Phương pháp tính truyền nhiệt

= 2(ti - to)∑∞= − 1 )( )()( )( 2 2 m omoom r ark mo rkJrk erkJ o om τ (víi km lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh Jo (kmro) = 0), Z(Z,τ) = π 4 ∑ + π+∞ =0n )1n2( L Z)1n2sin( 2L a22)1n2( e τπ+− Do ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n 2 chiÒu lµ T(r,Z,τ) = R,Z: T(r,z,τ) = π 8 (ti-to)∑∑∞ = ∞ = + π+ 1m 0n om1om mo )1n2)(rk(Jrk L Z)1n2sin[()rk(J τπ a L nkm e ])12([ 2 2 22 ++− 2.5.3. §Þnh lý giao nghiÖm 2.5.3.1. §Þnh lý 1: 25 NÕu X(x, τ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Xτ = aXxx Y(y, τ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Yτ = aYyy Z(z, τ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Zτ = aZzz th× θ(x,y,z,τ) = X(x,τ)Y(y,τ) Z(z,τ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh θτ = a(θxx + θyy + θzz) 2.5.3.2. Chøng minh: θτ = XτY Z+ XYτZ + XYZτ = aXxxYZ + XaYyyZ + XYaZzz = a(θxx + θyy + θzz) 2.5.3.3. §Þnh lý 2: NÕu X, Y, Z nãi trªn ®ång thêi tho¶ m·n cïng mét ®iÒu kiÖn biªn tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt fw(θ, θx,θy,θz) = 0, th× θ = XYZ còng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn ®ã. Chøng minh theo ®Þnh nghÜa §KB thuÇn nhÊt. 2.5.3.4. øng dông c¸c ®Þnh lý giao nghiÖm: Cã thÓ t×m nghiÖm bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh ë c¸c vËt thÓ h÷u h¹n, tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh θτ = a∇2θ vµ cïng mét §KB thuÇn nhÊt, nh− lµ tÝch c¸c nghiÖm cña bµi to¸n mét chiÒu t−¬ng øng, vÝ dô víi vËt V cã d¹ng hép, trô h÷u h¹n, ®íi cÇu v.v. 26 Ch−¬ng 3: ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc vµ c¸c bµi to¸n dao ®éng nhiÖt 3.1. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt 3.1.1. Kh¸i niÖm dao ®éng nhiÖt - Dao ®éng nhiÖt lµ hiÖn t−îng nhiÖt ®é cña vËt thay ®æi tuÇn hoµn theo thêi gian. - NÕu mét vËt ®−îc gia nhiÖt vµ lµm l¹nh tuÇn hoµn th× trong vËt xuÊt hiÖn giao ®éng nhiÖt. - Khi ®ã tr−êng nhiÖt ®é t (trong vËt vµ cña m«i tr−êng) cã d¹ng mét hµm tuÇn hoµn theo thêi gian τ, tøc lµ t = t(τ). Hµm tuÇn hoµn nµy lu«n cã thÓ coi nh− tæng c¸c hµm ®iÒu hoµ d¹ng t(τ) = t1sin ωτ hoÆc t(τ) = t1cosωτ, trong ®ã ω = o 2 τ π , víi τo lµ chu kú dao ®éng, [s]. VÝ dô: Dao ®éng nhiÖt do sù quay cña ®Þa cÇu theo ngµy ®ªm cã τo = 24h, theo n¨m τo = 365,24922 ngµy, hoÆc do chu kú cÊp nhiÖt cña ®éng c¬ ®èt trong cã τo = 0,05s. - Khi tr−êng t(x, y, z, τ) dao ®éng, c¶ vect¬ dtagrr = onr n t ∂ ∂ vµ dßng nhiÖt q = -λ n t ∂ ∂ còng lµ nh÷ng hµm tuÇn hoµn theo thêi gian τ. 3.1.2. M« h×nh mét bµi to¸n dao ®éng nhiÖt - Còng nh− mét bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh tæng qu¸t, m« h×nh mét bµi to¸n D§N ®−îc cho bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng τ∂ ∂t = a∇2t vµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ, trong ®ã nhiÖt ®é hoÆc dßng nhiÖt q t¹i c¸c biªn ®−îc cho nh− mét hµm tuÇn hoµn theo τ. - §iÒu kiÖn ban ®Çu th−êng coi lµ ph©n bè ®Òu, d¹ng t(x, y, z, τo = 0) = to = const. Khi ®ã nhiÖt ®é trªn biªn W1 hoÆc nhiÖt ®é m«i tr−êng gÇn biªn W3 ®−îc cho ë d¹ng: t(0,τ) = t1cos (ωτ) + to hoÆc 27 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ τ−τλ α−=τ +ωτ=τ )],0(t)(t[),0(t t)cos(t)(t fx o1f trong ®ã chøa to nh− nhiÖt ®é ban ®Çu. Do ®ã, ®iÒu kiÖn ban ®Çu kh«ng cÇn xÐt riªng trong m« h×nh bµi to¸n D§N. - VÝ dô: Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt t×m t (x, τ) trong vËt nöa v« h¹n 0 < x < ∞, cã nhiÖt ®é ®Çu ph©n bè ®Òu t(x,0) = to, khi nhiÖt ®é biªn W1 cã dao ®éng t(0,τ) = to + t1cos ττ π o 2 = to + t1 cos (ωτ), sÏ t−¬ng øng m« h×nh sau: (t) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =τ=τ∞ ωτ+=τ ∂ ∂=τ∂ ∂ ∞→ ox 1o 2 2 t),x(tlim),(t )cos(tt),0(t x t a t Trong ®ã to lµ nhiÖt ®é ban ®Çu ph©n bè ®Òu, kh«ng ®æi, vµ t1 lµ biªn ®é cña dao ®éng nhiÖt. 3.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc hay tæ hîp phøc (Complex Combination): 3.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc (TTP): Dïng phÐp biÕn ®æi to¸n tö phøc (sÏ gi¶i thÝch sau ®©y) ®Ó chuyÓn bµi to¸n thùc (T) thµnh bµi to¸n phøc d¹ng (W) = (T) + i(S) víi (S) lµ bµi to¸n ¶o, t×m nghiÖm bµi to¸n phøc b»ng c¸ch t¸ch biÕn ë d¹ng W(x,τ) = X(x)eiωτ, sau ®ã x¸c ®Þnh nghiÖm bµi to¸n thùc (T) nh− phÇn thùc cña nghiÖm phøc T(x,τ) = ReW(x,τ). Ta sÏ gi¶i thÝch néi dung nµy b»ng c¸c b−íc sau: 3.2.2. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc: 1. LËp bµi to¸n ¶o (S) theo m« h×nh bµi to¸n thùc (T), trong ®ã thay cos(ωτ) bëi sin(ωτ) hoÆc ng−îc l¹i, vµ thay T bëi hµm sè ¶o S. 2. Tæ hîp bµi to¸n thùc (T) vµ bµi to¸n ¶o (S) thµnh bµi to¸n phøc (W) theo c«ng thøc cña phÐp biÕn ®æi to¸n tö phøc: (W) = (T) + i(S), víi i lµ ®¬n vÞ ¶o. Trong bµi to¸n phøc, c¸c §KB phøc sÏ cã d¹ng H18. BT dao ®éng nhiÖt x t to t + t coso 1 ωτ t = atxxτ a,λ t(x, )τ 28 cos(ωτ) + i sin(ωτ) = eiωτ theo c«ng thøc Euler. 3. Gi¶i bµi to¸n phøc b»ng c¸ch t¸ch biÕn, tøc t×m nghiÖm phøc d¹ng W(x,τ) = X(x)eiωτ. Tr−êng hîp nµy sÏ t×m ®−îc X(x) nh− nghiÖm mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. 4. BiÓu diÔn nghiÖm phøc ra d¹ng ®¹i sè W(x,τ)= T(x,τ) + iS(x,τ), vµ thu ®−îc nghiÖm bµi to¸n thùc T(x,τ) = ReW(x,τ). Ta sÏ minh ho¹ c¸c b−íc b»ng vÝ dô sau. 3.3. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt trong vËt b¸n v« h¹n 3.3.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh (Nh− môc 3.1.2) §æi biÕn sè T = t(x,τ) - to, bµi to¸n (t) trë thµnh (T) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =τ=τ∞ ωτ=τ = ∞→ τ 0),x(Tlim),(T )cos(t),0(T aTT x 1 xx 3.3.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p THP: 1. LËp bµi to¸n ¶o (S) t−¬ng øng víi bµi to¸n (T) (S) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =τ=τ∞ ωτ=τ = ∞→ τ 0),x(Slim),(S )sin(t),0(S aSS x 1 xx 2. Nh©n (S) víi i råi céng (T) ®Ó ®−îc (W) = (T) + i(S) (W) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =τ=τ∞ =ωτ+ωτ=τ = ∞→ ωτ τ 0),x(Wlim),(W et)]sin(i)[cos(t),0(W aWW x i 11 xx 3. T×m nghiÖm bµi to¸n phøc b»ng c¸ch t¸ch biÕn: - T×m nghiÖm ph−¬ng tr×nh Wτ = aWxx ë d¹ng W(x,τ) = X(x)eiωτ, ph¶i cã: X(x)iωeiωτ = aX(x) eiωτ → X"(x) - a iωX(x) = 0 → X(x) = C1 a ix e ω− + C2 a ix e ω do ®ã W(x,τ) = [C1 a ix e ω− + C2 a ix e ω ]eiωτ - Theo §KB ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =→==τ =→∞==τ=τ∞ ωτωτ ωτ ∞→ 11 i 1 i 1 2 i 2x tcetec),0(W 0cec0),x(Wlim),(W 29 VËy nghiÖm phøc lµ W(x,τ) = t1exp (-x a iω ) eiωτ 4. T×m d¹ng ®¹i sè cña W(x,τ): Do cã i =i1/2 = (eiπ/2)1/2 = eiπ/4 = 2 1 (1 + i) nªn W(x,τ) cã d¹ng: W(x,τ) = t1 i.axe ω− eiωτ = t1 )i1.(21axe +ω− eiωτ = t1 a2xe ω− )a2x(ie ω−ωτ → W(x,τ) = t1 a2xe ω− [cos(ωτ - x a2 ω ) + isin(ωτ - x a2 ω ) VËy nghiÖm bµi to¸n (T) lµ: T(x,τ) = ReW(x,τ) = t1 a2xe ω− cos(ωτ - x a2 ω ) 3.3.3. Kh¶o s¸t sãng nhiÖt §å thÞ (t - x) cña tr−êng nhiÖt ®é t(x, τ) = to + t1exp (-x a2/ω ) cos (ωτ - x a2/ω ) cã d¹ng nh− H19 1. Dao ®éng nhiÖt cã biªn ®é t¾t dÇn theo chiÒu s©u x, B(x) = t1 a2 x e ω− . TrÞ sè xo , t¹i ®ã cã )0(B )x(B o = 1%, gäi lµ kho¶ng t¸c dông cña sãng ⇒ 1% = a2 xo e ω . t x x ot + t o ot - t1 1 ot λx τo τo 4 1 10 0 τo 2 t o VËy: - Kho¶ng c¸ch t¸c dông xo = a2 100ln ω = ln100 π τoa hay xo = 2,6 oaτ → Chu kú τo↑ th× xo↑. VÝ dô: Víi ®Êt cã a = 0,00273m2/h nªn xo (τo = 24h) = 0,665m xo (τo = 365.24h) = 12,7m 2. B−íc sãng vµ tèc ®é truyÒn sãng nhiÖt - B−íc sãng λx lµ kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®Ønh sãng liªn tiÕp, x¸c ®Þnh H19. Sãng nhiÖt trong vËt b¸n VH x 2a 1B(x) t e ω−= t0-t1 30 theo ph−¬ng tr×nh cos (ωτo - λx a2/ω ) = 1 → λx = a2/ o ω ωτ = 2 oaτπ → Do ®ã λx↑ khi τo↑. - Tèc ®é truyÒn sãng v = o x τ λ = 2 o a τ π → Do ®ã v↓ khi τo↑. 3. Gi¸ trÞ gradt: theo ph©n bè nhiÖt ®é: t(x,τ) = to + t1 oa x e τ π− cos ( o 2 τ πτ -x oaτ π ), ta cã : gradt = x t ∂ ∂ = t1 oaτ π oaxe τ π− [sin( o 2 τ πτ - x oaτ π ) - cos( o 2 τ πτ -x oaτ π )] → gradt cã d¹ng mét dao ®éng t¾t dÇn theo ®é s©u x. VÝ dô: * gradt|x=0 = -t1 oaτ π (cos o 2 τ πτ - sin o 2 τ πτ ) = -t1 oa 2 τ π sin( 4 π - o 2 τ πτ ) 4. Dßng nhiÖt t¹i x lóc τ lµ: q(x,τ) = -λ x t ∂ ∂ → q(x,τ) = λt1 oaτ π oaxe τ π− [sin( o 2 τ πτ -x oaτ π ) - cos( o 2 τ πτ - x oaτ π )] còng lµ mét dao ®éng t¾t dÇn theo x, vÝ dô: * q(0,τ) = λt1 oa 2 τ π sin( 4 π - o 2 τ πτ ), [W/m2], q(0,τ) max khi sin ( 4 π - o 2 τ πτ ) = ±1, øng víi τ = - 8 1 τo, 8 3 τo, 8 7 τo, ... - L−îng nhiÖt tÝch trong vËt sau 1/2 chu kú lµ: Qτo/2 = ∫ τ ττ 2/ 0 o d),0(q = λt1 oa 2 τ π . π τo = λt1 π τ a 2 o , [J/m2] 31 3.4. Dao ®éng nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng The problem of Transient Conduction Thought a Plane Wall When Oscillation of the Environment Temperature. --- by Nguyen Bon Da nang University, 1995. In this theme will be introduced the solution of the problem of nonstacionary conduction in a plane wall, with non-symetric 3rd class boundary conditions and general initial condition, in the environment temperature is oscillating. The introduced general solution may be applied to determine the solutions of special problems and to thermal calculation for a thin homegeneous wall or a thin layer of the finite anybody, when the environment temperature is constant or oscillating. Bµi nµy sÏ ®−a ra lêi gi¶i cña bµi to¸n truyÒn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh tæng qu¸t qua v¸ch ph¼ng víi ®iÒu kiÖn ®Çu tuú ý, trong m«i tr−êng dao ®éng nhiÖt. NghiÖm thu ®−îc sÏ lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch theo täa ®é vµ thêi gian, phô thuéc vµo 10 th«ng sè cho tr−íc tuú ý cña c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. KÕt qu¶ ®−a ra cã thÓ øng dông ®Ó tÝnh nhiÖt khi nung nãng hay lµm l¹nh c¸c v¸ch máng cã ph©n bè nhiÖt ®é ban ®Çu bÊt kú, khi mÆt v¸ch tiÕp xóc m«i tr−êng cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi hoÆc dao ®éng. bµi to¸n truyÒn nhiÖt dao ®éng kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng 3.4.1. §Æt vÊn ®Ò ViÖc tÝnh to¸n truyÒn nhiÖt trong v¸ch máng, lµ v¸ch cã chiÒu dµy nhá h¬n b¸n kÝnh cong, th−êng ®−îc quy vÒ v¸ch ph¼ng. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng ®· ®−îc kh¶o s¸t ®Çy ®ñ víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn, kÓ c¶ khi nhiÖt ®é mÆt v¸ch dao ®éng. Bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch ®· ®−îc kh¶o s¸t chñ yÕu chØ víi biªn 32 lo¹i 1 hoÆc 2 biªn lo¹i 3 ®èi xøng, trong ®ã nhiÖt ®é m«i tr−êng kh«ng ®æi. §Ò tµi nµy cã môc ®Ých t×m lêi gi¶i cña bµi to¸n truyÒn nhiÖt dao ®éng kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng cã 2 biªn lo¹i 3 kh«ng ®èi xøng, trong ®ã nhiÖt ®é m«i tr−êng cã thÓ dao ®éng theo thêi gian, víi ®iÒu kiÖn ®Çu cho tuú ý. Lêi gi¶i cña bµi to¸n tæng qu¸t nµy sÏ cã nhiÒu ý nghÜa trong truyÒn nhiÖt, c¶ vÒ lý thuyÕt lÉn øng dông. Nã cã thÓ ®−îc ¸p dông ®Ó tÝnh nhiÖt cho c¸c vá máng hoÆc líp máng gÇn biªn c¸c vËt h÷u h¹n, khi nhiÖt ®é m«i tr−êng kh«ng ®æi hoÆc thay ®æi tuÇn hoµn. 3.4.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n: 3.4.2.1. Ph¸t biÓu truyÒn nhiÖt: T×m ph©n bè nhiÖt ®é t (x, τ) trong v¸ch ph¼ng réng v« h¹n dµy δ cã a, λ kh«ng ®æi vµ nhiÖt ®é ®Çu t (x, 0) = to(x), khi cho mÆt x = 0 tiÕp xóc m«i tr−êng cã nhiÖt ®é dao ®éng chu kú τo theo luËt: tf1(τ) = tf1 + t1 cos ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ τπ o 2 , víi hÖ sè to¶ nhiÖt phøc t¹p α1, mÆt x = δ tiÕp xóc m«i tr−êng nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè α2. 3.4.2.2. M« h×nh to¸n häc: T×m trong miÒn x ∈ [0, δ] lóc τ ∈(0, ∞) hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x,τ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) cho bëi: [ ] ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −τδλ α−=τδ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ τ−τ τπ+λ α−=τ =τ )x(t)0,x(t t),(t),(t ),0(t2costt),0(t att )t( o 2f 1 x o 11f 1 x xx 33 o t t x τo o a a t 1 , t (x ) o 2 λ f1 f2 δ H.20. Bµi to¸n t(x,τ) tæng qu¸t 3.4.2.3. D¹ng chuÈn ho¸ cña hÖ (t): §−a vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn b»ng phÐp ®æi biÕn θ = 2f1f 2f tt tt − − , X = δ x , F = 2 a δ τ víi c¸c th«ng sè biªn b1 = λ δα1 , b2 = λ δα2 , B = 2f1f 1 tt t − , Fo = 2 oa δ τ vµ ®iÒu kiÖn ®Çu θo(X) = 2f1f 2f« tt t)x(t − − , bµi to¸n (t) sÏ cã d¹ng chuÈn ho¸ θ nh− sau: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ θ=θ θ−=θ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θ−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π−=θ ∞∈∀∈∀θ=θ θ )X()0,X( )F,1(b)F,1( )F,0(1 F F 2cosBb)F,0( ),0(F),1,0(x, )( o 2X o 1X XXF §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2 cña θ(X, F) cã ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn kh«ng thuÇn nhÊt t¹i x = 0. 3.4.3. Ph©n tÝch bµi to¸n (θ): NghiÖm cña bµi to¸n (θ) sÏ ®−îc t×m ë d¹ng θ(X,F) = θ1(X,F) + θ2(X,F), trong ®ã θ1(X,F) lµ nghiÖm riªng bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh khi m«i tr−êng kh«ng dao ®éng, θ2(X,F) lµ nghiÖm bµi to¸n dao ®éng riªng æn ®Þnh, cã t©m dao ®éng cè ®Þnh. Chän tr−íc bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh (θ1) nh− sau: a t1 α1 α2 34 [ ] ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ θ=θ θ−=θ −θ=θ θ=θ θ )X()0,X( )F,1(b)F,1( 1)F,0(b)F,0( )( o1 12X1 11X1 XX1F1 1 Khi ®ã θ2(X,F) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh (θ2) = (θ) - (θ1), ®−îc x¸c ®Þnh nh− lµ hiÖu c¸c ph−¬ng tr×nh t−¬ng øng cña hÖ (θ) vµ (θ1), cã d¹ng sau: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =θ θ−=θ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π−θ=θ θ=θ θ 0)0,X( )F,1(b)F,1( F F 2cosB)F,0(b)F,0( )( 2 22X2 o 21X2 XX2F2 2 NghiÖm bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh (θ1) sÏ ®−îc t×m ë d¹ng θ1(X,F) = θ10(X) - θ11(X,F) trong ®ã θ10(X) lµ nghiÖm riªng æn ®Þnh, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn æn ®Þnh ®−îc chän lµ: [ ] ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ θ−=θ −θ=θ θ==θ θ )1(b)1( 1)0(b)0( 0 )( 102X10 101X10 XX10F10 10 Cßn θ11(X,F) lµ nghiÖm kh«ng æn ®Þnh, ph¶i tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh (θ11) = (θ10) - (θ1) cã d¹ng sau: [ ] ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ θ−θ=θ θ−=θ θ=θ θ=θ θ )X()X()0,X( )F,1(b)F,1( )F,0(b)F,0( )( 01011 112X11 111X11 XX11F11 11 H.21 Ph©n tÝch bµi to¸n θ = θ10 - θ11 + θ2 (Kh«ng cÇn xÐt) , λa 1 1 x 0 θ1 0 θ2 θ1 R1 θ θ10(x) R2x θ1 0 θ1 θ2 θ11 θ 35 Tãm l¹i, nghiÖm bµi to¸n (θ) sÏ cã d¹ng θ(X,F) = θ10(X) - θ11(X,F) + θ2(X,F), trong ®ã, θ10(X) lµ nghiÖm riªng æn ®Þnh cña (θ10), m« t¶ ph©n bè nhiÖt ®é t©m dao ®éng khi æn ®Þnh, θ11(X,F) lµ nghiÖm bµi to¸n ch−a æn ®Þnh (θ11), m« t¶ ®é lÖch nhiÖt ®é t©m dao ®éng so víi æn ®Þnh, cã thÓ ®−îc gäi lµ ®é kh«ng æn ®Þnh, cßn θ2(X,F) lµ nghiÖm cña (θ2), m« t¶ dao ®éng riªng cña nhiÖt ®é quanh t©m dao ®éng. 3.4.4. NghiÖm riªng æn ®Þnh: Ph©n bè nhiÖt ®é khi æn ®Þnh víi θ10(x) ®−îc x¸c ®Þnh nh− nghiÖm cña hÖ (θ10), sÏ cã d¹ng: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++ += ++ −+=θ++ −= +=θ 2121 211 2 2121 211 10 2121 21 1 2110 bbbb bbb C bbbb )X1(bbb )X(hay bbbb bb C CXC)X( 3.4.5. NghiÖm riªng kh«ng æn ®Þnh: 3.4.5.1. NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (θ11) ®−îc t×m ë d¹ng θ11(X,F) = u(X).v(F). §Ó tho¶ m·n θ11F = θ11XX ph¶i cã u(X).v'(F) = u''(X). v(F) hay )F(v )F(v )X(u )X(u ''' = V× X vµ F lµ 2 biÕn ®éc lËp, nªn ®¼ng thøc trªn chØ x¶y ra khi cïng b»ng 1 h»ng sè, ®−îc chän lµ 1 sè thùc ©m (-k2). Khi ®ã v v u u ''' = = -k2 t−¬ng ®−¬ng 2 ph−¬ng tr×nh ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 0vk'v 0uk''u 2 2 , cã nghiÖm lµ ⎩⎨ ⎧ += = − kXcoskXsinC)X(u Ae)F(v Fk 2 vµ nghiÖm tæng qu¸t cña θ11F = θ11XX sÏ cã d¹ng θ11(X,F) = A(CsinkX + coskX) Fk2e− 36 3.4.5.2. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè k vµ C: Theo 2 ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3 cña hÖ (θ11) sÏ t×m ®−îc: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = − += k b C bbk k)bb( tgk 1 21 2 21 Cã v« sè nghiÖm sè ki, ∀i = 1 ÷ ∞; vµ Ci = b1/ki, nªn nghiÖm cña (θ11) sÏ lµ hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm riªng øng víi mçi ki, ∀i = 1 ÷ ∞; θ11(X,F) = ∑∞ = −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 1i Fk ii i 1 i 2 ieXkcosXksin k b A y K K3K2 K10 tgk K = 3π/ 2 K = π/2 K = 5π/ 2 (b + b )k1 2 K =b b1 2 2 b b K = 1 2 b b K = 1 H.22. C¸c nghiÖm sè ki cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 3.4.5.3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè Ai: Theo ®iÒu kiÖn ®Çu θ11(X,0) = θ10(X) - θo(X) = C1X + C2-θo(X) = = ∑∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 1i ii i 1 i XkcosXksink b A Sau khi nh©n 2 vÕ víi ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + XkcosXksin k b ii i 1 råi tÝch ph©n theo dX trong kho¶ng X ∈ [0, 1] nhê tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng, sÏ nhËn ®−îc: k k k k k k2 k3 kk - k= - 37 Ai = [ ] ∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +θ−+ 1 0 2 ii i 1 ii i 1 1 0 o21 dXXkcosXksin k b dXXkcosXksin k b )X(CXC NÕu cho ®iÒu kiÖn ®Çu t (x, 0) = to = Const th× θo(X) = 2f1f 1fo tt tt − − = θo, thay C1, C2 bëi c¸c biÓu thøc ë môc 4, sÏ t×m ®−îc: Ai= )bk(k2ksinkb4k2sin)bk)[(bbbb( )bksinkkcosb)(bbbb(kkcosbbkksin)bbk(b 4 2 1 2 iii 2 i1i 2 1 2 i2121 1iii12121ioi2 2 11i21 2 i1 +++−++ −−++θ++− NghiÖm bµi to¸n (θ1) = (θ10) - (θ11) cã d¹ng θ1(X,F) = 2121 211 bbbb )X1(bbb ++ −+ - Fk 1i ii i 1 i 2 ieXkcosXksin k b A − ∞ = ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + NghiÖm nµy m« t¶ ph©n bè nhiÖt ®é kh«ng æn ®Þnh cña v¸ch trong m«i tr−êng tÜnh, cã nhiÖt ®é bÊt biÕn. §ã chÝnh lµ ®−êng cong qua c¸c t©m dao ®éng nhiÖt. 3.4.6. NghiÖm riªng dao ®éng: 3.4.6.1. BiÕn ®æi qua hÖ to¸n tö phøc: Bµi to¸n dao ®éng (θ2) sÏ ®−îc gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc. Néi dung ph−¬ng ph¸p nµy, lµ chuyÓn bµi to¸n thùc (θ2) thµnh bµi to¸n phøc (W) = (θ2) + i(S), sau ®ã t×m nghiÖm phøc W vµ x¸c ®Þnh nghiÖm thùc (θ2) nh− lµ phÇn thùc cña nghiÖm phøc, θ2 = Re(W). Bµi to¸n ¶o (S) ®−îc lËp b»ng c¸ch thay hµm θ2(X,F) vµ cos ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π oF F 2 trong bµi to¸n thùc (θ2) bëi hµm ¶o S(X,F) vµ sin ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π oF F 2 , sÏ cã d¹ng: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π−= = )F,1(Sb)F,1(S F F 2sinB)F,0(Sb)F,0(S SS )S( 2X o 1X XXF 38 Sau khi nh©n ®¬n vÞ ¶o i víi hÖ (S) råi céng víi hÖ (θ2), theo phÐp biÕn ®æi (W) = (θ2) + i(S), sÏ cã bµi to¸n phøc d¹ng: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π+π−= = π )F,1(Wb)F,1(W Be)F,0(Wb) F F 2sini F F 2(cosB)F,0(Wb)F,0(W WW )W( 2X F F 2i 1 o 1X XXF o 3.4.6.2. T×m nghiÖm to¸n tö phøc: NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh WF = WXX ®−îc t×m ë d¹ng t¸ch biÕn W(X, F) = V(X). oF F 2i e π = V(X).eiωF, víi ω = oF 2π ®−îc gäi lµ tÇn sè kh«ng thø nguyªn, sÏ cã d¹ng: W(X,F) = (C1 ω− iXe + C2 ωiXe )e iωF Chän c¸c h»ng sè phøc C1, C2 tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3 trong hÖ (W), sau khi ®Æt u = ωi , sÏ thu ®−îc. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−−−++ −= =−−−++ += ϕ ϕ 2 1 i 21 2121 u2 21 2 i 11 2121 u2 2 u2 1 1 er.Bb )bu)(bu()bu)(bu(e )bu.(Bb C er.Bb )bu)(bu()bu)(bu(e )bu(e.Bb C Trong ®ã r1, r2 vµ ϕ1, ϕ2 lµ modul vµ argument cña sè phøc 1 1 Bb C , 1 2 Bb C ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=ϕ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=ϕ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 Bb Carg, Bb Cmodr Bb Carg, Bb Cmodr Do ®ã, nghiÖm phøc cña hÖ (W) sÏ lµ hµm phøc cã d¹ng: W(X.F) = Bb1[r1e i(ϕl + ωF) ω− iXe + r2 ei(ϕl + ωF) ωiXe ] 3.4.6.3. T×m nghiÖm thùc θ2: 39 NghiÖm cña hÖ (θ2) sÏ lµ phÇn thùc cña nghiÖm phøc W(X,F) võa t×m ®−îc. §Ó ý r»ng u = ωi = (1 + i) 2 ω , nghiÖm W(X,F) sÏ cã d¹ng: W(X,F) = Bb1 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + ω+ω+ϕωω−ω+ϕω− ) 2 XF(i 2 X 2 ) 2 XF(i 2 X 1 21 eereer Do ®ã, nghiÖm riªng dao ®éng cña hÖ (θ2), ®−îc t×m theo θ2 = ReW, sÏ lµ: θ2(X,F) = Bb1 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ω+ω+ϕ+ω−ω+ϕ ωω− ) 2 XFcos(er) 2 XFcos(er 22 X 21 2 X 1 Khi chu kú τo nhá, ω = oF 2π = o 2 .a 2 τ πδ sÏ kh¸ lín vµ mod(e2u) = ω2e rÊt lín, nªn cã thÓ coi r2 = 0. Lóc ®ã biªn ®é dao ®éng A(X) = Bb1r1 2 X e ω− gi¶m khi X t¨ng, nªn dao ®éng t¾t dÇn trong vËt. NÕu gäi ®é s©u thÊm nhiÖt lµ Xt, ë ®ã cã )0(A )Xt(A = 1%, th× Xt = ω 2 ln100. 3.4.7. KÕt luËn: 3.4.7.1. NghiÖm cña bµi to¸n tæng qu¸t vÒ truyÒn nhiÖt dao ®éng kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng sÏ cã d¹ng: θ1(X,F) = 2121 211 bbbb )X1(bbb ++ −+ - Fk 1i ii i 1 i 2 ieXkcosXksin k b A − ∞ = ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + Bb1 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ω+ω+ϕ+ω−ω+ϕ ωω− ) 2 XFcos(er) 2 XFcos(er 22 X 21 2 X 1 hay t(x,τ) = tf2 + )tt( )x)(tt( 21 21 ff 21 2 ff −− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+δ+α λ −α λ+δ− . ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ δ τ−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ δ+δλ δα∑∞ = 2 2 i 1i ii i 1 i .a kexp x kcos x ksin k A + + ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ τ π+τ τπ+ϕ+τ π−τ τπ+ϕλ δα τπτπ− ) .a x2cos(er) .a x2cos(ert oo 2 a X 2 oo 1 a X 1 1 1 oo 40 §©y lµ hµm tæng qu¸t m« t¶ ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch, phô thuéc vµo x, τ vµ 10 th«ng sè cho tuú ý cña c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ: t = τ (x, τ; δ, a, λ, to(x), tf1,ti, τo, α1, tf2, α2). 3.4.7.2. NÕu cho c¸c th«ng sè lÊy nh÷ng gi¸ trÞ ®Æc biÖt, ch¼ng h¹n cho δ → ∞, (α1 hoÆc α1) → (0 hay → ∞), to(x) = (tf1, tf2 hay hµm bÊt kú), tf1 = tf2 > to(x), ... th× sÏ t×m ®−îc nghiÖm c¸c bµi to¸n cã c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸c nhau, nh− lµ c¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n tæng qu¸t. Mét vµi ph©n bè t (x, τ) ®Æc biÖt ®−îc minh ho¹ ë h×nh (H.23) tttt t xx xx x oooo o δδδδδ τ τ τ τ τ τ = 8 τ = 8 τ = 8 τ = 8τ = 8 01t 02t otot f2t 0(x )t 0(x )t ox 1) τ0 = 0 2) α2 = 0 3) α2 = ∞ 4) t0(x) c¾t t(x,∞) 5) α2 = ∞, tf1 > t0 > tf2 H.23. Vµi ph©n bè t(x, τ) ®Æc biÖt o xxn xN ot - t1 ot + t1 ot ®t (x, )τkt ( )τ ot maxt mint o10,750,50,25o 24h H.24. Dao ®éng nhiÖt ®é m«i tr−êng τk(τ) vµ trong vËt τ®(x, τ) theo chu kú 24h vµ 1 n¨m. 3.4.7.3. C¸c kÕt qu¶ nªu trªn cã thÓ ®−îc øng dông ®Ó kh¶o s¸t tÝnh to¸n qu¸ tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch hoÆc trong líp biªn máng cña c¸c vËt h÷u h¹n, trong m«i tr−êng cã nhiÖt ®é bÊt biÕn hoÆc dao ®éng. VÝ dô cã thÓ ¸p dông ®Ó kh¶o s¸t dao ®éng phæ biÕn cña nhiÖt ®é m«i tr−êng kh«ng khÝ vµ trong líp máng gÇn bÒ mÆt cña mäi vËt trªn ®Þa cÇu, d−íi t¸c dông tuÇn hoµn cña bøc x¹ MÆt trêi theo chu kú 24 giê vµ chu kú n¨m (H×nh 24) τ 41 Ch−¬ng 4: ph−¬ng ph¸p to¸n tö laplace 4.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace 4.1.1. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö lµ ph−¬ng ph¸p gi¶i mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng c¸ch: - ChuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh to¸n tö nhê mét phÐp biÕn ®æi nµo ®ã, vÝ dô phÐp biÕn ®æi Laplace. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña to¸n tö nµy cã bËc thÊp h¬n ph−¬ng tr×nh vi ph©n ban ®Çu (th−êng lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng hoÆc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè). - T×m nghiÖm to¸n tö vµ dïng phÐp biÕn ®æi ng−îc x¸c ®Þnh nghiÖm gèc cña bµi to¸n ®· cho. 4.1.2. PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn 1. §Þnh nghÜa: PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn lµ phÐp biÕn ®æi hµm sè f(t) thµnh hµm fˆ (s), theo quan hÖ: fˆ (s) = ∫ ∞ = − 0t st dt)t(fe Hµm fˆ (s) gäi lµ ¶nh (hoÆc to¸n tö) Laplace cña hµm gèc f(t), ký hiÖu lµ L [f(t)] = fˆ (s) VÝ dô: L [eat] = ∫ ∞ = − 0t ste eatdt = sa e tsa − − )( | ∞=0t = as 1 − 2. TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Laplace: Tõ ®Þnh nghÜa trªn suy ra c¸c tÝnh chÊt: L [c1f(t) + c2g(t)] = c1 fˆ (s) + c2 gˆ (s) L [f'(t)] = ∫ ∞ − 0 ste f'(t)dt = [f(t)e-st] ∞=0t - s dte)t(f 0 st∫ ∞ − = -f(0) + s fˆ (s) L [f"(t)] = -f'(0) + s[-f(0) + s fˆ (s)] = -f'(0) - sf(0) + s2 fˆ (s) 42 3. BiÕn ®æi Laplace cña hµm nhiÒu biÕn: - ¶nh Laplace cña hµm f(x,y) cã thÓ nhËn ®−îc b»ng c¸ch tÝch ph©n theo x hoÆc theo y: Lx[f(x,y)] = ∫ ∞ = − 0x sxe f(x,y)dx = fˆ (s;y) Ly[f(x,y)] = ∫ ∞ = − 0y sye f(x,y)dy = fˆ (x;s) - ¶nh cña c¸c ®¹o hµm cña f(x,y) còng t−¬ng tù Lx[ x∂ ∂ f(x,y)] = ∫∞ = − 0x sxe x∂ ∂ f(x,y)dx] = f(x,y)e-sx| ∞=0x + s ∫∞ = − 0x sxdxe)y,x(f = -f(0,y) + s fˆ (s;y) Lx[ y∂ ∂ f(x,y)] = ∫ ∞ = − 0x sxe y∂ ∂ f(x,y)dx = dy d fˆ (s;y) Lx[ 2 2 x )y,x(f ∂ ∂ ] = -fx(0,y) - sf(0,y) + s2 fˆ (s;y) Ly[ 2 2 x )y,x(f ∂ ∂ ] = 2 2 dx d fˆ (x,s) v.v. 4.1.3. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc: Lµ phÐp biÕn ®æi ¶nh fˆ (s) cho tr−íc ra hµm gèc f(t) cña nã. - PhÐp tÝnh nµy cã thÓ t×m f(t) theo c«ng thøc f(t) = ∞→ωlim iπ2 1 ∫+ −= ω ω ix ixs st dssfe )(ˆ trong ®ã s lµ biÕn phøc cã cËn gi÷a 2 sè phøc liªn hîp s = x - iω ®Õn s = x + iω víi Res = x > 0 - HoÆc cã thÓ ph©n tÝch fˆ (s) ra c¸c ph©n thøc h÷u tû d¹ng fˆ (s) = ∑ kksc + ∑ − kas A )( + ∑ ++ kas BAs )( 22 vµ dïng b¶ng t×m c¸c gèc t−¬ng øng råi céng l¹i. - TÝnh chÊt phÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc (®Þnh lý tÝnh chËp): NÕu biÕt f(t), g(t) lµ gèc cña ¶nh )s(fˆ , )s(gˆ th× gèc cña tÝch c¸c ¶nh )s(hˆ = )s(fˆ )s(gˆ lµ h(t) = ∫ σσ−σ ∞ =σ 0 d)t(g)(f 4.1.4. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p Laplace gi¶i mét hÖ ph−¬ng 43 tr×nh vi ph©n 1. ChuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh (T) ®· cho thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh to¸n tö ( Tˆ ) b»ng c¸ch nh©n c¶ hai vÕ cña c¸c ph−¬ng tr×nh (T) víi e-sF råi tÝch ph©n theo F tõ 0 ®Õn ∞. HÖ ph−¬ng tr×nh ( Tˆ ) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cña to¹ ®é, khi T = T(x,τ). 2. T×m nghiÖm to¸n tö Tˆ (x;s) cña hÖ ( Tˆ ). 3. BiÕn ®æi Laplace ng−îc ®Ó t×m hµm gèc T(x,τ) nh− lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p nµy chñ yÕu phô thuéc vµo kh¶ n¨ng thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi ng−îc Laplace. 4.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö cho bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn W1: §Ó lµm vÝ dô minh ho¹ ph−¬ng ph¸p to¸n tö, ta gi¶i bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn lo¹i 1 cho ë môc (2.3.3): (θ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =θ =θ =θ θ=θ 0)F,1( 1)F,0( 0)0,X( xxF 1. ChuyÓn hÖ (θ) thµnh hÖ to¸n tö ( θˆ ) b»ng biÕn ®æi Laplace theo thêi gian F. H21. Bµi to¸n (2.3.3) - Ph−¬ng tr×nh θF = θxx cã d¹ng: dFe 0F sF F∫ θ ∞ = − = dFe F sF xx∫∞ = − 0 θ → ∞ = − 0]),([ F sFeFXθ + s dF)F,X(e 0F sF∫ θ ∞ = − = 2 2 dx d θˆ (X,s) hay [0-θ(X,0)] + s θˆ (X,s) = 2 2 dx d θˆ (X,s) → ph−¬ng tr×nh vi ph©n to¸n tö lµ 2 2 dx d θˆ (X,s) - s θˆ (X,s) = θ (X,0)= 0 (do ®iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 0) - C¸c §KB cã d¹ng: x θ (x,0)=0 θ = θ O 1 (0,F)=1 F xx θ (1,F)=0θ F 44 θ(0,F) = 1 → dFe)F,0( 0F sF∫ θ ∞ = − = dFe sF∫∞ − 0 → θˆ (0,s) = s 1 . θ(1,F) = 0 → dFe)F,1( 0F sF∫ θ ∞ = − = 0 → θˆ (1;s) = 0 Do ®ã, hÖ ph−¬ng tr×nh to¸n tö cã d¹ng ( θˆ ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =θ =θ =θ−θ 0)s,1(ˆ s 1)s,0(ˆ 0ˆs"ˆ 2. T×m nghiÖm θˆ (X,s): Ph−¬ng tr×nh θˆ "(X,s) - s θˆ (X,s) = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t lµ θˆ (X,s) = Ash(x s ) + Bch(x s ) θˆ (0,s) = s 1 = B θˆ (1,s) = 0 = Ash s + Bch s → A = sssh sch− . NghiÖm to¸n tö lµ: θˆ (X,s) = ssh.s )sx(shsch)sx(chssh − θˆ (X;s) = s 1 . ssh sXsh ])1[( − 3. T×m nghiÖm gèc b»ng phÐp biÕn ®æi ng−îc: Theo b¶ng )s(fˆ f(X) cã s 1  1  g(X,F) vµ ssh ]s)X1[(sh −  -2π ∑∞ = −π− 1n n )]X1(nsin[n)1( . Fne 22π−  f(X,F) Theo ®Þnh lý tÝnh chËp (4.1.3) ¶nh: θˆ (X,s) = )s;X(gˆ)s;X(fˆ cã gèc lµ: θ(X,F) = ∫ σσ−σ =σ F 0 d)F,X(g),X(f = ∫ ∑ =σ ∞ σπ− σ−π−π− F 0 1 n2 d.}e)]X1(nsin[n)1(2{ 22 = -2π∑(-1)nnsin[nπ(1-X)] . ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− 22 1 22 π π n e Fn . V× sin [nπ(1-X)] = sin nπ cos nπX - cosnπsinnπX = 0 - (-1)n sin nπX, vµ v× π 2 )Xnsin( n 1 1n π∑∞ = = 1-X nªn θ(X,F)= (1-X) - π 2 ∑ π∞ =1n n )Xnsin( exp (-n2π2F). Khi æn ®Þnh, F → ∞ cã θ(X) = 1-X 45 4.3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö t×m (x,f) trong vËt b¸n v« h¹n 4.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho vËt b¸n v« h¹n x ≥ 0 cã nhiÖt ®é ®Çu ph©n bè ®Òu t(x,0) = to vµ biªn lo¹i 1 t¹i x = 0 lµ t(0, τ) = t1, ∀τ > 0. T×m t(x, τ) trong vËt H22. BT vËt b¸n v« h¹n 4.3.2. M« h×nh BT: (t) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =τ τ== = ∞→ τ 1 xo xx t),0(t ),x(tlimt)0,x(t att §æi biÕn T=t-to cã (T)⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−=τ τ== = ∞→ τ oo1 x xx Ttt),0(T ),x(Tlim0)0,x(T aTT 4.3.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö: 1. ChuyÓn hÖ (T) thµnh hÖ ( Tˆ ): Tτ = aTxx → )s,x(Xˆdx d 2 2 - a s Tˆ (x,s) = a 1 T(x,0) ∞→xlimT(x,τ) = 0 → ∞→xlim Tˆ (x,s) = 0 T(0,τ) = To → ∫ τ∞ =τ 0 ),0(T e-sτdτ = ∫∞ 0 oT e -sτdτ → Tˆ (0,s) = s To . VËy hÖ ( Tˆ ) cã d¹ng: 2 2 dx d Tˆ (x,s) - a s Tˆ (x,s) = 0 ( Tˆ ) ∞→xlim Tˆ (x,s) = 0 Tˆ (0,s) = s T0 2. T×m nghiÖm Tˆ (x,s): Tˆ" - a s Tˆ = 0 → Tˆ (x,s) = A exp (-x a s ) + B exp (x a s ) ∞→xlim Tˆ (x,s) = 0 = B x t = atτ O t o xx t(x ) →∞1 t = to = t τ 46 Tˆ (0,s) = s To = A + B = A VËy nghiÖm to¸n tö lµ Tˆ (x,s) = s To exp(-x a s ) 3. X¸c ®Þnh nghiÖm gèc T(x,τ): Tra b¶ng cã s To exp (-x a s )  To.erfc ( τa2 x ). VËy nghiÖm bµi to¸n ®· cho lµ T0(x,τ) = To erfc ( τa2 x ) hay oT ),x(T τ = θ(x,τ) = erfc ( τa2 x ), trong ®ã, erfc(x) lµ hµm sai sè bï Gauss, Gauss' complementary errow function, x¸c ®Þnh bëi: erfc(x) = π 2 σ σ δ de x ∫∞ = − 2 Hµm erfc(x) liªn hÖ víi hµm sai sè Gauss, Gauss’ errow function, lµ erf(x) = π 2 ∫ =σ δ− δσ x 0 2 e = π 2 ∑ + −∞ = + 0n 1n2n )1n2(!n x)1( theo biÓu thøc erf(x) + erfc(x) = 1 Do ®ã cã nghiÖm θ(x,τ) = 1 - τπa 1 ∑ τ+ −∞ = + 0n n 1n2n )a4)(1n2(!n x)1( *Cã thÓ chøng minh r»ng erf(x) + erfc(x) = π 2 σ∫ ∞ =σ σ− de 0 2 = 1 nh− sau: Gäi I = dxe 0 2x∫ ∞ − ta cã: I2 = dxe 0 2x∫ ∞ − dye 0 y2∫∞ − = dxdye ),0[)x,y( )yx( 22∫∫ ∞∈ +− = ∞→rlim dxdyeD )2y2x(∫∫ +− . §æi biÕn ⎩⎨ ⎧ ϕ= ϕ= sinry cosrx → I2 = ∞→rlim rdred r 0 2r 2/ 0 ∫∫ ϕ − ϕ = ∞→r lim [ 2 π ( 2 1− 2re− )| r0 ] = 4 π . Do ®ã I = 2 π → erf(x) + erfc(x) = 1 O θ 1 2 1 τa x 2 H23. Ph©n bè θ(x,τ) O ϕ y xr→∞ D H24. §Ó tÝnh I θ= erfc ( τa2 x ) 47 Ch−¬ng 5: ph−¬ng ph¸p SAI PH¢N H÷U H¹N Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n, finite deference method (FDM) vµ ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n finite element method (FEM) lµ nh÷ng ph−¬ng ph¸p xÊp xØ. FDM lµ phÐp xÊp xØ vi ph©n vµ FEM lµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n, víi ®é chÝnh x¸c tuú ý. C¶ hai ph−¬ng ph¸p ®Òu cho phÐp nhËn ®−îc nghiÖm cña bµi to¸n ë d¹ng sè. 5.1. Néi dung vµ c¸c b−íc ¸p dông ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n 5.1.1. Néi dung FDM T− t−ëng cña ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n lµ viÖc thay mét c¸ch gÇn ®óng tÊt c¶ c¸c vi ph©n, nguyªn lµ nh÷ng sè gia "v« cïng bÐ", b»ng c¸c sè gia "bÐ h÷u h¹n", gäi lµ c¸c sai ph©n. Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn gÇn ®óng mäi ph−¬ng tr×nh vi ph©n thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè. HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè nµy, mÆc dï sè Èn sè cã thÓ rÊt lín, lu«n gi¶i ®−îc b»ng m¸y tÝnh. 5.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FDM Khi ¸p dông FDM ®Ó gi¶i mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n bÊt kú ta th−êng tiÕn hµnh theo c¸c b−íc sau: 1. Chia vËt kh¶o s¸t ra n phÇn tö b»ng c¸ch chia c¸c to¹ ®é t−¬ng øng ra c¸c phÇn ∆x, ∆y, ∆z. NhiÖt ®é cña mçi phÇn tö ®−îc coi lµ nhiÖt ®é t¹i ®iÓm nót cña nã. §iÓm nót cña phÇn tö bªn trong vËt lµ t©m cña khèi ch÷ nhËt ∆x∆y∆z. Nót cña phÇn tö trªn biªn n»m gi÷a mÆt biªn. Nh÷ng phÇn tö trªn c¹nh hoÆc gãc cña vËt cã thÓ cã 2 hoÆc 3 mÆt biªn kh¸c lo¹i, th−êng chän nót cña phÇn tö lo¹i nµy t¹i gi÷a c¹nh hoÆc gãc c¸c mÆt biªn. 2. ChuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ n ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1. Mçi ph−¬ng tr×nh cÊp 1 cña hÖ nµy lµ biÓu thøc m« t¶ quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo thêi gian cña nhiÖt ®é nót (ijk), lµ τd dtijk víi nhiÖt ®é cña 6 nót l©n cËn nã (nót trong); hoÆc víi c¸c th«ng sè cho tr−íc cña biªn (nót biªn). 48 Mçi ph−¬ng tr×nh cÊp 1 nµy cã thÓ nhËn ®−îc b»ng c¸ch thay tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm theo to¹ ®é b»ng biÓu thøc sai ph©n t−¬ng øng hoÆc b»ng c¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt ®é mçi nót. 3. ChuyÓn hÖ n ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 cña c¸c ®¹o hµm τd dtijk thµnh hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè b»ng c¸ch chia thêi gian ra c¸c kho¶ng ∆τ b»ng nhau vµ dïng c¸c phÐp xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian . 4. LËp d¹ng ma trËn cho hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ gi¶i nã nhê m¸y tÝnh. TÊt c¶ c¸c b−íc trªn cã thÓ lËp tr×nh cho m¸y tÝnh thùc hiÖn. 5.1.3. Ph¹m vi sö dông FDM: - FDM cã thÓ gi¶i mäi bµi to¸n vÒ truyÒn nhiÖt (hoÆc khoa häc kü thuËt nãi chung) æn ®Þnh vµ kh«ng æn ®Þnh 1,2 hoÆc 3 chiÒu, víi c¸c ®iÒu kiÖn vËt lý bÊt kú, ®iÒu kiÖn biªn bÊt kú, cã nguån hoÆc kh«ng cã nguån nhiÖt. Nãi chung, cho mäi tr−êng hîp, víi c¸c th«ng sè cña ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (λ,ρ,α,tw,tf, q, qv) = f(x,y,z,τ) ®Òu cã thÓ dïng FDM. - Víi vËt cã biªn d¹ng kh«ng quy t¾c ph¶i tèn c«ng lín khi lËp c©n b»ng nhiÖt cho c¸c nót biªn, khi ®ã FDM tá ra kÐm hiÖu qu¶. - Khi hÖ sè dÉn nhiÖt λ = λ(t) hoÆc khi ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh (vÝ dô khi cho biÕt nhiÖt ®é m«i tr−êng Tf vµ dßng nhiÖt bøc x¹ ®i qua biªn theo luËt ),TT(q 4f 4 0 −εσ= th× viÖc ¸p dông FDM kh«ng cã g× trë ng¹i. Nh÷ng tr−êng hîp trªn ta th−êng dïng FDM 5.2. D¹ng sai ph©n cña c¸c ®¹o hµm theo to¹ ®é 5.2.1. PhÐp sai ph©n to¸n häc 5.2.1.1. Sai ph©n cña dx dt 49 Theo ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cña hµm t(x) t¹i xi, ta cã: x )x(t)xix(tlim dx dt i 0xxi ∆ −∆+= →∆ , Khi chän ∆x ®ñ nhá, cã thÓ thay ®¹o hµm bëi c¸c d¹ng sai ph©n sau: x tt dx dt i1i 0xi ∆ −= ++ x tt dx dt 1ii 0xi ∆ −= −− O t x i+1t it i-1t ∆x ∆x i-1x ix i+1x H25. §Ó dÉn ra d¹ng sai ph©n cña dx dt 5.2.1.2. Sai ph©n cña ®¹o hµm cÊp 2 txx §¹o hµm cÊp 2 cã thÓ nhËn ®−îc tõ khai triÓn Taylor: )x(0dx td !3 1 dx td !2 1x dx dttt 43x3 3 2 x2 2 i1i ∆+∆+∆+∆+=+ + )(0!3 1 !2 1 43 3 3 2 2 2 1 xdx td dx tdx dx dttt xxii ∆+∆−∆+∆−=− ),(02 422 2 11 xdx tdttt xiii ∆+∆+=+ −+ Bá qua v« cïng bÐ bËc 4 lµ 0 )( 4x∆ , ta cã: )2(1 1122 2 +− +−∆= iiii tttxdx td BiÓu thøc nµy còng b»ng i2 2 xx dx tdx/ dx dt dx dt 0i0i =∆⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − −+ T−¬ng tù nh− trªn ta cã c¸c biÓu thøc sai ph©n cña ®¹o hµm t theo y vµ z. VÝ dô: Víi mäi nót (ije) ∈ V cña phÇn tö trong V, ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN (hay ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt) cã d¹ng: )( 2 2 2 2 2 2 z t y t x tat ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ τ ®−îc thay b»ng: 50 2 x ije a d dt ∆=τ (ti-1 - 2ti + ti+1)jι 2y a ∆ (tj-1 - 2tj + tj+1) iι 2z a ∆ (te-1 - 2te + te+1) ij 5.2.2. PhÐp sai ph©n vËt lý: PhÐp sai ph©n vËt lý lµ c¸ch thay ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN trong mçi phÇn tö nót b»ng ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt: [®é t¨ng néi n¨ng cña nót]=[tæng c¸c dßng nhiÖt vµo nót]- [tæng c¸c dßng nhiÖt ra khái nót] hay d¹ng cô thÓ lµ: ρc∆x∆y∆z τd dtije = [ x∆ λ (ti-1 - ti)jι∆x∆z + y∆ λ (tj-1 - tj)ie∆x∆z + ij l-1 z y x O ∆y ∆z ijl+1 (i ) jl -1 ∆x ∆y ∆x (i ) jl +1 ∆z ijl -1 ij l+1 a λ ijl V H26. §Ó sai ph©n ft τ∂ ∂t = a∇2t z∆ λ (te-1 - te) ij∆x∆y] - [ x∆ λ (ti - ti+1)je∆y∆z + y∆ λ (tj - tj+1) ie∆x∆z + z∆ λ (te - te+1) ij∆x∆y] PhÐp sai ph©n nµy th−êng dïng cho c¸c nót biªn - NÕu nót (ijl) ∈W1 th× trÞ sè tijl ®· cho tr−íc - NÕu (ijl) ∈ xW20 (c¸ch nhiÖt) th× cho qi,i+1 (hoÆc qi-1,i) b»ng 0, hay coi ti-1= ti+1 tøc lµ biªn ®èi xøng (§X). - NÕu (ijl) ∈ y2W cã q ≠ 0 th× thay qj,,j+1 (hoÆc qj-1,,j) b»ng q hoÆc q(x,y,z,τ) - NÕu (ijl) ∈ z3W víi α, tf ®· cho th× thay qι,ι+1 (hay qι-1, ι) b»ng α (tijι-tf) - NÕu (ijl) n»m trªn c¹nh hay gãc, n¬i cã 2 hay 3 §KB ph©n biÖt, th× thay ®ång thêi c¸c dßng nhiÖt t−¬ng øng. Chó ý: C¸c phÇn tö trªn biªn th−êng chän kÝch th−íc theo ph−¬ng vu«ng gãc biªn b»ng ∆/2, do ®ã, thÓ tÝch phÇn tö trong ph−¬ng tr×nh 51 c©n b»ng nhiÖt cã thÓ b»ng 8 1, 4 1, 2 1 hoÆc 8 7, 8 5, 4 3 thÓ tÝch ph©n tö trong (∆x∆y∆z) 5.3. C¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian §Ó xÊp xØ τd dt i ta chia thêi gian ra c¸c kho¶ng ∆τ b»ng nhau vµ ký hiÖu ti,k lµ nhiÖt ®é t¹i nót i lóc τk= k∆τ. PhÐp xÊp xØ nµy cho phÐp tÝnh nhiÖt ®é tik+1 cña nót i lóc τk+1= (k+1)∆τ theo tik, ∆τ vµ τd dt i b»ng 1 trong 4 c¸ch sau ®©y: 5.3.1. Ph−¬ng ph¸p Euler: TÝnh tik+1 theo gi¸ trÞ ®¹o hµm τd dt i t¹i thêi ®iÓm τk: kτ ik+1 Et O t ikt ik+1 It ∆τ τ =k i ik+1 Ct ik+1 t I C E k+1τ∆τ it ( )τ H27.§Ó xÊp xØ τd dt i ti,k+1= tik + τd dt i k ∆τ (E) Ph−¬ng ph¸p nµy sÏ cho mét hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng t−êng minh. VÝ dô: Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho nót trong 1 chiÒu, sau khi ®Æt p = 2 x a ∆ ∆τ , sÏ cã d¹ng: tik+1 = tik + 2 x a ∆ (ti-1 - 2ti + ti+1)k∆τ = [pti-1 + (1-2p)ti + pti+1]k 53.2. Ph−¬ng ph¸p Èn (Implicit): TÝnh tik+1 theo τd dt i 1k+ vµ ∆τ b»ng c«ng thøc: tik+1 = ti, k + τd dt i 1k+ ∆τ (I) Ph−¬ng ph¸p nµy sÏ cho mét hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè thuÇn Èn - VÝ dô: Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cña nót trong 1 chiÒu sÏ cã 52 d¹ng: [-pti-1+(1-2p)ti-pti+1]k+1 = tik 5.3.3. Ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson: TÝnh tik+1 theo trÞ trung b×nh cña τd dt i t¹i lóc τk vµ τk+1 bëi c«ng thøc tik+1 = tik + τ∆⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ τ+τ +1k i k i d dt d dt 2 1 Ph−¬ng tr×nh nµy sÏ cho mét hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng thuÇn Èn. VÝ dô ph−¬ng tr×nh cho c¸c nót trong cã d¹ng: =−++− ++− 111 ]2 1)1( 2 1[ kiii pttppt τ∆⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ τ+τ +1k i k i d dt d dt 2 1 (C) 5.3.4. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t: TÝnh ti,k+1 theo τd dt i k vµ τd dt i 1k+ víi th«ng sè tù chän ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 1, theo c«ng thøc ti,k+1 = ti,k + [(1- ϕ) τd dt i k + ϕ τd dt i 1k+ ]∆τ (T) Ph−¬ng ph¸p xÊp xØ Euler, Implicit, Crank-Nicolson lµ c¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t, t−¬ng øng ϕ = 0, ϕ = 1, ϕ =1/2. VÝ dô cho nót trong :[ϕpti-1+ (1-2ϕp)ti+ϕpti]k+1 = {(1-ϕ)pti-1+ [1- 2(1-ϕ)pti +(1-ϕ)pti-1}]k C¸c chó ý: - Khi chän b−íc thêi gian ∆τ cµng nhá th× nghiÖm sè cµng chÝnh x¸c, nh−ng khèi l−îng tÝnh to¸n cµng lín. - Khi chän ∆τ ph¶i ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn æn ®Þnh nghiÖm, ®iÒu kiÖn nµy tuú thuéc ph−¬ng ph¸p xÊp xØ thêi gian ®−îc sö dông: ff Euler: ∆τ ≤ )B1(a2 2 + ∆ ff Cr-Nic:∆τ ≤ )B1(a 2 + ∆ Víi B = λ ∆α Ph−¬ng ph¸p Èn nghiÖm sè lu«n æn ®Þnh, kh«ng h¹n chÕ ∆τ 53 Ph−¬ng ph¸p Crank - Nicolson cho nghiÖm chÝnh x¸c nhÊt, b−íc ∆τ lín h¬n ph−¬ng ph¸p Euler, nh−ng hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn vµ phøc t¹p. 5.4. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh: - D¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh n Èn xi, ∀i =1÷n lµ ∑ = n 1j jijxa =bi, ∀i =1÷n hay : a11x1 + a12 x2 +...+ a1nxn = b1 a21x1 + a22 x2 +...+ a2nxn = b2 … … an1x1+an2x2+...+annxn =bn HÖ nµy cã thÓ viÕt ë d¹ng ma trËn Ax = b ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ a ... a a ... a ... a a a ... a a nn22n1 2n2221 1n1211 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ x . x x n 2 1 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = n 2 1 b . b b NÕu ®Þnh thøc det (A) ≠ 0 hÖ Ax = b cã nghiÖm: xi = )Adet( )Ddet( i ∀i =1÷n, trong ®ã Di lµ ma trËn vu«ng nhËn ®−îc b»ng c¸ch thay cét ai ∈ A bëi cét bi. §Ó tÝnh c¸c ®Þnh thøc cã thÓ dïng quy t¾c Cramer, tuy nhiªn kh«ng tiÖn lîi khi n > 4. - Khi n kh¸ lín cã thÓ gi¶i hÖ trªn b»ng ph−¬ng ph¸p khö cña Gauss hay Jordan hoÆc c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp (Jacob, Gauss- Seidel.v.v.) Néi dung c¸c ph−¬ng ph¸p nµy cã thÓ xem trong c¸c tµi liÖu vÒ ph−¬ng ph¸p tÝnh. C¸c b−íc gi¶i theo c¸c ph−¬ng ph¸p trªn th«ng th−êng ®· cã c¸c ch−¬ng tr×nh mÉu 54 5.5. FDM cho bµi to¸n KO§ mét chiÒu tæng qu¸t: §Ó minh ho¹ c¸c b−íc ¸p dông FDM, sÏ gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu qua v¸ch tæng qu¸t víi biªn W2 + W3 vµ ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t t(x,τ = 0) = f(x) tτ = atxx tx(0,τ) = λ q− tx(L, τ) = λ α− [t(L,τ)-ιf] t(x,0) = f(x) ta sÏ gi¶i hÖ (t) b»ng FDM theo c¸c b−íc ®· nªu. O t ∆ 2 ∆ ∆2 1 2 43 α ft ∆ t(x,0) = f(x) W2 W3 L x i i+1 q H28. FDM cho bµi to¸n mét chiÒu tæng qu¸t 1) Chia v¸ch ra c¸c phÇn ∆ = 3 L (b»ng nhau), ®Æc tr−ng c¸ch bëi 4 phÇn tö nh− trªn. 2) ChuyÓn hÖ (t) vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña τd dt i b»ng c¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho c¸c nót (SP vËt lý): - Víi nót 1 ∈ W2: ρCv ),2(2 1 1 ttq d dt −∆−= ∆ λ τ → gäi a = λ/ρCv→ τd dt1 = )tt( a2qa2 212 +∆−∆λ - Víi c¸c nót i ∈ V: ∆ρ=−∆ λ−−∆ λ +− v1iii1i C)tt()tt( τd dt i → τd dt i = ( a 2∆ ti-1 - 2ti + ti+1), ∀i= 2,3 -Víi nót 4 ∈ W3: ρCv 2 ∆ ατ −− ∆= )( 2 43 4 tt d dt (t4 - tf) → τd dt4 = 2 a ∆ [2t3-2(1+ λ ∆α )t4]+ λ ∆α ∆2 a2 tf (τ) 55 §Æt λ ∆α = B ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ: τd dt i = 2 a ∆ (-2ti+ 2ti+1) + 2 a ∆ . λ ∆q i = 1 (ti) τd dt i = 2 a ∆ (ti-1- 2ti + ti+1) i = 2,3 τd dt i = 2 a ∆ [ti-1- 2(1 + B)ti] + 2 a2 ∆ Btf i = 4 3) Chia thêi gian ra c¸c ∆τ b»ng nhau vµ ¸p dông ph−¬ng tr×nh xÊp xØ, vÝ dô theo Euler, ®Ó chuyÓn hÖ (t) vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, theo ph−¬ng tr×nh: ti,k+1 = ti,k + τd dt i k ]∆τ - ∀i ∈ V cã: ti,k+1 = ti,k + 2a∆ (ti-1- 2ti + ti+1)k∆τ, ®Æt F a 2 =∆ τ∆ → ti,k+1= [Fti-1+(1-2F)ti+ Fti+1]k ,(i = 2,3) - ∀i ∈ W2: ti,k+1 = ti,k + [ 2a∆ (-2ti+ 2ti+1) + 2 a ∆ . λ ∆q ]∆τ → ti,k+1 = F[( +− it)2F 1 2ti+1]k + 2Fq λ ∆ ,(i = 1) - ∀i ∈ W3: ti, k+1 = tik + [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∆++−∆ − f2i1i2 Bt a2t)B1(2t2a ∆τ → ti,k+1 = F[2ti-1+( F 1 -2-2B)ti]k + 2FBtf, (i=4) VËy hÖ (ti) chuyÓn thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè sau: t1,k+1 = F[( F 1 -2)t1+2t2]k+2Fq λ ∆ t2,k+1 = F[(t1+ ( F 1 -2)t2+t3]k t3,k+1 = F[(t2+ ( F 1 -2)t3+t4]k t4,k+1 = F[(2t3+ ( F 1 -2-2B)t4]k+2FBtf 56 4) LËp d¹ng ma trËn cho hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè trªn: C¸c chó ý vµ nhËn xÐt: Víi ph−¬ng ph¸p Euler, ph¶i chän ∆τ ≤ )B1(a18 L )B1(a2 22 +=+ ∆ , do ∆ = 3 L - NÕu xÊp xØ theo ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson, hÖ ph−¬ng tr×nh lµ: k+1 ( F 1 + 1) -1 t1 - 2 1 ( F 1 + 1) - 2 1 t2 - 2 1 ( F 1 + 1) - 2 1 t3 -1 ( F 1 +1+ B) t4 t1 )2F 1( − 2 t1 q λ ∆ t2 1 )2F 1( − 1 t2 +2F 0 t3 1 )2F 1( − 1 t3 0 t4 2 )B22F 1( −− t4 k Btf = k+1 ( F 1 - 1) 1 t1 q λ ∆ 2 1 ( F 1 - 1) 2 1 t2 0 2 1 ( F 1 - 1) 2 1 t3 +2. 0 1 ( F 1 -1- B) t4 Btf k = 57 ( F 1 + 2) -2 t1 t1 q λ ∆ -1 ( F 1 + 2) -1 F t2 = t2 +2F 0 -1 ( F 1 + 2) -1 t3 t3 0 1 ( F 1 +2+2 B) t4 k+1 t4 k Btf - NÕu xÊp xØ theo ph−¬ng ph¸p thuÇn Èn, ph−¬ng tr×nh lµ: C¸c nhËn xÐt kh¸c: 1. C¸c hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè trªn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch thay ®iÒu ban ®Çu t(x,0) = f(x) vµo t(i,0) = f(i∆) cña ma trËn cét [ti]k=0: [t]0 = [f(0), f(∆), f(2∆), f(3∆)]T sau ®ã t×m ti t¹i k=1, tiÕp theo dïng ma trËn[t]1 tÝnh [t]2 v.v. 2. V× B = λ ∆α ,tf q ®Òu n»m trong ma trËn hÖ sè tù do,nªn c¸c ®¹i l−îng α, λ, tf q trong ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho nh− nh÷ng hµm cña (x,y,z, τ), ch¼ng h¹n: (α, λ, tf q) = f(x,τ) Khi gi¶i ph−¬ng tr×nh lo¹i nµy chØ cÇn thay f(x,τ) bëi f(i∆, k∆τ) vµo c¸c vÞ trÝ t−¬ng øng trong c¸c ma trËn. 3. B−íc thêi gian cña phÐp xÊp xØ Crank-Nicolson lµ: ∆τCN ≤ )B1(a9 L )B1(a 22 +=+ ∆ tøc cã thÓ chän gÊp 2 b−íc ∆τE cña ph−¬ng ph¸p Euler. 5.6. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu tæng qu¸t: 5.6.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n : T×m tr−êng nhiÖt ®é t(x,y,τ) trong vËt hai chiÒu víi ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 1,2,3 vµ ®iÒu kiÖn ®Çu ®−îc cho ë d¹ng tæng qu¸t: 58 1 4 107 τft ( ) W2 W3 I x iW1 2 5 118 3 6 129 t(x,y,0) = f(x,y)t(x,0, ) = t (x, )ττ o q=0 W20J q(y, )τ f yα ( ,τ) (x, y, )λ = λ τ hoÆc (t)λ = λ q = q (x, y, )τ v v O t H.29-MH bµi to¸n KO§ hai chiÒu tæng qu¸t 5.6.2. M« h×nh TH: T×m t(x,y,τ) tho¶ m·n hÖ: c q y t x tat vρτ +∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ )( 2 2 2 2 t(x,0,τ) = t1(x,τ) (W1) ty(x,j,τ) = 0 (W20) tx(0,y,τ) = λ− τ),y(q (W2) tx(I,y,τ) = [ ),,(),( τλ τα yIty− - tf(y,τ)] (W3) t(x,y,0) = f(x,y) (τo) 0 ≤ x ≤ I, 0 ≤ y ≤ J, (τ > 0) 5.6.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n: 1) Chia I, J ra c¸c kho¶n ∆x, ∆y, ®¸nh sè thø tù c¸c nót (theo ph−¬ng cã sè nót Ýt nhÊt), kh«ng kÓ c¸c nót ∈ W1 ( cã t ®· biÕt). 2) Sai ph©n theo to¹ ®é: - ∀(ij) ∈ V, qv = 0 cã : τd dtij = 2 x a ∆ (ti-1-2ti+ti+1)j+ 2y a ∆ (tj-1-2tj+tj+1)i NÕu qv ≠ 0: τd dtij = a[ 2 y 1jj1j 2 x 1ii1i i)tt2t(j)tt2t( ∆ +−+∆ +− +−+− ]+ c qv ρ - ∀(ij) ∈W20: τd dtij = 2 x a ∆ (ti-1-2ti+ti+1)j+ 2y a ∆ (2tj-1-2tj)i (t ) j o 59 - ∀(ij) ∈W2: ρc 2 x∆ ∆y τd dtij = (q-λ 2 )() 111 x y tt y tt y x tt ijijijijjiij ∆ ∆ −−∆ −+∆∆ − +−+ λλ - ∀(ij) ∈W3: ρc 2 x∆ ∆y τd dtij=[λ 2 x)] y tt y tt [y)]tt() x tt 1ijijij1ij fij ijiji ∆ ∆ −λ−∆ −λ+∆−α−∆ − +−− ∀(ij) trªn hai biªn (gãc) th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña c¶ hai biªn. VÝ dô biªn (IJ) ∈(W3+ W20), t¹i nót 12 cã : ρc 4 yx∆∆ τd dtij=[λ x tt ijiji ∆ −− -α(tij-tf)] 2 )( 2 1 x y tty ijij ∆ ∆ −+∆ −λ Víi (0,J) t¹i nót 3 cã: ρc 4 yx∆∆ τd dtij= ) x tt q( ijiij ∆ −λ− + 2 )( 2 1 x y tty ijij ∆ ∆ −+∆ −λ 3) XÊp xØ tijτ ®Ó lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè. Ch¼ng h¹n chän: ∆x = ∆y = ∆ vµ ®Æt F = 2∆ ∆τa , B = ),( ),( τλ τα y y ∆ = B(y,τ), nÕu dïng xÊp xØ Euler, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cã d¹ng: (V): tijk+1 = F[ti-ij+tij-1 +( F 1 -4)tij+tij+1+ti+ij]k (W20): tijk+1 = F[ti-ij+tij-1 +( F 1 -4)tij+ti+ij]k (W2): tijk+1 = F[tij-1+( F 1 -4)tij+2ti+ij+tij+1]k+ kq F λ ∆2 (W3): tijk+1 = F[2ti-ij+tij-1+( F 1 -4-2B)tij+tij+1]k+2FBtf NÕu vËt cã nguån nhiÖt qv = qv x,y,τ) th× vÕ ph¶i ph−¬ng tr×nh cña mäi nót cÇn céng thªm víi ∆2.F )k,j,i( )k,j,i(q v τ∆∆∆λ τ∆∆∆ 4) LËp ma trËn ®¹i sè HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cña bµi to¸n t(x,y,τ) tæng qu¸t cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn lµ [t]k+1 = Ak[t]k+[b]k, víi [b]k lµ tæng cña 4 ma trËn cét, n hµng 1 cét cã trÞ kh¸c 0 t¹i c¸c nót cã quan hÖ víi ti, q, αtf, qv, tÝnh t¹i thêi ®iÓm τk = k∆τ : [t]k+1 = = Ak[Ft]k + [Ft1]k + k qF2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ λ ∆ + [2FtfB]k+ k v 2 qF ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ λ ∆ NÕu ký hiÖu p = F 1 , F = 2∆ ∆τa , B = λ α∆ ,C1 = p - 4 - 2B(∆,τ), (t ) 60 C2 = p - 4 - 2B(2∆τ), C3 = p - 4 - 2B(3∆τ) th× hÖ ma tr©n cô thÓ lµ: t1 p 2 1 t1 t2 1 p 1 2 t2 t3 2 p 2 t3 t4 1 p 1 1 t4 t5 1 1 p 1 1 t5 t6 1 2 p 1 t6 t7 1 p 1 1 t7 t8 = 1 1 p 1 1 F t8 + t9 1 2 p 1 t9 t10 2 C2 1 t10 t11 2 1 C2 1 t11 t12 k+1 2 2 C3 k t12 k t1(0,τ) q(∆,τ) 0 qV(0,∆,τ) 0 q(2∆,τ) 0 qV(0,2∆,τ) 0 q(3∆,τ) 0 qV(0,3∆,τ) t1(∆,τ) 0 0 qV(∆,∆,τ) 0 0 0 qV(∆,2∆,τ) 0 0 0 qV(∆,3∆,τ) +F t1(2∆,τ) + λ ∆F2 0 +2Ftf 0 + λ F2∆ qV(2∆,∆,τ) 0 0 0 qV(2∆,2∆,τ) 0 0 0 qV(2∆,3∆,τ) t1(3∆,τ) 0 B(∆,τ) qV(3∆,∆,τ) 0 0 B(2∆,τ) qV(3∆,2∆,τ) 0 K 0 K B(3∆,τ) K qV(3∆,3∆,τ) K 61 - Ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cã d¹ng viÕt gän lµ: tk+1 = AkFtk + bk hay tk+1 = AkFtk + [Ft1 + 2 q F λ ∆ + 2FtfB + λ ∆2F qv]k Trong ®ã Ak lµ ma trËn vu«ng (n x n) c¸c ma trËn kh¸c ®Òu lµ ma trËn cét (n x 1) Ma trËn hÖ Ak cã 5 ®−êng chÐo liªn hÖ 5 gi¸ trÞ nhiÖt ®é c¸c nót. Ak lµ ma trËn hÖ, t1 lµ ma trËn biªn W1, q lµ ma trËn biªn W2, B lµ ma trËn biªn W3, qv lµ ma trËn nguån nhiÖt. TÊt c¶ c¸c ma trËn nµy cã thÓ tÝnh theo to¹ ®é x, y vµ thêi gian theo gi¸ trÞ g(i∆, j∆, k∆τ) t¹i mçi nót nÕu cho (λ, α, tI, tf, q, qv hay ρ) = g(x, y, τ) - §Ó ®¶m b¶o tÝnh héi tô cña c¸c nghiÖm, ph¶i chän b−íc thêi gian ∆τ sao cho F 1 - 4 - 2B > 0 tøc F = )B2(2 1a 2 +<∆ τ∆ V× B = B (x,y,τ) nªn cÇn lÊy B = maxBijk vµ cã ∆τ < )Bmax2(a2 2 + ∆ Ta cã thÓ dïng c¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ kh¸c ®Ó chuyÓn sang hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn, ®Ó thu ®−îc nghiÖm chÝnh x¸c h¬n. HÖ ph−¬ng tr×nh ®−îc gi¶i b»ng ma trËn b»ng c¸ch thay ®iÒu kiÖn ®Çu t(x,y,0) = f(x,y) vµo ma trËn tk lóc k = 0, lµ tk=0 = [f(i∆x, j∆y)] = t0→ tÝnh tk=1. NÕu c¸c ma trËn hÖ sè ®Òu phô thuéc thêi gian th× sau mçi b−íc ph¶i tÝnh l¹i c¸c phÇn tö cña ma trËn t¹i thêi ®iÓm τk = k∆τ VÝ dô: nÕu cho a = 10-6m2/s, λ = 2 W/m2K, α = 25W/m2K, vµ nÕu chän ∆x = ∆y = 10-2m th× B = λ α∆ = 0,125, ∆τ < )2(2 2 Ba + ∆ = 23,5 s → chän ∆τ = 20s th× 2,02 =∆ ∆= τaF vµ p = F 1 = 5 62 5.7. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 3 chiÒu t(x,y,z,τ) 5.7.1. Trong täa ®é vu«ng gãc xyz. - Chia c¸c x, y, z trong vËt ra ∆x, ∆y, ∆z, t¹o ra n phÇn tö, ®Æc tr−ng bëi n nót (ije). Gäi tijek lµ nhiÖt ®é t¹i nót cã to¹ ®é (xi = i∆x, yj = j∆y, ze= e∆z) lóc τk = k∆τ. Sai ph©n theo to¹ ®é (b»ng c¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mäi nót) ®Ó nhËn ®−îc hÖ n ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña τd dtije : (x,y, )α τ (x,z , )α τ (x,y, )α τ (x,y, )α τ tf(x ,y, )τ (x,y, )α τ (x,y,z, ) λ τ α τ (x,z , ) α τ(y,z, ) q (x,y,z, ) τ q(x,y, ) τ t (x,y,z) t (x,z, ) τ i i-1 i+1 I o q y x l l-1 l+1 L Z q=0 j j+1 j-1 v o w H.30 Sai ph©n bµi to¸n t(x,y,z,τ) tæng qu¸t ∀ij ∈V: τd dtije = 2 x a ∆ (ti-1-2ti+ti+1)je+ 2y a ∆ (tj-1-2tj+tj+1)ie+ 2z a ∆ (te-1-2te+te+1)ij ∀ij ∈Wn: vÝ dô biªn lµ mÆt cã W3 th×: ρc∆x∆y 2 z∆ τd dtije = 2 x∆ λ (ti-1-2ti+ti+1)je.∆y 2 z∆ + 2 y∆ λ (tj-1-2tj+tj+1)ie∆x 2 z∆ + [ z∆ λ (te-1-te)ij-α(te-tf)ij]∆x∆y ,.v.v... ∀ij ∈ gãc giao 3 mÆt, vÝ dô W20(x) x W2(y) x W3(z): 63 ρc 8 zyx ∆∆∆ τd dtije = 2 x∆ λ (2ti-1-2ti)je 4 zy∆∆ + ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−∆ λ − qie)tt(y j1j je 4 zx∆∆ + ⎢⎣ ⎡ ∆z λ (te-1-te)-α(te-tf) ij ⎥⎦ ⎤ 4 yx∆∆ - ¸p dông phÐp xÊp xØ thêi gian, vÝ dô ph−¬ng ph¸p Euler, cã hÖ tijek+1 = F[ti-ije + tij-ie + tije-1 + ( 6F 1 − )tije + tije+1+ tij+ie+ti+ijl]k (∀ijl∈V) tijek+1 = F[ti-ije + tij-ie +2tije-1 + ( 6F 1 − -2B)tije + tij+ie+ ti +ije]k +(2FtfB)k (∀ijl ∈ mÆt W3) vµ c¸c ph−¬ng tr×nh cho c¸c nót ∈ mÆt, c¹nh, gãc kh¸c. §Ó nghiÖm æn ®Þnh, cÇn chän ∆τ < )3(2 2 λ α∆+ ∆ a - BiÓu diÔn ma trËn, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cã d¹ng: [t]k+1= {A[t]F+F[tw1]+[2F λ ∆ q]+[2FtfB]+[ λ F2∆ qv]}k Trong ®ã, ma trËn hÖ A lµ ma trËn vu«ng n x n cã 7 ®−êng chÐo, tÊt c¶ c¸c hÖ sè λ, α, tw1, q, tf, qv tÝnh theo to¹ ®é (i∆x, j∆y, e∆z) t¹i lóc τk = k∆τ t¹i mçi b−íc tÝnh, b¾t ®Çu tõ ®iÒu kiÖn ®Çu, lóc τ = 0. 5.7.2. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n trong to¹ ®é trô (r,ϕ,z) Bµi to¸n 3 chiÒu tæng qu¸t t(r, ϕ, z,τ ) víi ®iÒu kiÖn ®Çu vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn tuú ý sÏ ®−îc gi¶i mét c¸ch t−¬ng tù: 1. Chia vËt ra n phÇn tö bëi c¸c mÆt c¾t ri = i∆r, ϕj = j∆ϕ, ze = e∆z ®¸nh sè thø tù c¸c nót tõ (1→ n), (nh− h×nh H31) 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho ∀ phÇn tö lóc τk bÊt kú: * ∀ (ije)∈ V, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cã d¹ng: ρc(ri∆ϕ.∆r∆z) τd dtijl =[ r∆ λ (ti-1-ti)je(ri- 2 r∆ )∆ϕ∆z- r∆ λ (ti-ti+1)je(ri+ 2 r∆ )∆ϕ∆z 64 +[ ϕ λ ∆ir (tj-1-tj)ie- ϕ λ ∆ir (tj-tj+1)ie∆r∆z]+[ z∆ λ (te-1-te)if - r∆ λ ( te- te-1)]ri∆ϕ∆z Khi chän ∆r = ∆z = ∆, ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: t’ije= 2 a ∆ [(1- ir2 ∆ )ti-ije+( ϕ∆ ∆ ir )2tij-1e+tije-1- 2(2+ ϕ22 2 ∆ ∆ ir )tije+ tije+1+ ( ϕ∆ ∆ ir )2tij+1e+ (1+ ir2 ∆ )ti+ije * Víi c¸c nót trªn mÆt biªn W, vÝ dô: ∀(ije) trªn biªn c¸ch nhiÖt W20 t¹i mÆt ϕ = ϕJ cã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lóc chän ∆r = ∆z = ∆ lµ : t’iJe = 2 a ∆ ⎢⎣ ⎡ (1- ir2 ∆ ti-iJe+2( ϕ∆ ∆ ir )2tiJ-1e- 2(2+ ϕ22 2 ∆ ∆ ir )tiJe tije+1+(1+ ir2 ∆ )t1+1Je ⎥⎦ ⎤ * ∀(Rje) trªn biªn r = R lo¹i 3, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lµ: ρc (R- 4 r∆ )∆ϕ 2 r∆ ∆z τd dtRje = [ r∆ λ (tR-1-TR)je.(R 2 r∆ )∆ϕ∆z-α(tRje-tf)R∆ϕ∆z] + [ ϕ∆ λ R (tj-1-tj)Re - ϕ∆ λ R (tj-tj+1)Re] 2 r∆ )∆z + [ z∆ λ (te-1-te)Rj- z∆ λ (te-te+1)Rj](R- 4 r∆ )∆ϕ 2 r∆ . Khi chän ∆r = ∆z = ∆ vµ ®Æt B = λ ∆α ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 2Rje a t' ∆= ije-Rt 4 R 2 R 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∆− ∆− 2tt ) 4 R(R 1-Rje1e-Rj 2 2 −+ ϕ∆∆− ∆+ 2⎢⎣ ⎡ ϕ2 2 ) 4 ( ∆∆− ∆ RR - ) 4 R(R ∆− ∆ + ) 4 R(R RB ∆− + ⎥⎦ ⎤ tRje 1eRj2 2 1jeR t ) 4 R(R t ++ ϕ∆∆− ∆++ ⎭⎬ ⎫ j 2 t ) 4 ( 2 ∆−∆ + R aRB . * Víi c¸c nót trªn c¹nh, nh− giao tuyÕn 2 mÆt biªn, th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt kÕt hîp c¶ hai ®iÒu kiÖn biªn. * Víi c¸c nót t¹i gãc, n¬i giao ®iÓm 3 mÆt biªn ph−¬ng tr×nh c©n b»ng