Quan hệ vuông góc

QUAN HỆ VUÔNG GÓC DOWNLOAD DOWNLOAD TẠI ONTHIDAIHOC24H.COM GV : NGUYỄN ĐỨC KIÊN 1 BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa và các phép toán  Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong không gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt phẳng.  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:      AB BC AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:      AB AD AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:        ' 'AB AD AA AC + Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có:      0IA IB ;      2OA OB OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:              0; 3GA GB GC OA OB OC OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:                  0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG + Điều kiện hai vectơ cùng phương:         ( 0) ! :a vaø b cuøng phöông a k R b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có:         ; 1 OA kOBMA kMB OM k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ  Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ   , ,a b c , trong đó  a vaø b không cùng phương. Khi đó:   , ,a b c đồng phẳng  ! m, n  R:     c ma nb  Cho ba vectơ   , ,a b c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p  R:     x ma nb pc 3. Tích vô hướng của hai vectơ  Góc giữa hai vectơ trong không gian:             0 0, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC  Khi xác định góc của 2 vecto ko cùng gốc ta phải cố gắng đưa về cùng gốc để xác định góc bằng cách dựng vecto bằng vecto ban đầu  Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho   , 0u v . Khi đó:      . . .cos( , )u v u v u v + Với     0 0u hoaëc v . Qui ước:   . 0u v 2 +      . 0u v u v B. BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng: a. SA SC SB SD       b. 2 2 2 2 SA SC SB SD       Giải a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: 2SA SC SO     (1) Vì OB = OD nên 2SB SD SO     (2) So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SD       b. Ta có: 2 22( ) 2 .SA SO OA SO OA SO OA            Mà 0OA OC     nên 2 2 2 2 2 2SA SC SO OA OC         Tương tự ta có: 2 2 2 2 2 2SB SD SO OB OD         Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có OA OB OC OD       Từ đó suy ra 2 2 2 2 SA SC SB SD       Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: a. 2AD BC AC BD MN         b. 0GA GB GC GD         c. 4PA PB PC PD PG         với P là một điểm bất kì. Giải: a. Ta có: MN MA AD DN       và MN MB BC CN       Suy ra: 2 ( ) ( )MN MA MB AD BC DN CN             Vì 0MA MB DN CN         nên 2MN AD BC     Ta suy ra: 2AD BC AC BD MN         b. Vì 2 , 2 , 0GA GB GM GC GD GN GM GN               nên 0GA GB GC       c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có: Hình 6.2 O D CB A S Hình 6 .3 D C B G N M A 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0PA PG PB PG PC PG PD PG                 Do đó: 4PA PB PC PD PG         DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng Pp:  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: + Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R:     c ma nb thì   , ,a b c đồng phẳng  Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ   , ,a b c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:     x ma nb pc BÀI TẬP Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho ( 0)AM BN k k AC BD    . Chứng minh rằng ba vectơ , ,PQ PM PN    đồng phẳng. Giải: Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có: 1 1( ) [( ) ( ) 2 2 1 [( ) ( )] 2 PQ PC PD AC AP BD BP AC BD AP BP                      Vì 0AP BP     nên 1 ( ) 0 2 PQ AC BD       Theo giả thiết ta có 1AC AM k    và 1BD BN k    Do đó 1 ( ) 2 PQ AM BN k      Vì: AM AP PM     và BN BP PN     nên 1 ( ) 2 PQ AP PM BP PN k          Vậy: 1 1 2 PQ 2 PM PN k k      Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ , ,PQ PM PN    đồng phẳng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho     2MS MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho    1 2 NB NC . Chứng minh rằng ba vectơ    , ,AB MN SC đồng phẳng. HD: Chứng minh     2 1 3 MN 3 AB SC . 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH. a) Chứng minh ba vectơ    , ,MN FH PQ đồng phẳng. Q P Hình 6.4 D C B G N M A 4 b) Chứng minh ba vectơ    , ,IL JK AH đồng phẳng. HD: a)    , ,MN FH PQ có giá cùng song song với (ABCD). b)    , ,IL JK AH có giá cùng song song với (BDG). 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE. a) Chứng minh ba vectơ    , ,AJ GI HK đồng phẳng. b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho   1 3 FM CN FA CE . Các đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ    , ,MN PQ CF đồng phẳng. 4. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song song với nhau. HD: Chứng minh      1 ' 5 ' 8 GG AB AA     , ', 'AB AA GG đồng phẳng. 5. Cho ba vectơ   , ,a b c không đồng phẳng và vectơ  d . a) Cho    d ma nb với m và n  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i)   , ,b c d ii)   , ,a c d b) Cho       d ma nb pc với m, n và p  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i)   , ,a b d ii)   , ,b c d iii)   , ,a c d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng. 6. Cho ba vectơ   , ,a b c khác  0 và ba số thực m, n, p  0. Chứng minh rằng ba vectơ              , ,x ma nb y pb mc z nc pa đồng phẳng. HD: Chứng minh       0px ny mz . 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có        ' , ,AA a AB b AC c . Hãy phân tích các vectơ   ' , 'B C BC theo các vectơ   , ,a b c . HD: a)       'B C c a b b)       'BC a c b . 8. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Phân tích vectơ  OG theo các ba    , ,OA OB OC . b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ  OD theo ba vectơ    , ,OA OB OC . HD: a)        1 3 OG OA OB OC b)        1 4 OD OA OB OC . 9. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích hai vectơ   OI vaø AG theo ba vectơ    , ,OA OC OD . b) Phân tích vectơ  BI theo ba vectơ    , ,FE FG FI . HD: a)        1 2 OI OA OC OD ,         AG OA OC OD . b)        BI FE FG FI . 10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ  AE theo ba vectơ    , ,AC AF AH . b) Phân tích vectơ  AG theo ba vectơ    , ,AC AF AH . HD: a)        1 2 AE AF AH AC b)        1 2 AG AF AH AC . 5 DẠNG 3. Hai đường thẳng vuông góc PP: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, ). BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng a) . . . 0AB CD AC DB AD BC         b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau. Giải: a): . . . 0AB CD AC DB AD BC         Ta có: . .( ) . . (1) . .( ) . . (2) . .( ) . . (3 AB CD AB AD AC AB AD AB AC AC DB AC AB AD AC AB AC AD AD BC AD AC AB AD AC AD AB                                        ) Từ (1), (2), (3) ta suy ra . . . 0AB CD AC DB AD BC         b) theo câu a, nếu ABCD nghĩa là . 0AB CD    và AC  DB nghĩa là . 0AC DB    thì từ hệ thức (4) ta suy ra . 0AD BC    nghĩa là AD  BC. Bài 2:( VD2 trang 170 TT vân anh) Bài 3 ( VD1: trang 385 L H Đ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và    ASB BSC CSA . Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB. HD: Chứng minh   .SA BC = 0 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. HD: b)   3cos( , ) 6 AC BM . 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó. b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. HD: b)    2 2 2 2 2 2 2 2 2arccos ; arccos ; arccos a c b c a b b a c . 4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. 6 5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC  BD, AB  CD, AD  CB. BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng        , ( ), ( ) , a b P a b O d P d a d b 3. Tính chất  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.      ( ) ( ) a b P b P a       ( ), ( ) a b a b a P b P      ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a Q a P       ( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( ) P Q P Q P a Q a      ( ) ( ) a P b a b P       ( ) ) ,( ) a P a P a b P b 4. Định lí ba đường vuông góc Cho  ( ), ( )a P b P , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Nếu d  (P) thì  ,( )d P = 900.  Nếu  ( )d P thì  ,( )d P =  , 'd d với d là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 00   ,( )d P  900. B. BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp. Hai đường thẳng vuộng góc Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp 1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt phẳng () . ( ), ( ), c ( ) , b c b x a a b a c            2. Chứng minh đường thẳng a song song với b và b vuông góc với mặt phẳng (). // ( ) ( ) a b a b        3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp() và () song song () ( ) //( ) ( ) ( ) a a          4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  () 7 5. Chứng minh đường thẳng a nằm trong () và vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng () và () vuông góc nhau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a a b                6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba (). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a                 Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng 1. Dùng định nghĩa : ( , ) 90oa b a b   2. Dùng tích vô hướng Với u, v   là vectơ chỉ phương của a và b thì a  b  u v.   = 0 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường thẳng c song song với b //b c a b a c      4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () chứa đường thẳng b. ( ) ( ) a a b b         5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường cao, 6. Chứng minh a nằm trong mp () và a vuông góc với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng () (định lí 3 đvg) ( ) ( ) ' a a b a b bch        7. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mp (P) và (P) song song với đường thẳng b ( ) //( ) a P a b b P      Bài tập Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B. a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC SB. b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC. Bài 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD. a. Chứng minh BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC) b. Chứng minh SC (AHK) và HK (SAC). Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD. 8 a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN (SAC). Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh: 'MP C N . Giải: Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’, ( ' ')MP MED A (1) Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau     0' ' ' ' ' 90 ' 'CNC C ED CC N C NC C N ED       (2) Do ME // BC ( ' ') 'ME CDD C ME C N    (3) Từ (2) và (3) ' ( ' ') 'C N MED A C N MP    Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM BP. Giải : Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD Vì (SAD) (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SHBP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có     090CBP DCH CBP HCB BP CH      (2) Từ (1) và (2) suy ra:  BP SHC (3) Do HC // AN, MN // SC    / /SHC MAN (4) Từ (3) và (4) suy ra:  BP MAN AM BP   (đpcm) Bài 6: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh MN BD Giải Ta có SEAD là hình bình hành / /SE DA và SE = DA  SEBC cũng là hình bình hành / /SC EB Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC. Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1) Ta có DB AC và   SH (ABCD)BD SH do   BD SAC  (2) Từ (1) và (2) suy ra:  DB MNP BD MN   (đpcm) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). H M N P A C B D S N P N M E H D CB A S 9 b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC  (AID). b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC  (OAH). b) H là trực tâm của tam giác ABC. c)   2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC . d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. HD: a) a, 3, 2 2 a a c) 5 2 a 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) CMR: SH  (ABCD). b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA. b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL. HD: a) a 2 . c) 28 15 a . 9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông tại S. b) SD  CE. c) Tam giác SCD vuông. 10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC. a) Chứng minh: CC  (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD. 11. Cho hình tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2. 10 b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau DẠNG 2: góc giữa đường và mặt Pp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).  Tìm giao điểm O của a với (P).  Chon điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó   ( ,( ))AOH a P BÀI TẬP 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết   0( ,( )) 60MN ABCD . a) Tính MN và SO. b) Tính góc giữa MN và (SBD). HD: a) MN = 10 2 a ; SO = 30 2 a b) sin  5( ,( )) 5 MN SBD . 2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) HD: a) 600 b) arctan 1 7 c) arcsin 1 14 d) arcsin 21 7 . 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB góc . a) Tính SA. b) CMR: AB = a     cos( ).cos( ) . HD: a) a.sin 4. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,  BAC . Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc . a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). HD: b)   .sin 2 cos a . 5. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC). Đường chéo BC của mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300. a) Tính AA. b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC). c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC). HD: a) a 2 . b) 66 11 a . c) arcsin 54 55 . 6. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA  (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc . a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và . b) Chứng minh rằng: cos = 2 sin. HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a 2 cos; AA = a.sin. 11 DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Pp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy. BÀI TẬP 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a). a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x). 2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này. HD: S = 2 15 20 a . 3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA  (ABC) và SA = a 3 . M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P). b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất. HD: b) S = 3 x(a – x); S lớn nhất khi x = 2 a . 4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau: a) (P) qua S và vuông góc với BC. b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB. HD: a) 2 3 4 a . b) 22 21 49 a . c) 25 3 32 a . 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 2 . Vẽ đường cao AH của tam giác SAB. a) CMR:  2 3 SH SB . b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. HD: b) S = 25 6 18 a HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A.LÝ THUYẾT: 1.Góc giữa hai mặt phẳng: a) Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó. * Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0o. b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau: Cho (P)  (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c Trong (P) qua I kẻ a  c.Trong (Q) qua I kẻ b  c. Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b). c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos . Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),  = góc ((P), (Q)). 2.Hai mặt phẳng vuông góc: a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90o. 12 + Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P) (Q) hay (Q)  (P). b)Tính chất : * Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Tóm tắt : (P) (Q) )(:)( QaPa  . * Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Tóm tắt : (P) (Q), (P)  (Q) = c, a )(),( QacaP  * Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). Tóm tắt : (P) (Q), A )()(,),( PaQaAP  * Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vuông góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó . Tóm tắt: (P) )()()(),()(),( RaRQRPQ  * Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P). Tóm tắt: a )()(,)(!)( PQaQP  3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương: a)Hình lăng trụ đứng: * Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. * Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. b)Hình lăng trụ đều: * Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. * Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy . c)Hình hộp đứng: * Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. * Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật. d)Hình hộp chữ nhật: * Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. * Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật. e)Hình lập phương : * Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. 4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều: a)Hình chóp đều: * Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. * Nhận xét: + Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp. + Một hình chóp là hình chóp đều  đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy. + Một hình chóp là hình chóp đều  đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau. b)Hình chóp cụt: * Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều. * Nhận xét: + Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau. + Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. + Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau. 13 R P Q p q B.BÀI TẬP DẠNG 1: Xác định góc giữa 2 mp Pp: Phương pháp :  Xác định góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách 1 : Dùng định nghĩa :       , ,P Q a b trong đó :    a P b Q       Cách 2 : Dùng nhận xét :                       , , R P Q R P p P Q p q R Q q              .  Cách 3 : Dùng hệ quả :              ,P M Q H h ch M P Q M N H H N m P Q            . B. B ÀI TẬP 1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). HD: a)  ( ),( )SAC SBC = 600 b) cos  3(( ),( )) 10 SEF SBC . 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. HD: SA = a. 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a 3 . a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). HD: a) tan (( ),( )) 7SAD SBC b) cos  10(( ),( )) 5 SBC SCD . 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) HD: a) 600 b) arctan 6 c) 300. 5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 3 3 a ; SA  (ABCD) và SO = 6 3 a . a) Chứng minh ASC vuông. b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). HD: c) 600. 14 6. Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos 6 3 . DẠNG 2: chứng minh 2mp vuông góc Pp: +) Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. +) Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S. ABC có SA  (ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC. MR: a) S, H, E thẳng hàng b) (SBC)  (SAE), (SBC)  (CFH). c) OH  (SBC). Giải: a) + SA  (ABC), AE  BC SE  BC (Theo định lí 3 đường vuông góc) Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên S, H, E thẳng hàng b) * Ta có : BC  AE, BC  SE c) BC  (SAE) Mà BC  (SBC) nên (SBC)  (SAE). * Vì SA  (ABC) SA  CF và AB  CF SBCFSABCF  )( Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC CH  SB Từ đó suy ra SB  (CFH), mà SB )()()( CFHSBCSBC  d) Theo chứng minh trên ta có: + BC  (SAE), OH OHBCSAE  )( + SB  (CFH), OH OHSBCFH  )( Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)OH  (SBC). Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh: a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Tam giác SBD vuông tại S Giải a. ABCD là hình thoi nên có AC  BD tại O. Mặt khác SA = SC nên có AC  SO. Vậy AC  (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC  (SBD) nên (ABCD)  (SBD). b. Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO = DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S. Bài 3 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh rằNG (SAC)  (BHK) và (SBC)  (BHK) A' K H C BA S Hình 6 .10 15 b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Giải: a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BCAA’ và BCSA suy ra BC(SAA’). Do đó BCSA’. Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC. Vì BH  AC và BH  SA suy ra BH  (SAC) Do đó ( ) BH SC SC BHK BK SC       Vậy: (SAC)  (BHK) BC  (SAA’) do đó BC  HK; SC  (BHK) do đó SC  HK. Từ đó suy ra HK  (SBC) và (BHK)  (SBC) b. Gọi SSBC là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có: ( )( )( )SBCS p p a p b p c    trong đó p = ½ (13+14+15) = 21 Do đó 221(21 13)(21 14)(21 15) 84( )SBCS cm     Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức S’ = S cos trong đó  = 300 là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có: SABC = S’ = 84.cos300 = 42 3 (cm2) Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a)CMR: (SAB)  (SAD), (SAB)  (SBC). b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (SHC)  (SDI). Gài a)* Gọi H là trung điểm của AB. - Vì SAB là tam giác đều  SH  AB. Do (SAB)  (ABCD), (SAB)  (ABCD) = AB SH  (ABCD) SH  AD (1) - Vì ABCD là hình vuông AB AD (2) - Từ (1) và (2) AD  (SAB). Mà AD  (SAD). Vậy (SAD)  (SAB) * Lập luận tương tự ta có (SBC)  (SAB) b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC): - Ta có AD  (SAD), BC  (SBC), AD // BC  )(SAD (SBC) = St // AD - Vì (SAD)  (SAB), (SBC)  (SAB) St  (SAB) St  SA, St  SB Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB. * Tính góc ASB: Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60o Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60o. c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HCDI Mặt khác do SH  (ABCD) SH  DI. Vậy DI  (sHC), mà DI ).()()( SHCSDISDI  Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO  (ABCD), Đặt SO = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)  (SAB), (SMN)  SCD). A 16 b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để 2 mặt phẳng đó vuông góc. Giải: a)* Ta có SO  (ABCD) ABSO  Từ giả thiết MN  AB )(SMNAB  , mà AB )(SAB nên (SAB)  (SMN) Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) bằng 90o * Lập luận tương tự ta có (SCD)  (SMN) góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90o * Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD): - AB CDABStSCDSABCDABSCDCDSAB ////)()(//),(),(  - Vì (SAB) SNStSMStSMNStSMNSCDSMN  ,)()()(),( Do SM  )(),( SCDSNSAB góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa 2 đường thẳng SM và SN. Giả sử góc MSN =  .đặt  = góc (SM,SN) cos = cos *Tính góc  : - Ta có SM2 = SN2 = h2 + a2, MN = 2a. - Xét tam giác SMN: MN2 = SM2 + SN2 – 2 SM.SN.cos  4a2= 2(h2 + a2) – 2(h2+ a2).cos  cos =    22 22 ah ah cos 22 22 ah ah    (1) Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là  mà cos thoả mãn (1) *(SAB) (SCD)  = 90o  cos  0 h = a. :BÀI 6 (ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và ( )SA ABCD . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh ( ) ( )SAC SMB . Giải: Giả sử I là giao điểm của AC và MB Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy ra 1 2 AI IC 2 2 2 2 2 2 213 , 9 3 aAC AD DC a AI AC     2 2 2 2 21 1 2 9 9 2 6 a aMI MB a              Từ đó suy ra 22 2 2 2 22 3 6 2 a a aAI MI MA            Vậy AMI là tam giác vuông tại I MB AC  (1) Mặt khác ( )SA ABCD SA MB   (2) Từ (1),(2) suy ra ( ) ( ) ( )MB SAC SMB SAC    đpcm BÀI 7: (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. S t C N D O A M B a 2 a I M D CB A S 17 Giải : Ta có A’B = A’D 'A O BD  ( O là tâm cua hình vuông ABCD ) Lại có MB MD MO BD   Từ đó 'A OM là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) Vì vậy  0( ' ) ( ) ' 90A BD MBD A OM   2 2 2' 'A O OM A M   (1) Ta có 2 2 2' 'A O A B BO  2 2 2 2 22 2 2 a aa b b            (2) 2 2 2 2 2 4 2 b aOM MC CO    (3) 2 2 2 2 2' ' ' ' 2 4 bA M A C C M a    (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 2 2 2 25 2 (do a , b >0) 4 4 b ba a b a     Vậy với 1a b  thì ( ' ) ( )A BD MBD BÀI 8: (ĐH Hải Phòng năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau. Giải: Do AB = AC AI BC  (1) Vì AB = AC SB = SC SI BC   (2) Từ (1) và (2) suy ra BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm    BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD. a) Chứng minh: AB  (BCD). b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  (ADC). 3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). a) Chứng minh (SAC)  (SBD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). HD: b) 900. I C B A S O M a b D' C'B' A' D CB A 18 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = 2 a , DN = 3 4 a . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC). a) Chứng minh (ABB)  (ACC). b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK). 6. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh rằng SI  (ABCD), AD  (SAB). b) Tính góc giữa BD và mp(SAD). c) Tính góc giữa SD và mp(SCI). HD: b) arcsin 6 4 c) arcsin 10 5 BÀI 5: KHOẢNG CÁCH A. LÝ THUYẾT 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a H O H O P 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH a H O P 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH H O Q P 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. B A b a 19 B. BÀI TẬP DẠNG 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng) PP: - Xác định chân đường vuông góc trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng cách từ một điểm cho trước đến nó.   ( , ) ( ,( )) d M a MH d M P MH trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P). - Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (Bao hàm cả định lý Pitago), hoặc lượng giác để tính các khoảng cách cần tìm. BÀI 1: Bài toán cơ bản Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH (ABC) . a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC b/ Chứng minh hệ thức 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    Giải: a/ Kẻ OH (ABC), AH BC = M   Ta có OH BC , BC OA   OA OB do OA (OBC) OA OC        BC (AOH) BC AH     Lập luận tương tự BH AC Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra MO BC  Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có 2 2 2 1 1 1 OH OA OM   (1) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có 2 2 2 1 1 1 OM OB OC   (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC     đpcm Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các bài toán về “quan hệ vuông góc” của hình học không gian. Các ví dụ 2 , 3 dưới đây sẽ minh hoạ cho điều đó. BÀI 2: (ĐH khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến (BCD). Giải : Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm , suy ra ABC là tam giác vuông tại A.Vậy AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Theo ví dụ 1 ta có : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 16 16AH AB AC AD       6 34 17 AH  H M C B O A H 53 4 4 D C B A 20 BÀI 3: (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Giải: Gọi E là trung điểm BB’ Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM) Suy ra d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) = d(B,(AEM)) (vì MB = MC) Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi một vuông góc với nhau. Theo ví dụ 1 nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD ( ( )H AEM ) thì 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 2 4 aBH a aBH BA BE BM a a          7( , ' ) 7 ad AM B C  DẠNG 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau PP: 1) Nếu như d1 // (P), trong đó d2 chứa trong (P) thì khoảng cách giữa d1 , d2 bằng khoảng cách giữa d1 và (P). 2) Nếu như d1 chứa trong (P), d2 chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d1 và d2 bằng khoảng cách giữa (P) và (Q) +) Lưu ý: rằng nếu d1 // (P) thì khoảng cách giữa d1 và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của d1 đến (P). Tương tự khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Nhu vậy cuối cùng ta lại quy bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. BÀI TẬP BÀI 1. (ĐH khối D năm 2008) Đó chính là ví dụ 3 , loại 1 vừa xét ở trên BÀI 2: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a. Giải : Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1) Ta có SE // DA và SE = DA  SE // BC Có SE = BC  SEBC là hình bình hành  EB // SC (2) Vậy từ (1) , (2)  MP // SC Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)  d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 2 4 4 aBD  (với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC). BÀI 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) C' B' A' M E B CA H P N M E O B CD A S 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. Giải : Ta có : BC // MN  MN // (A’BC)  d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) Ta có : AI A'B ( AB' A'B = I)   Lại có BC (BAA'B') BC AI    Từ đó AI (A'BC)  .Vì thế nếu kẻ MH // AI (H A'B)  thì MH (A'BC)  và 1 2d(M,(A'BC)) = MH = AI = 2 4 a (2) Từ (1) , (2) suy ra 2d(MN,A'C) = 4 Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này bằng phương pháp thể tích. DẠNG 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung PP Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm ,M a N b  sao cho ,MN a MN b  , khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b. Vấn đề ở chỗ là làm thế nào để xác định được hai điểm M, N? Phương pháp tổng quát tiến hành như sau: - Dựng mp(P) chứa a và song song với b. Lấy một điểm B trên b, kẻ BB’  (P), B’ (P) - Trong (P) qua B’ dựng b’ // b - Gọi M = 'a b . Từ M kẻ MN // BB’ (N  b) - Khi đó MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tuy nhiên nếu a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b vuông góc với nhau ) thì ta lại có cách xử lý tương ứng và đơn giản hơn. BÀI TẬP BÀI 1 Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Giải : Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc nhau. Dựng (P) qua b vuông góc với a. Giả sử a  (P) = M Trong (P) dựng MN vuông góc với b. Khi đó MN là đường vuông góc chung của a và b. Xem một ứng dụng của ví dụ 7 sau đây: BÀI 2: (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. Giải : Ta có AB1  A1B (vì BAA1B1 là hình vuông) A1B  AD (vì AD  (BAA1B1))  A1B  (B1AD)  A1B  B1D (1) Ví DD1  (A1B1C1D1)  DD1  A1C1 Do A1B1C1D1 là hình vuông nên A1C1  B1D1 Từ đó A1C1  (B1DD1)  A1C1  B1D (2) I H NM D' C' B' A' D CB A B' BN M b' b aP M N b a P G a H D1 C1B1 A1 D CB A 22 Từ (1) và (2) suy ra : B1D  (A1BC1) (3) Bây giờ ta tìm giao điểm của B1D với (A1BC1) . Gọi H là giao điểm của AB1 và A1B. Trong mặt chéo (B1A1DA) rõ ràng : HC1 B1D = G. Do B1H = HA = 1 2 C1D  GH = 1 2 GC1  G là trọng tâm của tam giác A1BC1. Vì A1BC1 là tam giác đều nên GH  A1B , còn GH  B1D vì B1D  (A1B1C1). Như thế GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách giữa A1B và B1D. Ta có : 1 1 1 1 1 2. 3 6 6( , ) 3 3 6 6 6 a a aGH C H d A B B D     Nhận xét : Trong ví dụ này vì A1B  B1D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hành các bước đã nêu trong ví dụ 7. BÀI 3 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Giải: Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM  AB và DM  AB  AB  (MCD)  AN  MN Lý luận tương tự ta có : CD  (ANB)  CD  MN. Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD. Ta có : MC = MD = 6 2. 3 3 6 2  . Vậy 2 2 2 2 2(3 6) (3 2) 36 6MN MC CN MN cm       BÀI 4: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a và AD = a, AD  BC. Khoảng cách từ A đến BC là a. Gọi M là trung điểm của BC. Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và BC. Giải Gọi M là trung điểm của BC. Có DM  BC ( trung tuyến của tam giác BCD đều) AD  BC (gt)  BC  (ADM) có M = BC  (ADM). Trong (ADM) kẻ MN  AD. Vì BC  (ADM) nên BC  MN. Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC. Xét  AMD có MDAHADMNS AMD .2 1. 2 1  (1) Với H là trung điểm của MD  AH  MD (AMD cân tại A) Có AD = a, MD = 2 3a , 4 13 16 32222 aaaDHADAH  Từ (1) suy ra 8 392 3. 4 13 . a a aa AD MDAHMN  . N M D C B A 23 BÀI 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’. Giải Gọi H = B’C  BC’. Ta có, BC’ B’C ( đường chéo của hình vuông) AB  B’C ( vì AB  (BCC’B’), B’C  (BCC’B’))  B’C  (ABC’)  (ABC’D’) có H = B’C  (ABC’D’). Trong (ABC’D’) kẻ MK  BD’. Vì B’C  (ABC’D’) nên B’C  MK Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung của B’C và BD’ Xét ''CBDBHK  vì Bˆ chung, 090'ˆˆ  CK  ' '.' ''' BD BHCDHK BD BH CD HK  (1) Có D’C’ = a, BH = 2 2a , BD’ = 3a ( đường chéo của hình lập phương) Từ (1) suy ra 6 6 3 2 2. ' '.' a a aa BD BHCDHK  . BÀI 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và SA  (ABCD) SA = 6a . a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SC và AD. Giải a) Ta có BD  AC ( đường chéo của hình vuông). SA  BD ( SA  (ABCD))  BD  (SAC) mà SC  (SAC) và O )(SACBD Trong (SAC) kẻ OI  SC. Vì BD  (SAC) nên BD  OI. Suy ra, OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Xét CSACOI  C vì ˆ chung, 090ˆˆ  AI  SC SACOOI SC CO SA OI .  (1) Có OC = 2 2a , SA = 6a aaaACSASC 2226 2222  ( SAC vuông tại A) Từ (1) suy ra 4 6 22 6. 2 2 . a a aa SC SACOOI  . b) Ta có AD // BC  AD // (SBC) mà SC  (SBC). Có BC  AB và BC  SA  BC  (SAB) mà BC  (SBC)  (SAB)  (SBC) có SB = (SAB)  (SBC) Trong (SAB) kẻ AH  SB  AH  (SBC). Trong (SBC) kẻ HM // BC cắt SC = M. Từ M kẻ MN // = AH cắt AD tại N. Vì AH  (SBC) nên AH  SC hay MN  SC = M. AD // (SBC) nên AH  AD hay MN  AD = N Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của SC và AD. 24 Xét SAB có SB ABSAAHABSASBAHS SAB .. 2 1. 2 1  (2) Có SA = 6a , AB = a, 76 2222 aaaABSASB  Từ (2) suy ra 7 42 7 .6. a a aa SB ABSAAH  . BÀI 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O và 060ˆ DAB . Có SA = SC, SB = SD = 3a . a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và SB. b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng BD và SC. Giải a) Đoạn vuông góc chung của AD và SB. Ta có, AD // BC  AD // (SBC) mà SB  (SBC) Trong (ABCD) qua O kẻ IJ BC, AD. Khi đó, BC  IJ, BC  SO nên BC  (SIJ) Hay (SBC)  (SIJ) mà SI = (SIJ)  (SBC). Trong (SIJ) kẻ JF  SI  JF  (SBC). Trong (SBC) kẻ FM // BC cắt SB tại M Từ M dựng MN // = JF cắt AD tại N. Vì JF  (SBC) nên JF  SB hay MN  SB = M AD // (SBC) nên JF  AD hay MN  AD = N Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và SB. Xét  SIJ có SI IJSOJFIJSOSIJFSSIJ .. 2 1. 2 1  Vì ABCD là hình thoi có 060ˆ DAB nên BD = a, AC = 3a Trong OAB có 4 3 3 16 3 44111 222222 aOI aaaOCOBOI  Trong SOB có 2 13 4 3 2 222 aaaOBSBSO  . Trong SOI có 4 55 16 55 16 3 4 13 22222 aaaaOISOSI  Suy ra 55 39 4 55 4 32. 2 13 . a a aa SI IJSOJF  . Vậy đoạn vuông góc chung của AD và SB là MN = 55 39aJF  . b) Đoạn vuông góc chung của BD và SC. Ta có, BD  AC và BD  SO nên BD  (SAC) Trong (SAC) kẻ OE  SC Vì OE  (SAC) nên BD  OE Suy ra OE là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Xét SOC có 8 39 39 64 3 4 13 4111 222222 aOE aaaOCSOOE  . Vậy đoạn vuôngg góc chung của BD và SC là OE = 8 9a