biệt trong hoạt động giải toán năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp HS nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo. * Tel: 0912748888 RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN TÌM CÁCH GIẢI Việc giải các bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán. Có người phải mày mò rất lâu, xét thử nhiều trường hợp mới tìm ra cách giải, lại có người tìm được cách giải bài toán một cách nhanh chóng. Như vậy, bí quyết tìm được lời giải chính xác và phương pháp giải nhanh gọn được tất cả HS quan tâm và tìm lời giải đáp. Theo chúng tôi con đường mà HS phải trải qua và có tầm quan trọng rất lớn trong quá trình đi tìm phương pháp giải bài toán, đó là khả năng phân tích bài toán tìm cách giải. HS cần tập luyện khả năng phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản hơn; phân tích các điều kiện của bài toán và bằng cách biến đổi bài toán, mò mẫm, dự đoán thử các trường hợp có thể xảy ra, xét truờng hợp đặc biệt của bài toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn...để có thể nghĩ đến những bài toán liên quan và đưa bài toán về dạng quen thuộc. Ví dụ 1. Cho đường thẳng AB và hai điểm C, P không nằm trên AB tìm trên đường thẳng AB một điểm M sao cho · ·AMC 2 BMP= • Phân tích bài toán, tìm cách giải Phân tích điều kiện của bài toán (cái toàn thể) ta thấy hai điểm C, P không nằm trên đường thẳng AB nên chúng có thể ở về hai phía đối với đường thẳng AB hoặc ở cùng một phía đối với đường thẳng AB. Do đó, khi tìm lời giải của bài toán phải chia bài toán (chia cái toàn thể thành hai bộ phận) thành hai trường hợp: Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 80(04): 185 - 189 186 - Trường hợp điểm C và P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB & M∈AB thoả mãn: · ·AMC 2 BMP= . Khi đó, MP là phân giác của góc ·AMC => CM là tiếp tuyến của đường tròn tâm P tiếp xúc với đường thẳng AB, ta có cách dựng - hình (H 1.1) - Trường hợp C và P cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Thực hiện SAB: C →C’ đưa bài toán về trường hợp đã xét - hình (H 1.2) - Kết hợp hai trường hợp ta có cách dựng: *) Trường hợp C và P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB: 1) Dựng đường thẳng AB, C∉AB, P∉AB; C, P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB; 2) Dựng đường tròn tâm P tiếp xúc với AB; 3) Dựng Cx là tiếp tuyến của đường tròn (P) xuất phát từ C; 4) Dựng M = Cx ∩ AB; - Nhận xét: có thể kẻ được 2 tiếp tuyến từ C đến đường tròn (P): Cx ∩ AB = M : · ·AMC 2 BMP= Cy ∩ AB = M’: · ·BM'C 2 AM'P= (M’ không là nghiệm). *) Trường hợp C và P cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB: 1) Dựng đường thẳng AB, C∉AB, P∉AB; C và P cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB; 2) Dựng đường tròn (P) tiếp xúc với đường thẳng AB; 3) SAB : C →C’; 4) Dựng C’x là tiếp tuyến của đường tròn (P) xuất phát từ C’ 5) Dựng M = C’x ∩ AB Học giải dạng bài tập trên cần chú trọng việc phân tích, chia bài toán thành những bộ phận để tìm đường lối giải sau đó tổng hợp lại để có lời giải của bài toán. RÈN LUYỆN PHÂN TÍCH CÙNG VỚI TỔNG HỢP Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O, R), (O’, R’) và điểm A thuộc đường tròn (O). Dựng đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường tròn (O), (O’) và đi qua A. *) Nhìn tổng hợp bài toán (cái toàn thể) đồng thời phân tích bài toán tìm cách giải: Giả sử đường tròn (C) đã dựng được thoả mãn mọi điều kiện của đề bài, ta có đường tròn (C) đi qua A & tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, như vậy bài toán giải được khi xác định được tâm của đường tròn (C). *) Phân tích tách những thuộc tính của tâm C: đường tròn (C) đi qua A & tiếp xúc với đường tròn (O) tại A => C∈OA; đường tròn (C) tiếp xúc với đường tròn (O’) chẳng hạn tại M => C ∈ O’M nên phải xác định M. *) Nhìn khái quát bài toán nhằm liên kết yếu tố phải tìm với các yếu tố đã biết, nên có thể kẻ 2 tiếp tuyến Ax, My của (O) & (O’); Ax∩My = P nên phải xác định điểm P. Do PA = PM (hai tiếp tuyến của đường tròn (C) cùng xuất phát từ P) => P∈d là trục đẳng phương của (O) & (O’). Do đó P = Ax∩d. Ta có cách dựng 1: Cách 1: (H 2.3) M' C' y' C A d y x O' P M O (H 2.94) (H 2.3) Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 80(04): 185 - 189 187 1) (O), (O’), A ∈ (O) 2) Ax là tiếp tuyến của (O) tại A. 3) d là trục đẳng phương của (O) & (O’). 4) P = Ax ∩ d. 5) Py là tiếp tuyến của (O’) từ P. 6) M là tiếp điểm của Py với (O’). 7) OA, O’M và C = OA ∩ O’M. 8) (C, CA). Nói chung bài toán có 2 nghiệm hình. *) Phân tích, tổng hợp khai thác bài toán: Nếu tách các thuộc tính của tâm C: - Thông qua việc xác định điểm M thì có thể sử dụng cách dựng 1 hoặc cách dựng 2 dựa vào phép biến hình (phép tịnh tiến). - Thông qua việc xác định điểm C là tương giao của hai hình là OA và đường trung trực BO’ (B∈OA & cách A một khoảng R’) ta có cách dựng 3. - Thông qua việc xác định đường tròn (C) là ảnh của một hình qua phép nghịch đảo ta có cách dựng 4. *) Cách 2: (H 2.4) 1) (O), (O’), A∈(O) 2) v T : O ' A '→r ; (phương v r ≡ phương OA uuur , 'v R= r ) 3) M = AA’ ∩ (O’) 4) C = OA ∩ O’M 5) (C, CA) *) Cách 3: Giả sử R > R’ - hình (H 2.5) 1) (O), (O’), A∈(O) 2) OA, trên tia AO lấy B sao cho AB = R’ 3) m là trung trực của BO’ 4) C = m ∩ OA 5) (C, CA) *) Cách 4: (HS giỏi) hình (H 2.6) 1) (O), (O’), A∈(O) 2) m = N(A, k = /( ')A O℘ )[(O)] 3) Dựng dường thẳng d có phương m và tiếp xúc với đuờng tròn (O’). 4) (C) = N(A, k = /( ')A O℘ )(d) RÈN LUYỆN PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP KẾT HỢP VỚI CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) & 2 diểm A, B trên (O). Điểm C di động trên đường tròn (O). Trên tia AC lấy điểm M ở phía ngoài đường tròn sao cho CM = BC. Tìm quỹ tích những điểm M ? *) Phân tích tổng hợp kết hợp với hoạt động phân chia trường hợp Hình dạng quỹ tích của M phụ thuộc vào sự chuyển động của điểm C trên cung lớn AmB hoặc cung nhỏ AnB của đường tròn (O). Vì thế, khi giải bài toán trên HS phải phân chia hai trường hợp. M (H 2.95) B C O' O R'R' A m (H 2.5) A' M A O O' C (H 2.96) ( .4 P' P H' H B d m M A O O' C (H 2.97) (H 2.6) Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 80(04): 185 - 189 188 (1) Khi C di động trên cung AmB Ta chứng minh được AMB 2 α = (const). Đưa bài toán về quỹ tích cơ bản cung chứa góc 2 α vẽ qua AB (Quỹ tích M là cung A 'm 'B của cung chứa góc 2 α vẽ trên AB). (2) Tương tự, ta có khi C di động trên cung AnB quỹ tích M là cung A ''n 'B của cung chứa góc 900 - 2 α vẽ trên AB. *) Kết luận: khi C di động trên cả đường tròn (O) quỹ tích M là 2 cung: - cung A 'm 'B chứa góc 2 α vẽ trên AB - cung A ''n 'B chứa góc 090 2 − α vẽ trên AB. (HS có thể giải bài toán bằng phương pháp biến hình) *) Phân tích tổng hợp kết hợp với hoạt động đặc biệt hóa Xét các trường hợp đặc biệt: khi dây AB là đường kính của đường tròn (O) hay là một cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O)... Cách giải hoàn toàn tương tự như ví dụ 3. Ta có các bài toán sau: Bài toán 3.1. (H 3.8) Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C chuyển động trên đường tròn đó. Trên tia AC ở phía ngoài đường tròn lấy điểm M sao cho CM = BC. Tìm quỹ tích những điểm M. Bài toán 3.2. (H 3.9) Cho tam giác đều ABD nội tiếp trong đường tròn (O). Một điểm C chuyển động trên đường tròn đó. Trên tia AC ở phía ngoài đường tròn lấy điểm M sao cho CM = BC. Tìm quỹ tích những điểm M. Ví dụ 4. (H 4.10) Cho góc vuông xOy và điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông quay quanh A cắt Ox, Oy ở P & Q. Tìm quỹ tích hình chiếu H của A trên PQ. Hạ AA’ ⊥ Ox; AA’’ ⊥ Oy dễ dàng chứng minh được  0A 'HA '' 180= , Do P và Q ở trên Ox, Oy nên ta có quỹ tích H là đoạn thẳng A’A’’ ở trong góc xOy . *) Phân tích tổng hợp kết hợp với hoạt động tổng quát hóa Tổng quát hoá bài toán trên khi góc xOy có số đo bằng α và góc quay quanh A có số đo bằng β: Bài toán 4.1. (H 4.11) Cho góc xOy = α và điểm A cố định nằm trong góc đó. Góc β không đổi quay quanh A cắt Ox, Oy ở P & Q. Tìm quỹ tích hình chiếu H của A trên PQ. Kết luận quỹ tích H: (H 2.67) y x 2 1 2 1 H A'' A' Q P O A (H 4.10) Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 80(04): 185 - 189 189 +) Nếu 0 00 180< α + β < thì quỹ tích H là cung chứa góc α + β vẽ qua A’, A’’. +) Nếu 0180α + β = thì quỹ tích H là đoạn A’A’’. +) Nếu 0 0180 360< α + β < thì quỹ tích H là cung chứa góc 0360 ( )− α + β vẽ qua A’, A’’. +) Nếu 0360α + β = nghĩa là 0180α = β = thì quỹ tích H là tập Φ . Như vậy, xuất phát từ bài toán ban đầu bằng tương tự hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tổng quát hoá, nhìn bài toán ở khía cạnh khác nhau phân tích, thay đổi điều kiện bài toán HS sẽ tìm thấy những mối liên hệ của các yếu tố trong bài toán để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc đi đến lời giải bài toán và cả những lời giải hay, độc đáo; đồng thời cũng từ đó đề xuất những bài toán mới. Đó chính là quá trình HS được rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp trong mối liên hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Hoàng chúng (1997), PPDH Toán học ở trường phổ thông THCS, Nxb GD. [2]. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân (1999), Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của HS qua môn Toán ở Trường THCS, Nxb Giáo dục. [3]. Vũ Dương Thuỵ, Phạm Gia Đức, Hoàng Ngọc Hưng, Đặng Đình Lăng (1998), Thực hành giải Toán, Nxb Giáo dục. [4]. SGK, SBT, sách Toán nâng cao lớp 9, Nxb Giáo dục từ 2005 SUMMARY PRACTISING ANALYTICAL ABILITY AND SYNTHETIZING FOR THE 9TH GRADE STUDENTS TO SOLVE LOCUS EXCERCISES AND FRAME PIX Bach Phuong Vinh* College of Education - TNU Analysing and synthetizing are the basic thinking process, they play the fundamental role in intellectual activities of students.To find the answer and to exploit geometri-cal locus excercises is the goal and the medium for student to practise thinking operations. Thus, to develop intelligence and creative thinking for student, needs to take seriously fostering synthetic capacity analysis to solve locus excercises and frame pix. Keywords: Analysis, synthesis, intellectual activity, locus, frame pix * Tel: 0912748888 βα P Q H y x a'' a' 2 1 2 1 A O (H 4.11)