Kĩ thuật viễn thông - Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

đặc tính lý tưởng. Để xác định hàm truyền H(j) tương ứng, cần nhớ H(-j) là liên hợp của H(j). Do đó H(j) H(-j) = H(j)2 = n21 1  Thế s = j vào phương trình, ta có : H(j) H(-j) = njs 2)/(1 1  Các cực của H(j) H(-j) được cho bởi: nn js 22 )( Trong kết quả này, ta dùng tính chất )12(1  kje  với trị nguyên của k, và 2/jej  để có: )12(2 nkjn es   k: số nguyên Phương trình này cho các cực của H(j) H(-j) là )12( 2   nk n j k es  k = 1, 2, 3, , 2n (7.33) Quan sát thấy mọi cực đều có biên độ đơn vị, tức là, đều nằm trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng s, cách nhau góc /n, vẽ trong hình 7.21 cho các giá trị lẻ và chẵn của n. Do H(s) là ổn định và nhân quả, nên các cực nằm bên trái mặt phẳng phức. Cực của H(-s) là ảnh phản chiếu các cực của H(s) theo trục ngang. Do đó, các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng phức còn cực của H(- s) nằm bến phải mặt phẳng phức vẽ trong hình 7.21. Các cực tương ứng với H(s) từ phương trình (7.33) khi thay k = 1, 2, 3, , n; tức là: )12( 2 sin)12( 2 cos )12( 2   nk n jnk n es nk n j k   k = 1, 2, 3, , n (7.34) và H(s) được cho bởi H(s) = )()()( 1 21 nssssss   (7.35) Thí dụ, từ phương trình (7.34), ta thấy cực của H(s) khi n = 4 là các góc 5/8, 7/8, 9/8 và 11/8. Các cực này nằm trên vòng tròn đơn vị, vẽ trong hình 7.22 và cho bởi 9239,03827,0 j , 3827,09239,0 j . Do đó, H(s) có thể viết thành H(s) )3817,09239,0)(3817,09239,0)(9239,03827,0)(9239,03827,0( 1 jsjsjsjs   16131,24142,36131,2 1 )18478,1)(17654,0( 1 23422     ssssssss Ta có thể dùng cách này để tìm H(s) với trị bất kỳ của n. Tổng quát H(s) = 1 1 )( 1 1 1 1     sasassB n n n n  (7.36) Trong đó Bn(s) là đa thức Butterworth bậc n. Bảng 7.1 cho các hệ số a1, a2, , an-2, an-1 với nhiều giá trị của n. Bảng 7.2 vẽ Bn(s) dạng thừa số. Từ bảng này, đọc giá trị khi n =4. H(s) = )18478,1()17654,0( 1 16131,24142,36131,2 1 22234    ssssssss Kết quả này khẳng định lại tính toán trước đây Ta còn có thể tìm hàm truyền chuẩn hóa của mạch lọc Butterworth dùng hàm MATLAB [z, p, k]=buttap(n) để tìm cực, zêrô và độ lợi của hàm Butterworth chuẩn hóa bậc n. Bảng 7.1 Các hệ số của đa thức Butterworth 01 1 1)( asasassB n n n n     n 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a Bảng 7.2 Đa thức Butterworth ở dạng thừa số n )(sBn  Thí dụ dùng máy tính C7.4 Dùng MATLAB, tìm các cực, zêrô, và thừa số độ lợi của hàm Butterworth chuẩn hóa bậc 4. [z, p, k]=buttap(4) MATLAB cho giá trị các cực, zêrô và thừa số độ lợi k, là đơn vị với mọi bậc.  Tỉ lệ tần số Bảng 7.1 và 7.2 cho giá trị chuẩn hóa của mạch lọc Butterworth với băng thông 3dB là 1c , kết quả này có thể mỡ rộng cho bất kỳ giá trị nào của c bằng cách thay s bằng cs / . Bước này cần thay  bằng /c trong phương trình (7.32). Thí dụ, mạch lọc Butterworth bậc hai với 100c có thể tìm từ bảng 7.1 bằng cách thay s bằng s/100, cho ta: 422 102100 1 1 100 2 100 1 )(                ssss sH (7.37) Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc trong phương trình (7.37) giống hàm chuẩn hóa H(j) trong phương trình (7.32), mở rộng với thừa số 100 theo trục ngang () (tỉ lệ tần số). Xác định n, bậc của mạch lọc Nếu xGˆ là độ lợi mạch lọc thông thấp tính theo đơn vị dB tại x  , thì theo phương trình (7.31)                n c x xx jHG 2 10 1log10)(log20 ˆ    Thay các đặc tính trong hình 7.19a (độ lợi pGˆ tại p và sGˆ tại s ) vào phương trình này, ta có:                n c p pG 2 1log10ˆ   và                n c s sG 2 1log10ˆ   Hay 110 10/ˆ 2        pG n c p   (7.38a) 110 10/ˆ 2        sG n c s   (7.38b) Chia (7.38b) cho (7.38a), ta có:                      110 110 10/ˆ 10/ˆ 2 p s G G n p s   và      )/log(2 110/110log 10/ˆ10/ˆ ps GG ps n     (7.39) Ngoài ra, từ phương trình (7.38a)   nG p c p 2/1 10/ˆ 110      (7.40) Từ phương trình (7.38b)   nG s c s 2/1 10/ˆ 110      (7.41) ■ Thí dụ 7.6: Thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính trong hình (7.23): (i) Độ lợi dải thông nằm giữa 1 và 794,0pG ( dBGp 2 ˆ  ) với 100  . (ii) Độ lợi dải triệt không vượt quá 1,0sG ( dBGs 20 ˆ  ) với 20 . Bƣớc 1: Xác định n Trường hợp này 10p , 20s , dBGp 2 ˆ  và dBGs 20 ˆ  . Thay các giá trị này vào phương trình (7.39) n = 3,701 Do n phải là số nguyên, chọn n = 4 Bƣớc 2: Xác định c Thế n =4, 10p vào phương trình (7.40), ta có 693,10c Mặt khác, khi thế n =4 vào phương trình (7.41), ta có 261,11c Do đã chọn n = 4 thay vì 3,701 nên ta có hai giá trị của c . Chọn 693,10c sẽ thỏa được yêu cầu 794,0pG trong dải tần (0, 10), và vượt yêu cầu 1,0sG trong dải triệt 20 . Nói cách khác, chọn 261,11c sẽ thỏa chính xác yêu cầu về sG và quá thỏa mãn yêu cầu về pG . Ta chọn trường hợp đầu ( 693,10c ). Bƣớc 3: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hoá bậc bốn H(s) tìm trong bảng 7.1 là H(s) = 16131,24142,36131,2 1 234  ssss Bƣớc 3: Xác định hàm truyền sau cùng H(s) Hàm truyền mong muốn với 693,10c có được từ cách thay s bằng s/10,693 trong hàm truyền chuẩn hóa H(s) là: 1 693,10 6131,2 693,10 4142,3 693,10 6131,2 693,10 1 )( 234                          ssss sH 7,1307388,31944.390942,27 7,13073 234   ssss )34,114785,19)(34,1141844,8( 7,13073 22   ssss Đáp ứng biên độ của mạch lọc này cho bởi phương trình (7.31) với n = 4 và 693,10c 1 693.10 1 )( 8         jH vẽ trong hình 7.23 Ta còn có thể dùng giá trị 261,11c . Chọn lựa này cho ta kết quả hơi khác. Tuy nhiên hai thiết kế này đều thỏa các đặc tính cho trước. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.5 Giải bài tập 7.6 dùng MATLAB % Bước 1: Xác định n wp=10; ws=20; Gp=-2; Gs=-20; P1=-Gs/10; P2=-Gp/10; Wsp=ws/wp; nc=log()10^P1-1)/(10^P2-1))/(2*log(Wsp)); n = ceil(nc) % Bƣớc 2: Xác định Wc (phần tự chọn thỏa yêu cầu về dải thông thỏa mản hay % quá thỏa mãn các yêu cầu của dải triệt). Wc=wp/(10^P2-1)^(1/2*n)); % Bƣớc 3: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) for k=1:n A=(2*(k-1)+n+1)/(2*n); Sk=cos(A*pi)+j*(A*pi); s=[s Sk]; end s=s’ num1=[0 1]; den1=poly([s’]); % Bƣớc 4: Xác định hàm truyền cuối H(s) num2 = [0 Wc^n]; den2=poly(Wc*[s’]); fprintf(‘Bậc của mạch lọc là n = %i\n’,n) fprintf(‘Tần số cắt là Wc = %.4fi\n’,Wc) disp(‘Cực của hàm truyền là’),s disp(‘Hàm truyền chuẩn hoá bậc bốn là’) printsys(abs(num1),abs(den1)) disp(‘Hàm truyền khi thay s bằng s/Wc là’) printsys(abs(num2),abs(den2)) % Bƣớc 5: Đáp ứng biên độ của mach lọc w=0:.01:40; w=w’ [mag, phase, w]=bode(num2, den2,w ); plot(w,mag) Bậc của mạch lọc n =4 Tần số cắt của mạch lọc Wc = 10.6934 Cực của hàm truyền là s = –0.3827 – 0.9239i – 0.9239 – 0.3827i – 0.9239 + 0.3827i –0.3827 + 0.9239i Hàm truyền chuẩn hóa bậc bốn là 1613.22^414.33^613.24^ 1 /   ssss dennum Hàm truyền khi thay s bằng s/Wc là 0043.131952^4.3903^94.274^ 000,13 /   essss dennum  Dùng m-file trong MATLAB Signal Processing Toolbox Ta cũng có thể tính hàm truyền mạch lọc dùng các m-file thích hợp trong Signal Processing Toolbox như trong các thí dụ dưới đây.  Thí dụ dùng máy tính C7.6 Dùng m-file trong MATLAB, thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính trong thí dụ 7.6 Wp=10; Ws=20; Gp= - 2; Gs = - 20; [n, Wc]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’); [num, den]=butter(n,Wc,;’s’); Trường hợp này num và den là các hệ số của đa thức tử số và mẫu số của bộ lọc cần có. Trong thí dụ này, đáp số của matlab là vectơ với n+1 phần tử là num = 0 0 0 0 16081 và den = 1 29 433 3732 16081; tức là 16081373243329 16081 )( 234   ssss sH Đây là lời giải khác với đặc tính băng thông bị vượt quá, nhưng dải triệt thì thỏa chính xác. Nói cách khác, nghiệm trong thí dụ C7.5 vượt quá các đặc tính dải triệt, nhưng thỏa chính xác các đặc tính dải thông do ta dùng phương trình (7.40) thay phương trình (7.41). Vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, dùng ba hàm sau cùng của thí dụ C7.5.   Bài tập E 7.3 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính sau dBGp 5,0 ˆ  , dBGs 20 ˆ  . 100p , 200s . Đáp số: 5.  7.6 Mạch lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa cho bởi H(j)= )(1 1 22  nC (7.42) Trong đó )(nC là đa thức Cheebyshev bậc n, cho bởi )coscos()( 1  nCn (7.43a) Một dạng khác của )(nC là )coshcosh()( 1  nCn (7.43b) Dạng (7.43a) là dạng thích hợp nhất để tính )(nC khi 1 , và dạng (7.43b) là dạng thích hợp nhất để tính )(nC khi 1 . Ta có thể chứng minh được là )(nC còn có thể biểu diễn thành dạng đa thức, như trong bảng 7.3 với n = 1 đến 10 Đáp ứng biên độ của hàm thông thấp Chebyschev chuẩn hóa (phương trình 7.42) vẽ trong hình 7.24 với n = 6 và n = 7. Ta chú ý một số điểm sau: Bảng 7.3: Đa thức Chebyshev n )(nC 1. Đáp ứng biên độ Chebyshev có nhấp nhô trong dải thông và mịn (đơn điệu) trong dải triệt. Dải thông là 10  , và có tổng là n cực đại và cực tiểu trong dải thông 10  . 2. Từ bảng 7.3, ta thấy Do đó, độ lợi dc là 3. Tham số  điều khiển cao độ của nhấp nhô. Trong dải thông, r, là tỉ số giữa độ lợi tối đa và tối thiểu là 21 r (7.46a) Tỉ số r khi viết theo dB là )1log(101log20ˆ 22  r (7.46b) Do đó: 110 10/ ˆ2  r (7.47) Do mọi nhấp nhô trong dải thông bằng với cao độ, đa thức Chebyshev )(nC được gọi là hàm có độ nhấp nhô bằng nhau (equal-ripple functions). 4. Nhấp nhô chỉ xuất hiện trong dải thông 10  . Tại 1 , đáp ứng biên độ là r/11/1 2  . Khi 1 , độ lợi giảm đơn điệu. 5. Bộ lọc Chebyshev, độ nhấp nhô rˆ dB thay cho pGˆ (độ lợi tối thiểu trong dải thông). Thí dụ dBr 2ˆ  đặc trưng cho sự thay đổi lớn hơn 2dB không được chấp nhận trong dải thông. Trong mạch lọc Butterworth dBGp 2 ˆ  có cùng ý nghĩa. 6. Nếu ta giảm độ nhấp nhô, đáp ứng củ dải thông được cải thiện, nhưng phải trả giá cho đáp ứng của dải triệt. Khi r giảm ( được giảm), độ lợi trong dải triệt tăng, và ngược lại. Do đó, có sự thỏa hiệp giữa độ nhấp nhô dải thông cho phép và độ suy giảm cần có trong dải triệt. Chú ý trong trường hợp cực độ  = 0 cho nhấp nhô là zêrô, nhưng bộ lọc trở thành mạch lọc allpass, xem từ phương trình 7.42, bằng cách cho  = 0. 7. Cuối cùng, lọc Chebyshev có tần số cắt sắc cạnh hơn (dải chuyển tiếp thấp hơn) so với bộ lọc Butterworth với cùng bậc, nhưng phài trả giá là có nhấp nhô ở dải thông. Xác định n (bậc của mạch lọc) Trong mạch lọc Chebyshev chuẩn hóa, độ lợi Gˆ tính theo dB (xem phương trình 7.42) là: )](1log[10ˆ 22  nCG  Là độ lợi Gˆ tại tần số s , đo đó: )](1log[10ˆ 22 sns CG  (7.48) 110)( 10/ˆ22   sGsnC  Thay phương trình (7.43b) và (7.47) vào phương trình trên, ta có   2/1 10/ˆ 10/ˆ 1 110 110 )(coshcosh              r G s s n  , vậy 2/1 10/ˆ 10/ˆ 1 1 110 110 cosh )(cosh 1               r G s s n  (7.49a) Chú ý các phương trình trên dùng cho mạch lọc chuẩn hóa, với 1p . Trường hợp tổng quát, ta thay s bằng )/( ps  để có 2/1 10/ˆ 10/ˆ 1 1 110 110 cosh )/(cosh 1               r G ps s n  (7.49b) Vị trí cực Ta có thể dùng các bước của mạch lọc Butterworth để có được vị trí cực trong mạch lọc Chebyshev. Các bước này tuy đơn giản, nhưng dài dòng và không cho thấy thâm hiểu biết đặc biệt gì để phát triển. Các cực của mạch lọc Butterworth nằm trên nửa vòng tròn. Ta có thể thấy là cực bậc n của lọc Chebyshev chuẩn hóa nằm trên nửa ellip với nữa trục lớn và nửa trục nhỏ lần lượt là cosh x và sinh x, trong đó:          1 sinh 1 1 n x (7.50) Các cực của bộ lọc Chebyshev là: nkx n k jx n k sk ,,2,1cosh 2 )12( cossinh 2 )12(                 (7.51) Dùng hình học để xác định vị trí cực được vẽ trong hình 7.25 khi n =3. Phương pháp tương tự dùng khi n là bất kỳ; bao gồm việc vẽ hai nửa vòng tròn có bán kính xa sinh và xb cosh . Ta vẽ đường xuyên tâm dọc theo các góc Butterworth tương ứng và định vị các cực bậc n (theo giao điểm) của hai vòng tròn. Vị trí cực bậc k là giao điểm của hình chiếu trục ngang và hình chiếu trục dọc từ các cực bậc k bên trong và bên ngoài vòng tròn của Butterworth tương ứng. Hàm truyền H(s) của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa bậc n là H(s) 01 1 1)(' asasas K sC K n n n n n n      (7.52) Hằng số Kn được chọn lọc để có độ lợi dc thích hợp, như vẽ trong phương trình (7.45), kết quả là Các bước thiết kế được đơn giản đáng kể nhờ các bảng lập sẵn các đa thức )(' sC n trong phương trình (5.72) hay vị trí các cực của H(s). Bảng 7.4 liệt kê các hệ số a0, a1, a2,an-1 của đa thức )(' sC n trong phương trình (7.52) với rˆ = 0,5; 1; 2 và 3 dB độ nhấp nhô tương ứng với các giá trị  = 0,3493, 0,5088, 0,7648 và 0, 9976. Bảng 7.5 liệt kê các giá trị mở rộng của rˆ (hay ) thường gặp. Ta cũng có thể dùng các hàm MATLAB trong trường hợp này.  Thí dụ dùng máy tính C7.7 Dùng MATLAB, tìm các cực, zêrô và thừa số độ lợi của bộ lọc Chebyshev chuẩn hóa bậc 3 với rˆ = 2dB. [z, p, k] = cheblap(3,2)  Bảng 7.4: Các hệ số của đa thứ mẫu số của bộ lọc Chebyshev 01 2 2 1 1' asasasasC n n n nnn       n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a Bảng 7.5 Vị trí cực của mạch lọc Chebyshev n 5,0ˆ r 1ˆ r 2ˆ r 3ˆ r ■ Thí dụ 7.7: Thiết kế mạch lọc thông thấp thỏa các tiêu chuẩn sau (hình 7.26) Tỉ số dBr 2ˆ  trong dải thông 100  ( 10p ). Độ lợi dải triệt là dBGs 20 ˆ  với 5.16 ( 5,16s ). Quan sát thấy các đặc tính này giống trường hợp 7.6, trừ trong dải chuyển tiếp. Dải chuyển tiếp này là từ 10 đến 16,5, trong khi trong thí dụ 7.6 là 10 đến 20. Cho dù có các yêu cầu nghiêm ngặt, ta sẽ thấy là Chebyshev cần có bộ lọc bậc thấp hơn bộ lọc Butterworth trong thí dụ 7.6. Bƣớc 1: Xác định n Từ phương trình (7.49b), ta có: 999,2 110 110 cosh )65.1(cosh 1 2/1 2,0 2 1 1            n Do n phải là số nguyên, ta chọn n = 3. Quan sát thấy ngay cả khi có yêu cầu nghiêm ngặt hơn, mạch lọc Chebyshev chỉ yêu cầu n = 3. Tuy nhiên, đáp ứng dải thông của mạch lọc Butterworth là tốt hơn (phẳng tối đa tại  = 3) so với trường hợp Chebyshev, lại có đặc tính dải thông nhấp nhô. Bƣớc 2: Xác định H(s) Ta dùng bảng 7.4 để xác định H(s). Khi n = 3 và rˆ =2 dB, ta đọc các hệ số của đa thức mẫu số của H(s) là 3269,00 a , 0222,11 a , và 7378,02 a . Đồng thời trong phương trình (7.53), khi n lẻ, mẫu số được cho bởi 3269,00  aKn . Do đó H(s) 3269,00222,17378,0 3269,0 23   sss (7.54) Do có vô số khả năng tổ hợp n và rˆ , bảng 7.4 (hay 7.5) có thể liệt kê giá trị các hệ số của mẫu số chỉ với giá trị tăng của rˆ . Với các giá trị của n và rˆ không liệt kê trong bảng 7.4 (hay 7.5), ta có thể tính vị trí cực từ phương trình (5.71). Để minh họa, ta tính H(s) dùng phương pháp này. Trong trường hợp này giá trị của  là (xem phương trình 7.41) 110110 2,010/ ˆ  r 3610,0)3077,1(sinh 2 11 sinh 1 11   n x Tiếp tục, từ phương trình (7.51), ta có 9231,01844,01 js  , 3689,02 s , và 9231,01844,03 js  . Do đó H(s) )9231,01844,0)(9231,01844,0)(3689,0( jsjss Kn   3269,00222,17378,0 3269,0 3269,00222,17378,0 2323     ssssss Kn Điều này giúp khẳng định kết quả trước đây. Bƣớc 3: Xác định H(s) Nhắc lại là 1p cho trường hợp hàm truyền chuẩn hóa. Khi 10p , thì tìm hàm truyền H(s) có thể tìm từ hàm truyền chuẩn hóa bằng cách thay s thành 10// ss p  . Do đó; )9231,01844,0 10 )(9231,01844,0 10 )(3689,0 10 ( 3269,0 )( j s j ss sH   9,32622,102378,7 9,326 23   sss Trường hợp này rˆ = 2dB tức là (xem phương trình 7.47) 5849,0110 2,02  Đáp ứng tần số (xem phương trỉnh 7.42 và bảng 7.3) H(j)= 23 )34(5849,01 1   Đây là đáp ứng biên độ chuẩn hóa của mạch lọc. Đáp ứng mạch lọc thực thế )( jH có bằng cách thay  bằng (/p); tức là, dùng (/10) trong H(j) )( jH = 6246 3 23 105264076,14033584,9 10 1010 45849,01 1                         Quan sát thấy cho dù có các đặc tính nghiêm ngặt hơn sao với thí dụ 7.6, mạch lọc Chebyshev chỉ cần có n = 3 so với trường hợp mạch lọc Butterworth trong thí dụ 7.6, cần 4n . Hình 7.26 vẽ đáp ứng biên độ. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.8 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyshev có các đặc tính của thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Proceesing Toolbox trong MATLAB Wp=10; Ws=16.5; r=2; Gs=-20; [n, Wp]=cheb1ord(Wp, Ws, r, -Gs, ‘s’); [num, den]=cheby1(n, r, Wp, ‘s’); MATLAB cho n = 3 và num = 0 0 0 326.8901, den= 1 7.3782 102,219 326.8901; tức là 8901,326219,1023782,7 8901,326 )( 23   sss sH Là kết quả trong thí dụ 7.7. Để vẽ đáp ứng biên độ, ta có thể dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5.   Bài tập E 7.4 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính sau dBGp 5,0 ˆ  , dBGs 20 ˆ  . 100p , 200s . Đáp số: 5.   Bài tập E 7.4 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Chebyshev thỏa các đặc tính sau dBr 2ˆ  , dBGs 20 ˆ  , 10p rad/s và 28s rad/s. Đáp số: n =2 6876,361380,8 5823,50 )8937,60191,4()8937,60191,4( 5823,50 )( 2     ssjsjs sH Hướng dẫn: Trong trường hợp này 2 0 2 1   a K  Mạch lọc Chebyshev nghịch Đáp ứng dải thông của mạch lọc Chebyshev ngăn nhấp nhô và có dải triệt mịn. Thông thường, đáp ứng dải thông quan trọng hơn và ta thường cần có dải thông mịn. Tuy nhiên, độ nhấp nhô có thể được chấp nhận trong dải triệt bao lâu mà chúng còn thỏa được các tiêu chí. Mạch lọc Chebyshev nghịch thực hiện chính xác điều này. Hai dạng lọc Butterworth và Chebyshev đều có hữu hạn cực và không hữu hạn zêrô. Mạch lọc Chebyshev nghịch có số zêrô hữu hạn và số cực hữu hạn. Điều này cho dải thông phẳng tối đa và đáp ứng dải triệt với độ nhấp nhô bằng nhau. Có thể tìm đáp ứng Chebyshev nghịch từ Chebyshev theo hai bước sau: Gọi HC() là đáp ứng biên độ cho từ phương trình (7.42). Bước đầu, ta trừ HC() 2 với 1 để có đặc tính mạch lọc thông cao trong đó dải triệt (từ 0 đến 1) có nhấp nhô và dải thông (từ 1 đến ) là mịn. Bước hai, ta hoán chuyển dải triệt và dải thông bằng phép biến đổi tần số với  được thay bằng 1/. Bước này đảo ngược dải thông từ 1 đến  thành từ 0 đến 1, và dải triệt bây giờ là từ 1 đến . Hơn nữa, dải thông bây giờ thành mịn và dải triệt có nhấp nhô. Đây chính xác là đáp ứng biên độ Chebyshev nghịch H() cho bởi H()2 = 1- HC() 2 = )/1(1 )/1( 22 22   n n C C  Với )(nC là đa thức Chebyshev bậc n được liệt kê trong bảng 7.3. Mạch lọc Chebyshev nghịch thích hợp hơn lọc Chebyshev trong một số cách. Thí dụ, đáp ứng dải thông, đặc biệt với  nhỏ, của lọc Chebyshev nghịch tốt hơn trường hợp Chebyshev và ngay cả lọc Butterworth với cùng bậc. Lọc Chebyshev nghịch còn có dải chuyển tiếp nhỏ nhất trong ba loại mạch lọc. Hơn nữa, đặc tính của hàm pha (hay trễ theo thời gian) của lọc Chebyshev nghịch tốt hơn trường hợp lọc Chebyshev. Hai dạng lọc Chebyshev và Chebyshev nghịch đều cần cùng bậc n để đạt được các đặc tính cho trước. Nhưng khi thực hiện thì lọc Chebyshev nghịch cần nhiều phần tử hơn nên không kinh tế bằng Chebyshev. Tuy nhiên, với cùng tính năng thì Chebyshev nghịch lại cần ít phần tử hơn so với lọc Butterworth. Xét phương pháp giải bài toán dùng hàm MATLAB từ Signal Processing Toolbox.  Thí dụ dùng máy tính C7.9 Thiết kế mạch lọc thống thấp Chebyshev nghịch với các đặc tính của thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox của MATLAB. Wp=10; Ws=16.5; Gp=-2; GS= -20; [n, Ws]=cheb2ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’); [num, den]=cheby2(n, -Gs, Ws, ‘s’) MATLAB xuất các giá trị n = 3 và num= 0 5 0 1805.9, den = 1 23,2 256,4 1805.9; tức là 9,18054,2562,23 9,18055 )( 23 2    sss s sH Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.6-2 Lọc dạng ellip Nhắc lại, trong phần 7.4 khi đặt zêrô trên trục ảo (tại js  ) làm độ lợi  )( jH tiến về zêrô (infinite attenuation). Ta có thể thực hiện đặc tính với tần số cắt sắc cạnh hơn bằng cách đặt một (hay nhiều) zêrô gần s  . Các mạch lọc Butterworth hay Chebyshev không dùng các zêrô trong H(s). Nhưng bộ lọc ellip thì dùng và đó là lý do làm mạch lọc ellip có tính ưu việt hơn. Mạch lọc Chebyshev có dải chuyển tiếp bé hơn so với lọc Butterworth do lọc Chebyshev cho phép có nhấp nhô trong dải thông (hay dải triệt). Nếu ta cho phép có nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt, ta có giảm thiểu hơn nửa trong dải chuyển tiếp. Đây là trường hợp mạch lọc ellip (hay lọc Cauer), có đáp ứng biên độ chuẩn hóa là: H(j)= )(1 1 22  nR Với )(nR Là hàm hữu tỉ Chebyshev bậc n được xác định từ đặc tính nhấp nhô cho trước. Tham số  kiểm soát độ nhấp nhô. Độ lợi tại p ( p =1 trong trường hợp chuẩn hóa) là 21 1  Lọc ellip còn hiệu quả hơn nếu ta cho phép nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt. Với cùng dải chuyển tiếp, nó cung cấp tỉ số dải thông trên dải triệt lớn nhất. hay với cùng tỉ số độ lợi tại dải thông trên độ lợi tại dải triệt, nó cần có dải chuyển tiếp bé nhất. Tuy nhiên, bù lại, ta phải chấp nhận độ nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt. Hơn nửa, do có zêrô ở tử số của H(s), đáp ứng mạch lọc ellip giảm với tốc độ chậm hơn tại các tần số cao hơn s . Thí dụ, đáp ứng biên độ của mạch lọc bậc ba ellip chỉ giảm với tốc độ octavedB /6 tại các tần số rất cao. Điều này là do mạch lọc có hai zêrô và ba cực. Hai zêrô làm tăng đáp ứng biên độ với tốc độ 12 dB/octave, và hai cực giảm đáp ứng biên độ vối tốc độ octavedB /18 , nên cuối cùng tạo tốc độ giảm octavedB /6 . Trường hợp mạch lọc Butterworth và Chebyshev, không có zêrô trong H(s). Do đó. các đáp ứng biên độ giảm với tốc độ octavedB /18 . Tuy nhiên, tốc độ giảm đáp ứng biên độ rất ít quan trọng bao lâu mà ta đạt đúng các chỉ tiêu của Gs tại s. Việc tính toán vị trí của hàm ellip còn phức tạp hơn nhiều so với mạch lọc Butterwrth và nagy cả lọc Chebyshev. Điều này có thể giải quyết dùng các chương trình máy tính hay các bảng tính sẳn. Hàm MTLAB [z, p, k]=ellipap(n, Gp, -Gs) trong Signal Processing Toolbox xác định các cực, zêrô, và thừa số độ lợi của mạch thông thấp analog ellip dạng chuẩn hóa bậc n với độ lợi dải thông tối thiểu Gp dB, và dải triệt tối đa Gs dB. Biên dải thông chuẩn hóa là 1 rad/s.  Thí dụ dùng máy tính C7.10 Thiết kế mach lọc thông thấp ellip dùng đặc tính trong thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox của MATLAB. Wp=10; Ws=16.5; Gp=-2; Gs=-20; [n, Wp]=ellipord(Wp, Ws, - Gp, Gs,’s’); [num, den]=ellip(n, -Gp, -Gs, Wp, ‘s’) MATLAB xuất n =3 và num =0 2.7881 0 148.1626, den =1 7.261 106.9991 481.1626; tức là 1626,1489991,106261,7 1626,4817881,2 )( 23 2    sss s sH Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.7 Biến đổi tần số Ta đã thấy là mạch hàm truyền của mạch thông thấp với đặc tính bất kỳ có thể thể tìm từ mạch lọc thông thấp chuẩn hóa dùng phép tỉ lệ tần số. Dùng phép biến đổi tần số nào đó, ta có thể có được hàm truyền của mạch thông cao, thông dải và triệt dải từ thiết kế của mạch thông thấp cơ bản (mạch lọc nguyên mẫu). Thí dụ, hàm truyền mạch lọc thông cao có thể dùng hàm truyền thông thấp nguyên mẫu bằng cách thay s bằng sp / . Biến đổi tương tự cho phép ta thiết kế dải thông và dải triệt của mạch lọc từ mạch lọc thông thấp nguyên mẫu thích hợp. Mạch lọc nguyên mẫu có thể có là Butterworth, Chebyshev, ellip , v.v., Đầu tiên, ta thiết kế mạch thông thấp nguyên mẫu H(s). Tiếp đến, ta thay s với biến đổi thích hợp T(s) để có mạch lọc thông cao, thông dải và triệt dải cần thiết. 7.7-1 Mạch thông cao Hình 7.27a vẽ đáp ứng biên độ của mạch thông cao tiêu biểu. Đáp ứng thông thấp nguyên mẫu thích hợp cho thiết kế mạch thông cao trong hình 7.27a được vẽ trong hìh 7.27b, Đầu tiên ta xác định hàm truyền mạch nguyên mẫu Hp(s) với dải thông 10  và dải triệt là sp  / . Hàm truyền cần có cho lọc thông cao thỏa được các đặc tính trong hình 7.27a khi thay s bằng T(s) trong Hp(s), với: s sT p )( (7.55) ■ Thí dụ 7.8: Thiết kế mạch lọc thông cao Chebyshev có đặc tính đáp ứng biên độ vẽ trong hình 7.28a với 100s ; 165p , )20(1,0 dBGs  , và )2(794,0 dBGp  Bƣớc 1: Xác định bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mạch thông thấp nguyên mẫu có 1ˆ p và 65,1100/165ˆ s . Tức là mạch lọc nguyên mẫu trong hinh 7.27b có dải thông là 10  và dải triệt 65,1 , vẽ trong hình 7.28b. Đồng thời, )20(1,0 dBGs  , và )2(794,0 dBGp  . Ta đã thiết kế mạch lọc Chebyshev với các đặc tính trong thí dụ 7.7. Hàm truyền của mạch lọc là (phương trình 7.54) Hp(s) = 3269,00222,17378,0 3269,0 23  sss Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.28b. Bƣớc 2: Thay s bằng T(s) trong Hp(s) Hàm truyền H(s) của mạch lọc thông cao cần được lấy từ Hp(s) khi thay s bằng sssT P /165/)(  . Do đó 3269,0 165 0222,1 165 7378,0 165 3269,0 )( 23                    sss sH 1374200575,6144594,515 3269,0 )( 23   sss sH Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc được vẽ trong hình 7.28a ■  Thí dụ dùng máy tính C7.11 Thiết kế mạch thông cao dùng các đặc tính trong thí dụ 7.8 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho mọi loại mạch lọc. Ws=100; Wp=165; Gp=-2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘high’,’s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=cheby1(n, -Gp,Wn, ‘high’,’s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=cheby2(n, -Gs,Wn, ‘high’,’s’) % Ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=ellip(n, -Gp, -Gs, Wn, ‘high’,’s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.7-2 Mạch thông dải Hình 7.29a vẽ đáp ứng biên độ của mạch thông dải tiêu biểu. Để thiết kế dạng lọc này, trước hết cần tìm Hp(s), là hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu, để đạt các tiêu chí trong hình 7.29b, trong đó s là trị bé nhất của )( 121 121 2 pps spp     hay )( 122 212 2 pps pps     (7.56) Tiếp đến tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải thỏa các đặc tính trong hình 7.29a lấy từ Hp(s) bằng cách thay s bằng T(s), trong đó s s sT pp pp )( )( 12 21 2      (7,57) ■ Thí dụ 7.9 Thiết kế mạch lọc thông dải Chebyshev dùng đặc tính đáp ứng biên độ vẽ trong hình 7.30a với 1000 1 p , 20002 p , 4501 s , 40002 s , )20(1,0 dBGs  , và )1(891,0 dBGp  . Quan sát thấy với bộ lọc Chebyshev, dBGp 1 tương đương với .1ˆ dBr  Lời giải được thực hiện theo hai bước: bước đầu, xác định hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Bước thứ hai, tìm hàm truyền bộ lọc thông dải cần thiết từ Hp(s) bằng cách thay s với T(s), là biến đổi thông dải trong phương trình (7.57) Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Được thực hiện theo ba bước sau: Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Tần số s được tìm từ phương trình (7.56), phải nhỏ hơn: 99,3 )10002000(450 )450()2000)(1000( 2    và 5,3 )10002000(4000 )2000)(1000()4000( 2    Nên ta chọn 3,5 Bƣớc 1.2: Xác định n Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.29b với dBGp 1 ˆ  , dBGs 20 ˆ  , p = 1 và s =3,5 vẽ trong hình 7.30b. Bậc n của mạch lọc Chebyshev thỏa các đặc tính được lấy từ phương trình (7.49b) hay phương trình (7.49a), do p = 1, là: 904,1 110 110 cosh )5,3(cosh 1 2/1 1,0 2 1 1            n lấy tròn n = 2 Bƣớc 1.3: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Ta có hàm truyền của mạch lọc Chebyshev bậc hai bằng cách tính các cữa khi n =2 và 1ˆ r ( = 0,5088) dùng phương trình (5.72). Tuy nhiên, do bảng 7,4 đã liệt kê đa thức tử số khi 1ˆ r và n = 2, ta không cần thực hiện tính toán và tìm ngay được hàm truyền là: Hp(s) 1025,10977,1 9826,0 2   ss (7.48) Ta đã dùng phương trình (7.53) để tìm tử số 9826,0 2589,1 1025,1 1 2 0     a Kn Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu này vẽ trong hình 7.30b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.57) s s sT 1000 )10(2 )( 62   Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.58), ta có hàm truyền thông dải 1292634 25 )10(4)10(195,2)10(1025,57,1097 )10(826,9 )(   ssss s sH Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.30a. ■ Ta có thể dùng các bước tương tự cho mach lọc Butterworth. So sánh với thiết kế Chebyshev, thiết kế mạch lọc Butterworth cần thêm hai bước nữa. Đầu tiên, ta cần tính tần số cắt c của mạch lọc nguyên mẫu. Đối với mạch lọc Chebyshev, tần số tới hạn xuất hiện tại tần số có độ lợi là Gp. Tần số này là 1 trong mạch lọc Butterworth nguyên mẫu. Ngược lại, trong mạch lọc Butterworth, tần số tới hạn c là tần số nửa công suất (hay tần số cắt -3 dB), không nhất thiết là tần số với độ lợi Gp. Đề tìm hàm truyền của bộ lọc Butterworth nguyên mẫu, điều cơ bản là phải tìm c . Một khi đã biết được c , hàm truyền của bộ lọc nguyên mẫu có thể tìm bằng cách thay s bằng s/c trong hàm truyền chuẩn hóa H (s). Bước này cũng không cần thiết trong thiết kế mạch lọc Chebyshev. Ta minh họa các bước này trong thí dụ dưới đây. ■ Thí dụ 7.10 Thiết kế mạch lọc thông dải Butterworth có đặc tính đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.31a với với 1000 1 p , 20002 p , 4501 s , 40002 s , )20(1,0 dBGs  , và )4,2(7596,0 dBGp  . Trong thí dụ trước, lời giải được thực hiện trong hai bước: bước đầu, ta xác định hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Trong bước thứ hai, tìm hàm truyền mạch lọc thông thấp nguyên mẫu từ Hp(s) bằng cách thay s với T(s), là biến đổi từ thông thấp sang thông dải trong phương trình (7.57) Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mục tiêu này được thực hiện trong 5 bước con dùng thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth (xem thí dụ 7.6) Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Trong hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s) với đáp ứng biên độ cho trong hình 7.31b, thì tần số p được tìm (từ phương trình 7.56) phải nhỏ hơn: 99,3 )10002000(450 )450()2000)(1000( 2    và 5,3 )10002000(4000 )2000)(1000()4000( 2    Nên ta chọn 3,5 như vẽ trong hình 7.31b Bƣớc 1.2: Xác định n Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.29b với dBGp 4,2 ˆ  , dBGs 20 ˆ  , p = 1 và s =3,5.Theo phương trình (7.39), thì bậc n của mạch lọc Chebyshev thỏa các đặc tính này là 955,1 110 110 log 5,3log2 1 24,0 2         n lấy tròn n = 2 Bƣớc 1.3: Xác định c Trong bước này (không cần thiết khi thiết kế mạch lọc Chebyshev), ta xác định tần số cắt 3 dB c cho bỗ lọc nguyên mẫu. Dùng phương trình (7.41), ta có: 10958,1 )110( 5,3 4/12   c Bƣớc 1.4: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hóa bộ lọc Butterworth bậc hai lấy từ bảng 7.1 là H(s) = 12 1 2  ss Đây là hàm truyền chuẩn hóa của mạch lọc (tức với c =1) Bƣớc 1.5: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Hàm truyền mạch lọc nguyên mẫu Hp(s) có được bằng cách thay s bằng 10958,1// ss c  vào hàm truyền chuẩn hóa H(s) vừa tìm được trong bước 1.4 là Hp(s) 2312,15692,1 231,1 )10958,1()10958,1(2 )10958,1( 222 2     ssss (7.59) Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.31b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.57) s s sT 1000 )10(2 )( 62   Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.59), ta có hàm truyền thông dải 1292634 26 )10(4)10(1384,3)10(2312,51569 )10(2312,1 )(   ssss s sH Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.31a. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.12 Thiết kế mạch thông dải dùng các đặc tính trong thí dụ 7.10 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho bốn loại mạch lọc. Trong mạch lọc thông dải, ta dùng cùng các hàm đã dùng trong mạch lọc thông thấp ở thí dụ C7.6, C7.8, C7.10, chỉ với một điểm khác: Wp và Ws là hai vectơ phần tử Wp = [Wp1 Wp2], Ws = [Ws1 Ws2] Wp=[1000 2000]; Ws=[450 4000]; Gp=-2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby1 (n, -Gp, Wn, ‘s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby2 (n, -Gs, Wn, ‘s’) %Loc ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.7-3 Mạch triệt dải Hình 7.32a vẽ đáp ứng biên độ của mạch lọc triệt dải. Đề thiết kế, đầu tiên ta phải tìm Hp(s) là hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu, để đạt được các tiêu chí trong hình 7.32b, trong đó s là trị bé nhất của 2 121 112 )( spp spp     hay 122 212 2 )( pps spp     (7. 60) Hàm truyền mạch triệt dải cần có để thỏa các đặc tính trong hình 7.32a có được từ Hp(s) bằng cách thay s bằng T(s), trong đó 21 12 2 )( )( pp pp s s sT      (7.61) ■ Thí dụ 7.10 Thiết kế mạch lọc triệt dải Butterworth có đặc tính đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.33a với với 60 1 p , 2602 p , 1001 s , 1502 s , )20(1,0 dBGs  , và )2,2(776,0 dBGp  . Trong bước đầu, ta xác định hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Trong bước thứ hai, ta dùng biến đổi từ thông thấp sang triệt dải trong phương trình (7.61) để có hàm truyền triệt dải cần có H(s). Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mục tiêu này được thực hiện trong 5 bước con dùng thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth (xem thí dụ 7.6) Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Trong hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s) với đáp ứng biên độ cho trong hình 7.32b, thì tần số p được tìm (từ phương trình 7.60) phải nhỏ hơn: 57,3 100)60)(260( )60260)(100( 2    và 347,4 )60)(260(150 )60260(150 2    Nên ta chọn 3,57 như vẽ trong hình 7.33b Bƣớc 1.2: Xác định n Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.33b với dBGp 2,2 ˆ  , dBGs 20 ˆ  , p = 1 và s =3,57. Theo phương trình (7.39), thì bậc n của mạch lọc Butterworth thỏa các đặc tính này là 9689,1 110 110 log )57,3log(2 1 22,0 2         n lấy tròn n = 2 Bƣớc 1.3: Xác định c Trong bước này ta xác định tần số cắt 3 dB c cho bộ lọc Butterworth nguyên mẫu. Dùng phương trình (7.40), ta có: 1096,1 )110( 1 )110( 4/122,02/110/ˆ       pG p c   Bƣớc 1.4: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hóa bộ lọc Butterworth bậc hai lấy từ bảng 7.1 là H(s) = 12 1 2  ss (7.62) Bƣớc 1.5: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Hàm truyền mạch lọc nguyên mẫu Hp(s) có được bằng cách thay s bằng 1096,1// ss c  vào hàm truyền chuẩn hóa H(s) vừa tìm được trong bước 1.4 là Hp(s) 2312,15692,1 2312,1 12 1 22                ssss cc  (7.63) Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.33b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.61) 600.15 200 )( 2   s s sT Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.63), ta có hàm truyền thông dải 2312,1 600.15 200 15692 600.15 200 2312,1 )( 2 2 2                s s s s sH 86234 22 )10(433,2)10(977,39,636909,254 )600.15( )(    ssss s sH Đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.31a. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.13 Thiết kế mạch triệt dải dùng các đặc tính trong thí dụ 7.11 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho bốn loại mạch lọc. Wp=[60 260]; Ws=[100 150]; Gp=-2,2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby1 (n, -Gp, Wn, ‘s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby2 (n, -Gs, Wn, ‘s’) %Loc ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo Mục đích của mạch lọc là loại bỏ các thành phần tần số không mong muốn và truyền không méo các thành phần tần số mong muốn. Trong phần 4.4, ta đã thấy là yêu cầu là đáp ứng biên độ phải là hằng và đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo  trong suốt dải thông Từ trước đến nay, các mạch lọc đều được nhấn mạnh đến tính ổn định của đáp ứng biên độ. Độ tuyến tính của đáp ứng pha đã bị bỏ qua. Như đã nói thì tai người nhạy cảm với méo biên độ và trong một chừng mực nào đó, không nhạy cảm với méo pha. Do đó, các thiết bị âm thanh thường chỉ được thiết kế để có đáp ứng biên độ là hằng, và đáp ứng pha chỉ là xem xét phụ. Ta cũng đã thấy là mắt người thì nhạy cảm với méo pha và tương đối không nhạy cảm với méo biên độ. Do đó, trong các thiết bị hình ảnh, ta không thể bỏ qua mép pha. Trong thông tin xung, cả mép biên độ và mép pha đều quan trọng để sửa lổi cho thông tin truyền đi. Ta sẽ thảo luận ngắn gọn về một vài xu hướng và dáng vẽ của các thiết kế mạch lọc dạng này. Ta đã thấy là (xem phương trình 4.59) khi truyền qua mạch lọc, thì thời gian trễ td theo đáp ứng pha )( jH là: )()(    jH d d td  (7.64) Nếu độ dốc của )( jH là hằng trong dải tần mong muốn (tức là nếu )( jH tuyến tính với ), thì mọi thành phần đều bị trễ với cùng thời gian td . Trong trường hợp ngõ ra lặp lại ngõ vào, giả sử là tất cả các thành phần đều suy giảm như nhau; tức là )( jH = hằng số trong dải thông. Nếu độ dốc của đáp ứng pha không là hằng số, thì thời gian trễ td thay đổi theo tần số. Thay đổi này có nghĩa là các thành phần tần số khác nhau có thời gian trễ khác nhau, làm cho ngõ ra không thể lặp lại dạng sóng tín hiệu vào ngay cả khi đáp ứng biên độ là hằng trong dải thông. Một phương pháp tốt để xét tính tuyến tính của pha là vẽ td theo tần số. Trong hệ truyền không méo, td (độ dốc âm của )( jH ) cần là hằng số trong dải tần công tác. Đây còn là yêu cầu về tính ổn định của đáp ứng biên độ. Nói chung thì có sự xung đột giữa hai yêu cầu về truyền không méo. Khi ta cố tiệm cận với đáp ứng biên độ lý tưởng, là lúc mà đáp ứng pha càng lệch khỏi đáp ứng pha lý tưởng. Tần số cắt càng sắc nét (dải chuyển tiếp càng bé) thì đáp ứng pha càng tăng tính phi tuyến khi ở gần vùng chuyển tiếp. Ta có thể kiểm nghiệm lại từ hình 7.34, vẽ đặc tính trễ của các họ mạch lọc Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Chebyshev có tần số cắt sắc nét hơn so với Butterworth, cho thấy có sự thay đổi lớn về thời gian trễ của nhiều thành phần tần số so với Butterworth. Trong các ứng dụng khi yếu tố tuyến tính về pha là quan trọng, có thể có hai xu hướng: 1. Nếu td = hằng số (pha tuyến tính) là quan trọng nhất, ta thiết kế bộ lọc để td tạo phẳng tối đa quanh 0 và chấp nhận kết quả là đáp ứng biên độ sẽ không phẳng hay tần số cắt không còn sắc nét. Khác với mạch lọc Butterworth, được thiết kế để có biên độ phẳng tối đa tại 0 mà không làm suy giảm đáp ứng pha. Họ các mạch lọc phẳng tối đa td được gọi là mạch lọc Bessel – Thomson, là họ có mẫu số của H(s) bậc n là đa thức Bessel. 2. Nếu cả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha đều quan trọng, ta bắt đầu với mạch lọc thỏa các đặc tính về đáp ứng biên độ, bỏ qua các đặc tính về đáp ứng pha. Ta ghép nối tiếp mạch lọc này với mạch lọc khác, mạch cân bằng (equalizer), có đáp ứng biên độ phẳng với mọi tần số (mạch lọc thông hết allpass) với td có đặc tính bù với đặc tính của mạch lọc chính sao cho đặc tính pha tổng là xấp xỉ tuyến tính. Dạng nối đuôi này cho pha tuyến tính và đáp ứng biên độ của mạch lọc chính (theo yêu cầu) Lọc thông hết Lọc thông hết có số cực và zêrô bằng nhau. Tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức để mạch ổn định. Các zêrô là ảnh phản chiếu của cực qua trục ảo. Nói cách khác, với mỗi cực jba  , ta có zêrô tại jba  . Do đó, các zêrô đều nằm bên phải mặt phẳng phức. Các mạch lọc với cấu hình cực – zêrô này được gọi là mạch lọc thông hết; tức là đáp ứng biên độ là hằng với mọi tần số. Ta có thể kiểm nghiệm qua xem xét hàm truyền có cực tại jba  và zêrô tại jba  : jbas jbas sH   )( và )( )( )( bja bja jbaj jbaj sH           , do đó: 1 )()( )()( )( 22 22     ba ba jH    (7.65)                  a b a b jH   11 tantan)(                        a b a b a b jH     111 tan2tantan)( (7.66) Ta thấy là dù đáp ứng biên độ là đơn vị bất chấp vị trí cực và zêrô, đáp ứng pha phụ thuộc vào vị trí cực (hay zêrô). Thông qua chỉnh định cực hợp lý, ta có thể có đáp ứng pha cần thiết là bù của đáp ứng pha của mạch lọc chính. 7.9 Tóm tắt Đáp ứng của hệ LT – TT – BB có hàm truyền )(sH với tín hiệu sin không dừng, tần số  cũng là tín hiệu sin có cùng tần số. Biên độ ngõ ra là )( jH nhân với biên độ vào, và sóng sin ra bị dời pha một góc )( jH so với tín hiệu vào. Đồ thị )( jH theo  cho thấy độ lợi biên độ của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng biên độ của hệ thống. Đồ thị )( jH theo  cho thấy góc dời pha của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng pha. Vẽ đáp ứng tần số được đơn giản hóa bằng cách dùng đơn vị logarithm cho trục biên độ và trục tần số, và được gọi là giảm đồ Bode. Dùng đơn vị logarithm cho phép thực hiện phép cộng (thay vì nhân) đáp ứng biên độ của bốn dạng thừa số trong hàm truyền là (1) hằng số (2) có cực hay zêrô tại gốc (3) có cực hay zêrô bậc nhất (4) có các cực hay zêrô dạng phức. Vẽ đáp ứng pha thì dùng đơn vị tuyến tính cho cho goác pha và đơn vị logarithm cho trục tần số. Đặc tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha cho phép vẽ dễ dàng các hàm truyền ngay cả với bậc cao hơn. Đáp ứng tần số của hệ thống được xác định từ vị trí các cực và zêrô của hàm truyền trên mặt phẳng phức. Ta có thể thiết kế bộ lọc có tính tuyển chọn tần số bằng cách sắp xếp thích hợp vị trí các cực và zêrô trong hàm truyền. Sắp xếp vị trí cực (hay zêrô) gần trục 0j trong mặt phẳng phức làm tăng (hay giảm) đáp ứng tần số tại tần số 0  . Từ ý niệm này, kết hợp đúng để đặt thích hợp vị trí các cực và zêrô giúp ta có được đặc tính mạch lọc cần có. Phần này xét hai loại mạch lọc analog là Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Butterworth có đáp ứng biên độ phẳng trong băng thông. Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev có nhấp nhô trong băng thông. Mặt khác, đáp ứng của lọc Chebyshev ở stopband tốt hơn so với lọc Butterworth. Các bước thiết kế lọc thông thấp có thể dùng cho trường hợp thông cao, thông dải và triệt dải thông qua việc dùng các biến đổi tần số thích hợp trong phần 7.7. Mạch lọc allpass có độ lợi là hằng số nhưng pha thay đổi theo tần số. Do đó, khi đặt mạch lọc allpass nối đuôi với hệ thống sẽ làm đáp ứng biên độ không đổi nhưng có pha thay đổi. Do đó, dạng lọc allpass được dùng thay đổi đáp ứng pha của hệ thống. Tham khảo 1. Wai-Kai Chen, Passive and active Filters, Wiley, New York, 1986. 2. Van Valkenberg, M.E., Analog Filter Design, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1982. 3. Christian E. Eisenmann, Filter Design Tables and Graphs, Transmission Networks International, Inc., Knightdale, N.C., 1977. Bài tập 7.1-1 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 45 2 )( 2    ss s sH Tìm đáp ứng với các ngõ vào sin không dừng: (a) )302cos(5 0t (b) )452sin(5 0t (c) )403cos(10 0t . Quan sát thấy chúng đều là sóng sin không dừng. 7.1-2 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 2)2( 3 )(    s s sH Tìm đáp ứng xác lập của hệ thống với các ngõ vào sau: (a) )(10 tu (b) )()602cos( 0 tut  (c) )()453sin( 0 tut  (d) )(3 tue tj . 7.1-3 Bộ lọc allpass mô tả bằng hàm truyền 10 )10( )(    s s sH Tìm đáp ứng với các ngõ vào không dừng: (a) tje  (b) )cos(  t (c) tcos (d) sìnt (e) t10cos (f) t100cos . Nhận xét về đáp ứng mạch lọc. 7.2-1 Vẽ giản đồ Bode của các hàm truyền sau: (a) )20)(2( )100(   ss ss (b) )100( )20)(10( 2   ss ss (c) )1000()20( )200)(10( 2   ss ss 7.2-2 Làm lại bài tập 7.2-1 nếu (a) )164)(1( 2 2  sss s (b) )10014,14)(1( 2  sss s (c) )10014,14( )10( 2   sss s 7.3-1 Phản hồi có thể dùng để tăng (hay giảm) băng thông của hệ thống. Xét hệ thống trong hình 7.3-1a có hàm truyền c c s sG    )( . (a) Chứng tõ khổ sóng 3 dB của hệ thống là c (b) Để giảm băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9,0)( sH , như vẽ trong hình P7.3-1c. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là c10 . (c) Để tăng băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9)( sH , như vẽ trong hình P7.3-1b. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là 10/c . (d) Độ lợi của hệ thống tại dc nhân với băng thông 3dB gọi là tích số độ lợi – băng thông của hệ thống. Chứng tõ là tích này là giống nhau cho ba hệ thống trong hình P7.3-1. Kết quả này cho thấy khi tăng băng thông thì độ lợi giảm và ngược lại. 7.4-1 Dùng phương pháp đồ thị của phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ LT – TT – BB mô tả bởi hàm truyền )71)(71( )71)(71( 502 502 )( 2 2 jsjs jsjs ss ss sH       Cho biết đây là dạng mạch lọc gì? 7.4-2 Dùng phương pháp đồ thị trong phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và pha của hệ LT –TT – BB có các cực và zêrô vẽ trong hình P7.4-2. 7.4-3 Thiết kế bộ lọc bandpass bậc hai với tần số trung tâm 10 . Độ lợi là zêrô tại 0 và  . Chọn vị trí cực là 10ja  . Biện luận về ảnh hưởng của a lên đápứng tần số. 7.5-1 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc Butterworth thông thấp bậc ba có tần số cắt 3dB tại 100c . Tìm kết quả không dùng bảng 7.1 hay 7.2. Dùng các bảng này để kiểm nghiệm lại kết quả 7.5-2 Xác định bậc n, là bậc của mạch lọc thông thấp Butterworth, tương ứng với tần số cắt c cần thiết thỏa được các tiêu chí của mạch lọc thông thấp. Tìm các giá trị của c , một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của passband, và một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của stopband trong các trường hợp: (a) dBGp 5,0 ˆ  , dBGs 20 ˆ  , 100p rad/s và 200S rad/s (b) 9885,0ˆ pG , 310ˆ sG , 1000p rad/s và 2000S rad/s (c) Độ lợi tại 3 c cần lớn hơn dB50 7.5-3 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( jH của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các tiêu chí dBGp 3 ˆ  , dBGs 14 ˆ  , 000.100p rad/s và 000.150S rad/s . Cần thỏa quá (nếu có thể) các yêu cầu của sGˆ . Xác định pGˆ và sGˆ của thiết kế. 7.6-1 Làm lại bài tập 7.5-1 cho mạch lọc Chebyshev, không dùng bảng 7.6-2 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 1 ˆ  , dBGs 22 ˆ  , 100p rad/s và 200S rad/s. 7.6-3 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 2 ˆ  , dBGs 25 ˆ  , 10p rad/s và 15S rad/s. 7.6-4 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev có tần số cắt 3 dB là c , và độ lợi giảm - 50 dB tại 3 c . 7.7-1 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: dBGp 1 ˆ  , dBGs 20 ˆ  , 20p rad/s và 10S rad/s. 7.7-2 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: dBGp 1 ˆ  , dBGs 22 ˆ  , 20p rad/s và 10S rad/s. 7.7-3 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: dBGp 3 ˆ  , dBGs 17 ˆ  , 1001 p rad/s, 2502 p rad/s và 401 S rad/s, 5002 S rad/s. 7.7-4 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: dBGs 17 ˆ  , dBr 1ˆ  , 1001 p rad/s, 2502 p rad/s và 401 S rad/s, 5002 S rad/s. 7.7-5 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc triệt dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: dBGs 24 ˆ  , dBGp 3 ˆ  , 201 p rad/s, 602 p rad/s và 301 S rad/s, 382 S rad/s.