Một số bài tập lí thuyết truyền thông
Bài 1.1: Các biến ngẫu nhiên X , i = 1,2, ldots ,n có hàm mật độ phân bố xác
suất đồng thời ( joint pdf ) là p(x ,x , ,x ) .
Chứng tỏ rằng :
p(x ,x , ,x ) = p(x | x , , x ).p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )
Giải :
Trước hết ta chứng minh các kết quả sau:
- p(x ,x ) = p(x | x ).p(x )
- p(x ,x , ,x ) = p(x ,x , ,x | x , ,x )
Hai biến ngẫu nhiên X , X có hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời p(x ,x )
Giả sử ta muốn xác định xác suất để biến ngẫu nhiên X x với điều kiện :
x - x < X x ( trong đó x dương )
tức là ta muốn xác định xác suất của sự kiện : X x | x - x < X x
Ta có :
P(X x |x -x <X x ) = =
Giả sử các hàm mật độ phân bố xác suất p(x ,x ) và p(x ) là các hàm liên tục trong khoảng (x - x , x ) . Chia cả tử và mẫu đẳng thức trên cho x và lấy giới hạn khi x -> 0 ta nhận được
P(X x | X =x ) = F(x | x ) = =
đó chính là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X trong điều kiện biến X đã xác định .
Do F(- | x )=0 và F( | x )=1. Lấy đạo hàm biểu thức trên theo x ta được
p(x ,x ) = p(x | x ).p(x )
Mở rộng cho các biến ngẫu nhiên nhiều chiều , hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên X , i=1,2, ,n như sau :
p(x ,x , ,x ) = p(x ,x , ,x | x , ,x ).p(x ,x , ,x )
Sử dụng kết quả trên để chứng minh bài toán
Ta có :
p(x ,x ) = p(x | x ).p(x )
p(x | x ,x ). p(x ,x ) = p(x | x ,x ). p(x | x ).p(x )
p(x ,x ,x ) = p(x | x ,x ). p(x | x ).p(x )
.
.
p(x | x , ,x ).p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )
p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )
.
.
p(x | x , ,x ).p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )
p(x ,x , ,x ) = p(x | x , , x ).p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )
Bài 1.5 :
Biến ngẫu nhiên Y được định nghĩa là :
6 trang |
Chia sẻ: tlsuongmuoi | Lượt xem: 2230 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Một số bài tập lí thuyết truyền thông, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Bµi 1.1: C¸c biÕn ngÉu nhiªn X, i = 1,2, ldots ,ncã hµm mËt ®é ph©n bè x¸c
suÊt ®ång thêi ( joint pdf ) lµ p(x,x,…,x) .
Chøng tá r»ng :
p(x,x,…,x) = p(x| x,…, x).p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x)
Gi¶i :
Tríc hÕt ta chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau:
- p(x,x) = p(x| x).p(x)
- p(x,x,…,x) = p(x,x,…,x| x,…,x)
Hai biÕn ngÉu nhiªn X, X cã hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi p(x,x)
Gi¶ sö ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X £ x víi ®iÒu kiÖn :
x- Dx< X £ x ( trong ®ã Dxd¬ng )
tøc lµ ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña sù kiÖn : X £ x| x- Dx< X £ x
Ta cã :
P(X£ x|x-Dx<X£ x) = =
Gi¶ sö c¸c hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt p(x,x) vµ p(x) lµ c¸c hµm liªn tôc trong kho¶ng (x- Dx, x) . Chia c¶ tö vµ mÉu ®¼ng thøc trªn cho Dx vµ lÊy giíi h¹n khi Dx -> 0 ta nhËn ®îc
P(X£ x| X=x) = F(x| x) = =
®ã chÝnh lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X trong ®iÒu kiÖn biÕn X ®· x¸c ®Þnh .
Do F(-¥ | x)=0 vµ F(¥ | x)=1. LÊy ®¹o hµm biÓu thøc trªn theo x ta ®îc
p(x,x) = p(x| x).p(x)
Më réng cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu , hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn X, i=1,2,…,n nh sau :
p(x,x,…,x) = p(x,x,…,x| x,…,x).p(x,x,…,x)
Sö dông kÕt qu¶ trªn ®Ó chøng minh bµi to¸n
Ta cã :
p(x,x) = p(x| x).p(x)
Þ p(x| x,x). p(x,x) = p(x| x,x). p(x| x).p(x)
Þ p(x,x,x) = p(x| x,x). p(x| x).p(x)
.
.
p(x| x,…,x).p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x)
Þ p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x)
.
.
p(x| x,…,x).p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x)
p(x,x,…,x) = p(x| x,…, x).p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x)
Bµi 1.5 :
BiÕn ngÉu nhiªn Y ®îc ®Þnh nghÜa lµ :
Y =
víi Xi lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp thèng kª vµ
sds
Xi = 1 víi x¸c suÊt p
0 víi x¸c suÊt 1-p
a. X¸c ®Þnh hµm ®Æc tÝnh cña Y
b. X¸c ®Þnh momen bËc 1 vµ bËc 2 cña Y
Gi¶i :
a. X¸c ®Þnh hµm ®Æc tÝnh cña Y :
Ta cã nhËn xÐt Y lµ tËp sè nguyªn tõ 0 ... n. VËy x¸c suÊt Y = k chÝnh lµ x¸c suÊt sao cho k biÕn Xi = 1 vµ n-k biÕn Xi = 0
Tõ trªn ta cã :
P(y = k) = pk(1-p)n-k
Theo ®Þnh nghÜa hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt cho hµm rêi r¹c :
p(y) = P(Y = k)(y-k) = pk(1-p)n-k(y-k)
Hµm ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn Y :
E(ejvY) (jv) = ejvYp(y)dy
= ejvY( pk(1-p)n-k(y-k))dy
= pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy
XÐt phÇn tö thø k cña tæng trªn :
pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy
ta cã khi ®ã biÕn ngÉu nhiªn Y mang gi¸ trÞ k
Mµ hµm (y-k) cã biÕn ®æi Furie : = 1 khi y-k 0 vµ y-k nguyªn
= 0 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i
V× vËy ta cã :
(jv) = pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy
= pk(1-p)n-k ejvk
= (1 - p + pejv)n
b. X¸c ®Þnh momen bËc 1 vµ bËc 2 cña Y :
Tõ hµm ®Æc tÝnh ta tÝnh ®îc momen cÊp 1 :
E(Y) = -j v=0
= -jn(1-p+pejv)n-1.jpejv v=0
= np
Ta cã momen cÊp 2 ®îc tÝnh :
E(Y2) = - v=0 = - v=0
= - (n(n-1)jpejv.jpejv(1-p+pejv)n-2 + n(1-p+pejv)n-1.j2pejv v=0
= n(n-1)p2e2jv(1-p+pejv)n-2 + n(1-p+pejv)n-1pejv v=0
= n(n-1)p2 + np
= np(1-p) + n2p2
= E(Y2) - E(Y)2 = np(1-p)
Bµi 1.6 :
Bèn biÕn ngÉu nhiªn X1, X2, X3, X4 lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn gaussian ®ång thêi cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 0 víi hiÖp biÕn = E(XiXj) vµ hµm ®Æc tÝnh lµ (jv1,jv2,jv3,jv4). Chøng tá r»ng :
E(X1X2X3X4) =
Gi¶i:
Hµm ®Æc tÝnh lµ :
(jv1,jv2,jv3,jv4) = exp(jmx'v - v'Mv)
Theo gi¶ thiÕt 4 biÕn ngÉu nhiªn cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 0 nªn ta cã hµm ®Æc tÝnh lµ :
(jv1,jv2,jv3,jv4) = exp(- v'Mv)
Ta ®i tÝnh v'Mv trong ®ã v lµ vecto n chiÒu víi c¸c thµnh phÇn vi , i=1,2,... n
M lµ ma trËn hiÖp biÕn.
v'Mv = v1,v2,v3,v4 v1
v2
v3
v4
=v12+v1v2+v1v3+v1v4+v1v2+v22+v2v3+v2v4+ v1v3+v2v3+v32+v3v4+v1v4+v2v4+v3v4+v42
Ta cã :
E(X1,X2,X3,X4) = (-j)4 v1=v2=v3=v4=0
TÝnh ®¹o hµm riªng víi v1 råi cho v1=0 ta ®îc :
v1=0 = - [v2 + v3 + v4].exp [-(v22 + v32 + v42 + 2v2v3 + 2v2v4 + 2v3v4)]
TÝnh ®¹o hµm riªng víi v2 råi cho v2=0 ta ®îc :
v1=v2=0 = - [exp [-(v32 + v42 + 2v3v4)] -
[v3+v4][2v3+2v4].exp[-(v32 + v42 + 2v3v4)]]
TÝnh ®¹o hµm riªng víi v3 råi cho v3=0 ta ®îc :
v1=v2=v3=0 = - [-v4.exp[-(v42)] - 2v4.exp[-(v42)] - v4[2+2v4].exp [-(v42)] + v42v42v4exp [-(v42)]
TÝnh ®¹o hµm riªng víi v4 råi cho v4=0 ta ®îc :
v1=v2=v3=v4=0 = - [- - - ]
= + +
VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi1.9:
BiÕn ngÉu nhiªn Xi ®éc lËp thèng kª cã ph©n bè gièng nhau vµ cã pfd
Cauhy:
P(x)= <x<
Y=
a,
Tacã:
= E(e) = (exp() = = [] (1-1)
Theo bµi 1.8 ta cã hµm ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè Cauchy
( p(x)= - < x < ) lµ
=p(x)dx =*dx = e
T¬ng tù nh vËy ta cã: = dx = e
Thay vµo (1-1) ta cã
= [] = e
b,
Muèn tÝnh hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ta biÕn ®æi Furiª ngîc
p(y)=dv =
=dv=
®Æt m = + jX ta cã:
p(y) = *e( e-e) (1-2) (®ã lµ gi¸ trÞ cÇn t×m)
lim t
c,
Khi n th× tõ (1-2) ta suy ra p(y) =
n
Ta cã:
E(Y) =m = =m
®é lªch trung b×nh b×nh ph¬ng cña Y lµ :
=E(Y)- m = E(XX)
= E(X) + E(XX) - m
= ( + m) + n(n-1) m - m
=
Khi n th× 0 do ®ã kh«ng thÓ ¸p dông ®îc ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m
CÊu tróc thu tèi u trªn kªnh cã nhiÔu céng gauusian
