Kĩ thuật viễn thông - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi fourier

SC được đi qua bộ lọc (sharp cutoff filter) để triệt biên tần không mong muốn. Để có tín hiệu USB, bộ lọc cho qua mọi thành phần có tần số cao hơn c , và triệt hoàn toàn các thần số thấp hơn c . Điều này cần phải có bộ lọc lý tưởng, tức là không thực hiện được. Tuy nhiên, có thể thực hiện gần đúng nếu có một số phân cách giữa passband và stopband. May mắn là tín hiệu thoại (tiếng nói) cung cấp được điều kiện này, do có phổ vẽ ở hình 4.39 cho thấy là các thành phần có tần số thấp hơn 300 Hz là không quan trọng, tức là ta có thể triệt các thành phần tần số âm thoại thấp hơn 300 HZ mà không làm ảnh hưởng đến thông tin. Nhờ vậy, việc lọc biên tần không mong muốn rất dễ cho tín hiệu thoại do ta còn có vùng chuyển tiếp 600Hz quanh tần số cắt c . Trường hợp các tín hiệu tần số thấp (có công suất tương đối tập trung quanh 0 ) thì phương pháp SSB tạo méo dạng tín hiệu lơn. Thí dụ trường hợp tín hiệu vieđêo. Do đó, thay vì dùng SSB, ta dùng kỹ thuật VSB (vestigal sideband), kết hợp các ưu điểm của SSB và DSB và bỏ đi các yếu điểm của hai phương pháp này. Tín hiệu VSB tương đối dễ tạo ra, còn băng thông thì chỉ hơi lớn hơn trường hợp SSB (khoảng 25%). Trong tín hiệu VSB, thay vì loại hoàn toàn một biên tần (như trong SSB) ta chấp nhấp cắt dần dần một biên tần. 4.8 Điều chế góc. Sóng sin được đặc trưng bằng biên độ và góc (bao gồm tần số và pha). Trong các tín hiệu được điều chế biên độ, thông tin chứa trong tín hiệu baseband (tin tức) )(tm xuất hiện trong độ thay đổi cũa sóng mang. Trong phƣơng pháp điều chế góc, thông tin chứa trong )(tm do góc của sóng mang truyền đi. Điều chế góc còn được gọi là điều chế dạng mủ. Sóng mang được điều chế góc (điều chế hàm mủ) thường được mô tả theo )](cos[)( tktAt cEM   (4.80) Trong đó k là hằng số bất kỳ và )(t là đo lường của )(tm , có được từ toán tử tuyến tính khả nghịch lên )(tm . Nói cách khác, )(t là ngõ ra của hệ thống tuyến tính nào đó, có ngõ vào là )(tm và hàm truyền )(sH , như vẽ trong hình 4.40. Nếu )(th là đáp ứng xung đơn vị của hệ thống, tức là nếu )()( sHth  , thì     t dthmmt )()()( (4.81) Nếu chọn )(th thích hợp, ta có thể có nhiều lớp con điều chế góc. Thí dụ, nếu chọn )()( tuth  , thì kết quả ta có dạng điều chế nổi tiếng là điều chế tần số (FM: Frequency Modulation). Ngược lại, khi chọn )()( tth  ta có điều chế pha (PM: Phase Modulation). Ngoài ra còn có thể còn nhiều khả năng khác. Mặc dù, trong thông tin số, kỹ thuật điều chế tần số và điều chế pha rất thường gặp, tuy nhiên, trong thông tin quảng bá FM, thì đây không phải là dạng FM truyền thống, mà là dạng tổng quát của điều chế pha và có thêm mạch lọc nâng trƣớc (preemphasis filter) dùng cải thiện khả năng triệt nhiễu, do đó có sự cải tiến trong kỹ thuật FM để có tính năng tốt hơn. Trong điều chế biên độ, tần số sóng mang là hằng số và biên độ thì tay đổi theo )(tm . Ngược lại, trong điều chế góc, biên độ sóng mang thường là không đổi, nhưng tần số sóng mang thay đổi liên tục theo tin tức )(tm . Từ định nghĩa, sóng sin cần có tần số không đổi; do đó, sự thay đổi tần số theo thời gian có vẽ là nghịch lý so với định nghĩa truyền thống về tần số sóng sin. Do đó, ta cần tổng quát ý niệm sóng sin nhằm tạo ý niệm về thay đổi tần số theo thời gian. Điều này. dẫn đến ý niệm về tần số tức thời. 4.8-1 Ý niệm về tần số tức thời Như đã thấy, tần số sóng mang thay đổi liên tục theo từng thời điểm trong FM. Thoạt nhìn, điêu này có vẽ vô lý vì theo định nghĩa của tần số, ta phải có tín hiệu sin với ít nhất một chu kỳ tần số giống nhau. Ta không thể tưởng tượng sóng sin mà tần số lại thay đổi theo từng chu kỳ. Vấn đề này nhắc nhở ta phải quan tâm đến ý niệm về vận tốc tức thời trong giáo trình nhập môn về cơ học. Cho đến lúc này, ta chỉ nghĩ là vận tốc là hằng số trong khoảng thời gian, và ta không nghĩ là vận tốc có thể thay đổi theo thời gian. Xét tín hiệu sóng sin tổng quát )(t cho bởi )(cos)( tAt   (4.82) Trong đó )(t là góc tổng quát, là hàm theo thời gian t. Hình 4.41 minh họa một trường hợp của )(t . Góc tổng quát của sóng sin truyền thống )cos( 0 tA c là 0 tc và được vẽ là đường thẳng có độ dốc c là cắt 0 trong hình 4.41. Hình vẽ )(t trong trường hợp giả định là tiệm cận với góc ( 0 tc ), tại thời điểm t. Điểm mấu chốt là trong khoảng nhỏ 0t , tín hiệu )(cos)( tAt   và sóng sin )cos( 0 tA c là giống nhau, tức là: 210)cos()( ttttAt c   Có thể nói rằng trong khoảng thời gian bé t này, tần số của )(t là c . Do ( 0 tc ) tiếp tuyến với )(t là độ dốc của góc )(t trong thời gian bé. Ta có thể tổng quát ý niệm này tại mỗi thời điểm và nói rằng tần số tức thời i tại thời điểm t là độ dốc của )(t tại t. Vậy )(t trong phương trình (4.82), tần số tức thời )(ti là dt d ti   )( (4.83a)   t i dt  )()( (4.83b) Đối với sóng sin truyền thống )cos( 0 tA c , ta có 0)(   tt c và ci dtdt   /)( là hằng số, như mong muốn. Rõ ràng thò định nghĩa tổng quát về tần số tức thời không xung đột với ý niệm truyền thống về tần số. Bây giờ, ta xem xét khả năng truyền thông tin của )(tm bằng cách thay đổi góc  của sóng mang. Có hai khả năng là điều chế pha PM (phase modulation) và điều chế tần số FM (frequency modulation). Trong trường hợp PM, góc )(t thay đổi tuyến tính theo )(tm : )()( tmktt pc  (4.84a) Trong đó pk là hằng số và c là tần số sóng mang. Sóng PM có được là: )](cos[)( tmktAt pcPM   (4.84b) Tần số tức thời )(ti trong trường hợp này là )()( tmk dt d t pci     (4.84c) Vậy trong điều chế pha, tần số tức thời i thay đổi tuyến tính theo đạo hàm của tín hiệu điều chế. Nếu tần số tức thời i thay đổi tuyến tính theo tín hiệu điều chế, ta có phương pháp điều chế tần số. Do đó, trong FM. Tần số tức thời i là )()( tmkt fci  (4.85a) Với fk là hằng số. Phương trình (4.83b) cho ta góc )(t là:    t fc t fc dmktdmkt  )(])([)( (4.85b) Trường hợp này, ta giả thiết là thừa số hằng trong )(t là zêrô mà không làm mất đi tính tổng quát. Vậy, sóng FM là    t fcFM dmktAt )(cos[)( (4.85c) Quan sát là cả PM và FM là các trường hợp của tín hiệu được điều chế hàm mủ )(tEM trong phương trình (4.80). Nếu )()( tth  trong phương trình (4.81), rồi dùng đặc tính lấy mẩu của xung trong phương trình (4.81), ta có )()( tmt  , và phương trình (4.80) giảm thành PM trong phương trình (4.84b). Tương tự, nếu )()( tuth  , và sự kiện 1)( tu trong khoảng t  ta có    dmdthm )()()( , và phương trình (4.80) giảm thành FM trong phương trình (4.85c). Tất cả trong một Phương trình (4.84b) và (4.85c) cho thấy PM và FM không chỉ giống nhau mà còn không thể tách rời nhau được. Thay )(tm trong phương trình (4.84b) bằng  t dm  )( làm thay đổi từ PM thành FM. Tương tự, sóng PM tương ứng với )(tm là sóng FM tương ứng với )(tm (hình 4.42b). Ta kết luận là khi mới nhìn vào sóng điều chế góc, thì không thể biết đó là FM hay PM, thực ra, điều này không cần thiết để biết sóng điều chế góc là PM hay FM. Ta đã thấy là PM hay FM không phải là các dạng điều chế khác, nhưng là hai trường hợp đặc biệt của phương pháp điều chế góc tổng quát. Điều này rất hữu ích do ta có thể hoán chuyển từ một dạng điều chế góc này (thí dụ PM) sang một dạng điều chế góc khác (thí dụ FM). Việc hoán chuyển này được minh họa trong hình 4.42. Thí dụ, ta thấy là băng thông của FM xấp xỉ là pf mk2 , với pm là biên độ đỉnh của )(tm . Ta có thể tìm ra kết quả tương tự cho PM từ hình 4.42b, Cho thấy PM chính là FM khi tín hiệu điều chế là )(tm . Rõ ràng, băng thông của PM xấp xỉ là pf mk '2 , với pm' là biên độ đỉnh của )(tm . Điều này cho thấy là nếu ta phân tích một dạng điều chế góc (thí dụ FM) ta có thể dễ dàng mở rộng sang một dạng điều chế góc khác. Về mặt lịch sử, ý niệm về điều chế góc bắt đầu với FM. Do đó, thường ta bắt đầu phân tích sóng FM rồi mới chuyển kết quả sang các dạng điều chế góc khác. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là FM có ưu điểm hơn so với các dạng điều chế góc khác. Ngược lại, PM có ưu điểm hơn so với FM trong hầu hết các tín hiệu analog như là tín hiệu auđiô và viđêo. Thực ra, tính ưu việt không từ PM hay FM, nhưng lại phụ thuộc vào bản chất của tín hiệu tin tức (băng nền). Phần trên cho thấy là không nhất thiết phải thảo luận phương pháp tạo lập và giải điều chế từng loại điều chế. Hình 4.42 cho thấy là có thể tạo PM từ máy phát FM, và ngược lại có thể tạo FM từ máy phát PM. Một trong những phương pháp tạo sóng FM trong thực tế (hệ thống FM không trực tiếp Armstrong) là tích hợp )(tm và dùng trong điều chế pha cho sóng mang. Chú ý tương tự khi giải điều chế FM và PM. ■ Thí dụ 4.21 Vẽ sóng FM và PM cho tín hiệu điều chế )(tm vẽ trong hình 4.43a. Các hằng số fk và pk lần lượt là )10(2 5 và 10 , và tần số sóng mang cF là 100 MHz. Trƣờng hợp FM (xem phương trình 4.85a) )()( tmkt fci  . Chia cho 2 , ta có phương trình theo biến Fc (tần số tính theo Hz). Tần số tức thời iF là )(1010)( 2 58 tmtm k FF f ci   MHztmFi 9,99)]([1010)( min 58 min  MHztmFi 1,100)]([1010)( min 58 max  Do )(tm tăng và giảm tuyến tính theo thời gian, tần số tức thời tăng tuyến tính từ 99,9 và 100,1 MHZ trong nửa chu kỳ và giảm tuyến tính từ 100,1 đến 99,9 MHz trong nửa chu kỳ còn lại của tín hiệu điều chế (hình 4.43b). Trƣờng hợp PM PM cho )(tm là FM cho )(tm . Điều này thể hiện từ phương trình (4.84c) hay hình 4.42c. )(510)( 2 8 tmtm k FF p ci    MHztmFi 9,991010)]([510)( 58 min 8 min   MHztmFi 1,1001010)]([510)( 58 min 8 max   Do )(tm chuyển tới và lui từ giá trị - 20.000 đến 20.000, tần số sóng mang chuyển tới và lui từ 99,9 và 100,1 MHZ trong nửa chu kỳ của )(tm như vẽ trong (hình 4.43d). Phương pháp gián tiếp để vẽ PM (dùng )(tm để điều chế tần số sóng mang) hoạt động bao lâu mà )(tm còn là liên tục. Nếu )(tm là gián đoạn, )(tm chứa các xung, và phương pháp này không còn thích hợp. Trong trường hợp này, nên dùng phương pháp trực tiếp như trong thí dụ kế. 4.8-2 Băng thông của các tín hiệu điều chế góc Khác với phương pháp điều chế biên độ, không có quan hệ đơn giản cho sóng tín hiệu băng nền (tin tức) với sóng điều chế góc tương ứng. Điều này cũng đúng cho phổ của chúng. Từ bản chất phi tuyến trong điều chế góc, việc tìm phổ tần số )(EM của tín hiệu điều chế góc là cực kỳ phức tạp và chỉ có thể có được trong một số trường hợp đặc biệt. Thông thường, băng thông của tín hiệu đều chế góc là vô hạn ngay khi băng thông của tín hiệu tin tức là có giới hạn. Ta sẽ thử tính băng thông chủ yếu của một tín hiệu điều chế góc. Hảy bắt đầu với tín hiệu điều chế góc trong phương trình (4.80), và xem xét trường hợp đẩu tiên của k ( 0k ). )](sin[sin)](cos[cos)](cos[)( tktAtktAtktAt cccEM   ttAktA cc  sin)(cos  0k (4.86) So sánh vế phải của biểu thức với )(tAM trong phương trình (4.73a) cho thấy hai biểu thức tương tự nhau. Thừa số thứ nhất là sóng mang, và thừa số thứ hai biểu diễn các biên tần, có cùng dạng với tín hiệu DSB – SC tương ứng với tín hiệu băng nền )(tAk . Khác biệt cơ bản là sóng mang là sin thay vì là cos. Điều này tức là pha của sóng mang cách nhau 2/ . Do đó, băng thông của tín hiệu điều chế góc giống với tín hiệu AM tương ứng có tín hiệu băng nên là )(t . Nếu )(tm có băng thông giới hạn là B Hz, thì băng thông của )(t cũng là B Hz. Vậy, băng thông của )(tEM là 2B Hz, giống như trường hợp AM. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi 0k . Ta hảu xem xét trường hợp tổng quát hơn. Trong điều chế góc, tần số sóng mang thay đổi từ giá trị đứng nghĩ c . Gọi độ dời tần tối đa của tần số sóng mang là  . Nói khác, tần số sóng mang thay đổi từ  c đến  c . Do tần số sóng mang luôn duy trì trong băng tần có độ rộng là 2 radian/s, ta có thể nói là phổ có được là năm trong băng tần này và băng thông của tín hiệu điều chế góc là 2 không? Điều này khẳng định là khi sóng sin có tần số tức thời là x , thì phổ có được chỉ tập trung tại x . Điều này chỉ đúng khi sóng mang có độ rộng hữu hạn. Khi tín hiệu sin có tần số hữu hạn x , thì phổ không chỉ tập trung trung tại x , nhưng trải ra hai bên của x , như vẽ trong hình 4.24d của thí dụ 4.12. Trong tín hiệu điều chế góc tiêu biểu thì tần số sóng mang tỉ lệ trực tiếp với )(tm là hàm theo t. Do đó, tần số tức thời cũng sẽ thay đổi liên tục theo t. Tính dời liên tục theo tần số sẽ tạo phổ trải ra quanh 2 . Rõ ràng, băng thông của tín hiệu điều chế góc sẽ lớn hơn 2 rad/s. Nhưng lơn hơn bao nhiêu? Xem lại kết quả có từ trường hợp 0k . Trước hết, ta cần xác định  . Từ phương trình (4.80), ta có )()( tkt fci   (4.87) Nếu biên độ đỉnh của )(t là )' tp , thì tần số sóng mang thay đổi từ pc k '  đến pc k '  . Do đó: pk '  (4.88a) Độ dời tần số sóng mang F tính theo Hz là: p k F ' 22       (4.88b) Như đã trình bày, do phổ rải, nên băng thông tín hiệu điều chế góc hơi lớn hơn F2 . Gọi băng thông thực EMB (Hz) là X k XFB pEM  ' 2 2   (4.89) Với X là ẩn, và để xác định, ta hảy trở về trường hợp 0k , ta thấy băng thông là B2 . Nhưng theo phương trình (4.89) thì đây là băng thông của X khi 0k . Vậy BX 2 , và )(2 BFBEM  Hz (4.90) Chú ý là khi 0k , 0F và BF  . Nói cách khác khi k rất lớn, BF  . Trường hợp đầu gọi là điều chế góc băng hẹp, còn trường hợp thứ hai gọi là điều chế góc băng rộng. Nhắc lại với FM, )()( tmt  và pp mt )(' , với pm là biên độ đỉnh của )(tm . Tương tự, với PM, )()( tmt  . Do đó, pp m''  với pm' là biên độ đỉnh của )(tm . Vậy:   p f FM m k F   và   p p PM m k F '   (4.91) Ta thấy đươc điều thú vị trong điều chế góc. Băng thông của tín hiệu điều chế góc được điều chỉnh thông qua việc chọn thích hợp giá trị của F hay các hằng số k ( fk cho FM, và pk cho PM). Điều chế biên độ không có tính chất này. Băng thông của từng sơ đồ AM là cố định. Đây là nguyên lý tổng quát trong lý thuyết thông tin khi mở rộng băng thông của tín hiệu làm tăng tính chống nhiễu khi truyền dẫn. Do đó, khi tăng băng thông truyền dẫn làm tín hiệu điều chế góc càng tăng tính chống nhiễu. Hơn nữa, tính chất này cho phép giảm công suất tín hiệu với củng chất lượng truyền dẩn. Vậy, điều chế góc cho phép ta giảm công suất khi tăng băng thông. Ngoài ra, do có biên độ không đổi nên phương pháp điều chế góc có ưu điểm lớn so với điều chế biên độ, do ít bị ảnh hưởng của méo phi tuyến. Ta sẽ thấy trong phần 4.8-3 là không có méo khi ta cho tín hiệu điều chế góc qua linh kiện phi tuyến với quan hệ vào –ra là )()( 2 txty  [trường hợp tổng quát  )()( txaty nn ]. Yếu tố phi tuyến này rất nguy hiểm trong hệ thống điều chế biên độ. Đây là lý do cơ bản làm cho phương thức điều chế góc được dùng trong các hệ thống chuyển tiếp vi ba, trong đó không thể tránh mạch khuếch đại và các linh kiện có tính phi tuyến, và cần có mức công suất cao. Hơn nữa, biên độ không đổi của FM cho phép chống được nhiễu do pha đing nhanh. Ảnh hưởng của sự thay đổi biên độ do yếu tố pha định nhanh có thể tránh được dùng hệ thống tự điều khuếch và phương pháp băng thông giới hạn. Điều chế góc còn ít bị ảnh hưởng của nhiễu giao thoa giữa các kênh kề cận. Nhưng cái giá phải trả là phải tăng băng thông. Ta se chứngminh được là với cùng băng thông, phương pháp điều chê xung mã (PCM) sẽ trình bày trong chương 5, có tính ưu việt hơn so với điều chế góc. 4.8-3 Tạo và giải điều chế tin hiệu điều chế góc Trong phương trình (4.86), ta thấy tín hiệu điều chế góc băng hẹp (hay hàm mủ) (NBEM: narrowband angle (exponential) modulated) gồm thừa số sóng mang và thừa số DSB – SC có sóng mang dời pha /2. Do đó, ta có thể tạo tín hiệu này theo các bước ở phần 4.7. Điều chế băng rộng (WBEM : wideband) có thể tạo từ NBEM bằng cách cho tín hiệu NBEM qua linh kiện phi tuyến. Thí dụ, xét linh kiện phi tuyến có ngõ vào )(tx và ngõ ra )(ty theo quan hệ )()( 2 txty  . Nếu ngõ vào là tín hiệu điều chế góc )](cos[ tktc   , thì ngõ ra là: )](22cos[ 2 1 2 1 )]([cos)( 2 tkttktty cc   Khi cho tín hiệu này qua mạch lọc thông dải có tần số trung tâm là c2 , ngõ ra sẽ là: )](22cos[ 2 1 )( tkttz c   Nhận thấy thành phần phi tuyến bậc hai đã nhân đôi tần số sóng mang cùng với giá trị hiệu dụng của k mà không làm méo dạng nào. Tương tự, ta chứng minh được là phi tuyến bậc n tăng n lần tần số sóng mang cùng giá trị hiệu dụng của k. Điều này cho phép chuyển từ tín hiệu điều chế góc băng hẹp NBEM sang tín hiệu điều chế góc băng rộng WBEM. Ta còn có thể tạo tín hiệu điều chế góc dùng phương pháp gián tiếp, bằng cách dùng bộ dao động điều khiển bằng điện áp (VCO: voltage controlled oscillator). Ngõ ra của bộ VCO là tín hiệu sin có biên độ không đổi, có tần số tức thời thay đổi trực tiếp với điện áp vào )(tm . Rõ ràng, bộ VCO là máy phát FM. Như đã thảo luận trước đây thì máy phát FM, qua một số thay đổi nhỏ, thì có thể tạo nên bất kỳ dạng điều chế góc nào. Giải điều chế Phần này thảo luận phương pháp giải điều chế FM. Như đã giải thích, bộ giải điều chế FM, qua một số thay đổi nhỏ, thì có thể được dùng giải mã bất kỳ dạng điều chế góc nào. Do tần số tức thời của sóng FM tăng tuyến tính với tín hiẹu băng nền )(tm , và bộ giải điều chế FM là linh kiện có ngõ ra tỉ lệ với tần số tín hiệu vào. Do đó, độ lợi )(H của bộ giải điều chế FM phải có dạng 21 cc  . Bộ vi phân lý tưởng có được đặc tính này. Nếu ngõ vào của bộ vi phân lý tưởng là tín hiệu điều chế góc )](cos[)( tkttx c   , thì ngõ ra là: ])(sin[)]([)](sin[)]([ )( )(   tkttktkttk dt tdx ty cccc  Ngõ ra cũng là tín hiệu điều chế góc, với đường bao là )(tktc   . Do đó, bộ vi phân lý tưởng bám theo bằng bộ tách đường bao sẽ tạo được ngõ ra )(tktc   . Sau khi loại phần phần dc, ta có được ngõ ra mong muốn là )(tk . Nhắc lại là với FM,  t dmt  )()( . Do đó, )()( tmt  . Một linh kiện khác có thể dùng giài điều chế FM là mạch điều hợp (tuned circuit) có tần số cộng hưởng được chọn trên hay dưới tần số sóng mang của tín hiệu FM cần giải điều chế. Đáp ứng tần số của mạch điều hợp chỉnh lệch (dưới tần số cộng hưởng) là xấp xỉ tuyến tính với tần số vào (ít nhất trong một dải tần nhỏ). Sơ đồ dạng này do chịu ảnh hưởng độ dốc của )(H của mạch điều hợp chỉ tuyến tính trong một dải tần nhỏ nên ngõ ra bị méo dạng. Có thể sửa chửa một phần dùng bộ tách sóng cân bằng (balanced discriminator) dùng hai mạch cộng hưởng, một chỉnh ở tần số trên c và một được chỉnh ở tần số thấp hơn c . Hiện nay, vòng khóa pha (PLL: phase - locked loop) ưu việt hơn so với các phương pháp đã thảo luận trước đây (đặc biệt trong điều kiện môi trường có nhiều nhiễu) càng trở nên phổ biến trong bộ giải điều chế góc do có giá thành ngày càng thấp. Đọc thêm phần tham khảo 4 về các phương pháp điều chế và giải điều chế góc. 4.8-4 Ghép kênh bằng cách phân chia theo thời gian FDM: Ghép kênh tín hiệu cho phép truyền đồng thời nhiều tín hiệu trên cùng kênh truyền. Trong chương 5, ta sẽ thảo luận về phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo thời gian (TDM), với nhiều tín hiệu được truyền theo cách phân phối thời gian trên một kênh truyền, như cáp hay cáp quang. Trong phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo tần số (FDM: Frequency Division Multiplexing), qua việc dùng phương pháp điều chế với nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu đượ điều chế với tần số sóng mang khác nhau, để chia sẻ băng thông của kênh truyền như vẽ trong hình 4.45. Các sóng mang khác nhau được phân cách đủ để không bị trùng lắp (giao thoa) giữa phổ của các tín hiệu được điều chế. Các sóng mang được gọi là sóng mang phụ. Mỗi tín hiệu có thể dùng nhiều dạng điều chế khác nhau (thí dụ DSB – SC, AM, SSB – SC, VSB – SC hay ngay cả FM hay PM). Phổ các tín hiệu được điều chế có thể được phân cách dùng một dải bảo vể để tránh giao thoa và giúp máy thu chọn lọc dễ dàng hơn. Khi tất cả các phổ tín hiệu được điều chế được thêm vào, ta có tín hiệu hỗn hợp được xem như tín hiệu băng nền. Đôi khi, tín hiệu hôõn hợp này có thể được dùng cho điều chế khác ở tần số sóng mang cao hơn (tần số rađiô, hay RF) để truyền đi. Tại máy thu, tín hiệu thu trước hết được giải điều chế dùng sóng mang RF để khôi phục tín hiệu hỗn hợp băng nền, rổi đưa qua bộ lọc thông dải để tách từng tín hiệu được điều chế. Sau đó, các tín hiệu này được giải điều chế riêng biệt với sóng mang thích hợp để có được các tín hiệu băng nền gốc. 4.9 Giới hạn tín hiệu: Hàm cửa sổ. Ta thường cần giới hạn tín hiệu trong nhiều trường hợp khác nhau, từ việc tính toán số học hay thiết kế mạch lọc. Thí dụ, khi cần tính toán số của biến đổi Fourier của một số tín hiệu, thí dụ )(tue t trên máy tính, ta sẽ phân tín hiệu )(tue t với giá trị đủ lớn của t (thường là năm lần hằng số thời gian). Lý do là khi tính toán số, ta cần xử lý dữ liệu có chiều dài hữu hạn. Tương tự, đáp ứng xung )(th của bộ lọc lý tưởng là không nhân quả, và tiệm cận về zêrô khi t . Để thiết kế thực tế, ta cần giới hạn )(th trong tầm giá trị đủ lớn của t để làm cho )(th thành nhân quả. Khi lấy mẩu tín hiệu, để tránh trùm phổ (aliasing) ta cần giới hạn phổ tín hiệu trong nửa tần số lấy mẩu 2/s , dùng bộ lọc chống trùm phổ. Một lần nũa, khi ta muốn tổng hợp tín hiệu tuần hoàn bằng cách cộng n sóng hài đầu tiên và giới hạn các sóng hài bậc cao hơn, Các thí dụ này cho thấy việc giới hạm dữ liệu có thể xuất hiện trong cả miền thời gian và miền tần số. Trên mắt phẳng thì việc giới hạn có vẽ như là bài toán đơn giản bằng cách cắt bớt dữ liệu tại điểm được cho là đủ nhỏ. Điều không may là thực tế không phải như vậy, phương pháp giới hạn đơn giản có thể tạo ra thêm rắc rối. Hàm cửa sổ Tác động giới hạn có thể được xem là việc nhân tín hiệu có độ rộng lớn với hàm cửa sổ có chiều rộng bé hơn. Giới hạn đơn giản thường dùng hàm cửa số vuông )(twR (hình 4.48a) trong đó, ta đặt trọng số là đơn vị cho mọi dữ liệu trong cửa số có chiều rộng  2/Tt  , và cho trọng số là zêrô các dữ liệu nằm ngoải cửa số  2/Tt  . Ngoải ra còn có thể dùng cửa số theo đó dữ liệu bên trong cửa sổ có thể không là hằng số. Thí dụ, trong cửa số tam giác )(twT , theo đó, trọng số giảm tuyến tính theo chiều rộng cửa số (hình 4.48b). Xét tín hiệu )(tf và hàm cửa số )(tw . Nếu )()( Ftf  , và )()( Wtw  , và nếu hàm qua cửa sổ (bị giới hạn) )()( ww Ftf  thì )()()( twtftfw  và )()( 2 1 )(    WFFw  Dùng đặc tính về độ rộng của phép tích phân chập, ta thấy độ rộng của )(wF bằng tổng của độ rộng của )(F và )(W . Do đó, giới hạn tín hiệu làm tăng băng thông một lượng là băng thông của )(tw . Rõ ràng giới hạn tín hiệu làm làm phổ trải ra một lượng bằng băng thông của )(tw . Nhắc lại là băng thông tín hiệu là tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Do đó, cửa sổ càng rộng thì băng thông càng hẹp, và trải phổ càng hẹp. Kết quả này là dự báo được do cửa sổ càng rộng tức là ta chấp nhận them dữ liệu (xấp xỉ càng đúng), càng làm giảm méo (độ trải phổ càng bé đi)/ CỬa sổ càng hẹp (xấp xỉ xấu hơn) làm độ trải phổ càng tăng (méo tăng lên). Ngoài ra còn có thêm tác động do )(W thực ra không phải là băng thông được giới hạn nghiêm ngặt, và phổ chỉ 0 một cách tiệm cận. Điều này cũng làm cho phổ 0)( wF một cách tiệm cận với cùng tốc độ của )(W , ngay cả khi )(F có phổ được giới hạn nghiêm ngặt. Như thế, tạo cửa sổ làm cho phổ của )(F bị rò ở dải tần được gia sử là zêrô. Hiện tượng này được gọi là rò phổ. Hai ảnh hưởng này, trải phổ và rò phổ, sẽ được thí dụ sau làm rõ. Thí dụ, xét ttf 0cos)(  và hàm cửa sổ vuông        T t recttwR )( , trong hình 4.46b. Lý do chọn )(tf là sin do có phổ gồm nhiều đường phổ có độ rộng là zêrô (hình 4.46a). Chọn lựa này cho phép thấy được ảnh hưởng của phổ rải và yếu tố rò phổ. Phổ của tín hiệu giới hạn )(tfw là tích phân chập của hai xung của )(F với phổ sinc của hàm cửa sổ. Do phép tích phân chập của hàm bất kỳ với xung là chính hàm này (dời đến vị trí của xung), phổ có được từ tín hiệu bị giới hạn là hai xung sinc (nhân với 1/2) tại 0 , vẽ trong hình 4.46c. So sánh phổ của )(F và )(wF cho thấy ảnh hưởng của giới hạn. Đó là: 1. Các đường phổ của )(F có độ rộng zêrô. Nhưng tín hiệu được giới có phổ trải ra T/4 quanh mỗi đường phổ. Lượng rải bằng với độ rộng của búp chính (mainlobe) của phổ cửa sổ. Một ảnh hưởng là yếu tố rải phổ, tức là nếu )(tf có hai thành phần phổ tần số cách nhau ít hơn T/4 rad/s (2/T Hz), nên không thể phân biệt được chúng khi tín hiệu có giới hạn. Kết quả là độ phân giải phổ bị mất đi. Ta cần có rải phổ (độ rộng của búp chính) càng bé càng tốt. 2. Bên cạnh vấn đề rải của búp chính, tín hiệu có giới hạn còn có các búp biên (sidelobes), suy giảm chậm theo thời gian. Phổ của )(tf là zêrô tại mọi nơi khác 0 . Mặt khác, phổ của tín hiệu có giới hạn )(wF là không còn là zêrô do có búp biên. Các búp biên nay giảm theo /1 . Do đó, giới hạn tạo rò phổ trong dải tần mà phổ của )(tf là zêrô. Đỉnh của búp biên là 0,217 lần biên độ búp chính (13,3 dB dưới biên độ đỉnh búp chính. Đồng thời, búp biên giảm theo /1 , tức là – 6dB/octave (hay – 20 dB/decade). Đây là tốc độ rolloff của búp biên. Ta cần có búp biên nhỏ hơn và tốc độ giảm nhanh hơn (tốc độ rolloff lớn hơn). Hình 4.46d vẽ )(RW (tính theo dB) là hàm theo . Hình này cho thấy rõ tính năng của búp chính và búp biên, với biên độ cũa búp biên là – 13,3 dB dưới biên độ búp chính, và tốc độ giảm của búp biên là – 6 dB/octave (hay – 20 dB/decade). Ta chỉ mới thảo luận về tín hiệu có giới hạn (giới hạn trong miền thời gian) của phổ tín hiệu. Nhờ tính đối ngẫu thời gian –tần số, ảnh hưởng của giới hạn phổ (giới hạn trong miền tần số) của hình dạng tín hiệu cũng tương tự. Khắc phục ảnh hƣơng phụ của giới hạn Để có kết quả tốt hơn, ta phải tìm cách giảm thiểu hai ảnh hưởng của tác dụng phụ là rải phổ (của búp chính) và rò phổ (búp biên). Hảy xét từng yếu điểm này. 1. Rải phổ (độ rộng búp chính) của tín hiệu giới hạn là bằng với băng thông của hàm cửa số )(tw . Ta biết là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng của tín hiệu (thời gian tồn tại). Do đó, để giảm rải phổ (độ rộng búp chính), ta cần tăng độ rộng cứa số. 2. Để cải thiện yếu tố rò phổ, ta phải tìm kiếm nguyên nhân làm búp biên giảm chậm. Trong chương 3, ta đã biết là phổ Fourier giảm theo /1 cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, và giảm theo 2/1  với tín hiệu có đạo hàm bậc nhất gián đoạn, v.v..,. Độ mịn (smoothness) của tín hiệu được đo từ số đạo hàm liên tục của tín hiệu. Tín hiệu càng mịn, thì phổ giảm càng nhanh. Do đó, ta có thể giảm tác động rò phổ bằng cách chọn hàm cửa sổ có độ mịn thích hợp. 3. Với cùng độ rộng cửa sổ, các cách khác phục của hai ảnh hưởng lại không tương thích nhau. Khi ta có cải thiện yếu tố này, thì lại làm xấu đi yếu tố khác. Thí dụ, trong các độ rộng cửa sổ, thì cửa sổ vuông có rải phổ bé nhất (độ rộng búp chính), nhưng lại có búp biên độ có biên độ cao nhất và giảm chậm nhất. Loại cửa số hình nón (mịn) có cùng độ rộng nhưng lại có búp biên bé va giảm nhanh nhất, nhưng búp chính lại rộng hơn. Nhưng ta có thể tăng độ rộng cửa sổ để giảm biên độ búp chính. Vậy ta có thể khắc phục cả hai yếu điểm của giới hạn bằng cách chọn cửa sổ đủ mịn và độ rộng đủ lớn. Có nhiều dạng hàm cửa sổ hình hình nón nổi tiếng như cửa sổ Bartlett (tam giác). Hanning (von Hann), Hamming, Bleckman và Kaiser, có cách giới hạn dần dần dữ liệu. Các cửa sổ cho nhiều chọn lựa giữa rải phổ (độ rộng búp chính) biên độ đỉnh búp biên, và tốc độ giảm rò phổ như trong bảng 4.3. Quan sát thấy mọi cửa số là đối xứng quanh gốc (hàm chẵn theo t). Từ đặc tính này, )(W là hàm thực theo ; và )(W là 0 hay . Do đó, hàm pha của tín hiệu có giới hạn đã giảm thiểu được méo dạng. HÌnh 4.47 vẽ hai dạng hàm cửa sổ nổi tiếng, là hàm cửa sổ von Hann (hay Hanning) )(xwHAN và hàm cửa sổ Hamming )(xwHAM . Ta chủ định chọn biến x do giới hạn cửa sổ có thể thực hiện trong miền thời gian cũng như trong miền tần số; nên x có thể là t hay , tùy theo ứng dụng. Có hàng trăm loại cửa sổ với các đặc tính khác nhau. Việc chọn lựa tùy theo từng ứng dụng đặc thù. Cửa sổ vuông có búp chính hẹp nhất. Cửa sổ Bartlett (tam giác; còn gọi là cửa sổ Fejer hay Cesaro) có yếu điểm so với cửa sổ Hanning, nên ít dùng trong thực tế. Cửa số Hanning tốt hơn Hamming khi phân tích phổ do có búp biên giảm nhanh hơn. Nhưng khi ứng dụng làm mạch lọc, thì cửa sổ Hamming lại được chọn do có biên độ búp biên bé nhất với dùng độ rộng búp chính. Cửa sổ Hamming được dùng nhiều nhất, trong những ứng dụng thông thường. Cửa sổ Kaiser, dùng )(0 I , của hàm Bessel bậc 0, nên có tính đa năng hơn và chỉnh định được. Việc chọn giá trị  đúng )100(  cho phép người thiết kế chọn được cửa sổ thích hợp với các ứng dụng điều khiển cân bằng giữa búp chính và các búp biên. Khi 0 , cửa sổ Kaiser là cửa sổ vuông. Khi 4414,5 thì đó là cửa sổ Hamming, và khi 885,8 , thì đó là cửa sổ Blackman. Khi  tăng, độ rộng búp chính tăng và biên độ búp biên giảm. Ta sẽ thiết kế mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông W rad/s. Mạch lọc này có đáp ứng xung là )(sin)( Wtc W th   (hình 4.48c) là không nhân quả, nên không thực hiện được. Giới hạn hàm )(th dùng cửa sổ thích hợp (hình 4.48a) cho phép thực hiện mạch lọc này, dù mạch lọc có được là dạng xấp xỉ của mạch lọc lý tưởng cần có. Ta có thể dùng của sổ vuông )(twR và cửa sổ tam giác )(twT để giới hạn )(th . Đáp ứng giới hạn là )(thR và )(tht của hai trường hợp được vẽ ở hình 4.48d. )()()( twthth RR  và )()()( twthth TT  Do đó, hàm truyền các mạch lọc có giới hạn là tích phân chập của )(H với biến đổi Fourier của cửa sổ, vẽ trong hình 4.48e và f. Ta có các quan sát sau: 1. Phổ của mạch lọc có giới hạn cho thấy tính rải phổ tại rìa, và thay vì có thay đổi đột ngột ta có chuyển tiếp từ từ từ dải dẫn sang dải ngưng của mạch lọc. Dải chuyển tiếp nhỏ (2/T rad/s) cho trường hợp cửa sổ vuông so với trường hợp tam giác (4/T rad/s). 2. Dù )(H đã có giới hạn, nhưng bộ lọc qua cửa sổ thì không. Nhưng hoạt động của dải ngưng (stopband) trong trường hợp cửa sổ tam giác tốy hơn nhiều so với trường hợp cửa sổ vuông. Trong cửa sổ vuông, rò phổ tại dải ngưng giảm chậm (1/) so với trường hợp cửa sổ tam giác là ( 2/1  ). Hơn nữa, trường hợp cửa sổ vuông còn có biên độ đỉnh búp biên cao hơn so với trường hợp cửa số tam giác. Bảng 4.3 Một số hàm cửa sổ và đặc tính 4.10 Tóm tắt Trong chương 3 ta đã giới thiệu tín hiệu tuần hoàn là tổng của các sóng (không dừng) sin hay hàm mủ (chuỗi Fourier). Chương này mở rộng kết quả cho tín hiệu không tuần hoàn, dùng tích phân Fourier (thay cho chuỗi Fourier). Một tín hiệu không tuần hoàn )(tf có thể xem là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ 0T , sao cho tích phân Fourier về cơ bản là chuỗi Fourier với tần số cơ bản tiến về zêrô. Do đó, đối với tín hiệu không tuần hoàn, phổ Fourier là liên tục. Tính liên tục này cho phép biểu diễn tín hiệu thành tổng của sóng sin (hay hàm mủ) của mọi tần số trong khoảng tần số liên tục. Biến đổi Fourier )(F là mật độ phổ (trên đơn vị băng thông là Hz). Một dáng vẽ khác của biến đổi Fourier là tính đối ngẫu giữa thời gian và tần số, tạo điều kiên đối ngẫu cho tín hiệu )(tf và biến đổi )(F . Tính đối ngẫu này xuất hiện do phương trình gần-đối xứng của biến đổi Fourier trực tiếp và gián tiếp. Nguyên lý đối ngẫu rất hữu ích khi phân tích tín hiệu. Tính tỉ lệ cho kết luận là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Tính dời theo thời gian không làm thay đổi biên độ phổ, nhưng làm phổ pha tăng tuyến tính. Nhân tín hiệu với hàm mủ tje 0 làm dời phổ đi 0 . Trong thực tế, dời phổ được thực hiện bằng cách nhân tín hiệu với sóng sin như t0cos (thay vì hàm mủ tj e 0  ). Quá trình này gọi là điều chế biên độ. Nhân hai tín hiệu tạo tích phân chập cho phổ, và tích phân chập hai tích hiệu tạo phép nhân phổ. Khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền )(H , các phổ ngõ vào và ngõ ra lần lượt là )(F và )(Y quan hệ với nhau theo phương trình )()()(  HFY  . Điều này chỉ đúng với hệ ổn định tiệm cận. Để truyền không méo tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB, đáp ứng biên độ )(H của hệ thống phải là hằng số, và đáp ứng pha )(H phải là hàm theo  trong dải tần công tác. Lọc lý tưởng, cho phép truyền không méo trong một dải tần nào đó và triệt mọi thành phổ tần số còn lại, thường không thực hiện được trong thực tế (do hệ không nhân quả). Trong thực tế, không thể thực hiện được hệ vật lý mà có độ lợi zêrô [ 0)( H ] trong một dải tần hữu hạn. Các hệ thống này (bao gồm cả lọc lý tưởng) chỉ có thể thực hiện với hệ có đáp ứng với thời gian trễ hữu hạn. Năng lượng của tín hiệu )(tf là 2/1 nhân với vùng diện tích của 2 )(F (định lý Parseval). Năng lượng do thành phần phổ đóng góp trong dải tần F (Hz) là FF  2 )( . Do đó, 2 )(F là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu )(tf là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan )(tf của tín hiệu )(tf . Do đó, hàm tự tương quan có quan hệ trực tiếp với thông tin phổ. Quá trình điều chế dời phổ tín hiệu đến các tần số khác. Điều chế được dùng với nhiểu lý do: để truyền đồng thời nhiều bản tin trên cùng một kênh truyền, dùng kênh có băng thông rộng, hay để phát xạ với hiệu suất lớn nhất qua đường truyền vô tuyến, để dời phổ tín hiệu lên tần số cao hơn nhằm tránh được các khó khăn của việc xử lý tín hiệu ở tần số thấp, v.v,.. Nói rộng hơn, thì có hai dạng điều chế chính: điều chế biên độ và điều chế góc. Các dạng điều chế này còn được chia thành nhiều dạng nhỏ hơn. Băng thông của điều chế AM thường cố định, còn băng thông trong điều chế góc thì điều khiển được. Sơ đồ có băng thông càng cao, thì tính chống nhiễu càng lớn. Trong thực tế, ta thường phải giới hạn dữ liệu. Giới hạn dữ liệu được xem như việc quan sát qua cửa sổ, chỉ thấy được những gì cửa sổ cho phép thấy. Cửa sổ vuông cho phép ta giới hạn đột ngột dữ liệu, khi cho trong số đơn vị dữ liệu qua cửa sổ và phần dữ liệu còn lại có trọng số là 0. Các cửa sổ hình nón, thì cho phép trọng số giảm từ từ, từ 0 đến 1. Giới hạn dữ liệu có thể tạo thêm rắc rối. Thí dụ, khi tính biến đổi Fourier, thì cửa sổ giới hạn có thể làm rải phổ, tùy theo hàm cửa sổ nào được dùng, Cửa sổ vuông ít tạo rải phổ nhất, nhưng lại có rò phổ ở búp biên và giảm chậm theo /1 . Cửa sổ dạng nón thường có rải phổ lớn hơn, nhưng rò phổ nhỏ hơn và giảm nhanh hơn với tần số. Điều may mắn là có thể giảm rải phổ bằng cách tăng chiều rộng cửa sổ. Do đó, ta có thể giải quyết kết hợp yếu tố rải phổ và rỏ phổ bằng cách chọn thích hợp hàm cửa sổ với độ rộng T đủ lớn. Tham khảo 1. Churchill, R.V., and J.W. Brown, Fourier Series and Boundery Value Problems, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1978. 2. Bracewell, R.N., Fourier Transform and Its Applications, revised 2nd Ed., McGraw-Hill, New York, 1986. 3. Guillemain. E.A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963. 4. Lathi, B.P., odern Digital and Analog Communication Systems, 3rd Ed., Oxford University Press, New York, 1998. 5. J. Carson, “Notes on Theory of Modulation” Proc. IRE, vol 10. Febuary 1922, pp. 57-64. 6. J. Carson, “The Reduction of Asmospheric Disturbances” Proc. IRE, vol 16. July 1928, pp. 966-975. 7. Armstrong E.H. “A Method of Reducing Disturbances in Radio Signalling by a System of Frequency Modulation” Proc. IRE, vol 24. May 1936, pp. 689 – 740 . 8. Hamming R.W., Digital Filters, 2nd Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1983. 9. Harris, F. J., “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform” Proc. IEEE, vol 66. No. 1, January 1978, pp. 51-83. BÀI TẬP 4.1-1 Chứng tõ là khi )(tf là hàm chẵn theo t, thì    0 cos)(2)( tdttfF  và nếu )(tf là hàm lẻ theo t, thì    0 sin)(2)( tdttfjF  Từ đó, chứng minh là khi )(tf là hàm thực và chẵn theo t, thì )(F là hàm thực và chẵn theo . Hơn nũa, nếu )(tf là hàm lẻ theo t, thì )(F là hàm phức và lẻ theo . 4.1-2 Chứng tõ là với hàm thực )(tf , phương trình (4.8b) được viết thành    0 )](cos[)( 1 )(   dFtFtf Đây là dạng lượng giác của tích phân Fourier. So sánh với dạng chuỗi Fourier lương giác 4.1-3 Tín hiệu )(tf có thể biểu diễn thành tổng các thành phần chẵn )(tfe và lẻ )(0 tf (xem phần 1.5-2) )()()( 0 tftftf e  (a) Nếu )()( Ftf  , chứng minh là với hàm thực )(tf )](Re[)( Ftfe  và )](Im[)( Fjtfo  (b) Kiểm nghiệm lại kết quả bằng cách tìm biến đổi Fourier của các thành phần hàm chẵn và hàm lẻ của các tín hiệu sau: (i) )(tu (ii) )(tue at 4.1-4 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )(tf trong hình P4.1-4. 4.1-5 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )(tf trong hình P4.1-5. 4.1-6 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-6. 4.1-7 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-7. 4.2-1 Vẽ các hàm sau: (a)       2 t rect (b)        100 3 (c)        8 10t rect (d)       5 sin  c (e)        5 10 sin  c (f)             105 sin t rect t c Hướng dẫn:        b ax f là       b x f dời phải đoạn a. 4.2-2 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của rect (t – 5) là   5 2 sin jec       . Vẽ phổ biên độ và phổ pha. 4.2-3 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của          2 10 rect là   tjetc 10sin  . 4.2-4 Tìm biến đổi Fourier nghịch của )(F của các phổ vẽ trong hình P4.2-4a và P4.2-4b. Hướng dẫn: )()()(  FjeFF  . Bài tập này cho thấy phương thức khi các phổ pha khác nhau biểu diễn tín hiệu hoàn toàn khác nhau (dù có cùng phổ biên độ) 4.3-1 Dùng đặc tính đối xứng cho các cặp thích hợp trong bảng 4.1 để chứng minh là (a) )()( 2 1    u t j t        (b)  TTtTt cos2)()(  (c)  TjTtTt sin2)()(  4.3-2 Biến đổi Fourier của xung tam giác )(tf trong hình P4.3-2a là  11)( 2      jj ejeF Dùng thông tin này, và các đặc tính dời theo thời gian và tỉ lệ theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của các tìn hiệu )5,4,3,2,1()( itft vẽ trong hình P4,3-2 Hướng dẩn: Xem phần 1.3 về các phép tính đối với tín hiệu. Xung )5,4,3,2,1()( itft có thể xem là tổ hợp của )(tf và )(1 tf với các thời gian trễ thích hợp (có thể là dương hay âm) 4.3-3 Chỉ dùng tính dời theo thời gian và bảng 4,1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu vẽ trong hình P4.3-3. Hướng dẫn: Tín hiệu trong các hình b, c, và d có thể viết thành dạng )]()()[( atututf  . 4.3-4 Dùng đặc tính dời theo thời gian, chứng tõ nếu )()( Ftf  thì  TFTtfTtf cos)(2)()(  . Đây là dạng đối ngẫu của phương trình (4.41). Dùng kết quả này và cặp 17, cặp 19 trong bảng 4.1 để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hình P4.3-4. 4.3-5 Chứng tõ các kết quả sau đối ngẫu lẫn nhau  )()( 2 1 sin)( 000   FF j ttf    TFTtfTtf j sin)()()( 2 1  Dùng các kết quả này và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-5. 4.3-6 Các tín hiệu trong hình P4.3-6 là tín hiệu đã điều chế với sóng mang t10cos . Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu này dùng đặc tính thíc hợp của biến đổi Fourier và bảng 4.1. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của phần (a) và (b). 4.3-7 Dùng đặc tính dời theo tần số và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.3-7. 4.3-8 Dùng đặc tính tích chập theo thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 và 14 trong bảng 2.1 (giả sử 0 trong cặp 2, 1 và 02  trong cặp 4, 01  và 02  trong cặp 13, 1 và 02  trong cặp 14). Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức. Đối với cặp 12, dùng kết quả từ phương trình (1.23) 4.3-9 Tín hiệu )(tf có băng thông giới hạn ở B Hz. Chứng tõ là tín hiệu )(tf n có băng thông nB Hz. Hướng dẫn: Bắt đầu với n = 2. Dùng đặc tính của tích chập theo tần số và đặc tính về độ rộng của phép tích chập. 4.3-10 Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau: (a) Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a) (b) Chỉ dùng cặp 17 và đặc tính dời theo thời gian (c) Dùng các đặc tính vi phân và dời theo thời gian, và 1)( t Hướng dẫn: xx 2sin22cos1  4.3-11 (a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian) )()(   F d d tjtf  (b) Dùng đặc tính này và cặp 1 (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier của )(tute at 4.4- 1 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 1 1 )(   s sH Tìm đáp ứng trạng thái zêrô nếu ngõ vào )(tf là: (a) )(2 tue t (b) )(tue t (c) )( tuet  (d) )(tu Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết quả của phương trình (1.23) 4.4-2 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 21 1 )(      j H Tìm đáp ứng xung của hệ thống và chứng tõ đây là hệ thống không nhân quả. Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống khi ngõ vào )(tf là: (a) )(tue t (b) )( tuet  4.4-3 Tín hiệu )10(10)( 441 trecttf  và )()(2 ttf  là các ngõ vào của bộ lọc thông thấp lý tưởng           000.40 )(1 rectH và           000.20 )(2 rectH (hình P4.4-3). Các ngõ ra )(1 ty và )(2 ty của các bộ lọc được nhân với nhau để có )()()( 21 tytyty  . (a) Vẽ )(1 F và )(2 F (b) Vẽ )(1 H và )(2 H (c) Vẽ )(1 Y và )(2 Y (d) Tìm băng thông của )(1 ty , )(2 ty và )(ty Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập và đặc tính về độ rộng của tích phân chập để xác định băng thông của )()( 21 tyty . 4.4-4 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung vào )(tp có cường độ bằng với điện tích của )(tp nếu độ rộng của )(tp là rất bé so với hằng số thời gian của hệ thống. Giả sử )(tp là xung thông thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là        310 )( t rectth . Xung vào là xung tam giác        610 )( t tp . Phần diện tích của xung là 6105,0  xA . Chứng tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất giống với đáp ứng hệ thống khi ngõ vào là )(tA . 4.4-5 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung )(tp vào hệ thống không bị méo trong thực tế, nếu độ rộng của )(tp rất lớn hơn hằng só thời gian của hệ thống. . Giả sử )(tp là xung thông thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là        310 )( t rectth . Xung vào là xung tam giác  ttp )( . Chứng tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất gần )(tkp với k là độ lợi của hệ thống khi ngõ vào là tín hiệu dc, tức là )0(Hk  . 4.4-6 Tín hiệu nhân quả )(th có biến đổi Fourier là )(H . Nếu )(R và )(X là phần thực và phần ảo của )(H , tức là )()()(  jXRH  , chứng minh:      y X R     )(1 )( và      y R X     )(1 )( Giả sử )(th không có xung tại gốc, thì cặp tích phân trên gọi là biến đổi Hilbert. Hướng dẫn: gọi )(the và )(tho là các thành phần chẵn và lẻ của )(th . Dùng kết quả trong bài tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ giữa )(the và )(tho . Nhắc lại jt /2)sgn(  . Dùng đặc tính tích phân chập. Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Nếu đã đặc trưng phần thực thì phần ảo không thể đặc trưng độc lập nũa. Phần ảo đã được định trước từ phần thực, và ngược lại. Kết quả này dẫn đến kết luận là biên độ và pha của )(H có quan hệ với nhau khi mọi cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức. 4.5-1 Xét bộ lọc có hàm truyền )( 0 2 )( tjk eH   Chứng tõ hàm truyền này là không thực hiện được trong thực tế dùng các tiêu chuẩn trong miền thời gian [hàm )(th không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn 0t đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ của bạn để xác định 0t . Hướng dẫn: Dùng cặp 22 trong bảng 4.1. 4.5-2 Chứng tõ bộ lọc với hàm truyền 0 102 5 10 )10(2 )( tj eH       Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn xấp xỉ của bạn để xác định t0. Hướng dẫn: chứng tõ và đáp ứng xung là không nhân quả. 4.5-3 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng? )(H = (a) )10(sin10 66  c (b)          000.40 10 4 (c) )(2  4.6-1 Chứng tõ là năng lượng của xung Gauss 2 2 2 2 1 )( e t etf   là 2 1 . Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng fE từ )(F dùng định lý Parseval. Hướng dẫn: Xem cặp 22 trong bảng 4,1. Dùng sự kiện      22/ 2 dxe x 4.6-2 Chứng tõ là     k dxkxc  )(sin 2 Hướng dẫn: thừa nhận là tích phân trên là năng lượng của )(sin)( ktctf  . Tìm năng lượng dùng định lý Parseval. 4.6-3 Tín hiệu thông thấp )(tf được đưa qua linh kiện có tính bình phương. Ngõ ra )(2 tf được đưa qua mạch lọc thông thấp có băng thông là F (Hz) trong hình P4.6-3. Chứng tõ là nếu F rất nhỏ ( 0F ), thì ngõ ra là tín hiệu dc fEty f  2)( . Hướng dẫn: Nếu )()(2 Atf  , chứng minh là )(])0(4[)(  FAY  nếu 0F , chứng minh rằng fEA )0( 4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier )(1 tf và )(2 tf thì             dFFdFFdttftf )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 212121 4.6-5 Cho tín hiệu 22 2 )( at a tf   Xác định băng thông chủ yếu B Hz của )(tf sao cho năng lượng chứa trong các thành phần phổ của )(tf có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu fE . Hướng dẫn: Xem bài tập E 4.5b 4.7-1 Với mỗi trong ba tín hiệu băng nền (i) ttm 1000cos)(  (ii) tttm 2000cos1000cos2)(  (iii) tttm 3000cos1000)(  (a) Vẽ phổ của )(tm (b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.10cos)( . (c) Tìm phổ của biên tần trên (USB) và biên tần dưới (LSB) (d) Tìm các tần số trong băng nền, và các tần số tương ứng của phổ DSB – SC, USB và LSB. Tìm bản chất của sự dời tần trong từng trường hợp. 4.7-2 Bạn được yếu cầu thiết kế bộ điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế ttkm ccos)( , trong đó )(tm là tín hiệu có băng thông giới hạn là B Hz (hình P4.7-2a). Hình P4.7-2b vẽ bộ điều chế DSB – SC thích hợp. Bộ lọc thông dải chỉnh ở tần số c . Máy phát sóng mang không tạo ra tccos mà tạo ra tc 3cos (a) Bạn có thể tạo ra tín hiệu cần thiết chỉ dùng thiết bị này không? nếu được, cho biết k là bao nhiêu? (b) Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên (c) Cho biết giá trị tối thiểu để c còn được dùng? (d) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tc 3cos ? Giải thích? (e) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tc n cos ? Với các giá trị số nguyên 2n ? 4.7-3 Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp và tốn kém. Do đó, trong bộ điều chế biên độ, cần tìm ra cách khác để nhân )(tm với tccos . May mắn là trong trường hợp này, ta có thể thay phép nhân bằng tác động chuyển mạch. Tương tự cho trường hợp giải điều chế. Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ của xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình P4.7-3b là cT  /20  . Bộ lọc thông dải có tần số trung tâm là c . Chú ý là phép nhân xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình P4.7-3b thực ra là chuyển mạch on –off theo chu kỳ của )(tm . Đây là sơ đồ tương đối đơn giản và rẽ tiền. Chứng tõ là sơ đồ này có thể tạo tín hiệu đã điều chế tk ccos . Xác định giá trị của k. Chứng tõ là sơ đồ này còn có thể dùng giải điều chế khi thay bộ lọc thông dải trong hình P4.7-3a bằng bộ lọc thông thấp (hay băng nền). 4.7-4 Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng bộ. Chứng tõ là sơ đồ này có thể giải điều chế tín hiệu AM, ttmA ccos)]([  bất chấp giá trị A. 4.7-5 Vẽ tín hiệu AM, ttmA ccos)]([  của tín hiệu tuần hoàn tam giác )(tm vẽ trong hình P4.7-5 tương ứng với các chỉ số điều chế (a) 5,0 (b) 1 (c) 2 và (d)  . Hảy diễn giải trường hợp  4.7-6 Với từng tín hiệu trong ba tín hiệu băng nền (i) ttm 100cos)(  (ii) tttm 300cos2100cos)(  (iii) tttm 500cos100cos)(  (a) Vẽ phổ của )(tm (b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.1cos)(2 . (c) Từ phổ của phần (b), loại phổ biên tần dưới (LSB) để có phổ biên tần trên USB. (d) Biết được phổ USB trong (b), viết biểu thức )(tUSB của tín hiệu USB. (e) Làm lại phần (c) và (d) đề có tín hiệu LSB )(tLSB 4.8-1 Vẽ )(tFM và )(tPM của tín hiệu điều chế )(tm trong hình P4.8-1, cho biết 7102 xc   , 5102 xk f  và 50pk . 4.8-2 Một tín hiệu băng nền )(tm là tín hiệu sóng răng cưa vẽ trong hình P4.8-2. Vẽ )(tFM và )(tPM của tín hiệu điều chế )(tm nếu 6102 xc   , 000.20fk và 2/pk . Giải thích tại sao phải có pk trong trường hợp này? 4.8-3 Tín hiệu điều chế tttm 000.2cos18100cos2)(  Tìm băng thông tương ứng với )(tFM và )(tPM nếu 000.1fk và 1pk . 4.8-4 Tín hiệu điều chế góc mô tả bằng phương trình )0002sin1,0cos(10)( ttt cEM   (a) Tìm độ dời tần F (b) Ước lượng băng thông của )(tEM 4.8-5 Làm lại bài tập P4.8-4 nếu )2000sin101000sin20cos(5)( tttt cEM  