Góc giữa hai mặt phẳng

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Phương pháp giải: Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau: +) Xác định giao tuyến ( ) ( )∆ = ∩P Q +) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!) +) Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: ( )
( )
( ) ( ) ( );( ) ;( ) ( ) = ∩ ⇒ = = ∩ a R P P Q a b b R Q Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA. Biết
( ) 0; 60=SD ABCD . Tính góc giữa a) (SCD) và (ABCD). b) (MBC) và (ABCD), với M là trung điểm của SA. Đ/s: 30 30) tanφ ; ) tanφ 6 14 = =a b Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a; AD = 5a/2. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AB với BH = 2AH. Biết
( ) 0; 45=SC ABCD . Tính góc giữa a) (SCD) và (ABCD). b) (IBC) và (ABCD), với I thuộc đoạn SA sao cho SI = 2IA. Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, I là điểm trên đoạn BC sao cho CI = 2BI. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với 2 0+ =    HA HI , biết
( ) 0; 60=SB ABC . Tính góc giữa hai mặt phẳng (NAB) và (ABC) với N là trung điểm của SI. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và 2,=SA a đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC). b) (SAB) và (SBC). c)* (SBC) và (SCD). Đ/s: a) 450 b) 600 c) 6cosα 3 = 04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Bài 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, ∆DBC vuông cân tại D. Biết 2 , 7= =AB a AD a . Tính góc giữa (ABC) và (DBC). Đ/s: 300 Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). Đ/s: a)
( ) 0( ), ( ) 60=SAC SBC b)
3cos(( ), ( )) . 10 =SEF SBC Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và 2.=SA a Tính góc giữa a) (SCD) và (ABCD). b) (SBD) và (ABCD). c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC. Lời giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( )
( )
( )
, ,⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥CD SA CD SAD ABCD SCD SD SA SDACD AD
( ) ( )( )
1 1tan , arctan 2 2 SASDA ABCD SCD SDA SD = = ⇒ = = b) (SBD) và (ABCD). Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ), , 90oBD AC BD SAC ABCD SBD SO AC AOS doAOSBD SA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = < ⊥
( ) ( )( )
tan 2 , arctan 2SAAOS ABCD SBD AOSOA= = ⇒ = = c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC. Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Gọi J là trung điểm của CD Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )
, ,DI JA DI SJA ABCD SDJ SJ JA SJA DI SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥
( ) ( )( )
2 2 1 1 tan , arctan 3 3 SA SASJA ABCD SDJ SJA JA AD DJ = = = ⇒ = = + Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , I là trung điểm của BC. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với 2 0+ =    IH AH và SH = 2a. Tính góc giữa a) BC và SA. b) (SBC) và (ABC). c) (SAB) và (ABC). Lời giải: a) Tính góc giữa BC và SA Dựng hình thoi ABCD ( ) ( )

/ / ;BC AD SAD BC SA SAD⇒ ∈ ⇒ = Do 2 21 6 5 62 0 3 6 6 a aAH IH AH AI SA SH AH+ = ⇒ = = ⇒ = + =   Xét: 2 2 2 213 37: 6 6v AHD HD AD AH a SD SH HD a∆ = + = ⇒ = + = Nhận xét: { }
2 2 2 90oSA AD SD SAD A SAD+ = ⇒ ∆ ⊥ ⇒ = Vậy ( )
; 90oBC SA = b) Tính góc giữa ( ) ( )vàSBC ABC Ta có: ( ) ( )SBC ABC BC∩ = Nhận xét: SBC∆ cân tại S SI BC⇒ ⊥ , Mà ( )AI BC BC SAI⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( )
( )
; ;SBC ABC SI AI SIA= = Tính được: 6 6 42; 2 3 3 a a aAI HI SI= = ⇒ = Xét:   2 2 2 1 : cos 67,8 2 . 7 oSI IA SASAI SIA SIA SI IA + −∆ = = ⇒ = Suy ra: ( ) ( )( )
; 67,8oSBC ABC = Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! c) Tính góc giữa ( ) ( )vàSAB ABC Ta có: ( ) ( )SAB ABC AB∩ = Từ H dựng ( ) ( ) ( )( )

;HK AB AB SHK SAB ABC SKH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Ta dễ dàng tính được: 2 21 2 146; 3 6 6 a aHK BI SK SH HK= = = + = Xét:

2 2 2 1 :cos 83,3 2 . 73 oSK KH SHSHK SKH SKH SK KH + −∆ = = ⇒ = Suy ra: ( ) ( )( )

; 83,3oSAB ABC SKH= =