Giáo trình môn Xử lý tín hiệu số - Phần 1

∞ 𝑘=−∞ (2.89) Công thức (2.89) cho thấy đáp ứng ra 𝑦(𝑛) của hệ thống LTI là một hàm của tín hiệu vào 𝑥(𝑛) và đáp ứng xung đơn vị ℎ(𝑛). Công thức này là công thức đặc trưng của hệ thống tuyến tính, bất biến và được gọi là Tích chập và được ký hiệu tương đương như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) (2.90) Do đó, với hệ thống TTBB nghỉ bất kỳ, khi cần xác định đáp ứng ra với một kích thích vào 𝑥(𝑛), ta sẽ xác định đáp ứng xung ℎ(𝑛) của hệ thống sau đó tính tích chập 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) ta được 𝑦(𝑛) tương ứng. Việc tính toán cụ thể như sau: Ta sẽ tính toán đầu ra của hệ thống tại thời điểm nhất định nào đó, ví dụ 𝑛 = 𝑛0. Từ công thức (2.89) ta có: 𝑦(𝑛0) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛0 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.91) Có một số điểm cần chú ý như sau: − Chỉ số trong tổng là 𝑘, cả tín hiệu vào 𝑥(𝑘) và đáp ứng xung ℎ(𝑛0 − 𝑘) đều là hàm của 𝑘. − Thứ hai, ta thấy dãy 𝑥(𝑘) và ℎ(𝑛0 − 𝑘) được nhân với nhau theo dạng nhân dãy tín hiệu. Tín hiệu ra 𝑦(𝑛0 − 𝑘) là tổng tất cả các giá trị mẫu của dãy tích thu được. − Dãy ℎ(𝑛0 − 𝑘) thu được bằng cách: lấy đối xứng dãy ℎ(𝑘) qua gốc đơn vị, ta được dãy ℎ(−𝑘). Dãy đối xứng sẽ được dịch chuyển 𝑛0 mẫu trên trục tọa độ để thu được ℎ(𝑛0 − 𝑘). Tổng hợp lại, để tính toán (2.91), ta phải tiến hành 5 bước sau: 1. Đổi biến. Đổi biến 𝑥(𝑛) thành 𝑥(𝑘), ℎ(𝑛) thành ℎ(𝑘) 2. Đảo. Lấy đối xứng ℎ(𝑘) qua 𝑘 = 0 thu được ℎ(−𝑘). 3. Dịch chuyển. Dịch ℎ(−𝑘) đi 𝑛0 mẫu về phía bên phải (trái) nếu 𝑛0 có giá trị dương (âm) thu được ℎ(𝑛0 − 𝑘) 4. Nhân. nhân 𝑥(𝑘) với ℎ(𝑛0 − 𝑘) được dãy tích 𝑣𝑛0(𝑘) ≡ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛0 − 𝑘) 5. Tổng. Cộng tất cả các giá trị của dãy tích 𝑣𝑛0(𝑘) được giá trị của tín hiệu ra tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0. Chú ý rằng kết quả thu được ở các bước trên chỉ là đáp ứng ra của hệ thống tại một thời điểm 𝑛 = 𝑛0. Một cách tổng quát, nếu chúng ta muốn tính tín hiệu ra của hệ thống trên toàn trục thời gian từ −∞ < 𝑛 < +∞, chúng ta cần lặp lại các bước từ 3 đến 5 với các giá trị dịch chuyển 𝑛0 tương ứng. Để hiểu rõ hơn các bước tính toán tích chập ở trên, chúng tôi sẽ minh họa các bước trên bằng ví dụ dưới đây VÍ DỤ 2.12 Đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính bất biến thời gian là: ℎ(𝑛) = {1, 2 ↑ , 1, −1} (2.92) Xác định tín hiệu ra của hệ thống với tín hiệu vào là: 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 2,3,1} (2.93) Lời giải. Chúng ta sẽ tính tích chập theo công thức (2.91), nhưng sẽ sử dụng một loạt hình vẽ để minh họa sự tính toán. Trong Hình 2-22(a) chúng tôi biểu diễn tín hiệu vào 𝑥(𝑘) và đáp ứng xung ℎ(𝑘) của hệ thống, sử dụng 𝑘 là biến thời gian để phù hợp với phương trình (2.91) Bước đầu tiên ta sẽ lấy đối xứng dãy ℎ(𝑘) để thu được dãy đảo ℎ(−𝑘) như trong Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị(b). Ta tính toán đáp ứng ra tại thời điểm 𝑛 = 0. Từ (2.91) ta có 𝑦(0) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(0 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.94) Với 𝑛 = 0, ta có dãy ℎ(−𝑘) không phải dịch trên trục tọa độ, dãy tích thu được như sau 𝑣0(𝑘) ≡ 𝑥(𝑘)ℎ(−𝑘) (2.95) được biểu diễn trong Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị(b). Cuối cùng ta sẽ tính tổng tất cả các xung của dãy tích ta được 𝑦(0) = ∑ 𝑣0(𝑘) +∞ 𝑘=−∞ = 4 Tiếp theo, ta tính toán đáp ứng ra của hệ thống tại 𝑛 = 1. Theo công thức (2.91) ta có 𝑦(1) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(1 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.96) dãy ℎ(1 − 𝑘) là dãy ℎ(−𝑘) dịch về phía bên phải 1 đơn vị thời gian. Dãy này được minh họa trong Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị(c). Thực hiện phép nhân hai dãy 𝑥(𝑘) và ℎ(1 − 𝑘), ta được: 𝑣1(𝑘) ≡ 𝑥(𝑘)ℎ(1 − 𝑘) (2.97) như trong Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị(c). Cuối cùng, ta tính tổng tất cảc các giá trị trong dãy tích thu được 𝑦(1) = ∑ 𝑣1(𝑘) ∞ 𝑘=−∞ = 8 Bằng cách tương tự chúng ta cũng tính được 𝑦(2) bằng cách dịch ℎ(−𝑘) về bên phải 2 đơn vị, tạo ra dãy tích 𝑣2(𝑘) = 𝑥(𝑘)ℎ(2 − 𝑘), sau đó tính tổng tất cả các thành phần của dãy thu được 𝑦(2) = 8. Tiếp tục như vậy, ta tính được 𝑦(3) = 3, 𝑦(4) = −2, 𝑦(5) = −1. Với 𝑛 > 5 ta thấy 𝑦(𝑛) = 0 bởi vì dãy tích 𝑣𝑛(𝑘) có tất cả các giá trị đều bằng không. Như vậy chúng ta đã tính được đáp ứng ra 𝑦(𝑛) với 𝑛 > 0. Tiếp theo chúng ta cần tính toán 𝑦(𝑛) với 𝑛 < 0. Bắt đầu với 𝑛 = −1. Ta có: 𝑦(−1) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(−1 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.98) Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị Dãy ℎ(−1 − 𝑘) thu được bằng cách dịch dãy ℎ(−𝑘) sang bên trái một đơn vị như trong Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị(d). Ta cũng có dãy tích trong hình này. Cuối cùng tính tổng tất cả giá trị các mẫu của 𝑣−1(𝑘), ta được 𝑦(−1) = 1 Từ đồ thị Hình 2-22 Tính tích chập bằng đồ thị, ta thấy nếu tiếp tục dịch dãy ℎ(−1 − 𝑘) về bên trái sau đó nhân với dãy 𝑥(𝑘) ta thu được dãy tích có tất cả các xung bằng không 𝑦(𝑛) = 0 với 𝑛 ≤ −2 Tổng kết lại, ta có đáp ứng ra của hệ thống như sau: 𝑦(𝑛) = {1, 4 ↑ , 8,8,3, −2,−1} (2.99) Như vậy, trong phần này chúng ta đã học một số khái niệm quan trọng: - Đáp ứng xung ℎ(𝑛) của hệ thống TTBB: đáp ứng ra của hệ thống với kích thích vào là xung đơn vị - Tích chập: mối quan hệ đặc trưng của hệ thống TTBB (các hệ thống không tuyến tính, bất biến thì không có quan hệ này). Mối quan hệ này thể hiện ở điểm: khi ta cho tín hiệu 𝑥(𝑛) đi vào hệ thống TTBB, đáp ứng ra của hệ thống sẽ bằng tín hiệu vào nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) Tính chất của tích chập và kết nối các hệ thống TTBB Phần trên ta đã có công thức định nghĩa tích chập như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) ≡ ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.100) Tính chất đồng nhất và dịch chuyển. Chúng ta chú ý rằng dãy xung đơn vị 𝛿(𝑛) là thành phần đơn vị trong tính chập, nghĩa là: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛) = 𝑥(𝑛) Nếu chúng ta dịch 𝛿(𝑛) đi 𝑘 mẫu, dãy chập cũng bị dịch chuyển 𝑘 mẫu như sau: 𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛 − 𝑘 ) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(𝑛 − 𝑘) Tính giao hoán Hình 2-23 Tính chất giao hoán của tích chập. Chúng ta có thể thấy tích chập tương đối giống như phép nhân hai dãy tín hiệu, 𝑥(𝑛) và ℎ(𝑛). Nó cũng có một số tính chất giống như phép nhân, đó là: tính giao hoán và tính tổ hợp Tính giao hoán của tích chập như sau: 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) (2.101) Thật vậy, nếu chúng ta đổi biến 𝑘 bằng 𝑚, với 𝑚 = 𝑛–𝑘 (tức là 𝑘 = 𝑛–𝑚) vào công thức (2.100) ta được: 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑛 −𝑚)ℎ(𝑚) ∞ 𝑚=−∞ (2.102) thực chất 𝑚 hay 𝑘 chỉ là biến, nên nếu viết lại phương trình trên với 𝑘 ta có 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑛 − 𝑘)ℎ(𝑘) ∞ 𝑘=−∞ (2.103) Trong (2.103), dãy ℎ(𝑘) sẽ cố định, 𝑥(𝑛) sẽ được lấy đối xứng là dịch chuyển trên trục thời gian. Kết quả 𝑦(𝑛) thu được trong cả hai công thức (2.100) và (2.103) là hoàn toàn giống nhau. Như vậy, tích chập có tính giao hoán Tính chất kết hợp Tính kết hợp của tích chập được định nghĩa như sau: [𝑥(𝑛) ∗ ℎ1(𝑛)] ∗ ℎ2(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ [ℎ1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛)] (2.104) Nhìn theo phương diện vật lý, chúng ta có thể hiểu 𝑥(𝑛) là một tín hiệu vào của một hệ thống TTBB có đáp ứng xung ℎ1(𝑛). Đầu ra của hệ thống đó là 𝑦1(𝑛), đầu ra này lại là đầu vào của hệ thống TTBB thứ hai có đáp ứng xung ℎ2(𝑛). Vậy đầu ra của hệ thống: 𝑦(𝑛) = 𝑦1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛) = [𝑥(𝑛) ∗ ℎ1(𝑛)] ∗ ℎ2(𝑛) chính bằng là vế trái của phương trình (2.104). Vế phải của phương trình (2.104) tương đương với một hệ thống có đầu vào 𝑥(𝑛), đáp ứng xung ℎ(𝑛) = ℎ1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛), đầu ra như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) Nhìn Hình 2-24 (a) ta sẽ thấy rõ hơn điều này. Hơn nữa, tích chập thỏa mãn tính chất giao hoán, tức là ta có thể thay đổi thứ tự của hai hệ thống với đáp ứng xung ℎ1(𝑛) và ℎ2(𝑛) mà không thay đổi quan hệ vào – ra của hệ thống. Hình 2-24 (b) minh họa tính chất này. Hình 2-24 Tính chất kết hợp (a) và giao hoán (b) của tích chập. VÍ DỤ 2.13 Xác định đáp ứng xung của hai hệ thống tuyến tính bất biến được mắc nối tiếp với nhau có các đáp ứng xung như sau: ℎ1(𝑛) = ( 1 3 ) 𝑛 𝑢(𝑛) ℎ2(𝑛) = (2) 𝑛𝑢(𝑛) Lời giải. Do hệ thống gồm hai hệ thống con mắc nối tiếp với nhau, đáp ứng xung của toàn bộ hệ thống được tính bằng tính chập ℎ1(𝑛) với ℎ2(𝑛). Ta có: ℎ(𝑛) = ∑ ℎ1(𝑘)ℎ2(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ trong đó, ℎ2(𝑛) được đảo và trượt trên trục thời gian. Ta có dãy tích như sau: 𝑣𝑛(𝑘) = ℎ1(𝑘)ℎ2(𝑛 − 𝑘) = ( 1 3 ) 𝑘 2𝑛−𝑘 Dãy tích khác không với 𝑘 ≥ 0 và 𝑛 − 𝑘 ≥ 0 hay 𝑛 ≥ 𝑘 ≥ 0. Nói cách khác với 𝑛 < 0, ta có dãy 𝑣𝑛(𝑘) = 0 với mọi 𝑘: ℎ(𝑛) = 0, 𝑛 < 0 Với 𝑛 ≥ 𝑘 ≥ 0, tính tổng giá trị các mẫu của dãy tích 𝑣𝑛(𝑘) ta được: ℎ(𝑛) = ∑( 1 3 ) 𝑘 2𝑛−𝑘 𝑛 𝑘=0 = 2𝑛∑( 1 6 ) 𝑘𝑛 𝑘=0 = 2𝑛 [( 1 6 ) 𝑛+1 − 1] Một cách tổng quát, nếu ta có 𝐿 hệ thống TTBB mắc nối tiếp với nhau, có các đáp ứng xung tương ứng là ℎ1(𝑛), ℎ2(𝑛), , ℎ𝐿(𝑛), ta sẽ thu được một hệ thống TTBB tương đương có đáp ứng xung bằng tích chập của các đáp ứng xung thành phần: ℎ(𝑛) = ℎ1(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛) ∗ ∗ ℎ𝐿(𝑛) (2.105) Từ tính chất giao hoán ta thấy rằng thứ tự các hệ thống thành phần mắc với nhau không quan trọng. Ngược lại, một hệ thống TTBB có thể được phân tích thành nhiều hệ thống con mắc nối tiếp với nhau. Tính chất phân phối Hình 2-25 Tính chất phân phối của tính chập Tính chất phân phối của tích chập như trong công thức dưới đây: 𝑥(𝑛) ∗ [ℎ1(𝑛) + ℎ2(𝑛)] = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ1(𝑛) + 𝑥(𝑛) ∗ ℎ2(𝑛) (2.106) Về mặt vật lý, tính chất này thể hiện rằng nếu chúng ta có hai hệ thống tuyến tính bất biến với các đáp ứng xung ℎ1(𝑛) và ℎ2(𝑛) được kích thích bởi cùng một tín hiệu đầu vào 𝑥(𝑛), tổng đáp ứng của hai hệ thống bằng đáp ứng của một hệ thống tổng thể có đáp ứng xung: ℎ(𝑛) = ℎ1(𝑛) + ℎ2(𝑛) Tổng quát hóa trường hợp công thức (2.106), ta phát biểu như sau: một hệ thống gồm 𝐿 hệ thống tuyến tính bất biến nối song song với nhau, các hệ thống này đáp ứng xung lần lượt là ℎ1(𝑛), ℎ2(𝑛), , ℎ𝐿(𝑛), và được kích thích bởi cùng một đầu vào 𝑥(𝑛), thì nó tương đương với một hệ thống tổng thể có đáp ứng xung: ℎ(𝑛) =∑ℎ𝑗(𝑛) 𝐿 𝑗=1 (2.107) Ngược lại, một hệ thống tuyến tính bất biến có thể được phân tích thành nhiều hệ thống con mắc song song với nhau. Hệ thống tuyến tính, bất biến thời gian, nhân quả Trong Phần 2.2.3 chúng ta đã định nghĩa hệ thống nhân quả là hệ thống có đáp ứng ra tại thời điểm n chỉ phụ thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào kích thích vào tại thời điểm tương lai. Nói cách khác, đáp ứng ra của hệ thống tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0, chỉ phụ thuộc vào giá trị của 𝑥(𝑛) với 𝑛 ≤ 𝑛0. Vậy, ta xem xét tính nhân quả của hệ thống TTBB. Ta xét đáp ứng ra của một hệ thống tuyến tính bất biến tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0 theo công thức tích chập như sau: 𝑦(𝑛0) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛0 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ Giả sử rằng chúng ta chia nhỏ tổng trên thành hai phần, như sau: 𝑦(𝑛0) = ∑ℎ(𝑘)𝑥(𝑛0 − 𝑘) ∞ 𝑘=0 + ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛0 − 𝑘) −1 𝑘=−∞ = [ℎ(0)𝑥(𝑛0) + ℎ(1)𝑥(𝑛0 − 1) + ℎ(2)𝑥(𝑛0 − 2) +⋯ ] +[ℎ(−1)𝑥(𝑛0 + 1) + ℎ(−2)𝑥(𝑛0 + 2) + ⋯ ] Ta nhận thấy rằng tổng đầu tiên gồm 𝑥(𝑛0), 𝑥(𝑛0 − 1), là các kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ của tín hiệu vào. Ngược lại, tổng thứ hai bao gồm các thành phần tín hiệu vào tại thời điểm tương lai 𝑥(𝑛0 + 1), 𝑥(𝑛0 + 2), Bây giờ, xét điều kiện nhân quả, đáp ứng ra của hệ thống tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0 sẽ không phụ thuộc vào 𝑥(𝑛0 + 1), 𝑥(𝑛0 + 2), nên các hệ số ℎ(−1), ℎ(−2), phải bằng không, do đó: ℎ(𝑛) = 0, 𝑛 < 0 (2.108) Như vậy, ta có thể phát biểu như sau: một hệ thống TTBB sẽ nhân quả khi và chỉ khi đáp ứng xung 𝒉(𝒏) = 𝟎 với 𝒏 < 𝟎. Công thức tích chập của hệ thống TTBB nhân quả có thể chuyển đổi thành hai công thức tương đương nhau như sau: 𝑦(𝑛) = ∑ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=0 (2.109) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=−∞ (2.110) Khái niệm nhân quả không chỉ được dùng với hệ thống mà còn được dùng với tín hiệu nói chung. Chúng ta mở rộng khái niệm nhân quả với tín hiệu như sau: một tín hiệu được gọi là tín hiệu nhân quả nếu và chỉ nếu tín hiệu đó bằng 𝟎 với mọi 𝒏 < 𝟎. Tín hiệu 𝑥(𝑛) nhân quả nếu 𝑥(𝑛) = 0, 𝑛 < 0 hoặc 𝑦(𝑛) nhân quả nếu: 𝑦(𝑛) = 0, 𝑛 < 0 Nếu điều kiện trên không thỏa mãn thì ta gọi các tín hiệu đó là tín hiệu phi nhân quả. Ta có một hệ quả như sau: Nếu ta cho tín hiệu nhân quả đi qua một hệ thống TTBB nhân quả [nghĩa là 𝑥(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0 và ℎ(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0], các cận của hai dạng công thức tính tích chập (2.109) và (2.110) có thể được giới hạn lại như sau: 𝑦(𝑛) = ∑ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 (2.111) = ∑𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 (2.112) Điều này cho thấy đáp ứng ra 𝑦(𝑛) trong trường hợp này cũng nhân quả: 𝑦(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0. VÍ DỤ 2.14 Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛) đi qua hệ thống TTBB có đáp ứng xung dưới đây: ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛), |𝑎| < 1 Lời giải. Ta có tín hiệu vào là dãy nhân quả, hệ thống cũng là nhân quả, ta có thể sử dụng một trong hai dạng tính tích chập (2.111) hay (2.112). Với 𝑥(𝑛) = 1 với 𝑛 ≥ 0, công thức dạng (2.111) tính toán dễ dàng hơn. Ta có thể bỏ qua bước đảo và dịch chuyển dãy, thay luôn giá trị của tín hiệu vào công thức, ta được: 𝑦(𝑛) = ∑𝑎𝑘 𝑛 𝑘=0 = 1 − 𝑎𝑛+1 1 − 𝑎 và 𝑦(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0. Tính ổn định của hệ thống tuyến tính, bất biến thời gian Như đã đề cập trước đây, tính ổn định là một tính chất quan trọng phải được xét đến trong bất kì hệ thống thực tế nào. Một hệ thống bất kì ổn định nếu và chỉ nếu dãy ra 𝑦(𝑛) hữu hạn đối với dãy vào 𝑥(𝑛) hữu hạn. 𝑥(𝑛) hữu hạn nghĩa là tồn tại một hằng số 𝑀𝑥 sao cho: |𝑥(𝑛)| ≤ 𝑀𝑥 < ∞ Tương tự, nếu đầu ra là hữu hạn, tồn tại một hằng số 𝑀𝑦 sao cho: |𝑦(𝑛)| ≤ 𝑀𝑦 < ∞ với mọi 𝑛. Bây giờ, xét hệ thống TTBB, ta có mối quan hệ giữa tín hiệu vào và đáp ứng ra như sau: 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ Lấy trị tuyệt đối cả hai vế của phương trình, ta được: |𝑦(𝑛)| = | ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ | Giá trị tuyệt đối của một tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Ta có |𝑦(𝑛)| ≤ ∑ |ℎ(𝑘)||𝑥(𝑛 − 𝑘)| ∞ 𝑘=−∞ Nếu dãy vào là hữu hạn, tồn tại hằng số 𝑀𝑥 sao cho |𝑥(𝑛)| ≤ 𝑀𝑥. Thế vào bất phương trình trên, ta được: |𝑦(𝑛)| ≤ 𝑀𝑥 ∑ |ℎ(𝑘)| ∞ 𝑘=−∞ Từ công thức trên, ta thấy rằng, đầu ra của hệ thống là hữu hạn nếu thỏa mãn điều kiện sau: 𝑆ℎ ≡ ∑ |ℎ(𝑘)| ∞ 𝑘=−∞ < ∞ (2.113) Như vậy, một hệ thống TTBB thời gian sẽ ổn định nếu tổng trị tuyệt đối các mẫu của đáp ứng xung của hệ thống đó có giá trị hữu hạn. Điều kiện này không những đủ mà còn cần thiết để đảm bảo sự ổn định của hệ thống. VÍ DỤ 2.15 Xác định giá trị của tham số a để hệ thống TTBB có đáp ứng xung như sau ổn định ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) Lời giải. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng ℎ(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0. Ta có 𝑆ℎ như sau: 𝑆ℎ ≡ ∑ |ℎ(𝑘)| ∞ 𝑘=−∞ =∑|𝑎𝑘| ∞ 𝑘=0 =∑|𝑎|𝑘 ∞ 𝑘=0 = 1 + |𝑎| + |𝑎|2 +⋯ Rõ ràng, cấp số nhân này sẽ hội tụ và bằng: ∑|𝑎|𝑘 ∞ 𝑘=0 = 1 1 − |𝑎| với điều kiện |𝑎| < 1. Còn ngược lại, nghĩa là |𝑎| ≥ 1, thì 𝑆ℎ = ∞. Vậy với điều kiện (2.113), hệ thống trên ổn định nếu |𝑎| < 1, ngược lại, hệ thống không ổn định. Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn và vô hạn Như vậy, đáp ứng xung có thể coi là một đặc trưng của hệ thống TTBB. Dựa vào điểm này, người ta chia các hệ thống TTBB thành hai loại: thứ nhất là lớp các hệ thống TTBB có đáp ứng xung hữu hạn (FIR – Finite duration Impulse Response) và thứ hai là lớp các hệ thống TTBB có đáp ứng xung vô hạn (IIR – Infinite duration Impulse Response). Hệ thống FIR là hệ thống có đáp ứng xung chỉ có một số hữu hạn các mẫu. Không mất tính tổng quát, chúng ta tập trung vào hệ thống FIR nhân quả, đáp ứng xung như sau: ℎ(𝑛) = 0, với 𝑛 < 0 và 𝑛 ≥ 𝑀 Như vậy, công thức tính tích chập được viết lại như sau: 𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀−1 𝑘=0 Ngược lại, với hệ thống IIR, đáp ứng xung của nó có vô số các mẫu. Với hệ thống IIR nhân quả, ta có đáp ứng ra như sau: 𝑦(𝑛) = ∑ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=0 VÍ DỤ 2.16 Xác định hệ thống sau là hệ thống FIR hay IIR: ℎ1(𝑛) = 𝑟𝑒𝑐𝑡5(𝑛 − 1) ℎ2(𝑛) = {2, 1 ↑ , 2,1} ℎ3(𝑛) = 𝑢(𝑛) Lời giải. Hệ thống thứ nhất có đáp ứng xung ℎ1(𝑛) là dãy chữ nhật, có số mẫu là 5 mẫu. Hệ thống này là hệ thống FIR. Tương tự, hệ thống thứ hai cũng là hệ thống FIR ( vì ℎ2(𝑛) có 4 mẫu). Hệ thống thứ ba có đáp ứng xung là dãy có vô số mẫu nên nó là hệ thống IIR. HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN ĐƯỢC MÔ TẢ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Phần trên ta có thể thấy các hệ thống FIR có thể được thực hiện thông qua một số hữu hạn các bộ cộng, bộ nhân, và bộ nhớ. Do đó, hệ thống FIR dễ dàng có thể thiết kế và thực thi trong thực tế. Tuy nhiên, với hệ thống IIR, việc xây dựng hệ thống thực tế dựa trên công thức tích chập là điều không thể vì nó cần phải có số lượng bộ cộng, bộ nhân, bộ nhớ vô hạn. Câu hỏi nảy sinh một vấn đề là liệu có cách nào khác để thiết lập hệ thống ngoài phương pháp xuất phát từ tích chập. May mắn thay, câu trả lời là có, trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu một cách khác để thực hiện họ hệ thống IIR thực tế và phương pháp tính toán hiệu quả chúng. Đó là phương pháp mô tả hệ thống IIR bằng qua dạng phương trình sai phân. Tuy nhiên, trong giới hạn của giáo trình này, chúng ta sẽ đi sâu tìm hiểu một lớp nhỏ của hệ thống dạng này đó là lớp các hệ thống TTBB được mô tả bằng Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Các hệ thống TTBB được mô tả bằng Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng như sau: ∑𝑎𝑘 𝑁 𝑘=0 𝑦(𝑛 − 𝑘) =∑𝑏𝑟𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 (2.114) Trong đó, 𝑎𝑘 và 𝑏𝑟 là các hằng số, 𝑎0 ≠ 0 . 𝑁 là bậc của hệ thống. Ta gọi hệ thống trên là hệ thống TTBB bậc N. Ta cũng có thể biểu diễn phương trình trên theo một cách khác như sau: 𝑎0𝑦(𝑛) +∑𝑎𝑘 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛 − 𝑘) =∑𝑏𝑟𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 Chuyển vế ta có 𝑎0𝑦(𝑛) =∑𝑏𝑟𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 −∑𝑎𝑘 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛 − 𝑘) Chia cả hai vế của phương trình trên cho 𝑎0 ta được: 𝑦(𝑛) =∑ 𝑏𝑟 𝑎0 𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 −∑ 𝑎𝑘 𝑎0 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛) =∑𝑏𝑟 ′𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 −∑𝑎′𝑘 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛 − 𝑘) (2.115) Trong đó, 𝑏𝑟 𝑎0 = 𝑏𝑟 ′ , 𝑎𝑘 𝑎0 = 𝑎𝑘 ′ , 𝑎0 ≠ 0 Nếu xét hệ thống tại một thời điểm 𝑛 = 𝑛0, ta có đáp ứng ra tại thời điểm này như sau: 𝑦(𝑛0) =∑𝑏𝑟 ′𝑥(𝑛0 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 −∑𝑎′𝑘 𝑁 𝑘=1 𝑦(𝑛0 − 𝑘) Như vậy, đáp ứng ra của hệ thống tại thời điểm 𝑛 = 𝑛0 bất kỳ phụ thuộc vào đáp ứng ra tại các thời điểm trước đó. Hệ thống như vậy ta gọi là hệ thống đệ quy. Về mặt thực hiện hệ thống, hệ thống đệ quy cần phải có nhánh hồi tiếp để đưa tín hiệu ra tại các thời điểm quá khứ vào hệ thống và thực thi các tác động lên nó (Hình 2-26(b)). Trường hợp đặc biệt, nếu các hệ số 𝑎𝑘 ′ của phương trình (2.115) đều bằng không, lúc đó phương trình trở thành: 𝑦(𝑛) =∑𝑏𝑟 ′𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 (2.116) Lúc này, đáp ứng ra chỉ phụ thuộc vào kích thích vào mà không phụ thuộc vào đầu ra tại các thời điểm trước đó nên hệ thống không cần nhánh hồi tiếp. Hệ thống này được gọi là hệ thống không đệ quy (Hình 2-26(a)) Hình 2-26 Sơ đồ khối hệ thống không đệ quy (a) và hệ thống đệ quy (b) Giải Phương trình Sai phân Tuyến tính Hệ số hằng Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mô tả mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ thống TTBB. Phần này, chúng ta sẽ xác định đầu ra 𝑦(𝑛) với một đầu vào 𝑥(𝑛) nhất định dựa trên mối quan hệ trên. Các phương pháp được giới thiệu trong phần này gọi là phương pháp trực tiếp. Đến Chương 3, chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giải hệ thống khác thông qua biến đổi Z được gọi là phương pháp gián tiếp. Có hai phương pháp thường được sử dụng với hệ thống TTBB được mô tả dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là phương pháp thế và phương pháp tổng quát. Phương pháp thế khá dễ hiểu và dễ thực hiện, tuy nhiên chỉ phù hợp với các hệ thống bậc thấp (bậc một). Với các hệ thống bậc cao hơn, phương pháp này bộc lộ nhiều nhược điểm. Phương pháp tổng quát cho phép chúng ta có thể giải quyết bài toán với các hệ thống bậc cao bất kỳ. Chúng ta đi vào từng phương pháp dưới đây: 1. Phương pháp thế Ở đây, chúng tôi xin trình bày phương pháp này với hệ thống bậc một, việc giải hệ thống bậc hai hoặc cao hơn cũng có thể sử dụng phương pháp này và thực hiện tương tự, tuy nhiên việc tìm ra được dạng chung của tín hiệu kết quả khá là khó khăn và phức tạp nên không được khuyến khích. Giả thiết rằng chúng ta có một hệ thống đệ quy với phương trình vào-ra như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑦(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛) với 𝑎 là hằng số (2.117) Đây là hệ thống bậc nhất với sơ đồ khối như trong Hình 2-27. Hình 2-27 Sơ đồ khối hệ thống đệ quy bậc nhất Bây giờ, giả thiết rằng chúng ta cho một tín hiệu vào 𝑥(𝑛) vào hệ thống với 𝑛 ≥ 0. Chúng ta cần xác định đáp ứng ra của hệ thống tại các thời điểm 𝑛 ≥ 0. Đáp ứng ra của hệ thống tại các thời điểm trước đó 𝑦(−1), 𝑦(−2), là các điều kiện đầu. Thế các giá trị 𝑛 ≥ 0 vào ta có: 𝑦(0) = 𝑎𝑦(−1) + 𝑥(0) 𝑦(1) = 𝑎𝑦(0) + 𝑥(1) = 𝑎2𝑦(−1) + 𝑎𝑥(0) + 𝑥(1) 𝑦(2) = 𝑎𝑦(1) + 𝑥(2) = 𝑎3𝑦(−1) + 𝑎2𝑥(0) + 𝑎𝑥(1) + 𝑥(2) ⋮ ⋮ 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛+1𝑦(−1) + 𝑎𝑛𝑥(0) + 𝑎𝑛−1𝑥(1) + ⋯+ 𝑎𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛) viết gọn hơn: 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛+1𝑦(−1) +∑𝑎𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑛 ≥ 0 (2.118) Đáp ứng ra 𝑦(𝑛) của hệ thống trong vế phải phương trình (2.118) gồm hai phần. Phần đầu tiên chứa 𝑦(−1), tức là thành phần phụ thuộc vào điều kiện đầu của hệ thống. Phần thứ hai là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào 𝑥(𝑛). Nếu 𝑦(−1) = 0, đáp ứng ra của hệ thống như sau 𝑦(𝑛) = ∑𝑎𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑛 ≥ 0 (2.119) Giả sử, ta cho xung 𝛿(𝑛) đi vào hệ thống, ta được đầu ra: đáp ứng xung của hệ thống như sau: ℎ(𝑛) = ∑𝑎𝑘𝛿(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑛 ≥ 0 (2.120) ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) + 𝑎𝛿(𝑛 − 1) + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝛿(1) + 𝑎𝑛𝛿(0) 𝑛 ≥ 0 Thế các giá trị của 𝑛 vào, ta có: ℎ(0) = 𝑎0𝛿(0) = 1 ℎ(1) = 𝛿(1) + 𝑎1𝛿(0) = 𝑎1 ℎ(2) = 𝛿(2) + 𝑎1𝛿(1) + 𝑎2𝛿(0) = 𝑎2 ⋮ ⋮ Như vậy, tổng quát ta có thể viết ℎ(𝑛) như sau: ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛 với 𝑛 ≥ 0 (2.121) hay ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) Ta có thể thấy hệ thống trên nhân quả. Từ đây, chúng ta có thể có hai cách để xác định đáp ứng ra 𝑦(𝑛). Cách thứ nhất là phương pháp thế như ở trên. Cách thứ hai ta có thể xác định ℎ(𝑛), sau đó sử dụng tích chập để tính đáp ứng ra như trước đây. Ta theo dõi ví dụ sau: VÍ DỤ 2.17 Cho hệ thống TTBB bậc nhất như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 1 2 𝑦(𝑛 − 1) (2.122) Biết điều kiện đầu của hệ thống là 𝑦(−1) = 0 a. Xác định đáp ứng xung của hệ thống b. Xác định đáp ứng ra 𝑦(𝑛) với 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛) c. Xét xem hệ thống có nhân quả, ổn định không? Lời giải. Từ phương trình hệ thống (2.122), ta có sơ đồ hệ thống như sau Hình 2-28 Sơ đồ hệ thống ví dụ 2.17 a. Đáp ứng xung của hệ thống được xác định bằng cách cho tín hiệu xung đơn vị đi vào hệ thống. Đầu ra của hệ thống khi đó là đáp ứng xung ℎ(𝑛). Từ hệ thống trong Hình 2-28, ta có: ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) + 1 2 ℎ(𝑛 − 1) Do điều kiện đầu: 𝑦(−1) = 0, ta có: ℎ(−1) = 0. Sử dụng phương pháp thế: Với 𝑛 = 0 ℎ(0) = 𝛿(0) + 1 2 ℎ(−1) Ta cần nhớ lại rằng dãy 𝛿(𝑛) = 1 với 𝑛 = 0, còn lại là bằng không. Do đó: Với 𝑛 = 0 ℎ(0) = 1 Với 𝑛 = 1 ℎ(1) = 𝛿(1) + 1 2 ℎ(0) = 1 2 × 1 = 1 2 Với 𝑛 = 2 ℎ(2) = 𝛿(2) + 1 2 ℎ(1) = 1 2 × 1 2 × 2 = ( 1 2 ) 2 Với 𝑛 = 3 ℎ(3) = 𝛿(3) + 1 2 ℎ(2) = 1 2 × 2( 1 2 ) 2 = ( 1 2 ) 3 ⋮ ⋮ Như vậy, ta dễ dàng thấy được ℎ(𝑛) = ( 1 2 ) 𝑛 với 𝑛 ≥ 0 hay ℎ(𝑛) = ( 1 2 ) 𝑛 𝑢(𝑛) b. Tương tự, ta cũng sử dụng phương pháp thế với đáp ứng ra, ta được: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 1 2 𝑦(𝑛 − 1) Với điều kiện đầu: 𝑦(−1) = 0, thế các giá trị 𝑛 ≥ 0, ta được: Với 𝑛 = 0 𝑦(0) = 𝑥(0) + 1 2 𝑦(−1) = 1 Với 𝑛 = 1 𝑦(1) = 𝑥(1) + 1 2 𝑦(0) = 1 + 1 2 × 1 Với 𝑛 = 2 𝑦(2) = 𝑥(2) + 1 2 𝑦(1) = 1 + 1 2 (1 + 1 2 × 1) = 1 + 1 2 + ( 1 2 ) 2 Với 𝑛 = 3 𝑦(3) = 𝑥(3) + 1 2 𝑦(2) = 1 + 1 2 [1 + 1 2 + ( 1 2 ) 2 ] = 1 + 1 2 + ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 3 ⋮ ⋮ Vậy: 𝑦(𝑛) =∑( 1 2 ) 𝑛𝑛 0 = 1 − ( 1 2) 𝑛+1 1 − 1 2 = 2 − ( 1 2 ) 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 (2.123) c. Để xác định hệ thống TTBB nhân quả và ổn định không ta dựa trên đáp ứng xung của hệ thống. Rõ ràng, ℎ(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0 nên hệ thống nhân quả. Xét tính ổn định của hệ thống: theo (2.113) ta có: 𝑆ℎ ≡ ∑ |ℎ(𝑘)| ∞ 𝑘=−∞ = ∑ 2( 1 2 ) 𝑘 𝑢(𝑘) ∞ 𝑘=−∞ = 2∑( 1 2 ) 𝑘∞ 𝑘=0 = 2 1 − 1 2 = 4 Như vậy, 𝑆ℎ là số hữu hạn nên hệ thống ổn định. Với ví dụ trên, chúng ta thấy được việc giải hệ thống IIR bậc nhất tương đối đơn giản. Tuy nhiên, với các hệ thống bậc cao hơn chúng ta cần một phương pháp tổng quát khác. 2. Phương pháp tổng quát Phương pháp này còn được gọi là phương pháp giải trực tiếp để phân biệt với các phương pháp giải gián tiếp khác mà ta sẽ được học trong các chương sau. Về cơ bản, mục đích của việc giải phương trình hệ thống là để xác định đầu ra 𝑦(𝑛), với 𝑛 ≥ 0 của hệ thống tương ứng với đầu vào 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ 0 và một tập các điều kiện đầu đã biết. Nghiệm tổng quát 𝑦(𝑛) là tổng của hai thành phần: 𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ(𝑛) + 𝑦𝑝(𝑛) Trong đó, 𝑦ℎ(𝑛) là nghiệm thuần nhất, 𝑦𝑝(𝑛) là nghiệm riêng. Nhắc lại công thức phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng (SP TT HSH) của hệ thống TTBB trong (2.114) như sau: ∑𝑎𝑘 𝑁 𝑘=0 𝑦(𝑛 − 𝑘) =∑𝑏𝑟𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 Tìm nghiệm thuần nhất của phương trình sai phân. Ta có phương trình thuần nhất của hệ thống trên là: ∑𝑎𝑘 𝑁 𝑘=0 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 0 (2.124) Nghiệm thuần nhất 𝑦ℎ(𝑛) của phương trình trên có dạng hàm mũ, như sau: 𝑦ℎ(𝑛) = 𝜆 𝑛 (2.125) Thế vào (2.124), ta được: ∑𝑎𝑘𝜆 𝑛−𝑘 𝑁 𝑘=0 = 0 nếu ta viết cụ thể ra như sau: 𝑎0𝜆 𝑛 + 𝑎1𝜆 𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑁𝜆 𝑛−𝑁 = 0 𝜆𝑛−𝑁(𝑎0𝜆 𝑁 + 𝑎1𝜆 𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁) = 0 (2.126) Đa thức trong dấu ngoặc đơn ở trên được gọi là đa thức đặc trưng của hệ thống. Đa thức trên bậc 𝑁 nên nó sẽ có 𝑁 nghiệm: 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, , 𝜆𝑁. Các nghiệm này có thể là số thực hoặc số phức. Trong thực tế các hệ số 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, , 𝑎𝑁 thường là các số thực nên nếu đa thức có nghiệm phức thì bao giờ cũng xuất hiện dưới dạng cặp nghiệm liên hiệp phức. Các nghiệm có thể là nghiệm đơn hoặc nghiệm bậc cao. Giả sử đa thức có 𝑁 nghiệm riêng biệt, tức là không có nghiệm bậc cao, nghiệm thuần nhất 𝑦ℎ(𝑛) sẽ có dạng như sau 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1𝜆1 𝑛 + 𝐶2𝜆2 𝑛 + ⋯+ 𝐶𝑁𝜆𝑁 𝑛 (2.127) trong đó 𝐶1, 𝐶2, , 𝐶𝑁 là các hệ số. Các hệ số này được xác định thông qua các điều kiện đầu của hệ thống. Để dễ theo dõi, chúng ta có một số ví dụ ở từng bước: VI DỤ 2.18 Tìm nghiệm thuần nhất của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân bậc nhất sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 1 2 𝑦(𝑛 − 1) (2.128) Lời giải. Ta có phương trình thuần nhất: 𝑦(𝑛) − 1 2 𝑦(𝑛 − 1) = 0 Giả sử nghiệm thuần nhất của phương trình trên có dạng 𝑦ℎ(𝑛) = 𝜆 𝑛. Thế vào phương trình trên ta được: 𝜆𝑛 − 1 2 𝜆𝑛−1 = 0 𝜆𝑛−1(𝜆 − 1 2 ) = 0 𝜆 = 1 2 Vậy nghiệm của phương trình thuần nhất là: 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶𝜆 𝑛 = 𝐶 ( 1 2 ) 𝑛 (2.129) Với hệ số 𝐶 chúng ta sẽ xác định dựa trên các điều kiện đầu của hệ thống, ta sẽ thực hiện ở phần sau. VÍ DỤ 2.19 Xác định nghiệm thuần nhất của hệ thống TTBB có phương trình thuần nhất như sau: 𝑦(𝑛)– 3𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑦(𝑛 − 2) = 0 (2.130) Lời giải. Giả sử nghiệm thuần nhất của phương trình trên có dạng 𝑦ℎ(𝑛) = 𝜆 𝑛. Thế vào phương trình trên ta được: 𝜆𝑛 − 3𝜆𝑛−1 + 2𝜆𝑛−2 = 0 𝜆𝑛−2(𝜆2 − 3𝜆 + 2) = 0 Ta có, nghiệm 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2, vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1𝜆1 𝑛 + 𝐶2𝜆2 𝑛 = 𝐶11 𝑛 + 𝐶22 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛 (2.131) Với 𝐶1 và 𝐶2 là các hệ số được tính dựa trên các điều kiện đầu Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội: giả sử 𝜆1 là nghiệm bội bậc 𝑚, nghiệm thuần nhất 𝑦ℎ(𝑛) có dạng như sau: 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1𝜆1 𝑛 + 𝐶2𝑛𝜆1 𝑛 + 𝐶3𝑛 2𝜆1 𝑛 +⋯+ 𝐶𝑚𝑛 𝑚−1𝜆1 𝑛 +𝐶𝑚+1𝜆𝑚+1 𝑛 + ⋯+ 𝐶𝑁𝜆𝑁 𝑛 (2.132) Ví dụ, giả sử đa thức đặc trưng có một nghiệm bội bậc hai 𝜆1 = 2 và một nghiệm đơn 𝜆2 = 3. Nghiệm thuần nhất 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶12 𝑛 + 𝐶2𝑛2 𝑛 + 𝐶23 𝑛 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân. Thành phần nghiệm riêng 𝑦𝑝(𝑛) phải thỏa mãn phương trình sai phân (2.114) với một đầu vào cụ thể 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ 0. Nói cách khác, 𝑦𝑝(𝑛) phải thoả mãn: ∑𝑎𝑘𝑦𝑝(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=0 =∑𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (2.133) Nghiệm riêng 𝑦𝑝(𝑛) có dạng phụ thuộc vào dạng của đầu vào 𝑥(𝑛). Xem ví dụ dưới đây để thấy rõ hơn điều này VÍ DỤ 2.20 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân bậc nhất. 𝑦(𝑛) − 1 2 𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) (2.134) với đầu vào 𝑥(𝑛) là dãy nhảy đơn vị: 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛) Lời giải. Dạng của 𝑦𝑝(𝑛) phụ thuộc vào 𝑥(𝑛) như trong Bảng 2-1. Do 𝑥(𝑛) có giá trị bằng 1 với 𝑛 ≥ 0, không phụ thuộc vào 𝑛, vậy dạng của 𝑦𝑝(𝑛) như sau: 𝑦𝑝(𝑛) = 𝐾𝑢(𝑛) trong đó 𝐾 là hằng số tỷ lệ phải thỏa mãn phương trình (2.134). Thế 𝑦𝑝(𝑛) vào (2.134), ta có 𝐾𝑢(𝑛) − 1 2 𝐾𝑢(𝑛 − 1) = 𝑢(𝑛) Để xác định K, ta thế một giá trị 𝑛 bất kỳ, chú ý rằng không được để thành phần nào bị triệt tiêu. Như vậy trong trường hợp này, ta phải chọn 𝑛 sao cho 𝑛 ≥ 1. Ta có: 𝐾 + 1 2 𝐾 = 1 𝐾 = 1 1 − 1 2 = 2 Vậy, nghiệm riêng của phương trình sai phân là: 𝑦𝑝(𝑛) = 2𝑢(𝑛) (2.135) Nghiệm riêng của hệ thống có dạng phụ thuộc vào tín hiệu vào 𝑥(𝑛) như trong Bảng 2-1 Bảng 2-1 Dạng chung của Nghiệm riêng ứng với một số dạng tín hiệu vào Tín hiệu vào 𝑥(𝑛) Nghiệm riêng 𝑦𝑝(𝑛) A (hằng số) K 𝐴𝑀𝑛 𝐾𝑀𝑛 𝐴𝑛𝑀 𝐾0𝑛 𝑀 + 𝐾1𝑛 𝑀−1 +⋯+ 𝐾𝑀 { 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛 } 𝐾1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 + 𝐾2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛 Ta xét thêm một ví dụ sau: VÍ DỤ 2.21 Tính nghiệm riêng của phương trình sai phân sau: 𝑦(𝑛) = 3𝑦(𝑛 − 1) − 2𝑦(𝑛 − 2) + 𝑥(𝑛) (2.136) với tín hiệu vào 𝑥(𝑛) = 2𝑛, 𝑛 ≥ 0 và bằng 0 tại các thời điểm còn lại. Lời giải. Do 𝑥(𝑛) trùng với một nghiệm thuần nhất như trong Ví dụ 2.19, nên dạng của nghiệm riêng là: 𝑦𝑝(𝑛) = 𝐾𝑛2 𝑛, 𝑛 ≥ 0 hay 𝑦𝑝(𝑛) = 𝐾𝑛2 𝑛𝑢(𝑛) Bằng cách thay 𝑦𝑝(𝑛) vào phương trình sai phân, ta có 𝐾𝑛2𝑛𝑢(𝑛) = 3𝐾(𝑛 − 1)2𝑛−1𝑢(𝑛 − 1) − 2𝐾(𝑛 − 2)2𝑛−2𝑢(𝑛 − 2) + 2𝑛𝑢(𝑛) Để xác định giá trị của K, ta có thể thế một giá trị 𝑛 ≥ 3 bất kỳ vào phương trình trên để đảm bảo không có thành phần nào bị triệt tiêu. Thế 𝑛 = 3, ta có 24 = 24𝐾 − 4𝐾 + 8 vậy, 𝐾 = 2. Ta có, nghiệm riêng là 𝑦𝑝(𝑛) = 2𝑛2 𝑛𝑢(𝑛) (2.137) Bước cuối cùng, ta xác định nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng cách tổng hợp hai nghiệm trên. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân. Do hệ thống mô tả dưới dạng phương trình sai phân hệ số hằng có tính tuyến tính nên ta hoàn toàn có thể cộng nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng để thu được nghiệm tổng quát. Ta có 𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ(𝑛) + 𝑦𝑝(𝑛) Việc cuối cùng là ta cần xác định các hệ số {𝐶𝑖} của nghiệm thuần nhất 𝑦ℎ(𝑛). Các hệ số này được xác định thông qua các điều kiện ban đầu của hệ thống. Ta xét ví dụ sau VÍ DỤ 2.22 Xác định nghiệm tổng quát 𝑦(𝑛), với 𝑛 ≥ 0 của phương trình sai phân 𝑦(𝑛) − 1 2 𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) (2.138) với 𝑥(𝑛) là dãy nhảy đơn vị [nghĩa là 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛)] và 𝑦(−1) là điều kiện ban đầu Lời giải. Từ phương trình (2.129) của Ví dụ 2.18, ta có nghiệm thuần nhất là 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶 ( 1 2 ) 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 và từ phương trình (2.135) của Ví dụ 2.20, nghiệm riêng là 𝑦𝑝(𝑛) = 2𝑢(𝑛) Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là 𝑦(𝑛) = 𝐶 ( 1 2 ) 𝑛 + 2𝑢(𝑛), 𝑛 ≥ 0 (2.139) Ta cần xác định C thông qua điều kiện đầu y(-1). Để tính C, ta xét phương trình (2.138) tại 𝑛 = 0, ta có 𝑦(0) − 1 2 𝑦(−1) = 1 do đó 𝑦(0) = 1 + 1 2 𝑦(−1) Mặt khác, thế 𝑛 = 0 vào phương trình (2.139) ta có 𝑦(0) = 𝐶 + 2 từ hai phương trình trên 𝐶 + 2 = 1 − 1 2 𝑦(−1) 𝐶 = −1 − 1 2 𝑦(−1) Cuối cùng, ta có: 𝑦(𝑛) = − [1 + 1 2 𝑦(−1)] ( 1 2 ) 𝑛 + 2𝑢(𝑛) 𝑛 ≥ 0 (2.140) Giả sử, 𝑦(−1) = 0, ta có: 𝑦(𝑛) = − ( 1 2 ) 𝑛 + 2𝑢(𝑛) 𝑛 ≥ 0 Ta thấy rằng kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả (2.123) của Ví dụ 2.17 Ta tiếp tục tham khảo ví dụ các bước tính nghiệm tổng quát của hệ thống đệ quy bậc hai. VI DỤ 2.23 Tính toán đáp ứng ra 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ 0 của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân 𝑦(𝑛) = 3𝑦(𝑛 − 1) − 2𝑦(𝑛 − 2) + 𝑥(𝑛) (2.141) với dãy đầu vào là: 𝑥(𝑛) = 2𝑛𝑢(𝑛) và điều kiện đầu 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = 0 Lời giải. Chúng ta đã tìm được nghiệm thuần nhất của phương trình sai phân ở trong Ví dụ 2.19 như sau: 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛, 𝑛 ≥ 0 Nghiệm riêng của hệ thống sẽ có dạng tương ứng với 𝑥(𝑛). Tuy nhiên, do 2𝑛 đã nằm trong nghiệm thuần nhất, nên dạng của nghiệm riêng lúc này sẽ được xử lý giống như trường hợp nghiệm bội. Điều này đã được thực hiện trong Ví dụ 2.21, ta có nghiệm riêng (2.137): 𝑦𝑝(𝑛) = 2𝑛2 𝑛𝑢(𝑛) Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thu được là: 𝑦(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛 + 2𝑛2𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.142) Trong đó các hằng số C1 và C2 được xác định thông qua các điều kiện đầu. Để thực hiện việc này, chúng ta thế 𝑛 = 0 và 𝑛 = 1 vào (2.141) 𝑦(0) = 3𝑦(−1) − 2𝑦(−2) + 1 = 1 𝑦(1) = 3𝑦(0) − 2𝑦(−1) + 2 = 5 Mặt khác, từ (2.142) với 𝑛 = 0 và 𝑛 = 1, ta có: 𝑦(0) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑦(1) = 𝐶1 + 2𝐶2 + 4 Giải hệ phương trình, ta có: 𝐶1 = 1 𝐶2 = 0 Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình SP TT HSH (2.141) là: 𝑦(𝑛) = 1 + 2𝑛2𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.143) Đáp ứng xung của hệ thống TTBB được mô tả dưới dạng phương trình SP TT HSH. a. Hệ thống không đệ quy Ta có định nghĩa hệ thống không đệ quy trong công thức (2.116) như sau: 𝑦(𝑛) =∑𝑏𝑟𝑥(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 (2.144) Ta đã biết, đáp ứng xung của hệ thống TTBB chính là đáp ứng của hệ thống ứng với đầu vào là xung đơn vị [𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛)]. Như vậy, với hệ thống trên, ta có đáp ứng xung như sau ℎ(𝑛) =∑𝑏𝑟𝛿(𝑛 − 𝑟) 𝑀 𝑟=0 (2.145) Đáp ứng xung ℎ(𝑛) chỉ có hữu hạn xung (𝑀+ 1 xung), do vậy hệ thống không đệ quy là hệ thống FIR. Ngoài ra, ta cũng sẽ dễ dàng chứng minh được hệ thống không đệ quy là hệ thống ổn định. Ta theo dõi ví dụ sau: VÍ DỤ 2.24 Cho hệ thống TTBB được mô tả như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 1 2 𝑥(𝑛 − 1) + 3𝑥(𝑛 − 2) Xác định đáp ứng xung của hệ thống trên. Hệ thống trên là hệ thống FIR hay IIR ? Lời giải Dễ thấy hệ thống trên là hệ thống không đệ quy, đáp ứng xung của hệ thống là: ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) + 1 2 𝛿(𝑛 − 1) + 3𝛿(𝑛 − 2) Ta có thể biểu diễn dạng dãy như sau: ℎ(𝑛) = {1 ↑ , 1 2 , 3} Từ đáp ứng xung ℎ(𝑛) trên, ta thấy được hệ thống này nhân quả và 𝑆ℎ = 4 1 2 là hữu hạn nên hệ thống ổn định. b. Hệ thống đệ quy Với hệ thống đệ quy, việc xác định đáp ứng xung sẽ được thực hiện bằng phương pháp tổng quát ta đã thực hiện ở trên. Nghĩa là ta sẽ giải phương trình hệ thống để xác định đáp ứng ra với kích thích vào là xung đơn vị [𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛)]. Tuy nhiên, do 𝑥(𝑛) = 0 với 𝑛 > 0 nên thành phần nghiệm riêng của hệ thống bằng không. Như vậy, trong trường hợp này, nghiệm tổng quát sẽ bằng thành phần nghiệm thuần nhất. Ta sẽ dựa vào các điều kiện đầu của hệ thống để xác định các hệ số {𝐶𝑘}. Ví dụ sau minh họa điều này: VI DỤ 2.25 Tính đáp ứng xung ℎ(𝑛) của hệ thống được mô tả bằng phương trình sai phân bậc hai sau đây: 𝑦(𝑛) − 3𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑦(𝑛 − 2) = 𝑥(𝑛) (2.146) với điều kiện đầu 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = 0 Lời giải. Như ta có trong Ví dụ 2.19, nghiệm thuần nhất của hệ thống này là 𝑦ℎ(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛, 𝑛 ≥ 0 Vì 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛) nên 𝑦𝑝(𝑛) = 0, do đó: ℎ(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.147) Ta cần xác định 𝐶1 và 𝐶2. Từ (2.146) ta có: ℎ(𝑛) − 3ℎ(𝑛 − 1) + 2ℎ(𝑛 − 2) = 𝛿(𝑛) thế 𝑛 = 0 và 𝑛 = 1 và 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = 0, ta được ℎ(0) = 1 ℎ(1) = 3ℎ(0) = 3 Mặt khác, từ phương trình (2.147) thế 𝑛 = 0 và 𝑛 = 1 ta có ℎ(0) = 𝐶1 + 𝐶2 = 1 ℎ(1) = 𝐶1 + 2𝐶2 = 3 Giải hệ phương trình trên, ta có 𝐶1 = −1, 𝐶2 = 2 Từ đó, đáp ứng xung của hệ thống là: ℎ(𝑛) = [−1 + 2𝑛+1]𝑢(𝑛) Với hệ thống được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính bậc N như (2.114), nghiệm của phương trình thuần nhất là 𝑦ℎ(𝑛) = ∑𝐶𝑘𝜆𝑘 𝑛 𝑁 𝑘=1 giả sử phương trình đặc trưng có N nghiệm {𝜆𝑘} riêng biệt. Vậy đáp ứng xung của hệ thống có dạng như sau: ℎ(𝑛) = ∑𝐶𝑘𝜆𝑘 𝑛 𝑁 𝑘=1 (2.148) với các tham số {𝐶𝑘} được xác định qua các điều kiện đầu 𝑦(−1) = ⋯ = 𝑦(−𝑁) = 0. Với dạng này của ℎ(𝑛), ta có thể dễ dàng xét tính ổn định của hệ thống bậc N thông qua điều kiện (2.113) như sau: 𝑆ℎ = ∑|ℎ(𝑛)| ∞ 𝑛=0 =∑ |∑𝐶𝑘𝜆𝑘 𝑛 𝑁 𝑘=1 | ∞ 𝑛=0 ≤∑|𝐶𝑘| 𝑁 𝑘=1 ∑|𝜆𝑘| 𝑛 ∞ 𝑛=0 Bây giờ nếu |𝜆𝑘| < 1 với mọi k thì ∑|𝜆𝑘| 𝑛 ∞ 𝑛=0 < ∞ do đó ∑|ℎ(𝑛)| ∞ 𝑛=0 < ∞ vậy, hệ thống ổn định. Ngược lại, nếu chỉ cần duy nhất một hoặc nhiều nghiệm |𝝀𝒌| ≥ 𝟏, ℎ(𝑛) sẽ không khả tổng tuyệt đối, do vậy hệ thống sẽ không ổn định. Do vậy, điều kiện cần và đủ để một hệ thống IIR nhân quả được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng ổn định là tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng phải có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một. Các hệ thống có nghiệm bội bậc 𝑚 cũng có kết quả tương tự. Từ (2.148) ta cũng thấy rõ rằng hệ thống đệ qui được mô tả dưới dạng phương trình sai phân, tuyến tính, hệ số hằng là hệ thống IIR. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Nghĩa là, hệ thống đệ quy được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng chỉ là một lớp con trong lớp các hệ thống IIR tuyến tính bất biến thời gian. THỰC HIỆN CAC HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC Trong thực tế, việc thiết kế và thực hiện các hệ thống thường được các nhà nghiên cứu tiến hành cùng một thời điểm. Thông thường, việc thiết kế hệ thống phụ thuộc vào phương pháp thực hiện và một số yếu tố ràng buộc nhất định ví dụ như: giá cả, thiết bị phần cứng, yêu cầu về kích cỡ và các yêu cầu về công suất. Ở đây, chúng ta chưa tập trung giải quyết các vấn đề phức tạp đó. Tuy nhiên, ta sẽ đi vào một phương pháp cơ bản để thực hiện một hệ thống TTBB được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Phần trên ta đã thấy, hệ thống bao gồm một tập hợp các tác động lên tín hiệu vào để thu được một đáp ứng ra tương ứng. Các tác động này được mô hình hóa thông qua các khối đã được học trong phần 2.2.2. Từ các khối này, chúng ta có thể thiết kế thành các dạng sơ đồ biểu diễn hệ thống, hỗ trợ cho việc thực hiện hệ thống qua phần cứng và phần mềm. Trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát hóa sơ đồ biểu diễn cho tất cả các hệ thống tuyến tính bất biến thời gian được mô tả dưới dạng phương trình sai phân, tuyến tính hệ số hằng như sau: 𝑦(𝑛) = −∑𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 +∑𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (2.149) Sơ đồ tổng quát của hệ thống trên như trong Hình 2-29. Dạng sơ đồ này được gọi là sơ đồ dạng chính tắc I của hệ thống. Ta có một số nhận xét như sau: • Sơ đồ này gồm 𝑀+𝑁 bộ trễ và 𝑁 +𝑀 + 1 các bộ nhân. • Sơ đồ này gồm hai hệ thống nhỏ mắc nối tiếp với nhau. Hệ thống thứ nhất là hệ thống không đệ quy có phương trình: 𝑣(𝑛) = ∑𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 hệ thống thứ hai có phương trình: 𝑦(𝑛) = −∑𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 + 𝑣(𝑛) Phần 2.2.4 ta đã biết, với hai hệ thống mắc nối tiếp ta có thể đảo thứ tự của chúng, khi đó ta thu được sơ đồ khối dạng chính tắc II như trong Hình 2-30 với giả thiết 𝑁 > 𝑀. Với sơ đồ khối dạng II ta chỉ cần sử dụng 𝑁 bộ trễ, tiết kiệm hơn so với dạng I. Ta có ví dụ sau: N > M VI DỤ 2.26 Vẽ sơ đồ hệ thống dạng chính tắc I và II của hệ thống sau: Hình 2-29 Sơ đồ khối dạng trực tiếp I của hệ thống (2.149) Hình 2-30 Sơ đồ khối dạng trực tiếp II của hệ thống (2.149) 𝑦(𝑛) − 3𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑦(𝑛 − 2) = 𝑥(𝑛) + 2𝑥(𝑛 − 1) (2.150) Lời giải. Ta có thể viết lại phương trình mô tả hệ thống trên như sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 2𝑥(𝑛 − 1) + 3𝑦(𝑛 − 1) − 2𝑦(𝑛 − 2) Ta có sơ đồ dạng chính tắc I: Hình 2-31 Sơ đồ khối dạng chính tắc I và dạng chính tắc II: Hình 2-32 Sơ đồ khối dạng chính tắc II Như ta thấy, sơ đồ khối dạng chính tắc I cần ba bộ trễ nhưng với sơ đồ dạng chính tắc II ta chỉ cần hai bộ trễ. PHÉP TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC TÍN HIỆU Trong phần này, chúng ta làm quen với phép tương quan tín hiệu. Phép toán này gần giống với phép tính tích chập. Mục đích của phép tương quan giữa hai tín hiệu là để đo độ giống nhau giữa hai tín hiệu và từ đó trích xuất ra các thông tin cần thiết tùy thuộc vào từng ứng dụng. Tương quan tín hiệu thường được sử dụng trong radar, sonar, truyền thông số, thông tin địa lý và một số lĩnh vực khác trong khoa học và kỹ thuật. Giả thiết chúng ta có hai tín hiệu 𝑥(𝑛), 𝑦(𝑛) cần phải so sánh. Trong các thiết bị radar và sonar, 𝑥(𝑛) là tín hiệu rời rạc của tín hiệu được phát đi và 𝑦(𝑛) là dạng rời rạc hóa của tín hiệu thu được. Radar là một thiết bị giám sát các đối tượng lạ xuất hiện trong một không gian nhất định mà nó kiểm soát. Nếu một vật thể lạ xuất hiện trong khoảng không gian này, tín hiệu được truyền đi [𝑥(𝑛)] sẽ đập vào đối tượng và phản xạ lại đài quan sát. Đài quan sát thu tín hiệu này [𝑦(𝑛)], tuy nhiên so với tín hiệu ban đầu, nó sẽ bao gồm trễ truyền và phản xạ, nhiễu và tạp âm. Hình 2-33 minh họa hoạt động của radar phát hiện mục tiêu. Chúng ta biểu diễn tín hiệu thu được như sau: 𝑦(𝑛) = 𝛼𝑥(𝑛 − 𝐷) + 𝑤(𝑛) (2.151) trong đó 𝛼 là hệ số tỷ lệ, thể hiện sự suy giảm của tín hiệu 𝑥(𝑛) trong quá trình truyền dẫn, 𝐷 là trễ truyền và giả sử 𝐷 bằng số nguyên lần chu kỳ lấy mẫu, 𝑤(𝑛) là nhiễu thu được qua antenna và nhiễu sinh ra trong các thiết bị điện tử, bộ khuếch đại của bộ thu. Trong trường hợp không có mục tiêu xuất hiện trong khoảng không gian kiểm soát bởi radar và sonar, tín hiệu 𝑦(𝑛) thu được chỉ gồm có nhiễu. Hình 2-33 Radar phát hiện mục tiêu Như vậy, vấn đề cần giải quyết ở đây là radar hoặc sonar phải so sánh 𝑥(𝑛) và 𝑦(𝑛) để phát hiện ra liệu mục tiêu xuất hiện hay không, đồng thời tính toán được độ trễ 𝐷 để từ đó suy ra khoảng cách đến mục tiêu. Trong thực tế, 𝑥(𝑛 − 𝐷) bị ảnh hưởng lớn bởi nhiễu nên chúng ta không thể phát hiện ra 𝑥(𝑛) trong 𝑦(𝑛) bằng mắt được mà phải dùng đến phép toán tương quan. Ngoài ra, trong phép tương quan còn được ứng dụng khá nhiều trong một số lĩnh vực truyền thông số khác. Việc thực hiện phép tương quan để so sánh tín hiệu sẽ được trình bày cụ thể trong phần dưới đây. Định nghĩa tương quan chéo và tự tương quan tín hiệu Giả sử chúng ta có hai tín hiệu thực 𝑥(𝑛) và 𝑦(𝑛) với năng lượng hữu hạn. Tương quan chéo của 𝑥(𝑛) và 𝑦(𝑛) là một dãy 𝑟𝑥𝑦(𝑚) được định nghĩa như sau 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚) +∞ 𝑛=−∞ , 𝑚 = 0, ±1,±2, (2.152) hoặc tương đương: 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛 +𝑚)𝑦(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ , 𝑚 = 0, ±1,±2, (2.153) với 𝑚 là tham số, chỉ số dưới 𝑥𝑦 biểu thị tín hiệu được tính tương quan. Ngược lại, ta có công thức tương quan chéo giữa tín hiệu 𝑦(𝑛) với 𝑥(𝑛) được định nghĩa như sau 𝑟𝑦𝑥(𝑚) = ∑ 𝑦(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑚) +∞ 𝑛=−∞ , 𝑚 = 0,±1,±2, (2.154) hoặc tương đương: 𝑟𝑦𝑥(𝑚) = ∑ 𝑦(𝑛 +𝑚)𝑥(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ , 𝑚 = 0,±1,±2, (2.155) So sánh (2.152) và (2.155) hay (2.153) và (2.154), ta thấy rằng: 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = 𝑟𝑦𝑥(−𝑚) (2.156) Do đó, 𝑟𝑦𝑥(𝑚) là dãy đối xứng của dãy 𝑟𝑥𝑦(𝑚) qua trục tung 𝑚 = 0. Vậy 𝑟𝑦𝑥(𝑚) có các thông tin tương tự như 𝑟𝑥𝑦(𝑚), liên quan đến sự giống nhau giữa 𝑥(𝑛) và 𝑦(𝑛) VÍ DỤ 2.27 Tính tương quan chéo 𝑟𝑥𝑦(𝑚) của các dãy sau 𝑥(𝑛) = {3,7, 1 ↑ , 2,3} 𝑦(𝑛) = {2,−2, 2 ↑ , 1,5} Lời giải. Chúng ta sử dụng công thức định nghĩa (2.153) để tính 𝑟𝑥𝑦(𝑚). Với 𝑚 = 0 ta có 𝑟𝑥𝑦(0) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ Dãy tích 𝑣0(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛) như sau 𝑣0(𝑛) = {6,−14, 2 ↑ , 2,15} cộng tất cả các giá trị của 𝑣0(𝑛) ta có 𝑟𝑥𝑦(0) = 11 Với 𝑚 > 0, ta dịch dãy 𝑦(𝑛) sang bên phải so với 𝑥(𝑛) 𝑚 mẫu, tính dãy tích 𝑣𝑚(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚), và cộng tất cả các xung của dãy tích, ta sẽ thu được các giá trị tương ứng của dãy tương quan chéo: 𝑟𝑥𝑦(1) = 19, 𝑟𝑥𝑦(2) = 4, 𝑟𝑥𝑦(3) = −2, 𝑟𝑥𝑦(4) = 6 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = 0, 𝑚 ≥ 5 Với 𝑚 < 0, ta dịch dãy 𝑦(𝑛) sang bên trái so với 𝑥(𝑛) 𝑚 mẫu, tính dãy tích 𝑣𝑚(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚), và cộng tất cả các xung của dãy tích, ta sẽ thu được giá trị của dãy tương quan chéo. 𝑟𝑥𝑦(−1) = 19, 𝑟𝑥𝑦(−2) = 18, 𝑟𝑥𝑦(−3) = 38, 𝑟𝑥𝑦(−4) = 15 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = 0, 𝑚 ≤ −5 Do đó, dãy tương quan của 𝑥(𝑛) và 𝑦(𝑛) là 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = {15,38,18,19, 11 ↑ , 19,4, −2,6} Từ ví dụ trên, ta có thể thấy phép tương quan và phép tích chập khá tương đồng nhau chỉ khác một điểm là phép tương quan không có bước đảo dãy. Do đó, nếu ta có một chương trình tính tích chập, ta có thể sử dụng nó để tính tương quan giữa hai dãy bằng cách đưa vào phần mềm dãy 𝑥(𝑛) và dãy đảo 𝑦(−𝑛), như sau: 𝑟𝑥𝑦(𝑚) = 𝑥(𝑚) ∗ 𝑦(−𝑚) (2.157) Trong trường hợp đặc biệt với 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ta có phép tự tương quan của 𝑥(𝑛) như sau 𝑟𝑥𝑥(𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑚) +∞ 𝑛=−∞ (2.158) tương đương với: 𝑟𝑥𝑥(𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛 +𝑚)𝑥(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ (2.159) VÍ DỤ 2.28 Cho dãy 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 2,3}. Tính dãy tự tương quan 𝑟𝑥𝑥(𝑚) của dãy trên và nhận xét kết quả. Lời giải. Sử dụng công thức (2.158) hoặc (2.159) để tính tự tương quan của tín hiệu ra được: 𝑟𝑥𝑥(𝑚) = {3,8, 14 ↑ , 8,3} Một số nhận xét đối với dãy tự tương quan như sau: dãy tự tương quan là dãy đối xứng và có cực đại tại gốc tọa độ (𝑚 = 0). BÀI TẬP 2.1 Cho tín hiệu rời rạc thời gian như sau: 𝑥(𝑛) = { 1 + 𝑛 3 − 3 ≤ 𝑛 ≤ −1 1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 3 0, 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 a. Tính giá trị và vẽ đồ thị tín hiệu 𝑥(𝑛) b. Thực hiện các tác động sau lên tín hiệu và biểu diễn dưới dang đồ thị: 1. Đầu tiên lấy đối xứng tín hiệu 𝑥(𝑛) sau đó trễ tín hiệu thu được 4 mẫu 2. Đầu tiên trễ tín hiệu 𝑥(𝑛) 4 mẫu sau đó lấy đối xứng tín hiệu thu được c. Vẽ tín hiệu 𝑥(−𝑛 + 4) d. So sánh các kết quả thu được trong câu b. và c. sau đó rút ra quy luật tính tín hiệu 𝑥(−𝑛 + 4) từ tín hiệu 𝑥(𝑛) e. Có thể biểu diễn tín hiệu 𝑥(𝑛) theo tín hiệu 𝛿(𝑛) và 𝑢(𝑛) không? 2.2 Tín hiệu rời rạc thời gian 𝑥(𝑛) được biểu diễn như trong hình P2.2. Biểu diễn các tín hiệu sau: Hình P2.2 a. 𝑥(𝑛 − 2) b. 𝑥(−𝑛 + 4) c. 𝑥(𝑛 + 2) d.𝑥(𝑛)𝑢(2 − 𝑛) e. 𝑥(𝑛 − 1) 𝛿(𝑛 − 3) f. 𝑥(𝑛2) g. Phần chẵn của tín hiệu 𝑥(𝑛) h. Phần lẻ của tín hiệu 𝑥(𝑛) 2.3 Chứng minh rằng bất cứ tín hiệu nào cũng có thể phân tích được thành tổng hai tín hiệu chẵn và lẻ. Việc phân tích này có phải là duy nhất không? Minh họa bằng tín hiệu sau: 𝑥(𝑛) = {2,3, 4 ↑ , 5,6} 2.4 Chứng minh rằng năng lượng (công suất) của một dãy tín hiệu nếu là thực thì nó chính bằng tổng năng lượng (công suất) của thành phần chẵn và lẻ của tín hiệu đó. 2.5 Một hệ thống rời rạc thời gian có thể là: Động hay tĩnh Tuyến tính hay phi tuyến Bất biến hay biến thiên thời gian Nhân quả hay phi nhân quả Ổn định hay không ổn định Kiểm tra xem các hệ thống dưới đây thỏa mãn tính chất nào ở trên: a. 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)] b. 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)cos (𝜔0𝑛) c. 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2) d. 𝑦(𝑛) = |𝑥(𝑛)| e. 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) g. 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑛𝑥(𝑛 + 1) h. 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) 2.6 Hai hệ thống rời rạc thời gian 𝑇1 và 𝑇2 được nối tầng với nhau để tạo ra một hệ thống T mới như trong hình P2.6. Chứng minh hoặc bác bỏ các luận điểm sau: a. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là tuyến tính, thì T cũng tuyến tính (hai hệ thống tuyến tính được nối tầng với nhau tạo ra một hệ thống cũng tuyến tính) b. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là bất biến thời gian, thì T cũng bất biến thời gian c. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là nhân quả, thì T cũng nhân quả d. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là tuyến tính và bất biến thời gian, thì T cũng tuyến tính và bất biến thời gian e. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là tuyến tính và bất biến thời gian, thì đổi chỗ Т1 và T 2 cũng không làm thay đổi hệ thống T f. Giống như câu e với hệ thống 𝑇1 và 𝑇2 là biến thiên thời gian (Gợi ý: sử dụng ví dụ) g. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 là phi tuyến, thì T cũng phi tuyến h. Nếu 𝑇1 và 𝑇2 ổn định, thì T cũng ổn định i. Chứng minh bằng ví dụ để thấy rằng điều ngược lại của câu (c) và (h) chưa chắc đã đúng hoàn toàn. Hình P2.6 2.7 Các cặp tín hiệu vào và ra sau đây thu được qua hệ thống bất biến thời gian 𝑥1(𝑛) = {1 ↑ , 0,2} 𝒯 ↔ 𝑦1(𝑛) = {0 ↑ , 1,2} 𝑥2(𝑛) = {0 ↑ , 0,3} 𝒯 ↔ 𝑦2(𝑛) = {0 ↑ , 1,0,2} 𝑥3(𝑛) = {0 ↑ , 0,0,1} 𝒯 ↔ 𝑦3(𝑛) = {1, 2 ↑ , 1} Hệ thống này có phải là hệ thống tuyến tính không? Nếu đúng, đáp ứng xung của hệ thống bằng bao nhiêu? 2.8 Các cặp tín hiệu vào và ra sau đây thu được qua hệ thống tuyến tính 𝑥1(𝑛) = {−1, 2 ↑ , 1} 𝒯 ↔ 𝑦1(𝑛) = {1, 2 ↑ , −1,0,1} 𝑥2(𝑛) = {1,−1 ↑ , −1} 𝒯 ↔ 𝑦2(𝑛) = {−1, 1 ↑ , 0,2} 𝑥3(𝑛) = {0, 1 ↑ , 1} 𝒯 ↔ 𝑦3(𝑛) = {1 ↑ , 2,1} Hệ thống này có thể là hệ thống bất biến không. 2.11 Thực hiện các câu hỏi sau: a. Nếu 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛), chứng minh rằng ∑ 𝑦(𝑛) =+∞𝑛=−∞ ∑ 𝑥(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ ∑ ℎ(𝑛) +∞ 𝑛=−∞ b. Tính các tích chập sau 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) và kiểm tra lại công thức trong câu a 1. 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 2,4}, ℎ(𝑛) = {1 ↑ , 1,1,1,1} 2. 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 2, −1}, ℎ(𝑛) = 𝑥(𝑛) 3. 𝑥(𝑛) = {0 ↑ , 1, −2,3, −4}, ℎ(𝑛) = { 1 2 ↑ , 1 2 , 1, 1 2 } 4. 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 2,3,4,5}, ℎ(𝑛) = {1 ↑ } 5. 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , −2,3}, ℎ(𝑛) = {0 ↑ , 0,1,1,1,1} 6. 𝑥(𝑛) = {0 ↑ , 0,1,1,1,1}, ℎ(𝑛) = {1, −2 ↑ , 3} 7. 𝑥(𝑛) = {0 ↑ , 1,4, −3}, ℎ(𝑛) = {1 ↑ , 0, −1,−1} 8. 𝑥(𝑛) = {1 ↑ , 1,2}, ℎ(𝑛) = 𝑢(𝑛) 9. 𝑥(𝑛) = {1,1, 0 ↑ , 1,1}, ℎ(𝑛) = {1,−2,−3, 4 ↑ } 10. 𝑥(𝑛) = {1,2, 0 ↑ , 2,1}, ℎ(𝑛) = 𝑥(𝑛) 11. 𝑥(𝑛) = ( 1 2 ) 𝑛 𝑢(𝑛), ℎ(𝑛) = ( 1 4 ) 𝑛 𝑢(𝑛) 2.12 Tính và vẽ các tích chập 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) và ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) cho các cặp tín hiệu trong hình P2.12 Hình P2.1